重难点专项突破09相似三角形中的“手拉手”旋转模型

重难点专项突破09相似三角形中的“手拉手”旋转模型【知识梳理】“手拉手”旋转型模型展示：如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来.Com]【考点剖析】例1、如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABC＝∠DBE，∠3＝∠4.求证：(1)△ABD∽△CBE；(2)△ABC∽△DBE.证明：(1)∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，即∠1＝∠2.又∠3＝∠4，∴△ABD∽△CBE.(2)∵△ABD∽△CBE，∴eq\f(AB,CB)＝eq\f(DB,EB).∴eq\f(AB,DB)＝eq\f(CB,EB).又∠ABC＝∠DBE，∴△ABC∽△DBE.例2.把两块全等的直角三角板ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D 与三角板ABC的斜边中点O重合，其中，，AB= DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角板DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB 相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q．（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证∽，则 此时______；（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时间方向旋转，设旋转角为．其 中，问的值是否改变？请说明理由．FFAB(Q)CD(O)EPPABCD(O)ABCD(O)QPQEFEF图1图2图3【答案】（1）8；（2）不改变．【解析】（1）略；（2）易证，得：．又，，．【总结】本题考查旋转的相关知识，等腰三角形，“一线三等角”得相似等的相关知识．例3.如图，已知和是两个全等的等腰直角三角形，且 ，的顶点E与的斜边BC的中点重合．将绕 点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于 点Q．（1）如图1，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：≌；（2）如图2，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：∽；并求当BP=a， 时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．AABCDEFABCDEFPPQ图1图2Q【答案】（1）略；（2）．【解析】（1）是中点，．，． ，．．（2），而，． ，， ，， ， ． 在中，， ，． 在中，．【总结】本题考查了“一线三等角”相似模型．例4.在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝α．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察猜想如图1，当α＝60°时，的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当α＝90°时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当α＝90°时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．【分析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明△CAP≌△BAD（SAS），即可解决问题．（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明△DAB∽△PAC，即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明AD＝DC即可解决问题．②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC解决问题．【解答】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．∵∠PAD＝∠CAB＝60°，∴∠CAP＝∠BAD，∵CA＝BA，PA＝DA，∴△CAP≌△BAD（SAS），∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD，∵∠AOC＝∠BOE，∴∠BEO＝∠CAO＝60°，∴＝1，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是60°，故答案为1，60°．（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．∵∠PAD＝∠CAB＝45°，∴∠PAC＝∠DAB，∵＝＝，∴△DAB∽△PAC，∴∠PCA＝∠DBA，＝＝，∵∠EOC＝∠AOB，∴∠CEO＝∠OABB＝45°，∴直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为45°．（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．∵CE＝EA，CF＝FB，∴EF∥AB，∴∠EFC＝∠ABC＝45°，∵∠PAO＝45°，∴∠PAO＝∠OFH，∵∠POA＝∠FOH，∴∠H＝∠APO，∵∠APC＝90°，EA＝EC，∴PE＝EA＝EC，∴∠EPA＝∠EAP＝∠BAH，∴∠H＝∠BAH，∴BH＝BA，∵∠ADP＝∠BDC＝45°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AH，∴∠DBA＝∠DBC＝22.5°，∵∠ADB＝∠ACB＝90°，∴A，D，C，B四点共圆，∠DAC＝∠DBC＝22.5°，∠DCA＝∠ABD＝22.5°，∴∠DAC＝∠DCA＝22.5°，∴DA＝DC，设AD＝a，则DC＝AD＝a，PD＝a，∴＝＝2﹣．如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：DA＝DC，设AD＝a，则CD＝AD＝a，PD＝a，∴PC＝a﹣a，∴＝＝2+．【过关检测】一．选择题（共4小题）1．（2020秋•霍邱县期末）如图，△ABC≌△ADE且BC、DE交于点O，连接BD、CE，则下列四个结论：①BC＝DE，②∠ABC＝∠ADE，③∠BAD＝∠CAE，④BD＝CE，其中一定成立的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据全等三角形的性质判断即可．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，但不能得出DB＝CE，故选：C．【点评】此题考查了全等三角形的性质．找到全等三角形的对应边和对应角是解此题的关键．2．（2023•合肥一模）已知：△ABC中，AD是中线，点E在AD上，且CE＝CD，∠BAD＝∠ACE．则的值为（）A． B． C． D．【分析】先利用等腰三角形的性质及外角与内角的关系说明∠B＝∠DAC，再判断△ABC∽△DAC，利用相似三角形的性质用CE表示出AC，最后代入比例得结论．【解答】解：∵AD是AC边上的中线，∴2CD＝BC．∵CE＝CD，∴∠ADC＝∠CED．∴∠DAC+∠ACE＝∠B+∠BAD．∵∠BAD＝∠ACE，∴∠B＝∠DAC．又∵∠ACD＝∠BCA，∴△ABC∽△DAC．∴．∴AC2＝BC•CD＝2CD2＝2CE2．∴AC＝CE．＝＝．故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形外角与内角的关系等知识点是解决本题的关键．3．（2022•瑶海区三模）如图，△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，且△ABC∽△AB'C'，连接CC'，将CC′沿C′B′方向平移至EB'，连接BE，若CC'＝，则BE的长为（）A．1 B． C． D．2【分析】连接BB′，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义可得＝，再利用相似三角形的性质可得＝，∠ACB＝∠AC′B′＝90°，∠BAC＝∠B′AC′＝30°，从而利用等式的性质可得∠BAB′＝∠CAC′，进而可证△BAB′∽△CAC′，然后利用相似三角形的性质可得∠BB′A＝∠CC′A，＝＝，再利用平移的性质可得CC′∥B′E，＝＝，从而利用平行线的性质可得∠BB′E＝30°，最后证明△BCA∽△BEB′，从而可得∠BEB′＝90°，进而在Rt△BEB′中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：连接BB′，∵∠BAC＝30°，∠ACB＝90°，∴cos30°＝＝，∵△ABC∽△AB'C'，∴＝，∠ACB＝∠AC′B′＝90°，∠BAC＝∠B′AC′＝30°，∴∠BAC+∠CAB′＝∠B′AC′+∠CAB′，∴∠BAB′＝∠CAC′，∴△BAB′∽△CAC′，∴∠BB′A＝∠CC′A，＝＝，由平移得：CC′＝B′E＝，CC′∥B′E，∴＝＝，∵CC′∥B′E，∴∠CC′B′+∠AB′C′+∠BB′A+∠BB′E＝180°，∴∠CC′B′+∠AB′C′+∠CC′A+∠BB′E＝180°，∴∠AC′B′+∠AB′C′+∠BB′E＝180°，∵∠AC′B′＝90°，∠B′AC′＝30°，∴∠AB′C′＝90°﹣∠B′AC′＝60°，∴∠BB′E＝30°，∴∠BB′E＝∠CAB＝30°，∴△BCA∽△BEB′，∴∠BEB′＝∠ACB＝90°，∴BE＝B′E•tan30°＝×＝，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，平移的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．4．（2021秋•凤阳县期末）如图，点P在△ABC的边AC上，若要判定△ABP∽△ACB，则下列添加的条件不正确的是（）A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC C．＝ D．＝【分析】根据相似三角形的判定方法，逐项判断即可．【解答】解：在△ABP和△ACB中，∠BAP＝∠CAB，A、当∠ABP＝∠C时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故A不符合题意；B、当∠APB＝∠ABC时，满足两组角对应相等，可判断△ABP∽△ACB，故B不符合题意；C、当＝时，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断△ABP∽△ACB，故C不符合题意；D、当＝时，其夹角不相等，则不能判断△ABP∽△ACB，故D符合题意；故选：D．【点评】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键，即在两个三角形中，满足三边对应成比例、两边对应成比例且夹角相等或两组角对应相等，则这两个三角形相似．二．填空题（共2小题）5．（2020秋•蚌埠月考）如图，△ABC≌△ADE且BC、DE交于点O，连接BD、CE，则下列四个结论①BC＝DE；②∠ABC＝∠ADE；③∠BAD＝∠CAE；④BD＝CE，其中一定成立的有①②③．【分析】由全等三角形的性质依次判断即可求解．【解答】解：∵△ABC≌△ADE∴AB＝AD，BC＝DE，∠ABC＝∠ADE，∠BAC＝∠DAE∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC∴∠BAD＝∠CAE故答案为：①②③【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键．6．（2022•安徽模拟）在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，将两张等腰直角三角形纸片ABC和CDE如图放置（其中∠ACB＝∠E＝90°，AC＝BC，CE＝DE）．CD、CE分别与AB边相交于M、N两点．请完成下列探究：（1）若AC＝2，则AN•BM的值为4；（2）过M作MF⊥AC于F，若＝，则的值为．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠A＝∠B＝45°，∠MCN＝45°，可得∠ACN＝∠ACM+∠MCN＝∠ACM+45°，∠BMC＝∠ACM+∠A＝∠ACM+45°，即可证明△ACN∽△BMC，可得＝，即可求解；（2）过点C作CG⊥AB于点G，可得∠CGN＝∠CFM＝90°，由等腰直角三角形的性质可得∠NCG+∠MCG＝45°，∠ACM+∠MCG＝45°，从而可得∠NCG＝∠MCF，可证得△GCN∽△FCM，可得＝＝，设CG＝4k，则CF＝5k，AC＝4k，即可求解＝．【解答】解：（1）∵△ABC和△CDE为等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝45°，∠MCN＝45°，BC＝AC＝2，∵∠ACN＝∠ACM+∠MCN＝∠ACM+45°，∠BMC＝∠ACM+∠A＝∠ACM+45°，∴∠ACN＝∠BMC，∴△ACN∽△BMC，∴＝，∵BC＝AC＝2，∴AN•BM＝AC•BC＝4，故答案为：4；（2）如图，过点C作CG⊥AB于点G，∵MF⊥AC，∴∠CGN＝∠CFM＝90°，∵∠NCG+∠MCG＝45°，∠ACM+∠MCG＝45°，∴∠NCG＝∠MCF，∴△GCN∽△FCM，∵＝，∴＝＝，设CG＝4k，则CF＝5k，AC＝4k，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是利用图形找到相似三角形，熟练运用相似三角形的性质．三．解答题（共6小题）7．（2021•瑶海区校级开学）已知：如图，△ABD∽△ACE．求证：△DAE∽△BAC．【分析】先利用△ABD∽△ACE得到，再利用比例性质得，加上∠DAE＝∠BAC，然后根据相似三角形的判定方法可得到结论．【解答】证明：∵△ABD∽△ACE，∴，∴，而∠DAE＝∠BAC，∴△DAE∽△BAC．【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了相似三角形的性质．8．如图，已知：，求证：AB•CE＝AC•BD．【分析】根据相似三角形的判定由得到△ABC∽△ADE，则∠BAC＝∠DAE，于是有∠BAD＝∠CAE，由＝得到＝，于是可判断△ABD∽△ACE，利用相似比即可得到结论．【解答】证明：∵，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∵＝，即＝，∴△ABD∽△ACE，∴AB：AC＝BD：CE，即AB•CE＝AC•BD．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：如果两个三角形的三条对应边的比相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两条对应边的比相等，且它们所夹的角也相等，那么这两个三角形相似；相似三角形对应角相等，对应边的比相等．9．（2017秋•禹会区校级期中）如图，已知△ABD∽△ACE，求证：△ABC∽△ADE．【分析】根据相似三角形对应角相等、对应边相等的性质可得∠BAC＝∠DAE，＝，即可求证△ABC∽△ADE．即可解题．【解答】证明：∵△ABD∽△ACE，∴∠BAD＝∠CAE，＝．∴∠BAD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，又∵＝．∴△ABC∽△ADE．【点评】本题考查了相似三角形对应角相等、对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的判定，本题中求证∠BAC＝∠DAE是解题的关键．10．（2023•亳州二模）如图1，在△ABD和△ACE中，∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE．（1）①求证：△ABC∽△ADE；②若AB＝AC，试判断△ADE的形状，并说明理由；（2）如图2，旋转△ADE，使点D落在边BC上，若∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE．求证：CE⊥BC．【分析】（1）①根据两个角相等可得△ABD∽△ACE，得，再根据∠BAC＝∠DAE，可证明结论；②由①知，当AB＝AC时，AD＝AE，则△ADE是等腰三角形；（2）同理证明△BAD∽△CAE，得∠B＝∠ACE，再利用直角三角形的两个锐角互余，即可证明结论．【解答】（1）①证明：∵∠BAD＝∠CAE，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD∽△ACE，∴，即，又∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC，即∠BAC＝∠DAE，∴△ABC∽△ADE；②解：△ADE是等腰三角形，理由如下：由①知，，∵AB＝AC，∴AD＝AE，∴△ADE是等腰三角形；（2）证明：∵∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，∴△BAC∽△DAE，∴，∴，又∵∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴∠B＝∠ACE，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∴CE⊥BC．【点评】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．11．（2021秋•当涂县校级期末）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，∠APB＝∠BPC＝135°．（1）求证：△PAB∽△PBC；（2）求证：AC＝PC．【分析】（1）先由三角形的内角和定理及等腰直角三角形的性质得到∠PAB＝∠PCB，再利用相似三角形的判定定理得结论；（2）由（1）△PAB∽△PBC，利用相似三角形的性质得到PA与PC的关系，再说明△PAC是直角三角形，最后由勾股定理得结论．【解答】证明：（1）∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠ABC＝45°，AB＝BC．∵∠APB＝135°，∠ABC＝45°，∴∠PAB+∠PBA＝180°﹣∠APB＝45°，∠PBA+∠PBC＝45°，∴∠PAB＝∠PCB．又∵∠APB＝∠BPC，∴△PAB∽△PBC．（2）∵△PAB∽△PBC，∴＝＝＝．∴PB＝PC，PA＝PB．∴PA＝2PC．∵∠APB+∠BPC+∠APC＝360°，∠APB＝∠BPC＝135°，∴∠APC＝90°．∴AC＝＝＝PC．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理及三角形的内角和定理是解决本题的关键．12．（2020•芜湖三模）（1）（问题发现）如图1，△ABC和△ADE均为等边三角形，点B，D，E在同一条直线上．填空：①线段BD，CE之间的数量关系为BD＝CE；②∠BEC＝60°．（2）（类比探究）如图2，△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，点B，D，E在同一条直线上，请判断线段BD，CE之间的数量关系及∠BEC的度数，并给出证明．（3）（解决问题）如图3，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝5，点D在AB边上，DE⊥AC于点E，AE＝3，将△ADE绕点A旋转，当DE所在直线经过点B时，CE的长是多少？（直接写出答案）【分析】（1）首先根据△ACB和△DAE均为等边三角形，可得AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∠ADE＝∠AED＝60°，据此判断出∠BAD＝∠CAE，然后根据全等三角形的判定方法，判断出△ABD≌△ACE，即可判断出BD＝CE，∠BDA＝∠CEA，进而判断出∠BEC的度数为60°即可；（2）首先根据△ACB和△ADE均为等腰直角三角形，可得AC＝BC，DE＝AE，∠ACB＝∠AED＝90°，进而利用相似三角形的判定和性质解答即可；（3）