第27章相似（中等卷）教师版

20232024学年人教版数学九年级下册章节真题汇编检测卷（中等）第27章相似考试时间：120分钟试卷满分：100分难度：中等一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（本题2分）（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）如图，与是位似图形，点O为位似中心，位似比为．若的面积为8，则的面积是（

）

A．15 B．16 C．9 D．18【答案】D【分析】根据位似比等于三角形的相似比，结合相似三角形的性质—面积之比等于相似比的平方计算即可．【详解】解：解：∵与位似，点O为位似中心，相似比为，∴与的面积之比为，∵的面积为8，∴的面积是18，故选：D．【点睛】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握面积之比等于位似比的平方是解题的关键．2．（本题2分）（2023·河南驻马店·驻马店市第二初级中学校考二模）如图，矩形的顶点A，B分别在x轴、y轴上，，，，将矩形绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2023次旋转结束时，点D的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】过点作轴于点．首先证明，利用相似三角形的性质求出点的坐标，再探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】解：如图，过点作轴于点．，，，，，，，，，，，，，，，矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第1次旋转结束时，点的坐标为；则第2次旋转结束时，点的坐标为；则第3次旋转结束时，点的坐标为；

则第4次旋转结束时，点的坐标为；发现规律：旋转4次一个循环，，则第2021次旋转结束时，点的坐标为．故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转、规律型点的坐标，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律．3．（本题2分）（2021春·福建龙岩·九年级校考阶段练习）如图，中，，与相交于点．如果，那么等于（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】根据，得到，，结合面积比等于相似比平方即可得到答案；【详解】解：∵，，∴，，∴，故选：A．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定和性质，关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．4．（本题2分）（2020秋·安徽蚌埠·九年级统考期中）如图，各正方形的边长均为1，则四个阴影三角形中，一定相似的一对是：

A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求出4个图形中的每个三角形的边长，通过三角形三边的比是否相等就可以判断出结论，从而得出正确答案．【详解】解：①三边长为：1，，；②三边长为：，2，；③三边长为：1，，；④三边长为：2，，；则可得①和②三边成比例，故一定相似的是①和②．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题需要我们熟练运用勾股定理，掌握相似三角形的判定定理，难度一般．5．（本题2分）（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，和是位似三角形，点是位似中心，且，,则（）

A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】根据位似图象的性质得出位似比，进而得出的长．【详解】解：，,与位似，点是它们的位似中心，，，的长为2,故选：A．【点睛】本题考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题的关键．6．（本题2分）（2023·海南儋州·海南华侨中学校联考模拟预测）如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，交于点D，交于点E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，连接并延长交于点P，若，则线段的长为（

）

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】先判断出为的角平分线，再证明，问题即可得解．【详解】由图可知为的角平分线，∴．∵，∴．∴．又∵，∴．∴．设，∵，，∴．解得，即：．故选：D．【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图以及相似三角形的判定与性质等知识，证明是解答本题的关键．7．（本题2分）（2023春·天津和平·九年级校考阶段练习）如图，在中，、、分别是边、、上的点，连接，相交于点，若四边形是平行四边形，则下列说法不正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平行四边形的性质得出，，，根据相似三角形的判定得出，再根据平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质逐个判断即可．【详解】解：．四边形是平行四边形，，，，，，，故本选项错误；B．四边形是平行四边形，

，，，，，，故本选项错误；C．，，，故本选项正确；D．，，故本选项错误；故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．8．（本题2分）（2023秋·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在函数，，边在y轴上，D为的中点，连接并延长交x轴于点E，连接，若，则k的值为（）

A．2 B．3 C．6 D．9【答案】C【分析】先利用直角三角形斜边上的中线性质得到，再根据等腰三角形的性质和对顶角相等得到，证明得到，再根据三角形的面积公式和反比例函数的系数k的几何意义得到，进而可求解．【详解】解：∵为的斜边上的中线，∴，则，又，∴，又，∴，∴，即．又∵，∴，即．∵反比例函数图象在第一象限，．∴．故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、反比例函数系数k的几何意义、直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关的知识与运用，利用相似三角形的判定与性质得到线段间的关系是解答的关键．9．（本题2分）（2023·河南洛阳·统考二模）如图，中，，顶点在第一象限，点，分别在，轴上，，，．将绕点顺时针旋转，每次旋转，若旋转后点的对应点的坐标是，则旋转的次数可能是

A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C【分析】过点作轴于点．首先利用相似三角形的性质求出点的坐标，再探究规律，利用规律解决问题即可．【详解】解：如图，过点作轴于点，连接．

，，，，，，，，，，即，，，，，矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第1次旋转结束时，点的坐标为；则第2次旋转结束时，点的坐标为；则第3次旋转结束时，点的坐标为；则第4次旋转结束时，点的坐标为；发现规律：旋转4次一个循环，，则第2024次旋转结束时，点的对应点的坐标是，故选：C．方法二：点的坐标是，点在第一象限，每次旋转，旋转4次一个循环，点的坐标是，，则第2024次旋转结束时，点的对应点的坐标是，故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形变化旋转、规律型点的坐标，解决本题的关键是根据旋转的性质发现规律，总结规律．10．（本题2分）（2022·河北石家庄·校考模拟预测）如图，矩形中，，对角线相交于，过点作交于点，为中点，连接交于点，交的延长线于点，下列个结论：；；≌；；．正确的有（）个．

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】解：根据斜边的中线等于斜边的一半即可判断①正确；结合①以及角度互余的关系可判断②正确；③连接，先证明，同理：，可得，根据对应角不相等可判断③错误；④设，即，证明，可得，分别求出，，可判断④错误；⑤利用角的和差关系证明，结合矩形的性质即有，可判断⑤正确．【详解】解：①在中，∵，H为中点，∴，又∵，∴，①正确；②由①可知，，∴，又∵，∴，②正确；③连接，

∵，，∴，同理：，∴，∴根据对应角不相等可知不成立，③错误；④设，即，∴，，∵，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴④错误；⑤，又，，∴，∴，⑤正确．正确的有3个．故选：C．【点睛】考查了等腰三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定．解答该题的关键是证明等腰三角形，全等三角形．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（本题2分）（2020秋·福建漳州·九年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，在中，点D为AC上一点，且过点D作交于点E，连接，过点D作交于点F．若，则．.

【答案】/【分析】根据平行线分线段成比例即可求解．【详解】解：∵∴∵∴∵∴∵∴解得：∴故答案为：【点睛】本题考查平行线分线段成比例．找准比例是解题关键．12．（本题2分）（2020秋·上海嘉定·九年级统考期中）如图，在中，点D、E分别在边、上，且，如果，那么的长．

【答案】/【分析】根据相似三角形的判定和性质求解即可．【详解】解：∵，，∴，∴，即，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．13．（本题2分）（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨工业大学附属中学校校考开学考试）如图，点D、E分别是边、上的点，且，，那么．

【答案】【分析】根据推出，根据推出，最后根据相似三角形面积比等于相似比的平方，即可解答．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形面积比等于相似比的平方．14．（本题2分）（2023春·陕西榆林·九年级校考开学考试）如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到．已知点，，则与的面积比是．【答案】【分析】根据题意求得位似比，根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】解：∵将放大后得到．点，，∴与的相似比为，则与的面积比是，故答案为：．【点睛】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，求得位似比是解题的关键．15．（本题2分）（2023秋·陕西榆林·九年级校考期末）已知，与是它们的对应中线，如果与的面积比是1∶9，那么为．【答案】/【分析】根据相似三角形的性质求解即可．【详解】∵，与的面积比是1∶9，与是它们的对应中线，∴∴．故答案为：．【点睛】此题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．16．（本题2分）（2023·安徽滁州·校考一模）在等边三角形中，，、是上的动点，是上的动点，且，连接，；【答案】【分析】证明，利用相似三角形的面积等于相似比的平方求解即可．【详解】解：是等边三角形，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握等边三角形的性质是解题的关键．17．（本题2分）（2023春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，和是两等高的路灯，相距，身高的小明站在两路灯之间（D、B、F共线），被两路灯同时照射留在地面的影长，则路灯高度为．

【答案】/6米【分析】证得，那么可得，同理可得，根据，可求出，再代入相关数值，计算可得路灯高度．【详解】解：设，∵，∴，∴，∴，同理可得，∵，∴，∴，∴，即,由得，∴，即路灯高．故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的应用；利用线段相等得到相关比例式是解决本题的突破点．18．（本题2分）（2020秋·上海青浦·九年级校考阶段练习）如图，平行四边形，是的中点，，相交于点，若的面积为，则平行四边形的面积为

【答案】【分析】根据平行四边形性质可证明，根据相似三角形面积比等于相似比的平方可求得的面积，又由相似三角形的对应边成比例，求得，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，即可求得的面积，继而求得答案．【详解】解：四边形为平行四边形，且，，，，是的中点，，，，，和为等高三角形，，，，，故答案为：．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键．19．（本题2分）（2023秋·四川成都·八年级统考期末）如图，和分别为的角平分线和高线，已知，且，，则的长为．

【答案】【分析】在上截取，使，则，设，，则，．在中，由勾股定理，得，即，得．证明，可得，即，即有．联立，解得，即可得，，．在中，．设点E到直线的距离为h，则，可得．根据是的角平分线，可得点E到直线的距离为．设，则．利用，可得，问题随之得解．【详解】如图，在上截取，使，则，

∴．∵，∴．设，，则，．在中，由勾股定理，得，即，化简，得．由是的高线，即有，有∵，∴，∴，即，∴．联立，解得，∴，∴，，∴．在中，．设点E到直线的距离为h，则，∴．∵是的角平分线，∴点E到直线的距离为．设，则．∵，∴，解得或（舍去），∴．【点睛】本题是一道三角形的综合题，主要考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，一元二次方程的应用等知识，构造合理的辅助线，灵活利用三角形的面积，是解答本题的关键．20．（本题2分）（2023·山西忻州·校联考模拟预测）如图，为矩形的对角线，平分交于点，为边的中点，连接分别交，于点，．若，，则线段的长为．

【答案】【分析】根据矩形的性质由勾股定理求出，的长，证明，求出，，过点作，于点，，根据角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积即可解决问题．【详解】解：四边形是矩形，，，，，，为边的中点，，，，，，，，，，，，如图，过点作，于点，，

平分，，，，，，，，线段的长为．故答案为：．【点睛】本题考查矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（本题6分）（2022秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图，在网格图中，每格是边长为1的正方形，四边形的顶点均在格点上．

(1)请以点为位似中心，在网格图中作出四边形，使四边形与四边形位似，且；(2)填空：线段的长为，的面积为．【答案】(1)见解析；(2)；的面积为．【分析】（1）利用位似变换的性质分别作出的对应点即可；（2）利用勾股定理求得的长，用矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积即可．【详解】（1）解：如图，四边形即为所求，

（2）线段的长；的面积．【点睛】本题考查了位似变换（作图），勾股定理以及三角形面积的求解，解题的关键是掌握位似变换的性质，正确作出图形．22．（本题6分）（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图，在边长为的正方形网格中，四边形的四个顶点都落在格点上，小明发现：两条分割线，将四边形分割成的三个三角形都彼此相似含全等请在图和图中，各画一个四边形，满足有两条分割线且将四边形分割成三个彼此相似的三角形含全等，并在图中画出分割线的位置所画的两个四边形不全等．

【答案】见解析【分析】根据相似三角形的定义作图即可．【详解】解：如图2、3所示．

【点睛】本题主要考查作图相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的概念，注意全等三角形是相似三角形的特殊情形．23．（本题8分）（2023秋·陕西西安·九年级校考开学考试）尺规作图：如图，已知，，请用尺规作图的方法在上确定一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法）．

【答案】作图见详解【分析】根据相似三角形的判定方法，作的角平分线即可．【详解】解：如图所示，作的角平分线交于点，

①以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，连接；②分别以点为圆心，以大于为半径画弧交于点，连接交于点，则即为的角平分线；∵，平分，∴，且，∴，即．【点睛】本题主要考查角平分线的作图方法，相似三角形的判定方法，掌握以上知识是解题的关键．24．（本题8分）（2022秋·福建福州·九年级校考期末）如图，已知，，是直角坐标系平面上三点．

(1)以原点为位似中心，在第四象限内画出将缩小为原来的一半后的；(2)画出绕点顺时针旋转后的，并求出线段所扫过的图形面积．【答案】(1)见解析(2)见解析，线段所扫过的面积为【分析】（1）根据位似的性质，得到各点在第四象限内的对应点、、，依次连接即可得到；（2）根据旋转的性质，得到各点的对应点、、，依次连接即可得到，根据坐标两点的距离公式，求得，由旋转的性质可知，，再利用扇形面积公式，即可求出线段所扫过的图形面积．【详解】（1）解：如图所示，即为所求；（2）解：如图所示，即为所求，，，，由旋转的性质可知，，，则线段所扫过的图形是圆心角为，半径为的扇形，所以，线段所扫过的面积为：，即线段所扫过的面积为．

【点睛】本题考查了作图——位似变换以及旋转的变换，坐标两点的距离公式，旋转的性质，扇形面积公式，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．25．（本题8分）（2022秋·福建莆田·九年级校考开学考试）若绕点逆时针旋转后，与构成位似图形，则我们称与互为“旋转位似图形”．

(1)知识理解：如图①，与互为“旋转位似图形”．①若，，，则；②若，，，则；(2)知识运用：如图②，在四边形中，，于点，，求证：与互为“旋转位似图形”；(3)拓展提高：如图③，为等边三角形，点为的中点，点是边上的一点，点为延长线上的一点，点在线段上，，且与互为“旋转位似图形”．若，，求．【答案】(1)①27°；②(2)见解析(3)【分析】（1）①依据和互为“旋转位似图形”，可得，依据相似三角形的对应角相等，即可得到；②依据，可得，根据，，，即可得出；（2）依据，即可得到，进而得到，再根据，，即可得到，进而得出和互为“旋转位似图形”；（3）利用直角三角形的性质和勾股定理解答即可．【详解】（1）①和互为“旋转位似图形”，，，又，，；②，，，，，，，故答案为：；；（2），，，，即，又，，，又，，，，，绕点逆时针旋转的度数后与构成位似图形，和互为“旋转位似图形”；（3）点为的中点，，由题意得：，，，，，由勾股定理可得，，．【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理的综合运用．在解答时添加辅助线等腰直角三角形，利用相似形的对应边成比例是关键．26．（本题8分）（2022秋·福建莆田·九年级校考开学考试）小明对某塔进行了测量，测量方法如下，如图所示，先在点处放一平面镜，从处沿方向后退1米到点处，恰好在平面镜中看到塔的顶部点，再将平面镜沿方向继续向后移动15米放在处（即米），从点处向后退1.6米，到达点处，恰好再次在平面镜中看到塔的顶部点、已知小明眼睛到地面的距离米，请根据题中提供的相关信息，求出小雁塔的高度（平面镜大小忽略不计）

【答案】43.5米【分析】利用相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】解：根据题意得，，，，即①；，，，，即②，由①②得，解得，，解得，答：小雁塔的高度为43.5米．【点睛】本题考查了相似三角形的应用：解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，然后