第17讲《线段射线直线》专题复习

第17讲线段、射线、直线专题复习考点一基本概念及性质【知识点睛】图像名称端点个数能否延伸/延长直线直线AB（或直线a）0可两方向无限延伸，不能延长射线射线AB1可向AB方向无限延伸，可沿AB反向延长线段线段AB2不能延伸，可向两方向延长性质两点之间线段最短、两点确定一条直线【类题训练】1．下列几何图形与相应语言描述相符的是（）A．如图1所示，延长线段BA到点C B．如图2所示，射线CB不经过点A C．如图3所示，直线a和直线b相交于点A D．如图4所示，射线CD和线段AB没有交点【分析】由图形点和线段，射线的位置关系，直线与直线的位置关系，即可判断．【解答】解：A、点C在线段BA的延长线上，故A不符合题意；B、射线BC不经过点A，故B不符合题意；C、直线a和直线b相交于点A，正确，故C符合题意；D、射线CD和线段AB有交点，故D不符合题意，故选：C．2．如图各图中所给的射线、直线能相交的是（）A． B． C． D．【分析】依据图形中的直线、射线或线段有无交点，即可得到结论．【解答】解：A选项中，直线AB与射线EF无交点，不合题意；B选项中，直线AB与射线EF有交点，符合题意；C选项中，直线AB与射线EF无交点，不合题意；D选项中，直线AB与射线EF无交点，不合题意；故选：B．3．在下列现象中，体现了基本事实“两点确定一条直线”的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】直接利用直线的性质以及线段的性质分析得出答案．【解答】解：第一、二、三幅图中的生活、生产现象可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释，第四幅图中利用的是“两点之间，线段最短”的知识．故选：C．4．下列四个有关生活、生产中的现象：①用两个钉子就可以把一根木条固定在墙上；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；④植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线．其中不可用“两点之间，线段最短”来解释的现象有（）A．②③ B．①③ C．②④ D．①④【分析】①④根据“两点确定一条直线”解释，②③根据两点之间，线段最短解释．【解答】解：①属于两点确定一条直线的性质，不可用“两点之间，线段最短”来解释，符合题意；②可用“两点之间，线段最短”来解释，两点之间，线段最短，减少了距离，不符合题意；③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段架设，是两点之间，线段最短，不符合题意；④属于两点确定一条直线的性质，不可用“两点之间，线段最短”来解释，符合题意．故选：D．5．如图棋盘上有黑、白两色棋子若干，找出所有使三颗颜色相同的棋在同一直线上的直线，满足这种条件的直线共有（）A．5条 B．4条 C．3条 D．2条【分析】根据题意可以画出适合条件的几种情况，从而可以解答本题．【解答】解：如下图所示：则所有三颗颜色相同的棋并且在同一直线上的直线共有五条：①竖直的三颗黑色的，②竖直的三颗白色的，③斜着三颗黑色的，④斜着三颗白色的，⑤斜着的三颗白色的．故选：A．6．如图1，A，B两个村庄在一条河（不计河的宽度）的两侧，现要建一座码头，使它到A，B两个村庄的距离之和最小，图2中所示的C点即为所求码头的位置，那么这样做的理由是两点之间，线段最短．【分析】利用两点之间线段最短进而分析得出答案．【解答】解：图2中所示的C点即为所求码头的位置，那么这样做的理由是两点之间，线段最短．故答案为：两点之间，线段最短．考点二数线段、射线和直线的条数问题【知识点睛】若一条线段里面有n个点，则该图形中线段总条数是：若一条直线上共有n个点，则该图形有射线条，有线段条【类题训练】7．如图，图中射线条数为（）A．8 B．6 C．5 D．4【分析】根据射线的定义及表示方法进行解答即可．【解答】解：图中的射线有：射线AE，射线BE，射线CE，射线CG，射线BG，射线AG，射线BF，射线DF，共8条，故选：A．8．如图，经过直线a外一点O的4条直线中，与直线a相交的直线至少有（）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【分析】根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可．【解答】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线a平行的，只能是一条，即与直线a相交的直线至少有3条，故选：C．9．往返于甲、乙两地的火车，中途停靠三站，每两站间距离各不相等，需要准备20种不同的车票．【分析】利用数线段知识，归纳相同距离的票价相同来确定车票种类．【解答】解：如图所示A、E两点代表甲、乙两地，中途停靠的三站分别是B、C、D，∴不同长度的线段数就是车票的种类，AB，AC，AD，AE；BC，BD，BE；CD，CE；DE；∴4+3+2+1＝10（种），考虑到往返车票要区别开，∴需要准备车票种类：10×2＝20（种），故答案为：20．10．如图有a条直线，b条射线，c条线段，则a+b﹣c＝1．【分析】根据直线、线段、射线的定义判解答即可．【解答】解：图中只有AD1条直线，故a＝1；图中共有6条射线，故b＝6；图中共有6条线段，故c＝6；∴a+b﹣c＝1+6﹣6＝1，故答案为：1．11．如图，有一种电子游戏，电子屏幕上有一条直线，在直线上有A，B，C，D四点，且AB＝BC＝CD，点P沿直线l从左向右移动，当出现点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，就会发出警报，则直线l上会发出警报的点P有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【分析】点P与A，B，C，D四点中的至少两个点距离相等时，也就是点P恰好是其中一条线段中点，而图中共有六条线段，由此可以得到出现报警的最多次数．【解答】解：根据题意可知：当点P经过任意一条线段中点时会发出报警，∵图中共有线段AB、AC、AD、BC、BD、CD，∵AD和BC的中点是同一个，∴直线l上会发出警报的点P有5个．故选：C．12．如图，已知线段AB，点C在AB上，点P在AB外．（1）根据要求画出图形：画直线PA，画射线PB，连接PC；（2）写出图中的所有线段．【分析】（1）根据题中的几何语言画出对应的几何图形即可；（2）利用线段的定义解答即可．【解答】解：（1）如图，直线PA，射线PB，线段PC为所作；（2）图中的所有线段为：PA、PC、PB、AC、AB、CB．考点三线段的有关计算【知识点睛】线段的有关计算常结合方程来解决，列方程的等量关系为线段间的和、差、倍、分关系！【类题训练】13．点C是线段AB的三等分点，点D是线段AC的中点．若线段AB＝18cm，则线段BD的长为（）A．12cm B．15cm C．8cm或10cm D．12cm或15cm【分析】根据线段中点的定义和线段三等分点的定义即可得到结论．【解答】解：∵C是线段AB的中点，AB＝18cm，∴AC＝BC＝AB＝×18＝9（cm），点D是线段AC的三等分点，①当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD＝BC+AC＝9+6＝15（cm）；②当AD＝AC时，如图，BD＝BC+CD＝BC+AC＝9+3＝12（cm）．所以线段BD的长为15cm或12cm．故选：D．14．如图，AB＝12cm，C为AB的中点，点D在线段AC上且AD：CB＝1：3，则DB的长是（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【分析】根据中点的定义求出AC、BC的长，根据题意求出AD，则BD＝AB﹣AD，代入数据计算即可．【解答】解：∵AB＝12cm，C为AB的中点，∴AC＝BC＝AB＝6cm，∵AD：CB＝1：3，∴AD＝2cm，∴DB＝AB﹣AD＝12﹣2＝10（cm），即DB的长为10cm．故选：B．15．如图，点M是AB的中点，点N是BD的中点，AB＝12cm，BC＝20cm，CD＝16cm，则MN的长为（）A．24cm B．22cm C．26cm D．20cm【分析】根据线段中点的性质直接可得出BM的长，计算出BD，根据线段中点的性质推出BN＝DN＝BD，进而结合图形根据线段之间的和差关系进行求解即可．【解答】解：∵点M是AB的中点，∴BM＝AM＝AB＝×12＝6（cm），∵BC＝20cm，CD＝16cm，∴BD＝BC+CD＝20+16＝36（cm），∵点N是BD的中点，∴BN＝DN＝BD＝×36＝18（cm），∴MN＝MB+BN＝6+18＝24（cm）．故选：A．16．如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距50m，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距50m，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（）A．A小区 B．B小区 C．C小区 D．D小区【分析】根据题意分别计算停靠点分别在A、B、D、C各点时员工步行的路程和，选择最小的即可求解．【解答】解：因为当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：5×50+20×250+6×300＝7050（m），因为当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×50+20×200+6×250＝7000（m），当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×250+5×200+6×50＝8800（m），当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×300+5×250+20×50＝11250（m），因为7000＜7050＜8800＜11250，所以当停靠点在B小区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在B区．故选：B．17．如图，延长线段AB到C，使BC＝4AB，点D是线段BC的中点，如果CD＝4cm．（1）求AC的长度；（2）若点E是线段AC的中点，求ED的长度．【分析】（1）先根据点D是线段BC的中点，如果CD＝4cm，求出BC的长，再根据BC＝4AB求出AB的长，由AC＝AB+BC即可得出结论；（2）先根据线段的中点可得EC的长，再根据线段的差可得结论．【解答】解：（1）因为点D为线段BC的中点，CD＝4cm，所以BC＝2CD＝8cm，因为BC＝4AB＝8cm，所以AB＝2cm，所以AC＝AB+BC＝10cm，即AC的长度为10cm．（2）因为E是AC中点，所以EC＝AC＝5cm，所以ED＝EC﹣DC＝5﹣4＝1cm，即ED的长度是1cm．18．如图，已知点C在线段AB上，且AM＝AC，BN＝BC．（1）若AC＝12，CB＝6，求线段MN的长．（2）若C为线段AB上任意一点，且满足AC+BC＝a，其他条件不变，求线段MN的长．【分析】（1）由AC＝12及AM＝AC可求解CM的长，由BN＝BC及BC＝6可求得CN的长，再利用MN＝CM+CN可求解；（2）AM＝AC，BN＝BC，可得AM+BN＝AC+BC＝（AC+BC），所以MN＝MC+NC＝（AC+BC），根据AC+BC＝a即可求出线段MN的长．【解答】解：（1）∵AM＝AC，∴CM＝AC，∵AC＝12，∴CM＝8，∵BN＝BC，∴CN＝BC，∵BC＝6，∴CN＝×6＝4，∴MN＝CM+CN＝8+4＝12；（2）∵AM＝AC，BN＝BC，∴AM+BN＝AC+BC＝（AC+BC），∴MN＝MC+NC＝（AC+BC），∵AC+BC＝a，∴MN＝a，即线段MN的长为a．19．（1）如图，点C在线段AB上，点M在线段AC上，点N在线段BC上．①已知AC＝13，CB＝8，若点M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长；②已知AC＝13，CB＝8，若点M是AC的中点，BN＝BC，求线段MN的长；③已知AC＝a，CB＝b，若AM＝AC，BN＝BC，请直接写出线段MN的长（用含a，b的式子表示）；（2）若点C在直线AB上，（1）中其他条件不变，已知AC＝a，CB＝a，5AM＝3CM，3BN＝2CN，请直接写出线段MN的长．【分析】（1）①根据线段中点的性质可得，CM＝AC，CN＝，由MN＝CM+CN，代入计算即可得出答案；②由点M是AC的中点，BN＝BC，可得CM＝AC，CN＝BC，由MN＝CM+CN，代入计算即可得出答案；③由已知AM＝AC，BN＝BC，可得CM＝，CN＝BC，由MN＝CM+CN，代入计算即可得出答案；（2）由已知5AM＝3CM，3BN＝2CN，可得CM＝AC，CN＝BC，由MN＝CM+CN，代入计算即可得出答案．【解答】解：（1）①∵点M，N分别是AC，BC的中点，∴CM＝AC＝＝6.5，CN＝＝＝4，∴MN＝CM+CN＝6.5+4＝10.5；②∵点M是AC的中点，BN＝BC，∴CM＝AC＝＝6.5，CN＝BC＝＝2，∴MN＝CM+CN＝6.5+2＝8.5；③MN＝a+b；∵AM＝AC，BN＝BC，∴CM＝＝a，CN＝BC＝b，∴MN＝CM+CN＝a+b；（2）MN＝a或MN＝a．∵5AM＝3CM，3BN＝2CN，∴CM＝AC＝a，CN＝BC＝×a＝a，若点C在线段AB上时，∴MN＝CM+CN＝（+）a＝a．若点B在线段AC上时，MN＝AC﹣AM﹣CN＝a﹣a﹣a＝（﹣）＝a．20．如图，已知线段AB＝15cm，CD＝3cm，点E是AC的中点，点F是BD的中点．（1）若AC＝4cm，求线段EF的长；（2）当线段CD在线段AB上从左向右或从右向左运动时，试判断线段EF的长度是否发生变化？若不变，请求出线段EF的长度；若变化，请说明理由．【分析】（1）由BD＝AB﹣AC﹣CD可求解BD的长，结合中点的定义可求解EF的长；（2）由中点的定义可得，根据EF＝AB﹣AE﹣BF可求解EF的长为定值，即可求解．【解答】解：（1）∵AC＝4cm，CD＝3cm，AB＝15cm，∴BD＝AB﹣AC﹣CD＝15﹣4﹣3＝8（cm），∵点E是AC的中点，点F是BD的中点，∴，∴EF＝EC+CD+DF＝2+3+4＝9（cm）；（2）线段EF的长度不发生变化．∵点E是AC的中点，点F是BD的中点，∴，∴EF＝AB﹣AE﹣BF＝＝＝＝9（cm）．21．如图，数轴上点A，B分别表示数﹣6，12，C为AB中点．（1）求点C表示的数．（2）若点P为线段AB上一点，PC＝2，求点P表示的数．（3）若点D为线段AB上一点，在线段AB上有两个动点M，N，分别同时从点A，D出发，沿数轴正方向运动，点M的速度为4个单位每秒，点N的速度为3个单位每秒，当MN＝1，NC＝2时，求点D表示的数．【分析】（1）根据数轴上两点所表示的数与它们的中点所表示的数之间的关系进行计算即可；（2）分两种情况进行解答，即点P在点C的左侧或右侧，根据两点距离的计算方法进行计算即可；（3）设出各个点所表示的数，根据运动后线段长度的计算方法，列方程组解答即可．【解答】解：（1）点C表示的数为：＝3；（2）点C所表示的数为3，设点P所表示的数为p，则|p﹣3|＝2，解得p＝5或p＝1，答：点P所表示的数为1或5；（3）设点D在数轴上所表示的数为d，运动的时间为ts，则点M所表示的数为﹣6+4t，点N所表示的数为d+3t，①当点M在点N的左侧，点N在点C的左侧，MN＝d+3t﹣（﹣6+4t）＝d﹣t+6＝1，即d﹣t＝﹣5，NC＝3﹣d﹣3t＝2，即d+3t＝1，由可解得d＝﹣；②当点M在点N的左侧，点N在点C的右侧，MN＝d+3t﹣（﹣6+4t）＝d﹣t+6＝1，即d﹣t＝﹣5，NC＝d+3t﹣3＝2，即d+3t＝5，由可解得d＝﹣；③当点M在点N的右侧，点N在点C的左侧，MN＝﹣6+4t﹣（d+3t）＝﹣6+t﹣d＝1，即d﹣t＝﹣7，NC＝3﹣d﹣3t＝2，即d+3t＝1，由可解得d＝﹣5；④当点M在点N的右侧，点N在点C的右侧，MN＝﹣6+4t﹣（d+3t）＝﹣6+t﹣d＝1，即d﹣t＝﹣7，NC＝d+3t﹣3＝2，即d+3t＝5，由可解得d＝﹣4；综上所述，点D所表示的数为﹣或﹣或﹣5或﹣4．考点四线段的的分类讨论【知识点睛】不确定是分类讨论的起点，当线段中点的位置没有直接给明时，一般需要分类讨论！【类题训练】22．已知点C在直线AB上，AB＝4，BC＝6，点D是线段AC的中点，则AD等于（）A．5 B．2 C．5或1 D．5或2【分析】分类讨论点C在线段AB延长线时，点C在线段AB反向延长线时，根据线段的和差，可得AC的长，根据线段中点的性质，可得AD的长．【解答】解：当点C在线段AB延长线时，如图，∵AB＝4，BC＝6，∴AC＝AB+BC＝4+6＝10，∵点D是线段AC的中点，∴AD＝AC＝＝5；当点C在线段AB反向延长线时，如图，∵AB＝4，BC＝6，∴AC＝BC﹣AB＝6﹣4＝2，∵点D是线段AC的中点，∴AD＝AC＝＝1；综上，AD＝5或1．故选：C．23．在直线上任取一点A，截取AB＝6cm，再截取AC＝14cm，则AB的中点D与AC的中点E之间的距离为（）A．4cm B．8cm C．4cm或10cm D．3cm或8cm【分析】画出图形，得出两种情况，分别求出AE和AD长，即可求出答案．【解答】解：①B，C在点A同侧时如图，∵D是AB的中点，E是AC的中点，∴AD＝AB＝3cm，AE＝AC＝7cm，∴DE＝AE﹣AD＝7﹣3＝4（cm）．②B，C在点A两侧时如图，∵D是AB的中点，E是AC的中点，∴AD＝AB＝3cm，AE＝AC＝7cm，∴DE＝AE+AD＝7+3＝10（cm）．综上：D与E之间距离为4cm或10cm，故选：C．24．已知A、B、C三点在同一条直线上，则下列：①AC+BC＝AB；②AC＝AB；③AC＝BC；④AB＝2BC．可以判断点C是线段AB中点的有（）A．③ B．②④ C．②③④ D．①②③④【分析】根据线段中点的定义逐项分析可得答案．【解答】解：①当AC+BC＝AB时，点C不一定是AB中点，故①错误；②当AC＝AB时，点C不一定在线段AB上，故②错误；③当AC＝BC时，点C一点是AB的中点，故③正确；④当AB＝2BC时，点C不一定在线段AB上，故④错误．故选：A．25．点C是线段AB上的三等分点，E是线段BC的中点，若CE＝6，则AB的长为（）A．18或36 B．18或24 C．24或36 D．24或48【分析】根据点C是线段AB上的三等分点，分两种情况画图进行计算即可．【解答】解：如图1，∵点C是线段AB上的三等分点，∴AB＝3BC，∵E是线段BC的中点，CE＝6，∴BC＝2CE＝12，∴AB＝3×12＝36；如图2，∵E是线段BC的中点，CE＝6，∴BC＝2CE＝12，∴AC＝6，∵点C是线段AB上的三等分点，∴AB＝3AC＝18，则AB的长为18或36．故选：A．26．已知线段AB＝6cm，若M是AB的三等分点，N是AM的中点，则线段MN的长度为1cm或2cm．【分析】根据M是AB的三等分点，可得AM的长，再根据线段中点的性质，可得答案．【解答】解：由线段AB＝6cm，若M是AB的三等分点，得AM＝2cm，或AM＝4cm．当AM＝2cm时，由N是AM的中点，得MN＝AM＝×2＝1（cm）；当AM＝4cm时，由N是AM的中点，得MN＝AM＝×4＝2（cm）；故答案为：1cm或2cm．27．如图，线段AB表示一条已经对折的绳子，现从P点处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为30cm．（1）若点P为AB的中点，则对折前的绳长为60cm；（2）若，则对折前的绳长为50或75cm．【分析】（1）当点P为AB的中点，可知对折前的绳长是剪断后的各段绳子中最长的一段的2倍；（2）分类讨论：①2AP是最长的一段，根据AP＝BP，可得PB的长，再根据线段的和差，可得答案；②2PB是最长的一段，根据AP＝BP，可得AP的长再根据线段的和差，可得答案．【解答】解：（1）根据题意可得，对折前的绳长为2×30＝60（cm），故答案为：60．（2）①2AP是最长的一段，AP＝15＝PB，得PB＝15×＝，由线段的和差，得AB＝AP+PB＝15+＝cm，∴原来绳长为2AB＝75cm，②2PB是最长的一段，由题意PB＝15，∴AP＝×15＝10cm，由线段的和差，得AB＝AP+PB＝10+15＝25cm，∴原来绳长为50cm，综上所述：原来绳长为50或75．故答案为：50或75．28．已知，线段AB＝16，M是线段AB的中点，P是线段AB上任意一点，N是线段PB的中点．（1）当P是线段AM的中点时，求线段NB的长；（2）当线段MP＝2时，求线段NB的长．（3）若点P在线段BA的延长线上，求线段PA与线段MN的数量关系．【分析】根据题中所给条件，画出相应的图形，根据线段的和差分别计算即可．【解答】解：（1）如图：∵M是线段AB的中点，AB＝16，∴AM＝AB＝8，∵P是线段AM中点，∴AP＝AM＝4，∴PB＝A