专题05勾股定理中的最值问题

专题五勾股定理中的最值问题考点一将军饮马问题【方法点拨】运用“两定一动”的模型求最值。1．如图，河边有A，B两个村庄，A村距河边10m，B村距河边30m，两村平行于河边方向的水平距离为30m，现要在河边建一抽水站E，需铺设管道抽水到A村和B村．（1）要使铺设管道的长度最短，请作图找出水站E的位置（不写作法）（2）若铺设管道每米需要500元，则最低费用为多少？【思路点拨】（1）先求出点A关于河流的对称点A′，然后连接A′B，与河流的交点E即为所求作的抽水站的位置．利用勾股定理求出A′B即为铺设管道的最短距离．（2）运用费用＝米数×每米的钱数．【解析】解：（1）如图所示，抽水站修在点E处才能使所需的管道最短．先求出点A关于河流的对称点A′，然后连接A′B，与河流的交点E即为所求作的抽水站的位置．作BC垂直于河，A′C平行河．∵两村的水平距离为30米，∴A′C＝30米．∵A村距河边10米，B村距河边30米，∴BC＝10+30＝40（米）．∴A′B=30（2）最低费用为：50×500＝25000（元）．【点睛】本题主要考查了作图﹣应用与设计作图，解题的关键是利用了轴对称的性质求解．2．如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC＝10千米，BD＝30千米，且CD＝30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？【思路点拨】此题的关键是确定点M的位置，需要首先作点A的对称点A′，连接点B和点A′，交l于点M，M即所求作的点．根据轴对称的性质，知：MA+MB＝A′B．根据勾股定理即可求解．【解析】解：作A关于CD的对称点A′，连接A′B与CD，交点CD于M，点M即为所求作的点，则可得：DK＝A′C＝AC＝10千米，∴BK＝BD+DK＝40千米，∴AM+BM＝A′B=302总费用为50×3＝150万元．【点睛】此类题的重点在于能够确定点M的位置，再运用勾股定理即可求解．3．如图，A，B两个工厂位于一段直线形河的异侧，A厂距离河边AC＝5km，B厂距离河边BD＝1km，经测量CD＝8km，现准备在河边某处（河宽不计）修一个污水处理厂E．（1）设ED＝x，请用x的代数式表示AE+BE的长；（2）为了使两厂的排污管道最短，污水厂E的位置应怎样来确定此时需要管道多长？（3）通过以上的解答，充分展开联想，运用数形结合思想，请你猜想x2+4+(12-x【思路点拨】（1）∵ED＝x，AC⊥CD、BD⊥CD，故根据勾股定理可用x表示出AE+BE的长；（2）根据两点之间线段最短可知连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置．过点B作BF⊥AC于F，构造出直角三角形，利用勾股定理求出AB的长；（3）根据AE+BE=(8-x)2+25+【解析】解：（1）在Rt△ACE和Rt△BDE中，根据勾股定理可得AE=(8-x)2∴AE+BE=(8-（2）根据两点之间线段最短可知连接AB与CD的交点就是污水处理厂E的位置．过点B作BF⊥AC于F，则有BF＝CD＝8，BD＝CF＝1．∴AF＝AC+CF＝6．在Rt△ABF中，BA=AF∴此时最少需要管道10km．（3）根据以上推理，可作出下图：设ED＝x．AC＝3，DB＝2，CD＝12．当A、E、B共线时求出AB的值即为原式最小值．当A、E、B共线时x2+4+(12-【点睛】本题是一道生活联系实际的题目，综合性较强，综合利用了勾股定理，及用数形结合的方法求代数式的值的方法，有一定的难度．4．恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷（A）和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路X同侧，AB＝50km，A、B到直线x的距离分别为10km和40km，要在沪渝高速公路旁修建一服务区P，向A、B两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（AP与直线X垂直，垂足为P），P到A、B的距离之和S1＝PA+PB，图（2）是方案二的示意图（点A关于直线X的对称点是A'，连接BA'交直线X于点P），P到A、B的距离之和S2＝PA+PB．（1）求S1、S2，并比较它们的大小；（2）请你说明S2＝PA+PB的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路Y与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，B到直线Y的距离为30km，请你在X旁和Y旁各修建一服务区P、Q，使P、A、B、Q组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．【思路点拨】（1）根据勾股定理分别求得S1、S2的值，比较即可；（2）在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA'，由轴对称知MA＝MA，∴MB+MA＝MB+MA'＞A'B，∴S2＝BA'为最小；（3）过A作关于X轴的对称点A'，过B作关于Y轴的对称点B'，连接A'B'，交X轴于点P，交Y轴于点Q，求出A'B'的值即可．【解析】解：（1）图（1）中过B作BC⊥X于C，垂足为C；AD⊥BC于D，垂足为D，则BC＝40，又∵AP＝10，∴BD＝BC﹣CD＝40﹣10＝30．在△ABD中，AD=502在Rt△PBC中，∴BP=CS1=402图（2）中，过B作BC⊥AA′垂足为C，则A′C＝50，又∵BC＝40，∴BA'=40由轴对称知：PA＝PA'，∴S2＝BA'=1041∴S1＞S2．（2）如图（2），在公路上任找一点M，连接MA，MB，MA'，由轴对称知MA＝MA'，∴MB+MA＝MB+MA'＞A'B，∴S2＝BA'为最小．（3）过A作关于X轴的对称点A'，过B作关于Y轴的对称点B'，连接A'B'，交X轴于点P，交Y轴于点Q，则P，Q即为所求．过A'、B'分别作X轴、Y轴的平行线交于点G，B′G＝40+10＝50，A′G＝30+30+40＝100，A'B'=100∴AB+AP+BQ+QP＝AB+A′P+PQ+B′Q＝50+505，∴所求四边形的周长为50+505【点睛】此题考查了线路最短的问题，确定动点为何位置是关键，综合运用勾股定理的知识．考点二立体图形中的最短距离问题【方法点拨】将立体图形转化为平面图形，运用“两点之间线段最短”原理求最值。1．如图，一只蚂蚁从长宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（）A．32+8 B．10 C．14 D【思路点拨】根据”两点之间线段最短”，将点A和点B所在的两个面进行展开，展开为矩形，则AB为矩形的对角线，即蚂蚁所行的最短路线为AB．【解析】解：将点A和点B所在的两个面展开，则矩形的长和宽分别为6和8，故矩形对角线长AB=62即蚂蚁所行的最短路线长是10．故选：B．【点睛】本题的关键是将点A和点B所在的面展开，运用勾股定理求出矩形的对角线．2．有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计）要求木条不能露出木箱．请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（）A．41cm B．34cm C．52cm D．5【思路点拨】根据题意构建直角三角形，直角边分别为木箱的高、底面的对角线，据此根据勾股定理求出木条的最大长度．【解析】解：由题意可知FG＝5cm、EF＝4cm、CG＝3cm，连接EG、CE，在直角△EFG中，EG=EF2在Rt△EGC中，EG=41cm，CG＝3cm由勾股定理得CE=EG2+CG故选：C．【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．3．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．521 B．25 C．105+5 D．【思路点拨】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【解析】解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，（1）如图，BD＝10+5＝15，AD＝20，由勾股定理得：AB=AD2（2）如图，BC＝5，AC＝20+10＝30，由勾股定理得，AB=AC2+（3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=BD2由于25＜529＜537故选：B．【点睛】本题是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．4．如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为1.3m（容器厚度忽略不计）．【思路点拨】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解析】解：如图：∵高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，∴A′D＝0.5m，BD＝1.2﹣0.3+AE＝1.2m，∴将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′B，则A′B即为最短距离，A′B==0.5＝1.3（m）．故答案为：1.3．【点睛】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．5．如图所示，长方体中AD＝2.5，DC＝1.5，AF＝3，若在长方体表面上有一只蚂蚁从点A爬到点G处，则蚂蚁爬过的最短路程为5.14．【思路点拨】将长方体盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案．【解析】解：第一种情况：如图1，把我们所看到的上面和后面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是4.5和2.5，则所走的最短线段AG=4．第二种情况：如图2，把我们看到的左面与后面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是5.5和1.5，所以走的最短线段AB=5．第三种情况：如图3，把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是5.5和1.5，所以走的最短线段AB=5．三种情况比较而言，第一种情况最短．故答案为：5.14．【点睛】此题考查了平面展开﹣最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键．6．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要10cm；如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，那么所用细线最短需要29+16n2【思路点拨】将长方体展开，根据两点之间线段最短，可知所用细线最短长度．【解析】解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，AB=82+6如果从点A开始经过4个侧面缠绕n圈到达点B，相当于直角三角形的两条直角边分别是8n和6，根据勾股定理可知所用细线最短需要62+(8n)2故答案为：10；29+16n【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，是一道趣味题，将长方体展开，根据两点之间线段最短，运用勾股定理解答即可．7．如图，有一个圆柱，它的高为13cm，底面周长为10cm，在圆柱的下底面上A点处有一个蚂蚁想吃到离上底面1cm处的B点的食物，需爬行的最短距离为13cm．【思路点拨】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【解析】解：把题中的圆柱沿着A点所在的母线剪开，其展开图为一个矩形，如图所示：由图根据勾股定理得：AB=52+故需爬行的最短距离为13cm．【点睛】圆柱的侧面展开为矩形，关键是在矩形上找出A和B两点的位置，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．8．如图，圆柱体的高为12cm，底面周长为10cm，圆柱下底面A点除有一只蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短路径是13cm．【思路点拨】要求需要爬行的最短路径首先要把圆柱的侧面积展开，得到一个矩形，然后利用勾股定理求两点间的线段即可．【解析】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到如图所示的图形，其中AC＝5cm，BC＝12cm，在Rt△ABC中，AB=52故答案为13【点睛】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，解题的关键是理解要求需要爬行的最短路径首先要把圆柱的侧面积展开，底面周长和高以及所走的路线构成一个直角三角形，然后再求线段的长．9．边长分别为4cm，3cm两正方体如图放置，点P在E1F1上，且E1P=13E1F1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P【思路点拨】求出两种展开图PA的值，比较即可判断；【解析】解：如图，有两种展开方法：方法一：PA=72方法二：PA=82故需要爬行的最短距离是65cm．【点睛】本题考查平面展开﹣最短问题，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．10．如图所示是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别等于55cm、10cm、6cm，A和B是这两个台阶的两个相对的端点，则一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有多长？【思路点拨】展开后得到直角三角形ACB，根据题意求出AC、BC，根据勾股定理求出AB即可．【解析】解：展开后由题意得：∠C＝90°，AC＝3×10+3×6＝48，BC＝55，由勾股定理得：AB=AC2答：一只蚂蚁从点A出发经过台阶爬到点B的最短路线有73cm．【点睛】本题主要考查对勾股定理，平面展开﹣最短路径问题等知识点的理解和掌握，能理解题意知道是求出直角三角形ABC的斜边AB的长是解此题的关键．11．葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘上升的路线，总是沿着最短路线﹣﹣盘旋前进的．难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，你能设计一种方法解决下列问题吗？（1）如图，如果树的周长为3cm，从点A绕一圈到B点，葛藤升高4cm，则它爬行路程是多少厘米？（2）如果树的周长为8cm，绕一圈爬行10cm，则爬行一圈升高多少厘米？如果爬行10圈到达树顶，则树干高多少厘米？【思路点拨】（1）（2）立体图形转化为平面图形，利用勾股定理解决问题即可；【解析】解：（1）如果树的周长为3cm，绕一圈升高4cm，则葛藤绕树爬行的最短路线为：32+（2）如果树的周长为8cm，绕一圈爬行10cm，则爬行一圈升高为：102-8则树干高为：10×6＝60厘米．【点睛】本题考查平面展开﹣最短问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．12．我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？【思路点拨】根据题意画出图形，再根据勾股定理求解即可．【解析】解：如图所示，在如图所示的直角三角形中，∵BC＝20尺，AC＝5×3＝15尺，∴AB=15答：葛藤长为25尺．【点睛】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，此类问题应先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．13．庆安中学要举办第四届运动会，现需装饰一根高为9米，底面半径为2π米的圆柱，如图，点A、B分别是圆柱两底面圆周上的点，且A、B在同一母线上．用一根彩带（宽度不计）从点A顺着圆柱侧面绕3圈到点B【思路点拨】求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将圆柱体展开，然后利用两点之间线段最短解答．【解析】解：圆柱体的展开图如图所示，用一棉线从A顺着圆柱侧面绕3圈到B的运动最短路线是：AC→CD→DB，即在圆柱体的展开图长方形中，将长方形平均分成3个小长方形，A沿着3个长方形的对角线运动到B的路线最短，∵圆柱底面半径为2πcm∴长方形的宽即是圆柱体的底面周长＝2π×2π=又∵圆柱高为9cm，∴小长方形的一条边长是3cm，根据勾股定理求得AC＝CD＝DB＝5cm，∴AC+CD+DB＝15cm，答：这根棉线的长度最短是15cm．【点睛】本题主要考查了圆柱的计算、平面展开﹣路径最短问题．圆柱的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于圆柱底面周长，长方形的长等于圆柱的高．解题的关键就是把圆柱的侧面展开成长方形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．考点三其它最值问题【方法点拨】根据具体的图形，采用具体的方法求最值。1．△ABC中，AB＝CB，AC＝10，S△ABC＝60，E为AB上一动点，连结CE，过A作AF⊥CE于F，连结BF，则BF的最小值是7．【思路点拨】过B作BD⊥AC于D，根据S△ABC＝60，计算BD的长，由∠AFC＝90°，可知F在以AC为直径的圆上，由三角形三边关系得：BF+DF＞BD，则当F在BD上时，BF的值最小，求BF'的长即可．【解析】解：过B作BD⊥AC于D，∵AB＝BC，∴AD＝CD=12AC＝∵S△ABC＝60，∴12×ACBD＝12，∵AF⊥CE，∴∠AFC＝90°，∴F在以AC为直径的圆上，∵BF+DF＞BD，且DF＝DF'，∴当F在BD上时，BF的值最小，此时BF'＝12﹣5＝7，则BF的最小值是7，故答案为：7．【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质、圆周角定理、三角形面积，确定BF的最小值时点F的位置是关键．2．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，延长BC至D使CD＝BC，连接AD．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）若E为线段CD的中点，且AD＝4，点P为线段AC上一动点，连接EP，BP．①求EP+12②求2BP+AP的最小值．【思路点拨】（1）根据线段的垂直平分线的性质定理，可得AD＝AB，只要证明∠B＝60°即可解决问题．（2）①如图1中，作PF⊥AB于F，EF′⊥AB于F′，交AC于P′．由∠PAF＝30°，∠PFA＝90°，推出PF=12PA，推出PE+12PA＝PE+PF，所以当E、P、F共线时，即EF′⊥AB时，PE+PF最短，最小值为线段②如图2中，作PF⊥AD于F，EF′⊥AD于F′，交AC于P′．由∠PAF＝30°，∠PFA＝90°，推出PF=12PA，推出2BP+AP＝2（PB+12PA）＝2（PB+PF），所以当B、P、F共线时，即BF′⊥AD时，PB+PF最短，最小值为线段【解析】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∠BAC＝30°∴AC⊥BD，∠B＝60°∵DC＝CB，∴AD＝AB，∵∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形．（2）①如图1中，作PF⊥AB于F，EF′⊥AB于F′，交AC于P′．∵∠PAF＝30°，∠PFA＝90°，∴PF=12∴PE+12PA＝PE+∴当E、P、F共线时，即EF′⊥AB时，PE+PF最短，最小值为线段EF′，在Rt△EF′B中，∵∠B＝60°，EB＝3，∴EF′＝EB•sin60°=3∴EP+12AP的最小值为②如图2中，作