2.4.2-圆的一般方程-课件

第二章2.4.2圆的一般方程1.掌握圆的一般方程及其特点；2.会将圆的一般方程化为圆的标准方程，并能熟练地指出圆心的位置和半径的大小；3.能根据某些具体条件，运用待定系数法确定圆的方程.问题导学题型探究达标检测学习目标问题导学

新知探究点点落实知识点圆的一般方程思考1方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，x2＋y2－2x＋4y＋6＝0分别表示什么图形？答案对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，表示以(1，－2)为圆心，半径为2的圆，方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1不表示任何图形.思考2对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆？当D2＋E2－4F>0时，方程条件图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点

D2＋E2－4F>0表示以

为圆心，以

为半径的圆题型探究

重点难点个个击破类型一圆的一般方程的概念例1若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求实数m的取值范围，并写出圆心坐标和半径.解由表示圆的条件，得(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)>0，反思与感悟形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义，令D2＋E2－4F>0成立，则表示圆，否则不表示圆，(2)将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解.跟踪训练1

(1)若方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)表示圆，则圆心坐标和半径分别为________________；解方程2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)(2)点M、N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M、N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为_____.由圆的性质知直线x－y＋1＝0经过圆心，∴该圆的面积为9π.9π类型二

求圆的一般方程例2已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1).(1)求△ABC的外接圆的方程；解设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意得即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值.解

由(1)知，△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6.反思与感悟应用待定系数法求圆的方程时，(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.跟踪训练2

求经过点A(－2，－4)且与直线x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程.解设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由题意得类型三与圆有关的轨迹方程例3已知点P在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程.解设点M(x，y)，点P(x0，y0)，∵点P(x0，y0)在圆C：x2＋y2－8x－6y＋21＝0上，∴(2x)2＋(2y)2－8×(2x)－6×(2y)＋21＝0.反思与感悟用代入法求轨迹方程的一般步骤跟踪训练3已知圆O的方程为x2＋y2＝9，求经过点A(1,2)的圆的弦的中点P的轨迹.解设动点P的坐标为(x，y)，当AP斜率不存在时，中点P的坐标为(1,0).当AP的斜率存在时，设过点A的弦为MN，且M(x1，y1)，N(x2，y2).∵M，N在圆O上，又∵点P为中点，又∵M，N，A，P四点共线，∴中点P的轨迹方程是x2＋y2－x－2y＝0，经检验，点(1,0)适合上式.综上所述，123达标检测

451.圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心坐标为(

)A.(1,2) B.(1，－2)

C.(－1,2) D.(－1，－2)

解析将圆的方程化为标准方程：(x－1)2＋(y＋2)2＝5，可知其圆心坐标是(1，－2).B123452.将圆x2＋y2－2x－4y＋1＝0平分的直线是(

)A.x＋y－1＝0 B.x＋y＋3＝0C.x－y＋1＝0 D.x－y＋3＝0解析因为圆心是(1,2)，所以将圆心坐标代入各选项验证知选C.C123453.方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一个圆，则m的取值范围是(

)解析由D2＋E2－4F＞0，得(－1)2＋12－4m＞0，B123454.已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径为

，求圆的一般方程.12345因为圆心在直线x＋y－1＝0上，所以圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.123455.如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹.12345解设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，于是有x0＝8－x

，y0＝6－y.①因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.所以，点B的轨迹是以(9,6)为圆心，半径长为2的圆.规律与方法1.判断二元二次方程表示圆要“两看”：一看方程是否具备圆的一般方程的特征；二看它能否表示圆.此时判D2＋E2－4F是否大于0；或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数.2.待定系数法求圆的方程如果已知