山西省2023-2024学年高二年级上册1月期末质量检测数学试题

山西省2023-2024学年高二上学期1月期末质量检测数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.集合A={3,4},6=k|2G<4,xcN},则（）

A.（2,3）B.{2,3}C.（3,4）D.{3,4}

2.已知复数z满足（Z-1）2=-4,则复数z的模为（）

A.2B.x/5C.y/1D.2>/2

3.下列说法中，正确的是（）

A.数列2,4,6,8可表示为集合{2,4,6,8}

B.数列123,4与数列4,321是相同的数列

C.数列{〃?+〃}的第2项为,F+攵

D.数列0,123,4,••可记为{〃}

4.若函数/（x）=lnx-2x+l,则r（g）=（）

A.0B.gC.-

22

5.若a£（0,TT）,且2sina-cosa=1,则—-------------j—=（

2sinacosa-cosa

25n5八5

AA.—B.-C.—

3933

6.已知半径为1的圆经过点（草），其圆心到直线3x+4y+3=0的距离的最大值为（）

57

A.-B.-C.2D.3

22

41

7.己知公差不为0的等差数列{4}满足/+%,=2牝，则嬴}+］的最小值为（）

A.1B.-C.-D.2

44

8.已知函数/（x）=2x-sinx+cosr,若ae（0,l）,则下列式子大小关系正确的是（）

A.J/（a）而）B.而）<v"（a）

C.</（而）<f（a）D./（a）<〃（a）vf（石）

二、多选题

9.下列通项公式中，对应的数列是递增数列的是（）

2

A.an=n+n,neN*B.an=3-n,neN

1〃+l,〃M2

C.物,〃eND.aN

n22〃>2

10.2023年7月31日国家统计局发布了制造业采购经理指数（PMD如下图所示:

7月月月月月月1月月月月月月月

则下列说法正确的是（）

A.从2022年7月到2023年7月，这13个月的制造业采购经理指数（PMI）的极

差为5.8%

B.2023年7月份，制造业采购经理指数（PM1）为49.3%,比上月上升0.3个百

分点

C.从2023年1月到2023年7月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）的第

71百分位数为50.1%

D.从2022年7月到2022年12月，这6个月的制造业采购经理指数（PMI）的平

均数约为48.78%

11.已知正四棱锥尸-A8C力的底边长为2,高为2,且各个顶点都在球。的球面上，则

下列说法正确的是（）

A.直线始与平面A8CO所成角的余弦值为立

3

B.平面ABCD截球。所得的截面面积为&兀

C.球。的体积为三

D.球心。到平面E4O的距离为越

10

12.已知居为双曲线「三■-匕=l（a>0）的左、右焦点，尸为平面上一点，若

八/A

试卷第2页，共4页

两尸5=0,贝|J()

A.当户为双曲线「上一点时，耳居的面积为4

B.当点P坐标为(0,2&)时,a=2

C.当P在双曲线「上，且点尸的横坐标为土店时，「的离心率为石

D.当点尸在第一象限且在双曲线「上时，若△PK乃的周长为勿+4c,则直线OP

的斜率为G

三、填空题

13.设单位向量9的夹角的余弦值为-；，则(2。-今(。+6)=.

14.已知抛物线C：V=4x的焦点为产，点8(3,-1),若点A为抛物线上任意一点，当

MM+|A尸|取最小值时，点A的坐标为.

15.某市举办花展，园方挑选红色、黄色、白色鲜花各1盆，分别赠送给甲、乙、芮三

人，每人1盆，则甲没有拿到白色鲜花的概率是.

16.若存在实数方使得e"+〃eKo+lnZ?+3,则a+/?e的值为.

四、解答题

17.已知函数/(x)=gv+纨22x,且x=l,x=3为极值点.

⑴求实数〃力的值；

(2)判断x-Lx-3是极大值点还是极小值点，并分别求出极大值与极小值.

18.已知出BC的内角A&C的对边分别为。也c,且

sinA-|a+—c|+sinC-|<?+，〃]=sin4b.

I2)I2)

⑴求角B；

(2)设。是边AC上一点，8力为角平分线且AO=20C,求cosA的值.

2

19.已知数列｛4｝,且log2q+log2a2+・・+log24=".

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列｛〃・&｝的前〃项和7；.

20.如图，在直四棱柱ABCD-ABQQ中，ADf/BC,%。与AC相交于点。,NBA。=90。,

AO=A4,=2A8=4BC=4,P为线段A。上一点，且

⑴求证：OP〃平面BAG；

⑵求平面BA,C,与平面ACD)的夹角的余弦值.

21.已知函数/(x)=lnr,g(%)=x-l.

⑴证明：/(x)<^(x)；

⑵设/?G)=/(x)-g(x),求证：对任意的0<分<〃，都有良止”!>一1—］成立.

a-ba+b

22(f7\

22.已知椭圆。*+方=13>6>0)的长轴长为2石，点T号在椭圆C上.

⑴求椭恨IC的方程；

(2)设/”4是经过椭圆C下顶点的两条直线，4与椭圆C相交于另一点与圆

f+丁=1相交于另一点%,若4的斜率不等于0,6的斜率等于4斜率的3倍，证明:

直线MN经过定点.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.D

【分析】先解指数不等式化简集合3,再利用集合的交集运算即可得解.

【详解】由2G<4=22，得0«石二1<2,解得1"<5,

因为xtN,所以B={1,2,3,4},

又4={3,4},所以ACB={3,4}.

故选：D.

2.B

【分析】根据复数的定义求出z,从而求出其模.

【详解】因为(z-l)2=-4,Xi2=-1,所以z—l=±2i,

所以z=1±2i,所以|z|=-712+22=逐或=并十(-2)2=y/5.

故选：B

3.C

【分析】利用数列定义即可逐个选项判断即可得解.

【详解】对于A,由数列的定义易知A错误；

对于B,两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误；

对于C,数列{/+〃}的第2项为公+攵，故C正确；

对于D,因为OeN,所以〃eN,这与数列的定义不相符，故D错误.

故选：C.

4.A

【分析】求导，再令x=g即可得解.

【详解】rw=i-2,

所以r(g)=2—2=0.

故选：A.

5.B

【分析】先根据已知结合平方关系求出sina,cosa,再代入即可得解.

【详解】因为2sina-cosa=1,所以cosa=2sina-l,

又sin2a+cos2a=1>

答案第1页，共14页

所以sin2a+（2sina-l）~=1»即5sin2a-4sina=0,

43

又ae(0,7t),所以sina=1，所以cosa=1，

11=5

所以2sinacosa-cos2a2493.

25-25

故选：B.

6.D

【分析】设圆的圆心为(x,y),即可得到圆的圆心的轨迹方程，求出点(1,1)到直线

3x+4y+3=0的距离，即可得解.

【详解】设圆的圆心为(x,y),则(x—lf+(y-1)2=1,即圆的圆心的轨迹是以(1,1)为圆心，

1为半径的圆.

其中点(1,1)到直线3x+4y+3=0的距离4=琮詈1=2,

则圆心到直线3x+4y+3=0的距离的最大值为d+l=3.

故选：D

7.C

【分析】先通过等差数列的性质得到m+P=l。，再利用基本不等式中1的妙用来求解最值.

【详解】根据等差数列性质可得卅+〃=10,

则(m+2)+〃=12,

(41V_1(4〃mI2^1II4pI2)3

+—=+—W+2+p)x=—5+—f—+>—5+2J—L-----------=-

(m+2---p)\2\m+2-p,12(m+2p)12|[m+2p)4

当且仅当37=竺S，即〃=4,机=6时，取“=”号.

m+2p

故选：C.

8.A

【分析】求导得到函数单调性，结合而>a得到/(石)>/(。)，由函数单调性得到

/(x)€(l,2-sinl+cosl),故从而得到"(a)<f(a)，得到答案.

答案第2页，共14页

【详解】/'")=2-8$工一$而1=2-&85卜一：卜0在3£(0,1)上恒成立，

故/(%)=21-5加+8牍在大£(0,1)上单调递增，

因为ae(O,l),故而«0,1),所以石一。二石(1一石)>0,故而>a,

所以/(而)>/(a),

当xw(0,l)时，/(x)e(/(0),/(l))=(l,2-sinl+cosl),

故则4(a)-/(。)="3)0-"⑻)<。，

故"(a)〈/(a)，

综上，J/(a)</(a)</(而),A正确.

故选：A

9.AD

【分析】根据对于一次函数，二次函数及指数函数的单调性逐一判断即可.

【详解】对于A,因为勺=〃+〃2=(〃+gJ-；,〃wN',

由二次函数的单调性可得数列为递增数列；

对于B,因为a.=3-〃,N*,

由一次函数的单调性可得数列是递减数列；

对于C,因为为二/,〃wN",

由指数函数的单调性可得数列是递减数列；

,[n+l,n<2.

对于D，因为与=，"」〃>2'"eN，

当〃W2时，数列是递增数列，

当〃>2时，数列为递增数列，

而6=4>3=，，所以数列是递增数列.

故选：AD.

10.BCD

【分析】根据折线图中的数据，结合极差、平均数、百分位数定义与计算方法逐一判断即可.

答案第3页，共14页

【详解】由图知，制造业采购经理指数（PM【）的最大值为52.6%,最小值为47.0%,

所以极差为52.6%-47.0%=5.6%,故A错误；

由图可知，2023年7月份，制造业采购经理指数（PMI）为49.3%,6月份为49.0%,

则7月比6月上升个0.3百分点，故B正确；

从2023年1月到2023年7月，这7个月的制造业采购经理指数（PMI）从小到大的顺序为

48.8%,49.0%,49.2%,49.3%,50.1%,51.9%,52.6%,

因为7x71%=0.497,

所以第71百分位数为第5个数，即为50.1%,故C正确；

由图可知

从2022年7月到2022年12月，这6个月的制造业采购经理指数（PMI）的平均数为

49.0%+49.4%+50.1%+49.2%+48.0+47.0%……〜工

---------------------------------------------------------------=48.78%,故D正确.

6

故选：BCD.

11.ACD

【分析】在直角▲尸。求得可判定A正确；设正四棱锥尸-ABCD外

PA

接球。的半径为R,得到平面A8CD截球。所得的截面圆的半径为「=血，可得判定B错

误；求得由外接球。的半径为R=1,结合球。的体积，可判定C正削；设等腰二P4O的外

3

接圆的圆心E,外接圆的半径为/•=而，结合球的性质，可判定D正确.

【详解】如图所示，因为正四棱锥P-ABC。的底边长为2,高为2,且各个顶点都在球。的

球面上，

连接AC,B。，且ACc8O=q,则PQ1平面ABCQ,世=2,

对于A中，在直角/。①，AO、=；AC=0,PO\=2,可得PA=y/PO；+W=瓜,

所以cosNPA«=给=巡，所以A正确；

对于B中，设正四棱锥P-ABCZ）外接球。的半径为R,

在直角△OOJ中，OA=Rg=2-R,AO[=丘,

可得OA2=OO：+AO12,即火2=（2—R）2+（&）2,解得R=2,

则平面A5CO截球。所得的截面圆的半径为r=AQ=丘,

答案第4页，共14页

所以截面圆的面积为小=〃（夜）2=2兀，所以B错误；

对于C中，由外接球0的半径为R=］所以球0的体积为V兀N=%X4）3=W，

23322

所以C正确；

对于D中，设等腰▲PAD的外接圆的圆心E,外接圆的半径为广，

取AO的中点尸，连接尸尸,AE,则点£在P尸上，且PF=6,

3

在直角△A"'中，可得AE'AFjEU，即产=『+（逐一"2,解得「=

根据球的性质，可得OEJL平面PA。，

在直角△POE中，可得OE=dPO2-PE2

即球心0到平面PAD的距离为也，所以D正确.

10

故选：ACD.

12.ABD

【分析】依题意可得azp6为直角三角形，设归用=机，|P周二〃，利用勾股定理及双曲

线的定义求出机〃，即可判断A,对称性可知.PO6为等腰直角三角形，即可求出。，从而

得到〃，即可判断B,曲线V+y2=c2与双曲线的交点即为尸，联立双曲线方程，求出

即可求出c?,从而求出〃2,即可判断C,由双曲线的定义及所给条件求出|即|二c,即可得

到一尸0鸟为等边三角形，从而判断D.

【详解】因为尸为平面上一点，且P/P月=0,所以为直角三角形，

设|P£|=m,|尸段二〃，在△匕桃中由勾股定理可得病+"=402①，

由双曲线的定义可得何-=勿②，

答案第5页，共14页

②式的平方减①式可得-2〃?〃=4^-4。2=-16,所以S△"内=g〃〃?=4,故A正确；

由对称性可知▲尸。玛为等腰直角三角形，因此c=20，又＜?=〃+"且"=2,

所以。=2,故B正确；

因为PK-PE=°，所以点尸在以耳工为直径的圆上，所以该圆的圆心为原点，半径为。，

即曲线/+丁2=,2与双曲线的交点即为4由/旷2,

—7---=1

a24

则/=/+竺=。2-4=15,即c?=16（负值舍去），所以/=。2一4=12,

CC

所以离心率e=£=亚，故C错误；

a3

由题意可知|P制一|%|=2,忸耳+|%|=2+2,则忸6|=c,

所以|凹=|%|二|*|=c,即-P0鸟为等边三角形，则直线。尸的斜率为故D正确.

故选：ABD

【点睛】关键点睛：本题关键是双曲线的定义及性质的应用，双曲线上一点与两焦点构成的

三角形，称为双曲线的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦

定理、||p61Tp闾|=2,得到*C的关系..

13.-/0.5

2

【分析】利用向量的数量积的运算法则直接计算即可得解.

【详解】因为单位向Ma,6的夹角的余弦值为-；，则cos卜

所以4»=卜帆85},力〉=_：,

则（2a-匕）.（a+b）=2a+ab-b=2--\=^.

故答案为：-j.

【分析】首先得到抛物线的焦点坐标与准线方程，过点A作AC垂直准线交于点C,由抛物

线的定义可得|4耳=|4。，即可得到48平行于x轴时卜用+卜尸|取最小值，从而求出A点坐

标.

答案第6页，共14页

【详解】抛物线C:y2=4x的焦点为尸(1,0),准线方程为x=-l,

过点A作AC垂直准线交于点C,则

所以|A5|+|AP|=|阴十|AC|N忸Q当且仅当B、A、C三点共线时取等号,

即A8平行于x轴时|4却+|从网取最小值，此时以=7,贝叫—1)2=4乙，即以=：,

所以

故答案为：(；，一)

⑸5

【分析】根据题意甲、乙、丙三人拿到白色鲜花的概率相等，都为g,进而求出甲没有拿到

白色鲜花的概率.

【详解】设事件A为甲拿到白色鲜花，

根据题意有红色、黄色、白色鲜花各1盆，分别赠送给甲、乙、丙三人，每人1盆，

甲、乙、丙三人拿到白色鲜花的概率相等，都为：，

所以P(A)二铲则甲没有拿到白色鲜花的概率P(可=1-P(A)=1

故答案为：:.

16.1

【分析】利用同构法将不等式转化为e"+eE"i<〃+lnb+3,再利用导数证得e，Nx+1,进

而得到e°+e3匕a+lnb+3,从而求得。，力的值,由此得解.

【详解】因为e\加Va+lnb+3,所以Sa+lnb+3,

令/(x)=e、7—I,贝1］八#=1-1,

当x<0时，/'(x)<0"(x)单调递减;

答案第7页，共14页

当x>0时，/(幻>0,/(幻单调递增；

所以/(幻2/(0)=0,可得e'Nx-1,

所以e”之Nlnb+1+l,即e“+ei3>a+\nb+3,

当且仅当。=0,In人+1=0,即6=1时等号成立，

e

又e、e的<a+ln^+3,所以e0=。+皿〃+3,

故。=0,6=」，此时a+be的值为1.

e

故答案为：1.

【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式：

(I)lnx<x—1；(2)ev>x+l.

17.⑴。=-2,6=3

(2)答案见解析

17'⑴=。

【分析】(1)由题意可得八，即可得解；

|7(3)=。

(2)根据极大值点，极小值点的定义即可判断出极大值点和极小值点，进而可求出极大值

和极小值.

【详解】(1)f(x)=x2+2^x+b,

因为x=l,x=3为函数的极值点，

[1+2^+b-O(a--2

所以QAA八，解得,2，

[9+6a+b=0[b=3

经检验符合题意，所以。=-2,6=3；

(2)由(I)得=_2/+3X,/'(力=/一以+3,

当x<l或x>3时，当1cx<3时，r(x)<0,

所以函数/(力在(-8,1),(3,g)上单调递增，在(1,3)上单调递减，

所以X=1为极大值点，极大值为"1)=；,

元=3为极小值点，极小值为43)=0.

答案第8页，共14页

18.⑴8=T

⑵”

【分析】(1)根据siM(a+3c)+sinc(c+ga)=sinB力，利用正弦定理得至1]/+/+。。=廿，

再利用余弦定理求解；

(2)在"1BC中，^ABC=^,AD=2DCf得到％曲=2S^e,再由8。为角平分线，得

到。二为，然后利用余弦定理求解.

【详解】(1)解•：由正弦定理得a(a+；c)+c(c+；a)=/,

a2+c2+ae=b2,

利用余弦定理可知cosB=""一"=

2ac2

因为5c(0,九)，所以B=与；

(2)在金C中，ZABC=y.AD=2DCt

所以S&ABD=2s△sc。，

即gc•BDsin^ABD=2.；a•BDsin/CBD,

因为80为角平分线，所以sinN45O=sin/CBO,所以。=2a,

由余弦定理，得b2=〃2+c2-2ac8s/A8C=7a2,

则b=J7a,

因此COSAJ+C〜、9.

2bc14

19.(l)«.=2"v

(2)7；=(//-1).2rt+,+2

【分析】(1)分类讨论〃22与〃=1,利用作差法即可得解;

(2)利用错位相减法即可得解.

2

【详解】(I)因为Iog24+log?。2+…+log24"=":"，

答案第9页，共14页

当〃22时，log24+log,a2+••+log2%=-----------------，

两式相减，得Iog2an-""—=n,贝ljan=2",

当〃=1时，log2al=1,则4=2,满足上式，

所以q=2".

(2)由(1)得〃q=〃-2",

所以［=1x2+2x22+3x23++"2,

则27；=1x22+2x23+3x2"++w-2n+,,

23nrt+,rt+,

两式相减，W-7；,=2+2+2+-+2-n-2=n.2=(1—〃)・2"“一2,

所以7L=(〃TA2"”+2.

20.(1)证明见解析

⑵笄

【分析】(1)根据三角形相似得到照=：,再由得到PO〃AB,即可得证；

DO4PD4

(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.

【详解】(I)因为AO//BC,所以△BOCS/\”A,所以跳=线=1,

DOAD4

又尸为线段A。上一点，且

所以4£=,，在.ABD中PO〃AB,

PD4

又0PO平面网G，A/U平面叫G，

所以。尸〃平面网G.

(2)在直四棱柱ABCO-ABCQ中，■平面ABC。，又N8W=90°,

如图建立空间直角坐标系，则3(2,0,0),4(0,0,4),C,(2,1,4),C(2,l,0),D,(0,4,4)

所以网=(-2,0,4),BC,=(0,1,4),AC=(2,1,0),AD,=(0,4,4),

设平面ACR的一个法向量为q=5,加zj,

答案第10页，共14页

n.■AC-2x.+y,=0

则1,令百=1,可得y=-2,z.=2,

M,ADt=4yt+4z(=0

所以平面ACR的一个法向量4={1,-2,2),

设平面BAG的一个法向量为而二(x,y,z),

tn-BA.=-2x+4z=0

则?令z=l,可得x=2,y=-4,

m-BCi=y+4z=0

所以平面3G的一个法向量为帆=(2,-4,1),

设平面BAG与平面AC。1的夹角的大小为。,

_MT=|2+8+2|二历

所以cos0=|cos勺,zn|

网•闻>/9X\/2T21

即平面网G与平面4cA的夹角的余弦值为声.

21.(1)证明过程见解析

(2)证明过程见解析

【分析】(1)构造新函数，根据导数的性质判断新构造函数的单调性，利用单调性进行运算

证明即可；

(2)根据对数的运算性质，结合分析法、构造函数法进行运算证明口1可.

1―1

【详解】(1)设〃?(x)=g(x)—/(x)=x-l-lnx(x>0)=>m")=l一嚏

当x〉l时，W(x)>0,，〃(x)单调递增，

当Ovxvl时，加(x)<0,m(x)单调递减，所以"心:)1nin=，〃⑴=°，

答案第11页，共14页

于是有"?(x)=g(x)-/a)=l-go=g(x)”(x),即/(x)Wg(x).

(2)要证明)』/〃(")>—!——1成立，

a-ba+b

即证明处二担二归心二色0〉_L_i成立,

a-ba+b

即证明呜-(。叫1成立，

--------------------->-----------1

a-ba+h

l£

也就是证明n%>匚成立，

a-ba+b

J

因为0<6<。，所以原问题就是证明ln/>y=万一成立，

ba+bat.

b

bb

即证明hn>W，也就是证明(-l)lnz>"l