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文档简介
长春市第八十七中学2025届高二上数学期末统考模拟试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图,过抛物线的焦点的直线依次交抛物线及准线于点,若且,则抛物线的方程为()A.B.C.D.2.已知双曲线的左焦点为F,O为坐标原点,M,N两点分别在C的左、右两支上,若四边形OFMN为菱形,则C的离心率为()A. B.C. D.3.已知直线过点,,则直线的方程为()A. B.C. D.4.如图,我市某地一拱桥垂直轴截面是抛物线,已知水利人员在某个时刻测得水面宽,则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为()A. B.C. D.5.设,则“”是“直线与直线”平行的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.即不充分也不必要条件6.已知等比数列各项均为正数,且,,成等差数列,则()A. B.C. D.7.动点到两定点,的距离和是,则动点的轨迹为()A.椭圆 B.双曲线C.线段 D.不能确定8.曲线的一个焦点F到两条渐近线的垂线段分别为FA,FB,O为坐标原点,若四边形OAFB是菱形,则双曲线C的离心率等于()A. B.C.2 D.9.等差数列的首项为正数,其前n项和为.现有下列命题,其中是假命题的有()A.若有最大值,则数列的公差小于0B.若,则使的最大的n为18C.若,,则中最大D.若,,则数列中的最小项是第9项10.在空间直角坐标系中,为直线的一个方向向量,为平面的一个法向量,且,则()A. B.C. D.11.已知双曲线的焦点在y轴上,且实半轴长为4,虚半轴长为5,则双曲线的标准方程为()A.=1 B.=1C.=1 D.=112.数列,,,,,中,有序实数对是()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知等比数列中,则q=___14.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线就是其中之一(如图),给出下列三个结论:①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过;③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3;其中,所有正确结论的序号是________15.已知,且,则的最小值为____________16.已知数列的前的前n项和为,数列的的前n项和为,则满足的最小n的值为______三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知抛物线的焦点为,直线与抛物线交于,两点,且(1)求抛物线的方程;(2)若,是抛物线上一点,过点的直线与抛物线交于,两点(均与点不重合),设直线,的斜率分别为,,求证:为定值18.(12分)已知椭圆的标准方程为:,若右焦点为且离心率为(1)求椭圆的方程;(2)设,是上的两点,直线与曲线相切且,,三点共线,求线段的长19.(12分)已知圆,直线的斜率为2,且过点(1)判断与的位置关系;(2)若圆,求圆与圆的公共弦长20.(12分)设全集U=R,集合A={x|1≤x≤5},集合B={x|2-a≤x≤1+2a},其中a∈R.(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求a的取值范围;(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件,求a的取值范围.21.(12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面积的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大22.(10分)某公司从2020年初起生产某种高科技产品,初始投入资金为1000万元,到年底资金增长50%.预计以后每年资金增长率与第一年相同,但每年年底公司要扣除消费资金x万元,余下资金再投入下一年的生产.设第n年年底扣除消费资金后的剩余资金为万元.(1)用x表示,,并写出与的关系式;.(2)若企业希望经过5年后,使企业剩余资金达3000万元,试确定每年年底扣除的消费资金x的值(精确到万元).
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】如图根据抛物线定义可知,进而推断出的值,在直角三角形中求得,进而根据,利用比例线段的性质可求得,则抛物线方程可得.【详解】如图分别过点,作准线的垂线,分别交准线于点,设,则由已知得:,由定义得:,故在直角三角形中,,,,从而得,,求得,所以抛物线的方程为故选:D2、C【解析】由题意可得且,从而求出点的坐标,将其代入双曲线方程中,即可得出离心率.【详解】由题意,四边形为菱形,如图,则且,分别为的左,右支上的点,设点在第二象限,在第一象限.由双曲线的对称性,可得,过点作轴交轴于点,则,所以,则,所以,所以,则,即,解得,或,由双曲线的离心率,所以取,则故选:C3、C【解析】根据两点的坐标和直线的两点式方程计算化简即可.【详解】由直线的两点式方程可得,直线l的方程为,即故选:C4、D【解析】代入计算即可.【详解】设B点的坐标为,由抛物线方程得,则此时刻拱桥的最高点到水面的距离为2米.故选:D5、D【解析】由两直线平行确定参数值,根据充分必要条件的定义判断【详解】时,两直线方程分别为,,它们重合,不平行,因此不是充分条件;反之,两直线平行时,,解得或,由上知时,两直线不平行,时,两直线方程分别为,,平行,因此,本题中也不是必要条件故选:D6、A【解析】结合等差数列的性质求得公比,然后由等比数列的性质得结论【详解】设的公比为,因为,,成等差数列,所以,即,,或(舍去,因为数列各项为正)所以故选:A7、A【解析】根据椭圆的定义,即可得答案.【详解】由题意可得,根据椭圆定义可得,P点的轨迹为椭圆,故选:A8、A【解析】依题意可得为正方形,即可得到,从而得到双曲线的渐近线为,即可求出双曲线的离心率;【详解】解:依题意,,且四边形为菱形,所以为正方形,所以,即双曲线的渐近线为,即,所以;故选:A9、B【解析】由有最大值可判断A;由,可得,,利用可判断BC;,得,,可判断D.【详解】对于选项A,∵有最大值,∴等差数列一定有负数项,∴等差数列为递减数列,故公差小于0,故选项A正确;对于选项B,∵,且,∴,,∴,,则使的最大的n为17,故选项B错误;对于选项C,∵,,∴,,故中最大,故选项C正确;对于选项D,∵,,∴,,故数列中的最小项是第9项,故选项D正确.故选:B.10、B【解析】由已知条件得出,结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值.【详解】因为,则,解得.故选:B.11、D【解析】根据双曲线的性质求解即可.【详解】双曲线的焦点在y轴上,且实半轴长为4,虚半轴长为5,可得a=4,b=5,所以双曲线方程为:=1.故选:D.12、A【解析】根据数列的概念,找到其中的规律即可求解.【详解】由数列,,,,,可知,,,,,则,解得,故有序实数对是,故选:二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、3【解析】根据等比数列的性质求得,再根据等比数列的通项公式求得答案.【详解】等比数列中,故,,所以,故答案为:314、①②【解析】先根据图像的对称性找出整点,再判断是否还有其他的整点在曲线上;找出曲线上离原点距离最大的点的区域,再由基本不等式得到最大值不超过;在心形区域内找到一个内接多边形,该多边形的面积等于3,从而判断出“心形”区域的面积大于3.【详解】①:由于曲线,当时,;当时,;当时,;由于图形的对称性可知,没有其他的整点在曲线上,故曲线恰好经过6个整点:,,,,,,所以①正确;②:由图知,到原点距离的最大值是在时,由基本不等式,当时,,所以即,所以②正确;③:由①知长方形CDFE的面积为2,三角形BCE的面积为1,所以曲线C所围成的“心形”区域的面积大于3,故③错误;故答案为:①②.【点睛】找准图形的关键信息,比如对称性,整点,内接多边形是解决本题的关键.15、16【解析】根据,且,利用“1”的代换将,转化为,再利用基本不等式求解.【详解】因为,且,所以,当且仅当,,即时,取等号.所以的最小值为16.故答案为:16【点睛】本题主要考查基本不等式求最值,还考查了运算求解的能力,属于基础题.16、9【解析】由数列的前项和为,则当时,,所以,所以数列的前和为,当时,,当时,,所以满足的最小的值为.点睛:本题主要考查了等差数列与等比数列的综合应用问题,其中解答中涉及到数列的通项与的关系,推导数列的通项公式,以及等差、等比数列的前项和公式的应用,熟记等差、等比数列的通项公式和前项和公式是解答的关键,着重考查了学生的推理与运算能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)证明见解析【解析】(1)联立直线和抛物线方程,根据抛物线定义和焦半径公式得到,根据韦达定理可得到最终结果;(2)代入点坐标可得到参数的值,设直线的方程为,联立该直线和抛物线方程,,代入韦达定理可得到最终结果.【小问1详解】设点,,点,,联立,整理得,,由抛物线的定义知,解得,抛物线的方程为【小问2详解】,为抛物线上一点,,即,设,,,,直线的方程为,由,消去得,,,,即为定值18、(1);(2).【解析】(1)根据椭圆的焦点、离心率求椭圆参数,写出椭圆方程即可.(2)由(1)知曲线为,讨论直线的存在性,设直线方程联立椭圆方程并应用韦达定理求弦长即可.【详解】(1)由题意,椭圆半焦距且,则,又,∴椭圆方程为;(2)由(1)得,曲线为当直线的斜率不存在时,直线,不合题意:当直线的斜率存在时,设,又,,三点共线,可设直线,即,由直线与曲线相切可得,解得,联立,得,则,,∴.19、(1)与相切;(2)【解析】(1)求出圆C的圆心坐标,半径和直线l的方程,根据圆心到直线的距离即可判断直线与圆的位置关系;(2)圆与圆的方程相减,可求出公共弦所在的直线方程,然后根据圆M的圆心到公共弦所在直线的距离及圆M的半径即可求出公共弦长.【小问1详解】由圆,可得,所以圆心为,半径,直线的方程为,即因为圆心到的距离为,所以与相切【小问2详解】联立方程可得,作差可得,即,即公共弦所在直线的方程为易知圆的半径,圆心到直线的距离为,则公共弦长20、(1)(2)【解析】(1)由“”是“”的充分条件,可得,从而可得关于的不等式组,解不等式组可得答案;(2)“”是“”的必要条件,可得,然后分和两种情况求解即可【小问1详解】由题意得到A=[1,5],由“x∈A”是“x∈B”的充分条件可得A⊆B,则,解得,故实数a的取值范围是.【小问2详解】由“x∈A”是“x∈B”的必要条件可得B⊆A,当时,2-a>1+2a,即a<时,满足题意,当时,即a≥时,则,解得≤a≤1.综上a≤1,故实数a的取值范围是.21、(1)V(r)=(300r﹣4r3)(0,5)(2)见解析【解析】(1)先由圆柱的侧面积及底面积计算公式计算出侧面积及底面积,进而得出总造价,依条件得等式,从中算出,进而可计算,再由可得;(2)通过求导,求出函数在内的极值点,由导数的正负确定函数的单调性,进而得出取得最大值时的值.(1)∵蓄水池的侧面积的建造成本为元,底面积成本为元∴蓄水池的总建造成本为元所以即∴∴又
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