浙江省余姚市2025届高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析

浙江省余姚市2025届高一数学第一学期期末学业水平测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如果直线和函数的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是（）A. B.C. D.2．若存在正数x使成立，则a的取值范围是A. B.C. D.3．对于每个实数x，设取两个函数中的较小值.若动直线y=m与函数的图象有三个不同的交点，它们的横坐标分别为,则的取值范围是（）A. B.C. D.4．函数(且)的图象恒过定点，点又在幂函数的图象上，则的值为（）A.-8 B.-9C. D.5．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是A. B.C. D.6．已知集合，，则（）A. B.C. D.7．函数在单调递增，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是A. B.C. D.8．如图，在下列四个正方体中，、为正方体两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（）A. B.C. D.9．已知命题：，总有，则命题的否定为（）A.，使得 B.，使得C.，总有 D.，总有10．设，，那么等于A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为.给出以下结论：①越大越费力，越小越省力；②的范围为；③当时，；④当时，.其中正确结论的序号是______.12．函数的单调减区间是__________13．已知函数，若关于方程恰好有6个不相等的实数解，则实数的取值范围为__________.14．已知，用m，n表示为___________.15．已知函数，则__________16．函数是偶函数，且它的值域为，则__________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知奇函数和偶函数满足（1）求和的解析式；（2）存在，，使得成立，求实数a的取值范围18．设a>0，且a≠1，解关于x的不等式19．在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1，2，3，4的四个球，现从甲、乙两个盒子中各取出1个球，每个球被取出的可能性相等.（1）求取出的两个球上标号为相同数字的概率；（2）若两人分别从甲、乙两个盒子中各摸出一球，规定：两人谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），这样规定公平吗？请说明理由.20．如图，在等腰梯形中，，（1）若与共线，求k的值；（2）若P为边上的动点，求的最大值21．已知函数，（Ⅰ）求的最小正周期及单调递增区间；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】由已知可得．再由由点在圆内部或圆上可得．由此可解得点在以和为端点的线段上运动．由表示以和为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率可得选项【详解】函数恒过定点．将点代入直线可得，即由点在圆内部或圆上可得，即．或．所以点在以和为端点的线段上运动表示以和为端点的线段上的点与坐标原点连线的斜率．所以，．所以故选：C【点睛】关键点点睛：解决本题类型的问题，关键在于由已知条件得出所满足的可行域，以及明确所表示的几何意义.2、D【解析】根据题意，分析可得，设，利用函数的单调性与最值，即可求解，得到答案【详解】根据题意，，设，由基本初等函数的性质，得则函数在R上为增函数，且，则在上，恒成立；若存在正数x使成立，即有正实数解，必有；即a的取值范围为；故选D【点睛】本题主要考查了函数单调性的应用，以及不等式的有解问题，其中解答中合理把不等式的有解问题转化为函数的单调性与最值问题是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题3、C【解析】如图，作出函数的图象，其中，设与动直线的交点的横坐标为，∵图像关于对称∴∵∴∴故选C点睛：本题首先考查新定义问题，首先从新定义理解函数，为此解方程，确定分界点，从而得函数的具体表达式，画出函数图象，通过图象确定三个数中具有对称关系，，因此只要确定的范围就能得到的范围.4、A【解析】令，可得点，设，把代入可得，从而可得的值.【详解】∵，令，得，∴，∴的图象恒过点，设，把代入得，∴，∴，∴.故选：A5、C【解析】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.考点：本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键.6、B【解析】化简集合A，由交集定义直接计算可得结果.【详解】化简可得，又所以.故选：B.7、D【解析】是奇函数，故；又是增函数，，即则有，解得，故选D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为，再利用单调性继续转化为，从而求得正解.8、D【解析】利用线面平行判定定理可判断A、B、C选项的正误；利用线面平行的性质定理可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，如下图所示，连接，在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，、分别为、的中点，则，，平面，平面，平面；对于B选项，连接，如下图所示：在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，、分别为、的中点，则，，平面，平面，平面；对于C选项，连接，如下图所示：在正方体中，且，所以，四边形为平行四边形，则，、分别为、中点，则，，平面，平面，平面；对于D选项，如下图所示，连接交于点，连接，连接交于点，若平面，平面，平面平面，则，则，由于四边形为正方形，对角线交于点，则为的中点，、分别为、的中点，则，且，则，，则，又，则，所以，与平面不平行；故选：D.【点睛】判断或证明线面平行的常用方法：（1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理（，，），其关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理（，）.9、B【解析】根据全称命题的否定性质进行判断即可.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定为，使得，故选：B10、B【解析】由题意得．选B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、①④.【解析】根据为定值，求出，再对题目中的命题分析、判断正误即可.【详解】解：对于①，由为定值，所以，解得；由题意知时，单调递减，所以单调递增，即越大越费力，越小越省力；①正确.对于②，由题意知，的取值范围是，所以②错误.对于③，当时，，所以，③错误.对于④，当时，，所以，④正确.综上知，正确结论的序号是①④.故答案为：①④.【点睛】此题考查平面向量数量积的应用，考查分析问题的能力，属于中档题12、【解析】，在上递增，在上递增，在上递增，在上递减，复合函数的性质，可得单调减区间是，故答案为.13、【解析】作出函数的简图，换元，结合函数图象可知原方程有6根可化为在区间上有两个不等的实根，列出不等式组求解即可.【详解】当，结合“双勾”函数性质可画出函数的简图，如下图，令，则由已知条件知，方程在区间上有两个不等的实根，则，即实数的取值范围为.故答案为：【点睛】本题主要考查了分段函数的图象，二次方程根的分布，换元法，数形结合，属于难题.14、【解析】结合换底公式以及对数的运算法则即可求出结果.详解】，故答案为：.15、3【解析】16、【解析】展开，由是偶函数得到或，分别讨论和时的值域，确定，的值，求出结果.【详解】解：为偶函数，所以，即或，当时，值域不符合，所以不成立；当时，，若值域为，则，所以.故答案为：.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），（2）【解析】（1）利用奇偶性得到方程组，求解和的解析式；（2）在第一问的基础上，问题转化为在上有解，分类讨论，结合对勾函数单调性求解出的最值，进而求出实数a的取值范围.【小问1详解】因为奇函数和偶函数满足①，所以②；联立①②得：，；【小问2详解】变形为，因为，所以，所以，当时，在上有解，符合要求；令，由对勾函数可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，，要想上有解，只需，解得：，所以；若且，在上单调递增，要想上有解，只需，解得：，所以；综上：实数a的取值范围为18、当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为【解析】对进行分类讨论，结合指数函数的单调性求得不等式的解集.【详解】当时，在上递减，所以，即，解得，即不等式的解集为.当时，在上递增，所以，即，解得或，即不等式的解集为.19、（1）（2）这样规定公平，详见解析【解析】（1）利用列举法求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解；（2）利用古典概型及其概率的计算公式，求得的概率，即可得到结论.【详解】由题意，设从甲、乙两个盒子中各取1个球，其数字分别为x、y.用表示抽取结果，可得，则所有可能的结果有16种，（1）设“取出的两个球上的标号相同”为事件A，则，事件A由4个基本事件组成，故所求概率.（2）设“甲获胜”为事件B，“乙获胜”为事件C，则，.可得，即甲获胜的概率是，乙获胜的概率也是，所以这样规定公平.【点睛】本题主要考查了古典概型的概率的计算及应用，其中解答中认真审题，利用列举法求得基本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题题.20、（1）；（2）12【解析】（1）选取为基底，用基底表示其他向量后，由向量共线可得；（2）设，，求得，由函数知识得最大值【详解】（1）不共线，以它们为基底，由已知，又与共线，所以存在实数，使得，即，解得；（2）等腰梯形中，，，则，设，，则，，所以时，取得最大值12【点睛】关键点点睛：本题考查向量的共线，向量的数量积，解题关键是以为基底，其它向量都用基底表示，然后求解计算21、(Ⅰ)最小正周期是，单调递增区间是.(Ⅱ)最大值为，最小值为【解析】详解】试题分析：(Ⅰ)将函数解析式化为，可