2025届湖南省衡阳市衡阳县第三中学数学高一上期末综合测试模拟试题含解析

2025届湖南省衡阳市衡阳县第三中学数学高一上期末综合测试模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．命题“”的否定是：（）A. B.C. D.2．四面体中，各个侧面都是边长为的正三角形，分别是和的中点，则异面直线与所成的角等于（）A.30° B.45°C.60° D.90°3．已知实数，，且，则的最小值为（）A. B.C. D.4．若，，，则有A. B.C. D.5．已知函数对任意都有，则等于A.2或0 B.-2或0C.0 D.-2或26．设一个半径为r的球的球心为空间直角坐标系的原点O，球面上有两个点A，B，其坐标分别为（1，2，2），（2，-2，1），则（）A. B.C. D.7．若方程x2+2x+m2+3m=mcos(x+1)+7有且仅有1个实数根，则实数m的值为（）A.2 B.-2C.4 D.-48．已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是A.若则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，则9．如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A.AB B.ADC.BC D.AC10．下列函数中在定义域上为减函数的是（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知函数，若，则实数的取值范围是__________.12．已知函数若关于x的方程有4个解，分别为，，，，其中，则______，的取值范围是______13．已知，且，写出一个满足条件的的值___________14．由于德国著名数学家狄利克雷对数论、数学分析和物理学的突出贡献，人们将函数命名狄利克雷函数，已知函数，下列说法中：①函数的定义域和值域都是；②函数是奇函数；③函数是周期函数；④函数在区间上是单调函数.正确结论是__________15．向量与，则向量在方向上的投影为______16．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若，则＝________．(用表示)三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在三棱锥中，和是边长为的等边三角形，，分别是的中点.（1）求证：平面；（2）求证:平面；（3）求三棱锥的体积.18．某中学共有3000名学生，其中高一年级有1200名学生，为了解学生的睡眠情况，现用分层抽样的方法，在三个年级中抽取了200名学生，依据每名学生的睡眠时间（单位：小时），绘制出了如图所示的频率分布直方图.（1）求样本中高一年级学生的人数及图中a的值；（2）估计样本数据中位数（保留两位小数）；（3）估计全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数.19．已知函数（，且）.（1）若函数在上的最大值为2，求的值；（2）若，求使得成立的的取值范围.20．已知函数为奇函数，且（1）求a和的值；（2）若，求的值21．设全集U=R，集合A={x|2x-1≥1}，B={x|x2-4x-5＜0}（Ⅰ）求A∩B，（∁UA）∪（∁UB）；（Ⅱ）设集合C={x|m+1＜x＜2m-1}，若B∩C=C，求实数m的取值范围

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】由特称命题的否定是全称命题，可得出答案.【详解】根据特称命题的否定是全称命题，可知命题“”的否定是“”.故选：A.2、B【解析】利用中位线定理可得GE∥SA，则∠GEF为异面直线EF与SA所成的角，判断三角形为等腰直角三角形即可.【详解】取AC中点G，连接EG，GF，FC设棱长为2，则CF=，而CE=1∴EF=，GE=1，GF=1而GE∥SA，∴∠GEF为异面直线EF与SA所成的角∵EF=，GE=1，GF=1∴△GEF为等腰直角三角形，故∠GEF=45°故选：B.【点睛】求异面直线所成的角先要利用三角形中位线定理以及平行四边形找到异面直线所成的角，然后利用直角三角形的性质及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因为异面直线所成的角是直角或锐角，所以最后结果一定要取绝对值.3、C【解析】由题可得，则由展开利用基本不等式可求.【详解】，，且，则，，当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故选：C.4、C【解析】根据指数函数和对数函数的单调性分别将与作比较，从而得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数单调性比较大小的问题，常用方法是采用临界值的方式，通过与临界值的大小关系得到所求的大小关系.5、D【解析】分析：由条件可得，函数f（x）的图象关于直线x=对称，故f（）等于函数的最值，从而得出结论详解：由题意可得，函数f（x）的图象关于直线x=对称，故f（）=±2，故答案为±2点睛：本题考查了函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象与性质的应用问题，是基础题目．一般函数的对称轴为a，函数的对称中心为（a,0）.6、C【解析】由已知求得球的半径，再由空间中两点间的距离公式求得|AB|，则答案可求【详解】∵由已知可得r，而|AB|，∴|AB|r故选C【点睛】本题考查空间中两点间距离公式的应用，是基础题7、A【解析】令，由对称轴为，可得，解出，并验证即可.【详解】依题意，有且仅有1个实数根.令，对称轴为.所以，解得或.当时，，易知是连续函数，又，，所以在上也必有零点，此时不止有一个零点，故不合题意；当时，，此时只有一个零点，故符合题意.综上，.故选：A【点睛】关键点点睛：构造函数，求出的对称轴，利用对称的性质得出.8、B【解析】线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确.考点：空间点线面位置关系9、D【解析】因为A′B′与y′轴重合，B′C′与x′轴重合，所以AB⊥BC，AB=2A′B′，BC=B′C′.所以在直角△ABC中，AC为斜边，故AB<AD<AC，BC<AC.故选D.10、C【解析】根据基本初等函数的单调性逐一判断各个选项即可得出答案.【详解】对于A，由函数，定义域为，且在上递增，故A不符题意；对于B，由函数，定义域为，且在上递增，故B不符题意；对于C，由函数，定义域为，且在上递减，故C符合题意；对于D，由函数，定义域为，且在上递增，故D不符题意.故选：C二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】先确定函数单调性，再根据单调性化简不等式，最后解一元二次不等式得结果.【详解】在上单调递增，在上单调递增，且在R上单调递增因此由得故答案为：【点睛】本题考查根据函数单调性解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.12、①.1②.【解析】作出图象，将方程有4个解，转化为图象与图象有4个交点，根据二次函数的对称性，对数函数的性质，可得的、的范围与关系，结合图象，可得m的范围，综合分析，即可得答案.【详解】作出图象，由方程有4个解，可得图象与图象有4个交点，且，如图所示：由图象可知：且因为，所以，由，可得，因为，所以所以，整理得；当时，令，可得，由韦达定理可得所以，因为且，所以或，则或，所以故答案为：1，【点睛】解题的关键是将函数求解问题，转化为图象与图象求交点问题，再结合二次函数，对数函数的性质求解即可，考查数形结合，分析理解，计算化简的能力，属中档题.13、π（答案不唯一）【解析】利用，可得，又，确定可得结果.【详解】因为，所以，，则，或，，又，故满足要求故答案为：π（答案不唯一）14、①【解析】由题意知，所以①正确；根据奇函数的定义，x是无理数时，显然不成立，故②错误；当x是有理数时，显然不符合周期函数的定义故③错误；函数在区间上是既不是增函数也不是减函数，故④错误；综上填①.15、【解析】在方向上的投影为考点：向量的投影16、【解析】根据＝，利用向量的线性运算转化即可.【详解】在矩形ABCD中，因为O是对角线的交点，所以＝,故答案为：.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，较为容易.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).【解析】(1)欲证线面平行，则需证直线与平面内的一条直线平行.由题可证,则证得平面；(2)欲证线面垂直，则需证直线垂直于平面内的两条相交直线.连接，可证得，从而可证得平面；(3)由(2)可知，为三棱锥的高，平面为三棱锥的底面，应用椎体体积公式即可求解.【详解】(1)证明：分别是的中点，又平面，平面平面(2)如图，连接，，是的中点，同理又，又平面(3)由(2)可知，为三棱锥的高，且，.【点睛】本题考查线面平行，线面垂直的判定定理以及椎体体积公式的应用，考查空间想象能力与思维能力，属中档题.18、（1）人数为，；（2）7.42；（3）约为人.【解析】（1）由分层抽样等比例性质求高一年级学生的人数，根据直方图及频率和为1求参数a.（2）由频率直方图及中位数的性质估计中位数.（3）由直方图计算区间的频率，进而估计全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数.【小问1详解】由分层抽样等比例的性质，样本中高一年级学生的人数为.由，可得.【小问2详解】设中位数为x，由、，知：，∴.得，故样本数据的中位数约为7.42.【小问3详解】由图可知，样本数据落在的频率为.故全校睡眠时间不低于7个小时的学生人数约为人.19、(1)或；(2)【解析】(1)分类讨论和两种情况，结合函数的单调性可得：或；(2)结合函数的解析式，利用指数函数的单调性可得，求解对数不等式可得的取值范围是.试题解析：（1）当时，在上单调递增，因此，，即；当时，上单调递减，因此，，即.综上，或.（2）不等式即.又，则，即，所以.20、（1）（2）【解析】（1）由可得答案；（2）利用二倍角公式和诱导公式化简可得，由，可得、，再利用两角差的正弦公式可得答案.【小问1详解】得，解得，经检验，为奇函数，即.【小问2详解】所以，则因为，所以，所以21、（Ⅰ）{x|x＜1或x≥5}，（Ⅱ）（-∞，3].【解析】（Ⅰ）求出集合A，B，由此能出A∩B，（∁UA）∪（∁UB）（Ⅱ）由集合C＝{x|m+1＜x＜2m﹣1}，B∩C＝C，得C⊆B，当C＝∅时，2m﹣1＜m+1，当C≠∅时，由C⊆B得，由此能求出m的取值范围【详解】解：（Ⅰ）∵全集U=R，集