2025届湖北省鄂州市华容高级中学高二数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

2025届湖北省鄂州市华容高级中学高二数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．数列是等比数列，是其前n项之积，若，则的值是（）A.1024 B.256C.2 D.5122．双曲线（，）的一条渐近线的倾斜角为，则离心率为（）A. B.C.2 D.43．120°的二面角的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知，，，则CD的长为()A. B.C. D.4．等差数列中，，则（）A. B.C. D.5．二次方程的两根为2，，那么关于的不等式的解集为（）A.或 B.或C. D.6．若函数f(x)=x2+x+1在区间内有极值点,则实数a的取值范围是()A. B.C. D.7．如图，在直三棱柱中，AB＝BC，，若棱上存在唯一的一点P满足，则（）A. B.1C. D.28．数列满足，则数列的前n项和为（）A. B.C. D.9．已知、、、是直线，、是平面，、、是点（、不重合），下列叙述错误的是（）A.若，，，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，则10．已知椭圆的右焦点为，为坐标原点，为轴上一点，点是直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为（）A. B.C. D.11．椭圆的左右焦点分别为，是上一点，轴，，则椭圆的离心率等于（）A. B.C. D.12．下列椭圆中，焦点坐标是的是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（）为二次函数的关系（如图），则每辆客车营运年数为________时，营运的年平均利润最大14．桌面排列着100个乒乓球，两个人轮流拿球装入口袋，能拿到第100个乒乓球人为胜利者．条件是：每次拿走球的个数至少要拿1个，但最多又不能超过5个，这个游戏中，先手是有必胜策略的，请问：如果你是最先拿球的人，为了保证最后赢得这个游戏，你第一次该拿走___个球15．若椭圆和圆（c为椭圆的半焦距）有四个不同的交点，则椭圆的离心率的取值范围是_____.16．已知双曲线：，斜率为的直线与E的左右两支分别交于A，B两点，点P的坐标为，直线AP交E于另一点C，直线BP交E于另一点D．若直线CD的斜率为，则E的离心率为___________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图1，四边形为直角梯形，，，，，为上一点，为的中点，且，，现将梯形沿折叠(如图2)，使平面平面.（1）求证：平面平面.（2）能否在边上找到一点(端点除外)使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由.18．（12分）已知数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，为数列的前n项和，求.19．（12分）设等比数列的前项和为，且（）（1）求数列的通项公式；（2）在与之间插入个实数，使这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：20．（12分）已知函数.（I）当时，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若当时，，求的取值范围.21．（12分）已知圆与（1）过点作直线与圆相切，求的方程；（2）若圆与圆相交于、两点，求的长22．（10分）等差数列中，首项，且成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】设数列的公比为q，由已知建立方程求得q，再利用等比数列的通项公式可求得答案.【详解】解：因为数列是等比数列，是其前n项之积，，设数列的公比为q，所以，解得，所以，故选：D.2、C【解析】根据双曲线方程写出渐近线方程，得出，进而可求出双曲线的离心率.【详解】因为双曲线的渐近线方程为，又其中一条渐近线的倾斜角为，所以，则，所以该双曲线离心率为.故选：C.3、B【解析】由，把展开整理求解【详解】由已知可得：，，，，＝41，∴.故选：B4、C【解析】由等差数列的前项和公式和性质进行求解.【详解】由题意，得.故选：C.5、B【解析】根据，确定二次函数的图象开口方向，再由二次方程的两根为2，，写出不等式的解集.【详解】因为二次方程的两根为2，，又二次函数的图象开口向上，所以不等式的解集为或，故选：B6、C【解析】若f(x)=x2+x+1在区间内有极值点,则f'(x)=x2-ax+1在区间内有零点,且零点不是f'(x)的图象顶点的横坐标.由x2-ax+1=0,得a=x+.因为x∈,y=x+的值域是,当a=2时,f'(x)=x2-2x+1=(x-1)2,不合题意.所以实数a的取值范围是,故选C.7、D【解析】设，构建空间直角坐标系，令且，求出，，再由向量垂直的坐标表示列方程，结合点P的唯一性有求参数a，即可得结果.【详解】由题设，构建如下图空间直角坐标系，若，则，，且，所以，，又存在唯一的一点P满足，所以，则，故，可得，此时，所以.故选：D8、D【解析】利用等差数列的前n项和公式得到，进而得到，利用裂项相消法求和.【详解】依题意得：，，，故选：D9、D【解析】由公理2可判断A选项；由公理3可判断B选项；利用平行线的传递性可判断C选项；直接判断线线位置关系，可判断D选项.【详解】对于A选项，由公理2可知，若，，，，则，A对；对于B选项，由公理3可知，若，，，则，B对；对于C选项，由空间中平行线的传递性可知，若，，则，C对；对于D选项，若，，则与平行、相交或异面，D错.故选：D.10、D【解析】设椭圆的左焦点为，由椭圆的对称性可知，则，所以，即可得到的关系，利用椭圆的定义进而求得离心率.【详解】设椭圆的左焦点为，连接，因为，所以，如图所示，所以，设，，则，所以，故选：D.11、A【解析】在中结合已知条件，用焦距2c表示、，再利用椭圆定义计算作答.【详解】令椭圆的半焦距为c，因是上一点，轴，，在中，，，由椭圆定义知，则，所以椭圆的离心率等于.故选：A12、B【解析】根据给定条件逐一分析各选项中的椭圆焦点即可判断作答.【详解】对于A，椭圆的焦点在x轴上，A不是；对于B，椭圆，即，焦点在y轴上，半焦距，其焦点为，B是；对于C，椭圆，即，焦点在y轴上，半焦距，其焦点为，C不是；对于D，椭圆，即，焦点在y轴上，半焦距，其焦点为，D不是.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、5【解析】首先根据题意得到二次函数的解析式为，再利用基本不等式求解的最大值即可.【详解】根据题意得到：抛物线的顶点为，过点，开口向下，设二次函数的解析式为，所以，解得，即，则营运的年平均利润，当且仅当，即时取等号故答案为：5.14、4【解析】根据题意，由游戏规则，结合余数的性质，分析可得答案【详解】解：根据题意，第一次该拿走4个球，以后的取球过程中，对方取个，自己取个，由于，则自己一定可以取到第100个球.故答案为：415、【解析】当圆的直径介于椭圆长轴和短轴长度范围之间时，椭圆和圆有四个不同的焦点，由此列不等式，解不等式求得椭圆离心率的取值范围.【详解】由于椭圆和圆有四个焦点，故圆的直径介于椭圆长轴和短轴长度范围之间，即.由得，两边平方并化简得，即①.由得，两边平方并化简得，解得②.由①②得.故填.【点睛】本小题主要考查椭圆和圆的位置关系，考查椭圆离心率取值范围的求法，属于中档题.16、【解析】分别设线段的中点，线段的中点，再利用点差法可表示出，由平行关系易知三点共线，从而利用斜率相等的关系构造方程，代入整理可得到关系，利用双曲线得到关于的齐次方程，进而求得离心率.【详解】设，，线段的中点，两式相减得：…①设，，线段的中点同理可得：…②，易知三点共线，将①②代入得：，所以，即，由题意可得，故.∴，即故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析.（2）存在点，为线段中点【解析】（1）根据线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理，即可证得平面平面；（2）以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）在直角梯形中，作于于，连接，则，，则，，则，在直角中，可得，则，所以，故，且折叠后与位置关系不变.又因为平面平面，且平面平面，所以平面，因为平面，所以平面平面.（2）在中，由，为的中点，可得.又因为平面平面，且平面平面，所以平面，则以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，则，，设平面的法向量为，则，令，可得平面的法向量为，假设存在点使平面与平面所成角的余弦值为，且()，∵，∴，故，又，∴，又由，设平面的法向量为，可得，令得，∴，解得，因此存在点且为线段中点时使平面与平面所成角的余弦值为.本题考查了面面垂直的判定与证明，以及空间角的求解及应用，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.18、（1）（2）【解析】（1）由题意可得数列是以2为公差的等差数列，再由可求出，从而可求出通项公式，（2）由（1）可得，然后利用分组求和可求出【小问1详解】因为数列满足，所以数列是以2为公差的等差数列，因为，所以，得，所以【小问2详解】由（1）可得，所以19、（1）（2）见解析【解析】（1）由两式相减得，所以（）因为等比，且，所以，所以故（2）由题设得，所以，所以，则，所以20、（1）（2）【解析】（Ⅰ）先求的定义域，再求，，，由直线方程的点斜式可求曲线在处的切线方程为（Ⅱ）构造新函数，对实数分类讨论，用导数法求解.试题解析：（I）定义域为.当时，，曲线在处的切线方程为（II）当时，等价于设，则，（i）当，时，，故在上单调递增，因此；（ii）当时，令得.由和得，故当时，，在单调递减，因此.综上，的取值范围是【考点】导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性【名师点睛】求函数的单调区间的方法：（1）确定函数y＝f（x）定义域；（2）求导数y′＝f′（x）；（3）解不等式f′（x）>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；（4）解不等式f′（x）<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间21、（1）或（2）【解析】（1）根据已知可得圆心与半径，再利用几何法可得切线方程；（2）联立两圆方程可得公共弦方程，进而可得弦长.【小问1详解】解：圆的方程可化