2025届贵州省贵阳市清镇北大培文学校数学高二上期末监测模拟试题含解析

2025届贵州省贵阳市清镇北大培文学校数学高二上期末监测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设为等差数列的前项和，若，，则公差的值为（）A. B.2C.3 D.42．如图，在四棱锥中，平面，，，则点到直线的距离为（）A. B.C. D.23．函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B.C. D.4．中国剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的民间艺术.如图所示的圆形剪纸中，正六边形的所有顶点都在该圆上，若在该圆形剪纸的内部投掷一点，则该点恰好落在正六边形内部的概率为（）A. B.C. D.5．以，为焦点，且经过点的椭圆的标准方程为（）A. B.C. D.6．已知数列的通项公式为，按项的变化趋势，该数列是（）A.递增数列 B.递减数列C.摆动数列 D.常数列7．圆的圆心和半径分别是（）A. B.C. D.8．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C到平面AB1D1的距离为，则直线与平面所成角的余弦值为（）A. B.C. D.9．现有4本不同的书全部分给甲、乙、丙3人，每人至少一本，则不同的分法有（）A.12种 B.24种C.36种 D.48种10．如图，用随机模拟方法近似估计在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形中阴影部分的面积，先产生两组区间上的随机数和，因此得到1000个点对，再统计出落在该阴影部分内的点数为260个，则此阴影部分的面积约为（）A.0.70 B.1.04C.1.86 D.1.9211．天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：同一平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线.在平面直角坐标系中，设定点为，，，点O为坐标原点，动点满足(且为常数)，化简得曲线E：.当，时，关于曲线E有下列四个命题：①曲线E既是轴对称图形，又是中心对称图形；②的最大值为；③的最小值为；④面积的最大值为.其中，正确命题的个数为（）A.1个 B.2个C.3个 D.4个12．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，点是的右支上一点，且，，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知两点和则以为直径的圆的标准方程是__________.14．椭圆的长轴长为______15．函数的导函数___________.16．复数的共轭复数是__________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系中，有一条长度为3的线段，端点，分别在轴、轴上运动，为线段上一点，且.（1）求点的轨迹的方程；（2）已知不过原点的直线与相交于，两点，且线段始终被直线平分.求的面积取最大时直线的方程.18．（12分）已知椭圆的一个焦点是，且离心率.（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求的取值范围.19．（12分）（1）解不等式；（2）若关于x的不等式解集为R，求实数k的取值范围.20．（12分）已知函数（1）判断的零点个数；（2）若对任意恒成立，求的取值范围21．（12分）已知圆C经过点，，且圆心C在直线上（1）求圆C的标准方程；（2）过点向圆C引两条切线PD，PE，切点分别为D，E，求切线PD，PE的方程，并求弦DE的长22．（10分）冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，广安市某中学校从全校随机抽取50名学生参加冬奥会知识竞赛，并根据这50名学生的竞赛成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间（1）求频率分布直方图中a的值：（2）求这50名学生竞赛成绩的众数和中位数．（结果保留一位小数）

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据等差数列前项和公式进行求解即可.【详解】，故选：C2、A【解析】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可【详解】因为平面，平面，平面，所以，，因为所以如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，，即.在上的投影向量的长度为，故点到直线的距离为.故选：A3、D【解析】对函数求导，利用导数的几何意义求出切线斜率即可计算作答.【详解】依题意，，即有，而，则过点，斜率为1的直线方程为：，所以曲线在点处切线方程为.故选：D4、D【解析】设圆的半径，求出圆的面积与正六边形的面积，再根据几何概型的概率公式计算可得；【详解】解：设圆的半径，则，则，所以，所以在该圆形剪纸的内部投掷一点，则该点恰好落在正六边形内部的概率;故选：D5、B【解析】根据焦点在x轴上，c=1，且过点，用排除法可得.也可待定系数法求解，或根据椭圆定义求2a可得.【详解】因为焦点在x轴上，所以C不正确；又因为c=1，故排除D；将代入得，故A错误，所以选B.故选：B6、B【解析】分析的单调性，即可判断和选择.【详解】因为，显然随着的增大，是递增的，故是递减的，则数列是递减数列.故选：B.7、B【解析】将圆的方程化成标准方程，即可求解.【详解】解：.故选：B.8、A【解析】先由等面积法求得的长，再以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，运用线面角的向量求解方法可得答案【详解】如图，连接交于点，过点作于，则平面，则，设，则，则根据三角形面积得，代入解得以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系则，，设平面的法向量为，，，则，即，令，得，所以直线与平面所成的角的余弦值为，故选：9、C【解析】先把4本书按2，1，1分为3组，再全排列求解.【详解】先把4本书按2，1，1分为3组，再全排列，则有种分法，故选：C10、D【解析】根据几何概型的概率公式即可直接求出答案.【详解】易知，根据几何概型的概率公式，得，所以.故选：D.11、D【解析】①：根据轴对称图形、中心对称图形的方程特征进行判断即可；②：结合两点间距离公式、曲线方程特征进行判断即可；③：根据卡西尼卵形线的定义，结合基本不等式进行判断即可；④：根据方程特征，结合三角形面积公式进行判断即可.【详解】当，时，.①：因为以代方程不变，以代方程不变，同时代，以代方程不变，所以曲线E既是轴对称图形，又是中心对称图形，因此本命题正确；②：由，所以有，所以，当时成立，因此本命题正确；③：因为，所以，当且仅当时，取等号，因此本命题正确；④：，因为，所以，的面积为，因此本命题正确，故选：D【点睛】关键点睛：利用方程特征进行求解判断是解题的关键.12、B【解析】画出图形，利用已知条件转化求解，关系，利用，解得，即可得到双曲线的方程【详解】由题意双曲线的图形如图，连接与轴交于点，设，，因为，所以，因为，所以，则，因为点是的右支上一点，所以，所以，则，因为，所以，，由勾股定理可得：，即，解得，则，所以双曲线的方程为：故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】根据的中点是圆心，是半径，即可写出圆的标准方程.【详解】因为和，故可得中点为，又，故所求圆的半径为，则所求圆的标准方程是：.故答案为：.14、4【解析】把椭圆方程化成标准形式直接计算作答.【详解】椭圆方程化为：，令椭圆长半轴长为a，则，解得，所以椭圆的长轴长为4.故答案为：415、【解析】利用导函数的乘法公式和复合函数求导法则进行求解【详解】故答案为：16、【解析】利用复数除法化简，由共轭复数的概念写出即可.【详解】，∴.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】(1)设，根据题意可得，，利用两点之间的距离公式表示出，化简即可得出结果；(2)设，，线段的中点为，利用两点坐标表示直线斜率的公式和点差法求出直线的斜率，设的方程为，联立椭圆方程并消去y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理表示、进而得出弦长，利用点到直线的距离公式求出原点到的距离，结合基本不等式计算即可.【小问1详解】设，由为线段上一点，且，得，，又，则，整理可得，所以轨迹的方程为；【小问2详解】设，，线段的中点为.∵在直线上，∴，∵A，在轨迹上，∴两式相减，可得，∴，即直线的斜率为，依题意，可设直线的方程为，由可得，则解得且由韦达定理，得，∴∵原点到直线的距离为∴，当且仅当，即时等号成立，即时，三角形的面积最大，此时直线的方程为.18、（1）（2）【解析】（1）由条件可得，，然后可得答案；（2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆的方程消元，然后算出中点的坐标，然后可得线段的垂直平分线方程，然后可得，然后可求出答案.【小问1详解】因为椭圆的一个焦点是，且离心率所以，，所以所以椭圆的方程为【小问2详解】显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，联立可得，所以所以中点的纵坐标为，横坐标为所以线段的垂直平分线方程为令，可得当时，当时，，因为，所以综上：19、（1）；（2）.【解析】（1）直接求解不含参数的一元二次不等式即可；（2）分与两种情况进行讨论即可求出结果.【详解】（1）不等式可化为，解集为（2）若的解集为R，当时，的解集为，不合题意；当时，则解得综上，实数k的取值范围是20、（1）个；（2）.【解析】（1）求，利用导数判断的单调性，结合单调性以及零点存在性定理即可求解；（2）由题意可得对任意恒成立，令，则，利用导数求的最小值即可求解.【小问1详解】的定义域为，由可得，当时，；当时，；所以在上单调递减，在上单调递增，当时，，，此时在上无零点，当时，，，，且在上单调递增，由零点存在定理可得在区间上存在个零点，综上所述有个零点.【小问2详解】由题意可得：对任意恒成立，即对任意恒成立，令，则，由可得：，当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，所以，所以的取值范围.21、（1）（2）或，【解析】（1）设圆心，根据圆心在直线上及圆过两点建立方程求解即可；（2）分切线的斜率存在与不存在分类讨论，利用圆心到切线的距离等于半径求解，再根据圆的切线的几何性质求弦长即可.【小问1详解】设圆心，因为圆心C在直线上，所以①因为A，B是圆上的两点，所以，所以，即②联立①②，解得，所以圆C的半径，所以圆C的标准方程为【小问2详解