苏科版九年级数学上学期复习备考高分秘籍专题4.1期中全真模拟试卷01(能力卷九上苏科第1-4章)特训(原卷版+解析)

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题4.1期中全真模拟试卷01（能力卷，九上苏科第1-4章）注意事项：本试卷满分120分，试题共27题，其中选择6道、填空10道、解答11道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·黑龙江·同江市第三中学九年级期中）用配方法解方程x2－2xA．（x+1）2=6 B．（2．（2021·江苏南京·九年级期中）在某次比赛中，有10位同学参加了“10进5”的淘汰赛，他们的比赛成绩各不相同．其中一位同学要知道自己能否晋级，不仅要了解自己的成绩，还需要了解10位参赛同学成绩的（

）A．平均数 B．加权平均数 C．众数 D．中位数3．（2022·江苏南京·八年级期末）一枚质地均匀的正六面体骰子，每个面标有一个数，分别是1，2，3，4，5，6．抛掷这枚骰子1次，下列事件中可能性最大的是（

）A．朝上的面的数字是3B．朝上的面的数字是偶数C．朝上的面的数字不小于2D．朝上的面的数字是3的倍数4．（2022·江苏南京·九年级期末）平面内，⊙O的半径为3，若点P在⊙O外，则OP的长可能为（

）A．4 B．3 C．2 D．15．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AB＝AD，∠ADC＝105°．若点E在BC上，且EC＝2BE，连接AE，则∠BAE的度数是（

）A．15° B．20° C．25° D．30°6．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（）A．233 B．3 C．3π二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请把答案直接填写在横线上7．（2022·江苏苏州·九年级阶段练习）方程x28．（2021·江苏·麒麟中学九年级阶段练习）设α、β是一元二次方程x2＋x﹣2020＝0的两个实数根，则αβ＋α＋β＝_____．9．（2022·新疆塔城·八年级期末）随机从甲、乙两块试验田中各抽取10株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为x甲=13，x乙=13，10．（2022·江苏南京·九年级期末）某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由4.86万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是x，可列方程为______．11．（2022·江苏·九年级专题练习）甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为0.5、0.1、0.9．对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．该事件是

_______．（填“甲、乙或丙”）12．（2021·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）一个袋子中有2个红球和若干个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地完全相同，在看不到的情况下，随机摸出一个红球的概率是1513．（2021·江苏·麒麟中学九年级阶段练习）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，AB=6，则⊙O半径为_______．14．（2022·江苏泰州·九年级专题练习）如图，在五边形AECDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AE=2，CD=1，以DE为直径的半圆分别与AB、BC相切于点F、G，则DE的长为______．15．（2022·江苏南京·九年级期中）如图，点O是正六边形ABCDEF和正五边形AB1C1D1E1的中心，连接16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=33，点D是AB的中点，点E是以点B为圆心，BD长为半径的圆上的一动点，连接AE，点F为AE的中点，则CF长度的最大值是______．三、解答题（本大题共11小题，共88分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（2021·江苏·麒麟中学九年级阶段练习）解方程：(1)3x(2)2xx−318．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AB=CD．求证PB=PD．19．（2022·河南南阳·八年级期末）甲、乙两位学生参加校运会射击选拔赛，两人各射击了5次，小明根据他们的成绩（单位：环）列表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小明的作业）．甲、乙两人射击成绩统计表第1次第2次第3次第4次第5次甲成绩94746乙成绩75747小明的作业解：x＝15S甲2＝15×[（9﹣6）2+（4﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2+（6﹣6）2＝15＝3.6(1)请参照小明的计算方法，求出乙成绩的平均数与方差．(2)请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．20．（2022·江苏南京·八年级期末）在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与．(1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是事件；（填随机、必然、不可能）(2)小明观察后发现，平均每8个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，3人未获奖，若袋中共有24个球，请你估算袋中白球的数量；(3)在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加两个黄球，抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由；继续添加小球，能否使抽中一等奖的概率还原？若能，请设计一种添加方案．若不能，请说明理由．21．（2022·江苏南京·九年级期末）某单位要修建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m2．(1)求小路的宽度．(2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．22．（2021·江苏南京·九年级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+k+3＝0的两根是x1，x2．（1）当k为何值时，这个方程总有两个不相等的实数根？（2）说明：无论k为何值，方程总有一个不变的根．23．（2021·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若BE=3，CE=33，求图中阴影部分的面积．24．（2022·江苏南京·二模）已知△ABC，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）．(1)在图①中，BC所在直线的下方求作一点M，使得∠BMC＝∠A；(2)在图②中，BC所在直线的下方求作一点N，使得∠BNC＝2∠A．25．（2021·江苏南京·九年级期中）若关于x的方程x2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，则方程x2+2x＝0是“隔根方程”．（1）方程x2﹣x﹣20＝0是“隔根方程”吗？判断并说明理由；（2）若关于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，求m的值．26．（2022·江苏南京·二模）【概念认识】与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．(1)【初步理解】如图①~③，四边形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都与边AD相切，⊙O2与边AB相切，⊙O1和⊙O3都经过点B，(2)【计算求解】已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．(3)【深入研究】如图④，已知矩形ABCD，用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）①作它的1个第Ⅰ类圆；②作它的1个第Ⅱ类圆．27．（2021·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离．（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC，OC．求证：PA＜PC．（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，连接AP，则AP的最小值是．（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B长度的最小值为．（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5）为圆心，以1，2为半径作⊙A，⊙B，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，P为x轴上的动点，直接写出PM+PN的最小值为．2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题4.1期中全真模拟试卷01（能力卷，九上苏科第1-4章）注意事项：本试卷满分120分，试题共27题，其中选择6道、填空10道、解答11道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2021·黑龙江·同江市第三中学九年级期中）用配方法解方程x2－2xA．（x+1）2=6 B．（【答案】C【分析】根据配方法即可求出答案．【详解】解：x2∴x2∴x2∴（x故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．2．（2021·江苏南京·九年级期中）在某次比赛中，有10位同学参加了“10进5”的淘汰赛，他们的比赛成绩各不相同．其中一位同学要知道自己能否晋级，不仅要了解自己的成绩，还需要了解10位参赛同学成绩的（

）A．平均数 B．加权平均数 C．众数 D．中位数【答案】D【分析】根据中位数的特点，参赛选手要想知道自己是否能晋级，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数即可．【详解】解：根据题意，由于总共有10个人，且他们的成绩各不相同，第5名和第6名同学的成绩的平均数是中位数，要判断是否能晋级，故应知道中位数是多少．故选：D．【点睛】本题考查中位数，理解中位数的特点，熟知中位数是一组数据从小到大的顺序依次排列，处在最中间位置的的数（或最中间两个数据的平均数）是解答的关键．3．（2022·江苏南京·八年级期末）一枚质地均匀的正六面体骰子，每个面标有一个数，分别是1，2，3，4，5，6．抛掷这枚骰子1次，下列事件中可能性最大的是（

）A．朝上的面的数字是3B．朝上的面的数字是偶数C．朝上的面的数字不小于2D．朝上的面的数字是3的倍数【答案】C【分析】计算各个选项中事件的概率，进而判定事件可能性的大小．【详解】解：朝上的面的数字是3的概率是16朝上的面的数字是偶数的概率是36朝上的面的数字不小于2的概率是56朝上的面的数字是3的倍数的概率是26故选：C．【点睛】本题考查了用列举法求概率，解题的关键是熟练掌握概率公式，一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=mn且0≤P（4．（2022·江苏南京·九年级期末）平面内，⊙O的半径为3，若点P在⊙O外，则OP的长可能为（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根据点与圆的位置关系得出OP＞3即可．【详解】解：∵⊙O的半径为3，点P在⊙O外，∴OP＞3，故选：A．【点睛】本题考查点与圆的位置关系，解答的关键是熟知点与圆的位置关系：设平面内的点与圆心的距离为d，圆的半径为r，则点在圆外⇔d＞r，点在圆上⇔d=r，点在圆内⇔d＜r．5．（2022·江苏南京·九年级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝90°，AB＝AD，∠ADC＝105°．若点E在BC上，且EC＝2BE，连接AE，则∠BAE的度数是（

）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【分析】连接BD,DE，根据圆周角定理和等腰直角三角形的性质求得∠ADB=45°，进而可得∠BDC=60【详解】解：连接BD,DE,∵∠BAD=∴∠ABD=∠ADB=∵∠ADC=∴∠BDC=∴∴∠BDE=∴∠BAE=∠BDE=故选：B．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角之间的关系等知识点，正确作出辅助线并能求出∠BDC=606．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（）A．233 B．3 C．3π【答案】D【分析】由AQ⊥BQ，得点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为BC，连接OC，代入弧长公式即可．【详解】∵AQ⊥BQ，∴点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为BC，连接OC，∵∠ACB＝90°，OA＝OB，∴CO＝OA＝1，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，∴BC的长为60×π×1180故选：D．【点睛】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，确定点Q在以AB为直径的⊙O上运动是解题的关键．二、填空题7．（2022·江苏苏州·九年级阶段练习）方程x2【答案】x【分析】利用因式分解法解方程．【详解】解：xxx(x-1)=0x1故答案为：x1【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法是解题的关键．8．（2021·江苏·麒麟中学九年级阶段练习）设α、β是一元二次方程x2＋x﹣2020＝0的两个实数根，则αβ＋α＋β＝_____．【答案】−2021【分析】利用一元二次方程的根与系数关系可得αβ与α＋β的值，代入所求的代数式即可求解．【详解】解：∵α、β是一元二次方程x2＋x﹣2020＝0的两个实数根，∴αβ＝－2020，α＋β＝－1，∴αβ+α+β=−2020−1=−2021，故答案为：−2021【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，熟记根与系数关系是解题的关键．9．（2022·新疆塔城·八年级期末）随机从甲、乙两块试验田中各抽取10株麦苗测量高度，计算平均数和方差的结果为x甲=13，x乙=13，【答案】甲【分析】根据方差的意义判断即可，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．【详解】解：∵x甲=13，x乙=13，∴x甲=x∵甲块试验田的方差小，∴甲试验田小麦长势比较整齐．故答案为：甲．【点睛】本题主要考查了方差的意义，解题的关键是熟练掌握方差的意义：它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．10．（2022·江苏南京·九年级期末）某汽车厂商经过两次增产，将汽车年产量由4.86万辆提升至6万辆，设平均每次增产的百分率是x，可列方程为______．【答案】4.86（1+x）2=6【分析】根据等量关系：增产前的产量×（1+x）2=增产后的产量列出方程即可．【详解】解：根据题意，得：4.86（1+x）2=6，故答案为：4.86（1+x）2=6．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．11．（2022·江苏·九年级专题练习）甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为0.5、0.1、0.9．对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．该事件是

_______．（填“甲、乙或丙”）【答案】丙【分析】根据概率的意义，概率公式，即可解答．【详解】解：甲、乙、丙三个事件发生的概率分别为0.5、0.1、0.9．对其中一个事件的描述是“发生的可能性很大，但不一定发生”．该事件是丙，故答案为：丙．【点睛】本题考查了概率的意义，概率公式，熟练掌握概率的意义是解题的关键．12．（2021·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）一个袋子中有2个红球和若干个白球，这些球除颜色外，形状、大小、质地完全相同，在看不到的情况下，随机摸出一个红球的概率是15【答案】8【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，求出即可．【详解】解：设白球x个，根据题意可得：22+x解得：x＝8，故袋中有8个白球．故答案为：8【点睛】本题主要考查了根据概率的有关计算，准确计算是解题的关键．13．（2021·江苏·麒麟中学九年级阶段练习）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，AB=6，则⊙O半径为_______．【答案】13【分析】由⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，AB=6可得BE=3，设OB=x，则由CE=2可得OE=x-2，由此在Rt△OBE中由勾股定理建立方程解得x的值，即可得到OB的长．【详解】解：∵⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，AB=6，∴BE=3，∠OEB=90°，设OB=x，则OC=x，∵CE=2，∴OE=x-2，∵在Rt△OBE中，OB∴x2=(x−2)∴OB=134，即圆O的半径为故答案为：134【点睛】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，由“垂径定理”得到BE=3，并由勾股定理在Rt△OBE中建立其“以OB长度为未知数的方程”是正确解答本题的关键．14．（2022·江苏泰州·九年级专题练习）如图，在五边形AECDE中，∠A=∠B=∠C=90°，AE=2，CD=1，以DE为直径的半圆分别与AB、BC相切于点F、G，则DE的长为______．【答案】5【分析】作出如图的辅助线，推出四边形OFBG是正方形，设⊙O的半径为r，则OE=OD=OE=OG=BG=AM=r，ME=r-2，ON=r-1，证明Rt△OME≌Rt△OND，得到OM=ON=r-1，在Rt△OME中，利用勾股定理求解即可．【详解】解：取DE的中点O，连接OF、OG，延长GO与AE的延长线相交于点M，过点D作DN⊥MG于点N，∵BC切⊙O于点G，∴CG⊥BG，∵∠A=∠B=∠C=90°，∴四边形ABGM、四边形GCDN和四边形OFBG都是矩形，∵OF=OG，∴四边形OFBG是正方形，设⊙O的半径为r，则OE=OD=OE=OG=BG=AM=r，∵AE=2，CD=1，∴ME=r-2，ON=r-1，在Rt△OME和Rt△OND中，∠M=∠OND=90°∠EOM=∠DON∴Rt△OME≌Rt△OND，∴OM=ON=r-1，在Rt△OME中，OE2=ME2+OM2，∴r2=(r-2)2+(r-1)2，解得：r=1(舍去)或5，故答案为：5．【点睛】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股中位线定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．15．（2022·江苏南京·九年级期中）如图，点O是正六边形ABCDEF和正五边形AB1C1D1E1的中心，连接【答案】78【分析】连接AO、FO、B1O、C1O．由正六边形的性质可知∠AFE=120°，∠AOF=60°，AO=FO=B1O=C1O，AF=EF，∠AOB1=∠B1【详解】如图，连接AO、FO、B1O、由正六边形的性质可知∠AFE=(6−2)×180°6=120°，∠AOF=16∴△AOF为等边三角形，∠FAE=1∴∠AFO=60°．由正五边形的性质可知∠AOB1=∠∴∠AOC1=144°∴∠FOC∴∠OFC∴∠AFG=∠AFO+∠OFC∴∠AGF=180°−∠AFG−∠FAE=180°−72°−30°=78°．故答案为：78．【点睛】本题考查正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理以及等腰三角形的性质．正确的作出辅助线是解题关键．16．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，BC=33，点D是AB的中点，点E是以点B为圆心，BD长为半径的圆上的一动点，连接AE，点F为AE的中点，则CF长度的最大值是______．【答案】9【分析】如图，延长AC到T，使得CT=AC，连接BT，TE，BE．再证明CF=12ET，求出ET【详解】解：如图，延长AC到T，使得CT=AC，连接BT，TE，BE．∵AC=CT，BC⊥AT，∴BA=BT，∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=33，∴∠BAT=60°，AC=BC•tan30°=3，∴AB=2AC=6，∴△ABT是等边三角形，∴BT=AB=6，∵AD=BD=BE，∴BE=3，∵ET≤BT+BE，∴ET≤9，∴ET的最大值为9，∵AC=CT，AF=FE，∴CF=12ET∴CF的最大值为92故答案为：92【点睛】本题考查点与圆的位置关系、三角形中位线定理、等边三角形的判定和性质等知识，正确添加常用辅助线、构造三角形的中位线是解答本题的关键．三、解答题17．（2021·江苏·麒麟中学九年级阶段练习）解方程：(1)3x(2)2xx−3【答案】(1)x(2)x【分析】（1）方程用公式法求出解即可；（2）方程整理后，利用因式分解法求出解即可．（1）解：a=3,b=1,c=−2b2x=解得：x1（2）解：∵2x(x−3)+5(x−3)=0，∴(x−3)(2x+5)=0，x-3=0或2x+5=0，解得：x【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法及公式法，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键．18．（2021·江苏南京·九年级期中）如图，⊙O的弦AB、CD相交于点P，且AB=CD．求证PB=PD．【答案】证明见解析；【分析】要证PB=PD，可连接BD，需证∠Ｄ=∠B，根据已知条件，只需证CB⏜【详解】证明：连接BD．∵AB=CD，∴∴即CB∴∠D=∠B．∴PB=PD．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系的定理及推论、圆周角定理及推论、等腰三角形的判定等知识点，熟知上述定理及推论是解题的基础，而善于发现问题、掌握分析问题的方法是解题的关键．19．（2022·河南南阳·八年级期末）甲、乙两位学生参加校运会射击选拔赛，两人各射击了5次，小明根据他们的成绩（单位：环）列表，并计算了甲成绩的平均数和方差（见小明的作业）．甲、乙两人射击成绩统计表第1次第2次第3次第4次第5次甲成绩94746乙成绩75747小明的作业解：x＝15S甲2＝15×[（9﹣6）2+（4﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2+（6﹣6）2＝15＝3.6(1)请参照小明的计算方法，求出乙成绩的平均数与方差．(2)请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．【答案】(1)6（环），1.6（环2）；(2)乙【分析】（1）首先求出平均数，再利用方差公式求出即可；（2）利用两组数据的方差比较，方差小的更加稳定，得出即可．（1）x乙s2乙＝15×[（7﹣6）2+（5﹣6）2+（7﹣6）2+（4﹣6）2+（7﹣6）2]＝1.6（环（2）选择乙，甲和乙平均成绩相同，乙的方差小，发挥更稳定些，故推选乙．（答案不唯一）．【点睛】此题主要考查了方差以及平均数求法等知识，熟练记忆方差公式是解题关键．20．（2022·江苏南京·八年级期末）在一个不透明的抽奖袋中装有红色、黄色、白色、黑色四种除颜色外都相同的小球，从袋子中摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，黑色表示谢谢参与．(1)若小明获得1次抽奖机会，小明中奖是事件；（填随机、必然、不可能）(2)小明观察后发现，平均每8个人中会有1人抽中一等奖，2人抽中二等奖，3人未获奖，若袋中共有24个球，请你估算袋中白球的数量；(3)在（2）的条件下，如果在抽奖袋中增加两个黄球，抽中一等奖的概率会怎样变化？请说明理由；继续添加小球，能否使抽中一等奖的概率还原？若能，请设计一种添加方案．若不能，请说明理由．【答案】(1)随机(2)袋中共有24个球，估计袋中白球大约有6个；(3)可以使概率还原，方案不唯一：如再增加1个红球，5个白球【分析】（1）根据随机事件的定义，结合题目问题情境进行判断即可；（2）求出“获三等奖”的概率即可估计白球的数量；（3）根据概率的定义，加入2个黄球，球的总数为26个，而红球3个，因此概率发生变化；再根据添加红球和其它颜色的球，使红球的概率为18（1）解：袋子中装有红色、黄色、白色、黑色四种颜色的小球，摸出1个球，红色、黄色、白色分别代表一、二、三等奖，而黑色表示谢谢参与，所以小明中奖是随机事件，故答案为：随机；（2）解：由题意得，获得三等奖的概率为8−1−2−38=124×14答：袋中共有24个球，估计袋中白球大约有6个；（3）解：（2）中的24个中有红球24×18=3个，黄球24×28=6个，白球6个，黑球24×再加入2个黄球，球的总数为26个，而红球还是3个，因此红球的概率为32618=3所以抽中一等奖的概率降低了；抽中一等奖的概率可以还原为18设加入x个红球，y个其它颜色的球，由于红球的概率为18x+326+x+y即7x-y=2，因为x、y均为整数，所以当x=1时，y=5，（答案不唯一）所以设计方案为：继续添加1个红球，5个其它颜色的球，能使摸到红球的概率还原为18【点睛】本题考查概率的公式，随机事件、必然事件、不可能事件，掌握概率的计算方法，理解随机事件、必然事件、不可能事件的定义是正确解答的前提．21．（2022·江苏南京·九年级期末）某单位要修建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m2．(1)求小路的宽度．(2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．【答案】(1)小路的宽度是2m；(2)每次降价的百分率为20%【分析】（1）设小路的宽度为xm，根据总面积为480列方程求解即可；（2）设每次降价的百分率为y，根据等量关系列方程50（1－y）2=32解方程即可求解．（1）解：设小路的宽度为xm，根据题意，得：（20+2x）（16+2x）=480，整理得：x2+18x－40＝0，解得：x1=2，x2=－20（舍去），答：小路的宽度为2m；（2）解：设每次降价的百分率为y，根据题意，得：50（1－y）2=32，解得：y1＝0.2，y2＝1.8（舍去），答：每次降价的百分率为20%．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解答的关键．22．（2021·江苏南京·九年级期中）已知关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+k+3＝0的两根是x1，x2．（1）当k为何值时，这个方程总有两个不相等的实数根？（2）说明：无论k为何值，方程总有一个不变的根．【答案】（1）k≠-2；（2）证明见解析．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（k+2）2，由方程总有两个不相等的实数根，可得出（k+2）2＞0，解之即可得出k≠-2，进而可得出当k≠-2时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程的两个根，进而可得出无论k为何值，方程总有一个不变的根为x＝﹣1．【详解】解：（1）∵a＝1，b＝（k+4），c＝k+3，∴Δ＝b2﹣4ac＝（k+4）2﹣4×1×（k+3）＝k2+4k+4＝（k+2）2，∵方程总有两个不相等的实数根，∴（k+2）2＞0，即k+2≠0，∴k≠-2，∴当k≠-2时，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）∵x2+（k+4）x+k+3＝0，即（x+1）[x+（k+3）]＝0，∴x+1＝0或x+（k+3）＝0，∴x1＝﹣1，x2＝﹣（k+3），∴无论k为何值，方程总有一个不变的根为x＝﹣1．【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解答的关键．23．（2021·江苏·南京郑和外国语学校九年级期中）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若BE=3，CE=33，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）93【分析】（1）连接OC，如图，利用切线的性质得CO⊥CD，则AD∥CO，所以∠DAC=∠ACO，加上∠ACO=∠CAO，从而得到∠DAC=∠CAO；（2）设⊙O半径为r，利用勾股定理得到r2+27=（r+3）2，解得r=3，再利用锐角三角函数的定义计算出∠COE=60°，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影=S△COE﹣S扇形COB进行计算即可．【详解】解：（1）连接OC，如图，∵CD与⊙O相切于点E，∴CO⊥CD，∵AD⊥CD，∴AD∥CO，∴∠DAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO，∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠DAB；（2）设⊙O半径为r，在Rt△OEC中，∵OE2+EC2=OC2，∴r2+27=（r+3）2，解得r=3，∴OC=3，OE=6，∴cos∠COE=OCOE∴∠COE=60°，∴S阴影=S△COE﹣S扇形COB=12•3•33﹣60·π·【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．24．（2022·江苏南京·二模）已知△ABC，请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）．(1)在图①中，BC所在直线的下方求作一点M，使得∠BMC＝∠A；(2)在图②中，BC所在直线的下方求作一点N，使得∠BNC＝2∠A．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）用作一条线段等于已知线段的方法作AB=BM，AC=CM，则可知△ABC≌△MBC，则∠BMC=∠A，点M即为所求；（2）分别作BM，CM的垂直平分线，相交于点N，则点N为三角形BCM的外接圆的圆心，由圆周角定理可知点N即为所求．（1）如图：以点B为圆心，BA为半径画圆弧，再以C为圆心，AC为半径画圆弧，两弧交BC下方于点M，则M点即为所求，如图，点M即为所求；（2）如图所示，在（1）的图形基础上，分别以B、M为圆心，大于12BM长为半径分别作弧，交于E、F两点，连接EF，再分别以C、M为圆心，大于12CM长为半径分别作弧，交于G、H两点，连接GH，EF与GH交于点如图，点N即为所求．【点睛】本题考查了尺规作图，作一条线段等于已知线段，作线段的垂直平分线，圆周角定理等知识，熟练掌握尺规作图和圆周角定理是解题的关键．25．（2021·江苏南京·九年级期中）若关于x的方程x2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，则方程x2+2x＝0是“隔根方程”．（1）方程x2﹣x﹣20＝0是“隔根方程”吗？判断并说明理由；（2）若关于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，求m的值．【答案】（1）不是，理由见解析；（2）m＝0或m＝4．【分析】（1）不是，利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为x1＝5，x2＝﹣4，二者做差后可得出5﹣（﹣4）＝9≠2，进而可得出方程x2﹣x﹣20＝0不是“隔根方程”；（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出方程的两个根分别为x1＝﹣1，x2＝1﹣m，结合关于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，可得出关于m的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出m的值．【详解】解：（1）不是，理由如下：∵x2﹣x﹣20＝0，即（x﹣5）（x+4）＝0，∴x1＝5，x2＝﹣4．∵5﹣（﹣4）＝9≠2，∴方程x2﹣x﹣20＝0不是“隔根方程”．（2）∵x2+mx+m﹣1＝0，即（x+1）[x+（m﹣1）]＝0，∴x1＝﹣1，x2＝1﹣m．又∵关于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，∴|1﹣m﹣（﹣1）|＝2，解得：m＝0或m＝4．【点睛】本题考查了解一元二次方程，“隔根方程”的定义，理解题意是解题的关键．26．（2022·江苏南京·二模）【概念认识】与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆．(1)【初步理解】如图①~③，四边形ABCD是矩形，⊙O1和⊙O2都与边AD相切，⊙O2与边AB相切，⊙O1和⊙O3都经过点B，(2)【计算求解】已知一个矩形的相邻两边的长分别为4和6，直接写出它的第Ⅰ类圆和第Ⅱ类圆的半径长．(3)【深入研究】如图④，已知矩形ABCD，用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）①作它的1个第Ⅰ类圆；②作它的1个第Ⅱ类圆．【答案】(1)⊙O1(2)258；(3)作图见详解【分析】（1）根据题目中所给定义，就可以解决此问；（2）根据圆的切线的性质定理，构造出直角三角形，利用勾股定理，就可以解决此问；（3）第Ⅰ类圆就是作不在同一直线上三点之间线段的垂直平分线，其交点就是圆心，以圆心到三点中任意一点的线段长为半径画出的圆就是第Ⅰ类圆；矩形的Ⅱ类圆的作法就是先作出任意一个与AB、AD边相切的圆O，连接AC交圆O于F，再过C作OF平行线，与AM的交点即为所求圆的圆心位置，以该点与C连线的线段为半径画圆即可．（1）解：与矩形一边相切（切点不是顶点）且经过矩形的两个顶点的圆叫做矩形的第Ⅰ类圆，⊙O1是符合Ⅰ类圆的定义，是矩形ABCD的第Ⅰ类圆；与矩形两边相切（切点都不是顶点）且经过矩形的一个顶点的圆叫做矩形的第Ⅱ类圆，⊙O2符合Ⅱ类圆的定义，是矩形ABCD（2）解：①第Ⅰ类圆⊙O设切点为点E，连接O1E并反向延长O1E交BC于点∴O1∵AD∥∴O1∴O1F垂直平分∴BF=1设半