安徽省皖南八校2024-2025学年高三上学期第一次大联考数学试题（解析版）

2025届“皖南八校”高三第一次大联考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.3.本卷命题范围：集合与逻辑､不等式､函数与导数､三角函数､解三角形.一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则的子集个数为（）A.2 B.3 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求出，进而求出子集个数.依题意，集合，集合，于是，所以的子集个数为.故选：D2.已知是定义域为的函数，则“，使”是“是上的增函数”的（）A.充分不必要条件 B.充要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据函数单调性与充分必要条件定义判断即可.“，使”不能推出“是上的增函数”，如，满足，使，但不是上的增函数.反之，若是上的增函数，由增函数的定义，可知一定，使.所以“，使”是“是上的增函数”的必要不充分条件.故选：C.3.设实数满足，则关于的不等式的解集为（）A.或 B.或C. D.【答案】A【解析】【分析】根据二次不等式与二次函数的关系，给合题意，可得答案.因为，所以不等式的解集为或.故选：A.4.已知，则（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数恒等变换公式化简已知等式，再根据诱导公式简化即可得到答案.故选:A5.当时，曲线与的交点个数是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】作出函数与的图象，结合图象，即可求解.作出函数与的图象，如图所示，观察在上的两个函数的图象，共有5个交点.故选：C.6.设函数在上单调递减，则的范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，利用对数函数、二次函数的单调性，结合复合函数单调性列式求解即得.由函数在上单调递减，得函数在上单调递减，且，，而函数的图象开口向下，对称轴方程为，因此，解得.故选：D7.已知函数，则下列命题正确的是（）A.是以为周期的函数B.直线是曲线的一条对称轴C.函数的最大值为，最小值为D.函数在上恰有2024个零点【答案】C【解析】【分析】对于A，用周期性定义验证即可；对于B,用对称性定义验证即可；对于C,易知是函数的一个周期，所以只需考虑在上的最大值.结合换元和二次函数，正弦函数最值问题求解即可；对于D,先研究函数在上的零点个数，再用周期性拓广即可.对于A,因为与不恒相等，所以不是的周期，故A错误；对于B,又与不恒相等，故B错误；对于C,易知是函数的一个周期，所以只需考虑在上的最大值.①当时，，令，则，易知在区间上的最大值为，最小值为，②当时，,令，则，知在区间上的最大值为，最小值为，综上所述函数的最大值为，最小值为，故C正确；对于D,先研究函数在上的零点个数，由C可知,当时，令得，又因，在只有唯一解，即此时函数只有唯一零点.同理可得当时函数也只有唯一零点.所以函数在上恰有2025个零点.故D错误.故选:C.8.设，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】将三个数进行恒等变形，使三个数中都出现，结合三个数据的形式构造定义域在上的函数，通过求导分析函数单调性，确定时的函数值与的大小关系，即可比较三个数的大小.由题意得，.令，则，令，则，令，则，当时，，∴在上是减函数，且，，∴，使得，∴当时，，当时，，∴在上为增函数，在为减函数.∵，，∴当时，，∴在上为增函数.∵，∴，∴.②令，则，∴在上为增函数.∵,∴，∴.故选：B.【点睛】方法点睛：构造函数比大小问题，比较两个数大小的方法如下：①将两个数恒等变形，使两数有共同的数字，②将看成变量，构造函数，③分析包含的某个区域的函数单调性，④根据函数单调性比较大小.二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在中，角的对边分别是，下列说法正确的是（）A.若，则有两解B.若，则C.若，则为锐角三角形D.若，则为等腰三角形【答案】BC【解析】【分析】利用正弦定理、余弦定理、余弦函数的单调性对选项逐一分析即可.由正弦定理，得，则，此时无解，故错误；函数在上单调递减，则时，，故正确；因为，角为内角，所以，知均为锐角，则为锐角三角形，故正确；，由余弦定理，得，整理得或，即或为等腰三角形或直角三角形，故错误.故选：.10.已知实数，且，则下列说法正确的是（）A.的最小值为1B.的最小值为18C.的最大值是D.的最大值是【答案】ACD【解析】【分析】利用对数运算、指数幂的运算结合基本不等式及配凑法对选项逐一分析即可判断.，当且仅当时等号成立，故正确；，当且仅当即时，等号成立，与0矛盾，故错误；，当且仅当时，等号成立，则，故正确；，当且仅当时，等号成立，故正确.故选：.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.函数与的图象有相同的切线B.函数有两个单调区间C.存在实数，使得函数和有相同的最小值D.已知直线与两条曲线和共有三个不同的交点，且从左到右三个交点的横坐标分别为，则【答案】ACD【解析】【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，由相同切线建立方程判断A；求出函数的单调区间判断B；取，求出函数的最小值判断C；确定曲线有交点，数形结合求出判断D.对于A，设直线与曲线分别相切于点，，则直线或，即或，则有，消去得，令，而，函数在R上的图象连续不断，则函数有零点，即曲线有相同的切线，A正确；对于B，函数的定义域为，，令，则在和上单调递增，又，，于是使得，当时，，；当时，，则，函数有三个单调区间，B错误；对于C，当时，令，，，，由，得，由，得，在上递减，在上递增，，由，得，由，得，在上递减，在递增，，C正确；对于D，由选项C知，，，作出的大致图象：令二图象交点，，当直线与曲线和共有三个不同的交点时，直线必经过点，即，而，，即，令，得，解得或，由，得，因此当直线与曲线和共有三个不同的交点时，从左到右的三个交点的横坐标依次为，则，而，因此，D正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题D选项，作出函数图象，数形结合求出直线与两条曲线交点的横坐标是解题的关键.三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，集合，若，则__________.【答案】5【解析】【分析】根据确定的值，对函数求导，代入计算即得.因为，故或，则或，因时，，不满足，故.又因，故.故答案为：5.13.设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】利用正弦函数的性质解不等式即可.x∈0,π在区间0,π恰有三个极值点，两个零点，则，解得.故答案为：.14.已知定义在上的可导函数为奇函数，为奇函数且，则__________.【答案】【解析】【分析】根据为奇函数，可得的图象关于中心对称，在上的可导函数，根据复合函数求导可得的图象关于轴对称，可得是为周期函数，即可求解.因为为奇函数，所以，则的图象关于中心对称，则，因为奇函数，所以，即，得，设为常数，令，得，则，所以的图象关于轴对称，又因的图象关于中心对称,可得，则，故函数是周期为4的函数，因为，所以，，所以，所以.故答案为：四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.已知集合，集合，且：（1）求实数的值；（2）求函数的极值.【答案】（1）；（2）极小值1，无极大值.【解析】【分析】解不等式化简集合，再利用并集的结果求出的值.（2）由（1）的结论，利用导数求出函数的极值.【小问1】由，得，解得，则，而，，于是，解得，此时，符合题意，所以.【小问2】由（1）知，的定义域为，求导得，当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，无极大值.16.已知函数的最小正周期为.（1）求的值及函数的对称中心；（2）设，若对任意的都有，求实数的取值范围.【答案】（1），对称中心为（2）【解析】【分析】（1）由三角函数的公式化简及图象性质易得结果；（2）将题干不等式转化为，分别求出和的相应最值，可得参数的范围.【小问1】，因为的最小正周期为，所以，故.所以，令，解得.所以的对称中心为.【小问2】因为对任意的都有，所以.因为，令，当时，，得函数.则；当时，，则，所以，即即解得，故实数的取值范围是.17.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）证明：时，在恒成立.【答案】（1）的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）计算，根据、求函数的单调区间；（2）把不等式等价变形，根据、得，转化不等式，构造函数，通过求导分析单调性证明不等式.【小问1】当时，，由得,，故，由得,，故，所以，的单调递增区间是，单调递减区间是.【小问2】要证明不等式恒成立，只需证明在上恒成立，∵，∴，∴要证，只需证.令，则.∵,∴,∴,∴在上为减函数，∵，∴在上恒成立，∴时，在恒成立.18.在中，角的对边分别为.且满足.（1）求角的大小；（2）若的面积，内切圆的半径为，求；（3）若的平分线交于，且，求的面积的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用和角公式化简，借助于同角三角函数式和特殊角的函数值即得；（2）由等面积得出，，利用余弦定理得出，三式联立即可求得边；（3）结合题设，分别在，和中，由正弦定理推出边的关系式，再利用基本不等式求得的最小值，继而即得三角形面积最小值.【小问1】由，可得，所以，即，因，则.【小问2】由等面积法可得：，即：，所以①，②，在中，由余弦定理得，即③，由①②③解得：；小问3】如图，因平分，故，在中，设，则，在中，由正弦定理，得，则，在中，由正弦定理，得，则，得，故有（*）.在中，由正弦定理，得，则，得代入（*）式，可得，即.由基本不等式，得，解得，当且仅当时取“”.于是，.即的面积的最小值为.【点睛】思路点睛：解题时要注重题设条件的应用，如三角形内切圆半径常与其面积联系解题，内角平分线常与正余弦定理结合使用，遇到两参数的相关式求最值常与基本不等式挂钩解题.19.已知函数为自然对数的底数，，曲线与在处的切线的倾斜角互补.（1）求的值；（2）求的单调递增区间；（3）若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数都满足和恒成立，则称直线为函数和的“隔离直线”.证明：函数和之间存在唯一的“隔离直线”.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义，结合倾斜角互补即斜率互为相反数即可求解；（2）对求导分析单调性及最值，利用二次求导分析的单调性及最值，可得的解析式，继而即可求解.（3）由题意得点为函数的图象的公共点，，可知函数的图象在公共点处有公切线，通过构造函数，分析单调性及最值来证明，，即可得证.【小问1】由题得，所以，由题意可知，则.【小问2】由，得，所以时，f'x<0，则是的单调递减区间；时，f'x>0，则是的单调递增区间.又由，得f1=0，时，，则x∈0,1时，时，；令，则恒成立，所以在x∈0,+又，则，使得恒成立，所以x∈0,x0时，，则是x∈x0,+∞时，，则是又，则x∈0,1时，时，gx故，所以hx在和1,+∞上单调递减，在上单调递增，故hx的单调递增区间为.【小问3】证明：令，其公共定义域为0,+∞，则，则，所以点为函数的图象的公共点，由，则，由