2024-2025学年江苏省镇江市高三（上）期初数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省镇江市高三（上）期初数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知一组数据：4，6，7，9，11，13，则这组数据的第50百分位数为(

)A.6 B.7 C.8 D.92.已知集合A={x|x2−3x−4≤0}，B={x∈N|2−x>0}，则A∩B=A.{3,4} B.{0,1} C.{−1,0,1} D.{2,3,4}3.已知x>0，y>0，xy=4，则x+2y的最小值为(

)A.4 B.42 C.6 4.由数字2，3，4组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为(

)A.23 B.56 C.345.若正三棱锥的所有棱长均为3，则该正三棱锥的体积为(

)A.33 B.212 C.6.随机变量X服从N(μ,σ2)，若P(X≥1)=P(X≤3)，则下列选项一定正确的是A.P(X≥3)=1 B.σ=1

C.μ=2 D.P(X≥3)+P(X≤1)=17.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点NA.2π B.4π C.22π8.已知定义域为R的函数f(x)，满足f(1−x)f(1−y)+f(x+y)=f(x)f(y)，且f(0)≠0，f(−1)=0，则以下选项错误的是(

)A.f(1)=0 B.f(x)图象关于(2,0)对称

C.f(x)图象关于(1,0)对称 D.f(x)为偶函数二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列求导运算正确的是(

)A.(e3x)′=3ex B.(x10.已知事件A与B发生的概率分别为P(A)=35,P(B)=4A.P(AB)=1225 B.P(A|B)>25 C.11.函数y=f(x)的定义域为I，区间D⊆I，对于任意x1，x2∈D(x1≠x2)，恒满足f(xA.f(x)=lnx B.f(x)=ex C.f(x)=x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某人参加一次考试，共有4道试题，至少答对其中3道试题才能合格，若他答每道题的正确率均为0.5，并且答每道题之间相互独立，则他能合格的概率为

．13.已知二次函数f(x)从1到1+Δx的平均变化率为2Δx+3，请写出满足条件的一个二次函数的表达式f(x)=______．14.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间像球一样来回自由滚动，并且始终保持与两平面都接触(如图).勒洛四面体是以一个正四面体的四个顶点分别为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的公共部分围成的几何体.若构成勒洛四面体ABCD的正四面体ABCD的棱长为2，在该“空心”勒洛四面体ABCD内放入一个球，则该球的球半径最大值是______．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折、8.5折、9折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算．

(1)求一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率；

(2)若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X的分布列及数学期望E(X)．16.(本小题15分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA=23，AD//BC，AD=1，AB=BC=2，AD⊥平面PAB，PD⊥AB，E，F分别是棱PB，PC的中点．

(1)证明：DF//平面ACE；

(2)求二面角A−CE−B17.(本小题15分)

我们可以用“配方法”和“主元法”等方法证明“二元不等式”：a2+b2≥2ab(a,b∈R)，当且仅当a=b时，a2+b2=2ab等号成立．

(1)证明“三元不等式”：a3+b3+c3≥3abc(a,b,c∈[0,+∞))．

(2)18.(本小题17分)

在如图所示的平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠A1AB=∠A1AD=45°，∠BAD=60°,AB=1,AD=2,AA1=219.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex−1e2x+ax．

(1)函数y=f(x)是否具有奇偶性？为什么？

(2)当a=−1时，求f(x)的单调区间；

(3)若f(x)有两个不同极值点x1，参考答案1.C

2.B

3.B

4.A

5.C

6.C

7.D

8.B

9.CD

10.BD

11.AD

12.51613.2x2−x(14.2−15.解：(1)从6张奖券中，任取2张奖券共有C62=15种选法，抽到的两张奖券相同的有3种选法，

∴一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率为P=15−315=45．

(2)X的所有可能取值为80，85，90，

P(X=80)=1+C2X808590P311∴E(X)=80×3516.解：(1)证明：如图，连接EF，因为E，F分别为PB，PC的中点，

所以EF/​/BC，EF=12BC，

又AD//BC，AD=12BC，

所以EF/​/AD，EF=AD，

所以四边形ADFE是平行四边形，则DF/​/AE，

因为AE⊂平面ACE，DF⊄平面ACE，

所以DF/​/平面ACE．

(2)因为A

D⊥平面PAB，PA，AB⊂平面PAB，

所以AD⊥AP，AD⊥AB，

又AB⊥PD，AD，PA是平面PAD内两条相交直线，

所以AB⊥平面PAD，又PA⊂平面PAD，所以AB⊥PA，

所以AB，AP，AD两两互相垂直，

以A为坐标原点，AB，AP，AD的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,0,2)，D(0,0,1)，E(1,3,0)，

所以AC=(2,0,2)，AE=(1,3,0)，BC=(0,0,2)，BE=(−1,3,0)，

设平面ACE的一个法向量为n1=(x1,y1,z1)，则n1⊥AC，n1⊥AE，

则n1⋅AC=0n1⋅AE=0，即2x1+2z1=0x1+3y117.解：(1)证明：因为a，b，c∈[0,+∞)，

则a3+b3−(a2b+b2a)=a3−a2b+b3−b2a

=a2(a−b)+b2(b−a)

=(a−b)(a2−b2)

=(a−b)2(a+b)≥0(当且仅当a=b时取等)，

所以a3+b3≥a2b+b2a(当且仅当a=b时取等)，

同理a3+c3≥a2c+c2a(当且仅当a=c时取等)，

b3+c3≥b2c+c2b(当且仅当c=b时取等)，

三式相加可得：2(a3+b3+c3)≥a2b+b2a+a2c+c2a+18.解：(1)根据题意可得AC1=AB+BC+CC1=AB+AD+AA1，

则|AC1|2=|AB+AD+AA1|2=AB2+AD2+AA12+2AB⋅AD+2AD⋅AA1+2AB⋅AA1

=1+4+8+2×1×2×12+2×1×22×22+2×2×22×19.解：(1)f(−x)=e−x−1e−2x−ax=ex−e2x−ax，而f(x)=e−x−e−2x+ax，

显然f(−x)≠f(x)，且f(−x)≠−f(x)，

所以f(x)既不是奇函数，也不是偶函数，故函数y=f(x)不具有奇偶性．

(2)a=−1时，f(x)=ex−1e2x−x，

f′(x)=exe2