专题10 三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型（原卷版）

专题10.三角形中的特殊模型-“8”字模型、“A”字模型与三角板模型近年来各地考试中常出现一些几何导角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题“8”字模型、“A”字模型与三角板模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。模型1、“8”字模型图1图28字模型（基础型）条件：如图1，AD、BC相交于点O，连接AB、CD；结论：①；②。8字模型（加角平分线）条件：如图2，线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD；结论：2∠P=∠B+∠D例1．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）下图是某工人加工的一个机器零件（数据如图），经过测量不符合标准．标准要求是：，且、、保持不变为了达到标准，工人在保持不变情况下，应将图中（填“增大”或“减小”）度．例2．（2023·浙江·八年级假期作业）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠K的度数．例3．（2022秋·安徽淮北·八年级校考期中）“字”的性质及应用：(1)如图相交于点，得到一个“字”，试说明的理由；(2)如图，以图中给的字母为顶点的“字”有多少个；(3)如图和的平分线相交于点，利用(1)中的结论试说明的理由．例4．（2023·成都市·八年级月考）如图，AC、BD是四边形ABCD的对角线，且AC、BD相交于点O．求证：（1）；（2）．例5．（2023春·广东深圳·七年级部校考期中）探究题(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，则，，，四个角的数量关系是______；(2)如图2，若，的角平分线，交于点，则与，的数量关系为______；(3)如图3，，分别平分，，当时，试求的度数（提醒：解决此问题可以直接利用上述结论）；(4)如图4，如果，，当时，则的度数为______．模型2、“A”字模型结论：①∠3+∠4=∠D+∠E；②∠1+∠2=∠A+180°。例1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为．例2．（2023·重庆·八年级期中）如图，在中，，若按图中虚线剪去，则等于（）A． B． C． D．例3．（2023秋·广西·八年级专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．例4．（2023·广东八年级课时练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（

）．A． B． C． D．例5．（2023秋·新疆阿克苏·八年级统考期末）探索归纳：(1)如图1，已知为直角三角形，，若沿图中虚线剪去，则．A．

90°

B．

315°

C．

135°

D.270°(2)如图2，已知中，，剪去后形成四边形，则度．(3)如图2，根据上面的求解过程，猜想与的关系是．(4)如图3，若没有剪掉，而是把它折成如图3的形状，请猜想与的关系是．例6．（2023春·浙江七年级课时练习）利用“模型”解决几何综合问题往往会取得事半功倍的效果．几何模型：如图（1），我们称它为“A”型图案，易证明：∠EDF＝∠A+∠B+∠C．运用以上模型结论解决问题：（1）如图（2），“五角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝？分析：图中A1A3DA4是“A”型图，于是∠A2DA5＝∠A1+∠A3+∠A4，所以∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝；（2）如图（3），“七角星”形，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5+∠A6+∠A7的度数．模型3、三角板模型【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。图①中：∠A=30°，∠C=60°，图②中：∠A=∠C=45°，例1．（2023春·四川成都·七年级校考期末）如图，将一副学生用三角板（一个锐角为的直角三角形，一个锐角为的直角三角形）的直角顶点重合并如图叠放，当，则（

）A． B． C． D．例2．（2022秋·陕西西安·八年级校考期末）将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为（

）A． B． C． D．例3．（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）将一副三角板如图摆放，若，点F在边上，顶点A，C，D在同一直线上，则下列角的大小为的是（

）A． B． C． D．例4．（2023春·江苏无锡·七年级统考期末）有一副直角三角板、，其中，，．如图，将三角板的顶点E放在上，移动三角板，当点E从点A沿向点B移动的过程中，点E、C、D始终保持在一条直线上．下列结论：①当时，；②逐渐变小；③若直线与直线交于点M，则为定值；④若的一边与的某一边平行，则符合条件的点E的位置有3个．正确的有．（填序号）

例5．（2023春·湖南衡阳·七年级统考期末）一副三角板如图1摆放，，，，点在上，点在上，且平分，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当点落在射线上时停止旋转），设旋转时间为秒．

(1)当______秒时，；当______秒时，；(2)在旋转过程中，与的交点记为，如图2，若有两个内角相等，求的值；(3)当边与边、分别交于点、时，如图3，连接，设，，，试问是否为定值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．课后专项训练1．（2022秋·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（

）A． B． C． D．2．（2023·广西南宁·七年级校考阶段练习）将一副三角板的直角顶点重合按如图放置，，，小明得到下列结论：①如果，则；②；③如果，则；④如果，则．其中正确的结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（2023春·山东烟台·七年级统考期中）一副三角板如图摆放，且，则的度数为（

）

A． B． C． D．4．（2023·河北邯郸·统考一模）如图，已知在中，，若沿图中虚线剪去，则的度数是（

）．A． B． C． D．5．（2022春·山东烟台·七年级统考期中）如图，在中，沿图中虚线截去，若，则的度数为（

）A． B． C． D．6．（2022秋·河南商丘·八年级统考阶段练习）如图所示，五条线段首尾相连形成的图形中，，则等于（

）

A． B． C． D．7．（2023秋·湖北武汉·八年级校联考期中）如图，在由线段组成的平面图形中，，则的度数为（

）．A． B． C． D．8．（2023·全国·八年级期中）如图，将一副直角三角板如图放置，．若边经过点D，则．9．（2023春·七年级课时练习）如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝．10．（2023·全国·八年级假期作业）如图，若，则．11．（2023·江苏扬州·七年级校考期末）已知如图，∠COD＝90°，直线AB与OC交于点B，与OD交于点A，射线OE与射线AF交于点G．（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝°．（2）若∠GOA＝∠BOA，∠GAD＝∠BAD，∠OBA＝36°，则∠OGA＝°．（3）将（2）中的“∠OBA＝36°”改为“∠OBA＝α”，其它条件不变，求∠OGA的度数．（用含α的代数式表示）（4）若OE将∠BOA分成1：4两部分，∠GAD═∠BAD，∠ABO＝α（18°＜α＜90°），求∠OGA的度数．（用含α的代数式表示）12．（2023春·江西南昌·七年级南昌二中校考期末）问题情景：如图1，在同一平面内，点B和点C分别位于一块直角三角板的两条直角边，点A与点P在直线的同侧，若点P在内部，与的大小是否满足某种确定的数量关系？

(1)特殊探究：若，则度，度，度；(2)类比探索：请猜想与的关系，并说明理由；(3)类比延伸：改变点A的位置，使点P在外，其它条件都不变（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由，请直接写出与满足的数量关系式．13．（2022春·山西晋城·七年级统考期末）请阅读下列材料，完成相应的任务：凸四边形的性质研究如果把某个四边形的任何一边向两端延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，凸四边形是我们数学学习中常见的图形，它有一个非常有趣的性质：任意凸四边形被对角线分成的两对对顶三角形的面积之积相等，例如，在图①中，凸四边形的对角线相交于点O，且，的面积分别为则有，证明过程如下：…任务：(1)请将材料中的证明过程补充完整；(2)如图②，任意凸四边形的对角线相交于点O，分别记的面积为，求证：(3)如图③，在四边形中，对角线相交于点O，，则四边形的面积为___________．14．（2022·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图所示，AB、CD相交于点O，∠A＝48°，∠D＝46°．(1)若BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，求∠BEC的度数；(2)若直线BM平分∠ABD交CD于F，CM平分∠DCH交直线BF于M，求∠BMC的度数．

15．（2023·广东湛江·八年级统考期中）问题情景：如图①，有一块直角三角板放置在上（点在内），三角板的两条直角边、恰好分别经过点和点．探究与是否存在某种确定的数量关系．(1)特殊探究：若，则____度，____度，____度；(2)类比探索：请探究与的关系；(3)类比延伸：如图②，改变直角三角板的位置，使点在外，三角板的两条直角边、仍然分别经过点和点，（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出你的结论，并说明理由．16．（2023·八年级课时练习）(1)如图①，已知△ABC为直角三角形，∠A＝90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1＋∠2等于()A．90°

B．135°

C．270°

D．315°(2)如图②，已知△ABC中，∠A＝40°，剪去∠A后成四边形，则∠1＋∠2＝________°；(3)根据(1)与(2)的求解过程，请你归纳猜想∠1＋∠2与∠A的关系是______________．17．（2023春·河南洛阳·七年级统考期末）如图，与的角平分线交于点．

(1)若，，求的度数；(2)直接写出，，的数量关系；(3)若与的大小发生变化，（2）的结论是否仍然成立？若成立，说明理由，若不成立，写出成立的式子．18．（2022秋·湖北省直辖县级单位·八年级校联考期中）如图所示，有一块直角三角板足够大，其中，把直角三角板放置在锐角上，三角板的两边、恰好分别经过、．(1)若，则______，______，______(2)若，则______．（写出求解过程）(3)请你猜想一下与所满足的数量关系，并说明理由．19．（2023春·七年级课时练习）（1）如图①，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数；（2）如图②，求