专题06 平行线中的拐点模型专项过关检测（解析版）

专题06.平行线中的拐点模型专项过关检测姓名：__________________班级：______________得分：_________________注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023下·湖南永州·七年级校考期末）绿色出行，健康你我．“美团”为了方便市民出行，提供了共享单车服务，图1是“美团”共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中都与地面平行，与也平行，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先证明，再证明，从而可得答案．【详解】解：∵都与地面平行，∴，而，∴，∵，∴，故选C【点睛】本题考查的是平行线的性质，熟记两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补是解本题的关键．2．（2023下·广西百色·八年级统考期中）请阅读以下“预防近视”知识卡读书、写字、看书姿势要端正．一般人正常的阅读角度约为俯角（如图视线与水平线的夹角度．在学习和工作中，要保持读写姿势端正，可概括为“三个一”，包括：眼与书本的距离1尺；身体与桌子距离1拳；握笔时，手指离笔尖1寸．书本与课桌的角度要保持在30度至45度．已知如图，桌面和水平面平行，与书本所在平面重合，根据卡片内容，请判断正常情况下，坐姿正确且座椅高度适合时，视线和书本所在平面所成角度不可能为以下哪个角度（）

A．74° B．78° C．84° D．88°【答案】D【分析】过作，由平行线的性质得，，由，可得，即可得到结论．【详解】解：由题意得，，，，

过作，，，，，．故选：D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解决问题的关键．3．（2023下·浙江金华·七年级校考期中）如图消防云梯，其示意图如图1所示，其由救援台、延展臂（B在C的左侧）、伸展主臂、支撑臂构成，在作业过程中，救援台、车身及地面三者始终保持水平平行．为了参与一项高空救援工作，需要进行作业调整，如图2．使得延展臂与支摚臂所在直线互相垂直，且，则这时展角（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】延长交于P，过P作，则，根据平行线的性质得到，据此求解即可．【详解】解：延长交于P，过P作，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故选B．

【点睛】本题考查平行线的性质与判定、垂直定义，理解题意，添加辅助线，利用平行线的性质解决实际问题是解答的关键．4．（2023·浙江杭州·七年级期中）如图所示，若AB∥EF，用含、、的式子表示，应为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，求出∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，即可得出答案．【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=，∴∠BCD=180°-，∠DCM=∠CMN=-，∴=∠BCD+∠DCM=，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．5．（2023·辽宁锦州·统考一模）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，直角顶点在直线上，斜边与直线相交．若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】如图，过作，则，，，由，可得，进而可得结果．【详解】解：如图，过作，则，

∵，∴，∴，∵，∴，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．6．（2023下·云南曲靖·七年级统考期末）如图，，，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】过作，延长交于，得到，推出，得到，因此，由三角形外角的性质即可求解．【详解】解：过作，延长交于，

，，，，，，，，，，，，．故选：B．【点睛】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质得到．7.（2023下·四川达州·七年级校考期中）已知如图，，，则的度数为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】如图，延长交于点，由平行线性质得到，再由邻补角定义可得，最后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和即可求出的度数．【详解】解：如图，延长交于点，，，，，，，故选：D．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质，掌握平行线的性质及三角形外角的性质合理添加辅助线是解题关键．8．（2023下·天津河西·七年级统考期中）如图，如果，，下列各式正确的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据平行线的性质，即可得到，进而得出．【详解】∵，∴，∴，∵，∴，即．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键．9．（2023下·广东惠州·七年级校联考期中）①如图1，，则；②如图2．，则；③如图3，，则；④如图4．，则．以上结论正确的是（

）

A．①②③④ B．①②③ C．②③④ D．②④【答案】C【分析】①过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；②过点E作直线，由平行线的性质即可得出结论；③过点E作直线，由平行线的性质可得出结论；④先过点P作直线，再根据两直线平行，内错角相等和同位角相等即可作出判断．【详解】解：①过点E作直线，

∵，∴，∴，，∴，故①错误；②过点E作直线，∵，∴，∴，，∴，故②正确；③过点E作直线，∵，∴，∴，，∴，即，故③正确；④如图，过点P作直线，∵，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，即，故④正确．综上所述，正确的小题有②③④，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查的是平行线的性质及平行公理的推论，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．10．（2023下·河北邢台·七年级校考期中）有一题目：“如图，点E在的延长线上，，交于点F，且，．比的余角小10°，P为线段上一动点，Q为上一点，且满足，为的平分线．”甲、乙、丙分别给出了一个结论，下列判断正确的是（

）甲：；乙：平分；丙：

A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．甲和丙都对 D．乙对，丙错【答案】D【分析】由根据内错角相等两直线平行可得，再由两直线平行内错角相等可得，于是，进而可得；由可得，根据已知条件可得平分；由可得，由可得的度数，由可得，结合平分可得的度数；【详解】解：∵，交于点F，，∴，∴，又∵，∴，∴，即甲正确；由可得，又∵，∴，∴平分，即乙正确；由可得，又∵，∴，∴，∵为的平分线，∴，∴，由平分可得，∴，∴，即丙错误；综上所述甲乙正确，丙错误，故选：D．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，角的和差计算等知识；利用角平分线的定义列出角度的等量关系是解题关键．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）11．（2023下·吉林松原·七年级统考期中）如图1，为响应国家新能源建设，公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线），如图2，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，要使，需将电池板逆时针旋转度，．

【答案】【分析】先根据与太阳光线互相垂直，得出，再根据平行线的性质可得当时，，即可得出结论．【详解】解：∵与太阳光线互相垂直，∴，当时，，∴需将电池板逆时针旋转，故答案为：．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同位角相等．12．（2023下·山西·七年级统考阶段练习）如图，若直线，，，则的度数为．【答案】/150度【分析】如图，先根据直线，得出，然后根据，得出，再根据两直线平行，同旁内角互补，即可得出的度数．【详解】如图所示，点在直线上，点、在直线上，点在、之间，为，直线，，，，，故答案为：．【点睛】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的性质与判定定理是解本题的关键．13．（2022下·江西·七年级校考阶段练习）如图，已知，，直线a平移后可以得到直线b，则∠2的度数是．

【答案】/140度【分析】作直线，根据平行线的性质，得出，，即可求出∠2的度数．【详解】解：如图，作直线，，，，直线a平移后可以得到直线b，，，，，故答案为：．

【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．14．（2023下·浙江台州·七年级统考期末）直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中斜边与直线n交于点D．若，则的度数为．

【答案】/25度【分析】过点C作n的平行线l，得到，，根据平行线的性质求出，再根据直角三角板中含的角，得到，则，进而得到，最后根据平行线的性质即可求解．【详解】解：如图，过点C作n的平行线l，

∵，，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查的是平行线的性质和三角板中角度的计算，熟知两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．15．（2023下·河南郑州·七年级统考期末）已知直线，射线分别平分，两射线反向延长线交于点H，请写出之间的数量关系：．

【答案】【分析】延长交于T，交于K，设，利用角平分线的定义、平行线的性质及三角形内角和求得与的关系，即可求得之间的数量关系．【详解】解：延长交于T，交于K，如图，

∵射线分别平分，∴，设，∴，∵，∴，，∴，，∴，∴，整理得，故答案为：．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和等知识，构造辅助线是关键．16．（2023下·贵州遵义·七年级校联考期中）如图，为某校放置在水平操场上的篮球架的横截面图形，初始状态时，主柱垂直于地面，与上拉杆形成的角度为，这一篮球架可以通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．在调整的高度时，为使和平行，调整使其上升到的位置，此时，，并且点H，D，则为度．

【答案】115【分析】过点D作，可得，再由，可得，然后根据，可得，即可求解．【详解】解：过点D作，∴，

∵，∴，又∵，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案为：115．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质，过拐点构造平行线是解题的关键．17．（2022下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，直线，、分别为直线、上一点，且满足，是射线上的一个动点（不包括端点，将三角形沿折叠，使顶点落在点处．若，则的度数为

【答案】或【分析】分两种情况：①点在与之间；②点在下方，结合折叠性质可得，由平行线的性质可求得，结合，，从而可求解．【详解】解：①当点在与之间，由折叠可得：，，，，，，，，，解得：；②当点在下方时，如图，由折叠可得：，

，，，，，，，，解得：；综上所述：的度数为或．故答案为：或．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系．18．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）如图，已知，，，且，平分分别交、的延长线于点M、N．则．【答案】【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义．正确的添加辅助线并确定角度之间的数量关系是解题的关键．设，，则，，，，由角平分线可得，如图，作，则，可得，，，，则，根据，求得，然后求的值，进而可得的值．【详解】解：设，，则，，，，∵平分，∴，如图，作，则，∴，，，，∴，∵，，∴，解得，，∴，，∴，故答案为：．三、解答题（本大题共8小题，共78分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（2023下·河北承德·七年级统考期末）已知：如图，．

图1

图2(1)如图1，，判断直线和的位置关系，并给予证明；(2)如图2，，，请判断与的数量关系，并证明．【答案】(1)，证明见解析(2)，证明见解析【分析】（1）延长交于，先根据条件证明，进而即可求解；（2）作，，可得，根据平行线的性质即可求解．【详解】（1）解：（1）证明如下：，，，，延长EF交CD于，如图，

，，，，．（2）（2），证明：由（1）得，作，，如图，，，，，∵，，，，，，，，，，，即．【点睛】本题考查平行线的判定与性质，正确作出辅助线是关键．20．（2023下·江西·七年级统考期末）（1）【感知】如图1，，点E在直线与之间，连接，试说明．下面给出了这道题的解题过程，请将解题过程中的解题依据补充完整．证明：如图1，过点E作，∴，（）∵（已知），（辅助线作法），∴，（）∴，（）∵，∴；（等量代换）（2）【探究】当点E在如图2的位置时，其他条件不变，试说明；（3）【应用】如图3，延长线段交直线于点M，已知，求的度数（请直接写出答案）．

【答案】（1）两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；（2）见解析；（3）【分析】（1）过点E作，由平行线的性质得出，证出，由平行线的性质得出，即可得出结论；（2）过点E作，则，由平行线的性质得出，即可得出结论；（3）过点E作，则，由平行线的性质得出，即可得出答案．【详解】（1）证明：如图1，过点E作，∴，（两直线平行，内错角相等）∵（已知），（辅助线作法），∴，（平行于同一直线的两条直线平行）∴，（两直线平行，内错角相等）∵，∴；（等量代换）故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两条直线平行；两直线平行，内错角相等；

（2）证明：过点E作，如图2所示：∵，∴，∴，∴；（3）解：过点E作，如图∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线和熟练运用平行线的性质是解题的关键．21．（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）已知：点是的边上一点（点不与点重合），点是内部一点，射线不与相交．

(1)如图1，，过点作射线，使得．（其中点在内部）．①依据题意，补全图1；②直接写出的度数．(2)如图2，点是射线上一点，且点不与点重合，当时，过点作射线，使得（其中点在的外部），用含的代数式表示与的数量关系，并证明．【答案】(1)①见解析②(2)，证明见解析【分析】（1）①根据题意补图即可；②根据平行线的性质求出即可；（2）过点O作，根据平行线的性质得出两个角的度数关系；【详解】（1）①依据题意，补全图1如下：

②∵，∴，∵，∴，∵，∴；（2）（2），证明：过点O作∴，又∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．22．（2023下·浙江金华·七年级统考期中）如图，已知，．

(1)求的值；(2)若平分，交于点，且，求的度数．【答案】(1)(2)【分析】（1）由平行线的性质即可得到的值；（2）作，由平行线的性质可得，则，再根据可得，则，由角平分线的性质可得，则，最后在根据平行线的性质进行计算即可得到答案．【详解】（1）解：，，，；（2）解：作，如图，

，，，，，，，平分，，，，．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．23．（2023下·浙江·七年级期中）为更好地理清平行线与相关角的关系，小明爸爸为他准备了四根细直木条、，、，做成折线，如图1，且在折点B、C、D处均可自由转出．（1）如图2，小明将折线调节成，判别是否平行于，并说明理由；（2）如图3，若，调整线段、使得，求出此时的度数，要求画出图形，并写出计算过程．（3）若，求出此时的度数，要求画出图形，直接写出度数，不要求计算过程．【答案】（1）AB∥DE，理由见解析；（2）25°或155°，画图见解析；（3）60°或120°或70°或110°【分析】（1）过点C作CF∥AB，利用平行线的判定和性质解答即可；（2）分别画图3和图4，根据平行线的性质可计算∠B的度数；（3）分别画图，根据平行线的性质计算出∠B的度数．【详解】解：（1）AB∥DE，理由是：如下图，过点C作CF∥AB，∴∠B=∠BCF=50°，∵∠BCD=75°，∴∠DCF=25°，∵∠D=25°，∴∠D=∠DCF=25°，∴CF∥DE，∴AB∥DE；（2）如下图，∵AB∥CD，∴∠B=∠BCD=25°；如图4：∵AB∥CD，∴∠B+∠BCD=180°，∴∠ABC=180°-25°=155°；（3）由（1）得：∠B=85°-25°=60°；如图5，过C作CF∥AB，则AB∥CF∥CD，∴∠FCD=∠D=25°，∵∠BCD=85°，∴∠BCF=85°-25°=60°，∵AB∥CF，∴∠B+∠BCF=180°，∴∠B=120°；如图6，∵∠C=85°，∠D=25°，∴∠CFD=180°-85°-25°=70°，∵AB∥DE，∴∠B=∠CFD=70°，如图7，同理得：∠B=25°+85°=110°，综上所述，∠B的度数为60°或120°或70°或110°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和的运用，解决问题的关键是作辅助线构造同位角以及内错角，依据平行线的性质及三角形外角性质进行推导计算．24．（2023下·浙江杭州·七年级校联考期中）如图1，点在直线上，点在直线上，点在，之间，且满足．

(1)证明：；(2)如图2，若，，点在线段上，连接，且，试判断与的数量关系，并说明理由；(3)如图3，若（为大于等于2的整数），点在线段上，连接，若，则______．【答案】(1)证明见解析(2)，理由见解析(3)【分析】（1）连接，根据三角形内角和定理可知，根据，可得，从而证得；（2）作，设，则，，，根据平行线的性质可得，进而得出；（3）作，设，则，根据平行线的性质可得，推得，，即可求解．【详解】（1）解：如图，连接，

∵，，∴，∴．（2）解：；理由如下：作，如图，设，则，，，∵，∴∴，∴．即；（3）解：作，如图，设，则，∵，∴，∴，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式．25．（2023下·浙江·七年级期中）如图，直线，直线与，分别交于点，．小安将直角三角板（，）按如图1放置，使点分别在直线上，且．

(1)填空：___________（填“”“”或“”）．(2)如图2，的平分线交直线于点．①当时，求的度数；②小安将三角板沿直线左右移动，保持，点分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）．【答案】(1)(2)①，②或【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解；（2）①由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，再利用平行线的性质即可求解；②可分两种情况：当点在点的右侧时，当点在点的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．【详解】（1）解：如图1，过点作，

，

，，，，，，故答案为：；（2）解：，，，，，平分，，，，；的度数为或，如图2，当点在点的右侧时，，，，，，，，平分，，；如图3，当点在点的左侧时，

，同理可得，，，，平分，，，综上所述，的度数为或．【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键．26．（2023下·浙江·七年级期末）已知，直角的边与直线a分别相交于O、G两点，与直线b分别交于E，F点，且．（1）将直角如图1位置摆放，如果，则________；（2）将直角如图2位置摆放，N为上一点，，请写出与之间的等量关系，并说明理由；（3）将直角如图3位置摆放，若，延长交直线b于点Q，点P是射线上一动点，探究与的数量关系，请直接写出结论．【答案】（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）见解析【分析】（1）作CP//a，则CP//a//b，根据平行线的性质求解．（2）作CP//a，由平行线的性质及等量代换得∠AOG+∠NEF=∠ACP+∠PCB=90°．（3）分类讨论点P在线段GF上或线段GF延长线上两种情况，过点P作a，b的平行线求解．【详解】解：（1）如图，作CP//a，∵a//b，CP//a，∴CP//a//b，∴∠AOG=∠ACP=56°，∠BCP+∠CEF=180°，∴∠BCP=180°-∠CEF，∵∠ACP+∠BCP=90°，∴∠AOG+180°-∠CEF=90°，∴∠CEF=180°-90°+∠AOG=146°．（2）∠AOG+∠NEF=90°.理由如下：如图，作CP//a，则CP//a//b，∴∠AOG=∠ACP，∠BCP+∠CEF=180°，∵∠NEF+∠CEF=180°，∴∠BCP=∠NEF，∵∠ACP+∠BCP=90°，∴∠AOG+∠NEF=90°．（3）如图，当点P在GF上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF,∵∠GOC=∠GOP+∠POQ=135°，∴∠GOP=135°-∠POQ，∴∠OPQ=135°-∠POQ+∠PQF．如图，当点P在GF延长线上时，作PN//a，连接PQ，OP,则PN//a//b，∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，∵∠OPN=∠OPQ+∠QPN，∴∠GOP=∠OPQ+∠PQF，∴135°-∠POQ=∠OPQ+∠PQF．【点睛】本题考查平行线的性质的应用，解题关键是熟练掌握平行线的性质，通过添加辅助线及分类讨论的方法求解．附加题（不计入总分）1．（2023·浙江·七年级期中）同一平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系．（1）如图，若，点在、外部，我们过点作、的平行线，则有，则，，之间的数量关系为_________．将点移到、内部，如图，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论．（2）迎“”科技节上，小兰制作了一个“飞旋镖”，在图中，将直线绕点逆时针方向旋转一定角度交直线于点，如图，他很想知道、、、之间的数量关系，请你直接写出它们之间的数量关系：__________．（3）设交于点，交于点，已知，，直接写出的度数为_______度，比大______度．【答案】（1）∠BPD=∠B-∠D；将点P移到AB、CD内部，∠BPD=∠B-∠D不成立，∠BPD=∠B+∠D，证明见解析；（2）∠BPD=∠ABP+∠D+∠BQD；（3）80，46．【分析】（1）由平行线的性质得出∠B=∠BPE，∠D=∠DPE，即可得出∠BPD=∠B-∠D；将点P移到AB、CD内部，延长BP交DC于M，由平行线的性质得出∠B=∠BMD，即可得出∠BPD=∠B+∠D；（2）由平行线的性质得出∠A′BQ=∠BQD，同（1）得：∠BPD=∠A′BP+∠D，即可得出结论；（3）过点E作EN∥BF，则∠B=∠BEN，同（1）得：∠FQE=∠F+∠QEN，得出∠EQF=∠B+∠E+∠F，求出∠EQF=180°-100°=80°，即∠B+∠E+∠F=80°，由∠AMP=∠APB-∠A=126°-∠A，∠FMQ=180°-∠AQF-∠F=180°-100°-∠F=80°-∠F，∠AMP=∠FMQ，得出126°-∠A=80°-∠F，即可得出结论．【详解】解（1）∵AB∥CD∥PE，∴∠B=∠BPE，∠D=∠DPE，∵∠BPE=∠BPD+∠DPE，∴∠BPD=∠B-∠D，故答案为：∠BPD=∠B-∠D；将点P移到AB、CD内部，∠BPD=∠B-∠D不成立，∠BPD=∠B+∠D，理由如下：延长BP交DC于M，如图b所示：∵AB∥CD，∴∠B=∠BMD，∵∠BPD=∠BMD+∠D，∴∠BPD=∠B+∠D；（2）∵A′B∥CD，∴∠A′BQ=∠BQD，同（1）得：∠BPD=∠A′BP+∠D，∴∠BPD=∠ABP+∠D+∠BQD，故答案为：∠BPD=∠ABP+∠D+∠BQD；（3）过点E作EN∥BF，如图d所示：则∠B=∠BEN，同（1）得：∠FQE=∠F+∠QEN，∴∠EQF=∠B+∠E+∠F，∵∠AQF=100°，∴∠EQF=180°-100°=80°，即∠B+∠E+∠F=80°，∵∠AMP=∠APB-∠A=126°-∠A，∠FMQ=180°-∠AQF-∠F=180°-100°-∠F=80°-∠F；∵∠AMP=∠FMQ，∴126°-∠A=80°-∠F，∴∠A-∠F=46°，故答案为：80，46．【点睛】本题考查了平行线性质，三角形外角性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．2．（2023下·浙江金华·七年级校考阶段练习）如图，已知，P是直线，间的一点，于点F，PE交AB于点E，．

(1)求的度数；(2)如图2，射线从出发，以每秒的速度绕P点按逆时针方向旋转，当垂直时，立刻按原速返回至后停止运动；射线从出发，以每秒的速度绕E点按逆时针方向旋转至后停止运动．若射线，射线同时开始运动，设运动时间为t秒．①当时，求的度数；②当时，求t的值．【答案】(1)(2)①或；②秒或秒或秒【分析】（1）延长与相交于点G，根据平行线的性质，得到，再根据外角的性质可计算得到结果；（2）①当时，分两种情况，Ⅰ当在和之间，Ⅱ当在和之间，由，计算出的运动时间t，根据运动时间可计算出，由已知（1）的可计算出的度数；②根据题意可知，当时，分三种情况，Ⅰ射线由逆时针转动，，根据题意可知，，，再平行线的性质可得，再根据三角形外角和定理可列等量关系，求解即可得出结论；Ⅱ射线垂直后，再顺时针向运动时，，根据题意可知，，，，可计算射线的转动度数，再根据转动可列等量关系，即可求出答案；Ⅲ射线垂直时，再顺时针向运动时，，根据题意可知，，，根据（1）中结论，，可计算出与代数式，再根据平行线的性质，可列等量关系，求解可得出结论．【详解】（1）解：延长与相交于点G，如图1，

∵，∴，∵，∴；（2）解：①Ⅰ如图2，∵，，∴，∴射线的运动时间，∴射线PN旋转的角度，又∵，∴；Ⅱ如图3所示，∵，，∴，∴射线运动的时间，∴射线旋转的角度：又∵，∴；∴的度数为或；②Ⅰ当从出发，运动如图4时，，与相交于点H，

根据题意可知，经过t秒，，，∵，∴，又∵，∴，解得；Ⅱ射线垂直后，再顺时针向运动时，运动如图5时，，根据题意可知，，，，射线的转动度数为，则，又∵，∴，∴，解得；Ⅲ当从出发，运动如图6时，此时垂直后立刻按原速返回的过程中，，根据题意可知，经过t秒，，，∵，，∴，，又∵，∴，∴，解得，综上所述：满足条件的t的值为秒或秒或秒．【点睛】本题主要考查平行线性质，合理添加辅助线和根据题意画出相应的图形时解决本题的关键．3．（2023下·广东梅州·七年级统考期末）直线在同一平面内有平行和相交两种位置关系，线段首尾连接可以变换出很多不同的图形，这些不同的角又有很多不同关系，今天我们就来探究一下这些奇妙的图形吧！【问题探究】

（1）①如图1，若，点P在内部，，则；②如图2，若，将点P在外部，求之间数量关系（不需证明）；③如图3，写出之间的数量关系：（不需证明）．【变式拓展】（2）如图4，五角星，请直接写出．（3）如图5，将五角星去掉一个角后，是多少？请证明你的结论．【答案】（1）①；②；③；（2）；（3），证明见解析【分析】（1）①过点P作，利用平行线的性质可得，则；②根据平行线的性质的，再根据三角形外角的性质即可得到；③延长交于点E，利用三角形外角的性质即可得到；（2）根据三角形外角的性质可得，进而根据三角形