专题02 数轴中的九类动态模型（解析版）

专题02数轴中的九类动态模型数轴中的动态问题属于七年级上册必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（注意：要检验解是否符合动点的运动时间范围）。【知识储备】①求A、B两点间的距离：若能确定左右位置：右—左；若无法确定左右位置：；②求A、B的中点：；③数轴动点问题主要步骤：1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度；2）写点——写出所有点表示的数：一般用含有t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示；3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值；4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。注意：要注意动点是否会来回往返运动。模型1.左右跳跃模型（动态规律模型）【模型解读】例1．（2023·河南洛阳·七年级校考阶段练习）一个电子跳蚤在一条数轴上从原点开始，第一次向右跳1个单位长度，紧接着第二次向左跳2个单位长度，第三次向右跳3个单位长度，第四次向左跳4个单位长度…以此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处距离原点（

）个单位长度．A．0 B．100 C．50 D．－50【答案】C【分析】数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算即可．【详解】解：0＋1﹣2＋3﹣4＋5﹣6＋…＋99﹣100＝﹣50，所以落点处离0的距离是50个单位．答案：C．【点睛】主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想．例2．（2022·浙江嘉兴·七年级期末）一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长度，表示第n秒时机器人在数轴上的位置所对应的数．给出下列结论：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是_______．【答案】①②④【分析】“前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，先根据题意列出几组数据，从数据找寻规律：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，第m个循环节结束的数就是第5m个数，即x5m=m．然后再根据“前进3步后退2步”的运动规律来求取对应的数值．【详解】根据题意可知：x1=1，x2=2，x3=3，x4=2，x5=1，x6=2，x7=3，x8=4，x9=3，x10=2，x11=3，x12=4，x13=5，x14=4，x15=3，…由上列举知①②正确，符合题意；由上可知：第一个循环节结束的数即x5=1，第二个循环节结束的数即x10=2，第三个循环节结束的数即x15=3，…，即第m个循环节结束的数即x5m=m．∵x100=20，∴x101=21，x102=22，x103=23，x104=22，∵x105=21，∴x106=22，x107=23，x108=24故x108＞x104，故③错误，不合题意；∵x2015=403，∴x2016=404，x2017=405，x2018=406，x2019=405，x2020=404，故x2019＞x2020，故④正确．符合题意．故答案为：①②④．【点睛】本题考查了规律型——数字的变化类，主要考查了数轴，要注意数轴上点的移动规律是“左减右加”．把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来．前进3步后退2步”这5秒组成一个循环结构，让n÷5看余数，余数是几，那么第n秒时就是循环节中对应的第几个数．变式1.（2023·广西·七年级期中）如图，在数轴上，点A表示﹣4，点B表示﹣1，点C表示8，P是数轴上的一个点．(1)求点A与点C的距离．(2)若PB表示点P与点B之间的距离，PC表示点P与点C之间的距离，当点P满足PB＝2PC时，请求出在数轴上点P表示的数．(3)动点P从点B开始第一次向左移动1个单位长度，第二次向右移动2个单位长度，第三次向左移动3个单位长度，第四次向右移动4个单位长度，依此类推…在这个移动过程中，当点P满足PC＝2PA时，则点P移动次．【答案】(1)12(2)17或5(3)2或29【分析】(1)根据两点间的距离公式可得A与C的距离；(2)设点P表示的数是x，根据题意列出方程，再解方程即可；(3)设点P表示的数是x，根据题意列出方程可得x=−16或0，再根据点P的移动规律可得答案．(1)解：AC＝|8-(-4)|＝12，故答案为：12；(2)解：设点P表示的数是x，则PB＝|x＋1|，PC＝|x﹣8|，∴|x＋1|＝2|x﹣8|，解得x＝17或5；(3)解：设点P表示的数是x，则PA＝|x＋4|，PC＝|x﹣8|，∴|x﹣8|＝2|x＋4|，解得x＝﹣16或0，根据点P的移动规律，它到达的数字分别是﹣2，0，﹣3，1，﹣4，2，﹣5，3，……，它移动奇数次到达的数是从﹣2开始连续的负整数，故移动到﹣16需29次，移动到0需2次．故答案为：2或29．【点睛】本题主要考查数字的变化类、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离，熟练掌握绝对值的性质、实数在数轴上对应的点、数轴上两点间的距离是解决本题的关键．变式2．（2022·江苏·泰州七年级阶段练习）在如图的数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟4个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度…（1）求出2.5秒钟后动点Q所处的位置；（2）求出7秒钟后动点Q所处的位置；（3）如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距48个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由．【答案】（1）-2；（2）4；（3）1140秒或1164秒．【分析】（1）先根据路程=速度×时间求出2.5秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解；（2）先根据路程=速度×时间求出7秒钟走过的路程，然后根据左减右加列式计算即可得解；（3）分点A在原点左边与右边两种情况分别求出动点走过的路程，然后根据时间=路程÷速度计算即可得解．【详解】解：（1）∵4×2.5=10，∴点Q走过的路程是1+2+3+4=10，Q处于：1-2+3-4=4-6=-2；（2）∵4×7=28，∴点Q走过的路程是1+2+3+4+5+6+7=28，Q处于：1-2+3-4+5-6+7=-3+7=4；（3）①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则，解得n=95，∴动点Q走过的路程是1+|-2|+3+|-4|+5+…+|-94|+95=1+2+3+…+95==4560，∴时间=4560÷4=1140(秒)；②当点A原点左边时，设需要第n次到达点A，则=48，解得n=96，∴动点Q走过的路程是1+|-2|+3+|-4|+5+…+95+|-96|=1+2+3+…+96==4656，∴时间=4656÷4=1164(秒)

．【点睛】本题考查了数轴的知识，弄清题中的移动规律是解本题的关键．（3）题注意要分情况讨论求解，弄清楚跳到点A处的次数的计算方法是关键，可以动手操作一下便不难得解．模型2.点的常规运动模型【模型解读】例1．（2023·江苏、·七年级期中）已知数轴上有A、B、C三点，分别对应有理数－26、－10、10，动点P从B出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，同时，动点Q从A出发，以每秒3个单位的速度向终点C移动，设点P的移动时间为t秒．（1）当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为，点Q对应的数为；P、Q两点间的距离为．（2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为．（3）在点P运动到C点的过程中（点Q运动到C点后停止运动），请用含t的代数式表示P、Q两点间的距离．【答案】（1）-5，－11；6．（2）－10＋t．（3）当0≤t≤8时，PQ＝－2t＋16；当8＜t≤12时，PQ＝2t－16；当12＜t≤20时，PQ＝20－t．【分析】（1）由题意根据数轴上动点向正方向移动用加法以及两点间距离公式进行分析计算；（2）根据题意点P的移动时间为t秒列出代数式即可；（3）根据题意分当0≤t≤8时，当8＜t≤12时，当12＜t≤20时三种情况进行分析即可.【详解】解：（1）由题意可得当t＝5秒时，数轴上点P对应的数为：，点Q对应的数为：，P、Q两点间的距离为：，故答案为：－5,－11；

6．（2）用含t的代数式表示数轴上点P对应的数为：－10＋t．故答案为：－10＋t．（3）当0≤t≤8时，PQ＝(－10＋t)－(－26＋3t)＝－2t＋16；当8＜t≤12时，PQ＝(－26＋3t)－(－10＋t)＝2t－16；

当12＜t≤20时，PQ＝10－(－10＋t)＝20－t．【点睛】本题考查数轴上的动点问题，熟练掌握列代数式表示动点以及两点间距离公式，运用数形结合思维和分类讨论思维进行分析是解题的关键.变式1.（2022·河北石家庄·七年级期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为8，且AB＝12，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为AP，BP的中点，设运动时间为t（t＞0）秒，则下列结论中正确的有（

）①B对应的数是－4；②点P到达点B时，t＝6；③BP＝2时，t＝5；④在点P的运动过程中，线段MN的长度不变A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】①根据两点间距离进行计算即可；②利用路程除以速度即可；③分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，由题意求出AP的长，再利用路程除以速度即可；④分两种情况，点P在点B的右侧，点P在点B的左侧，利用线段的中点性质进行计算即可．【详解】解：设点B对应的数是x，∵点A对应的数为8，且AB=12，∴8-x=12，∴x=-4，∴点B对应的数是-4，故①正确；由题意得：12÷2=6（秒），∴点P到达点B时，t=6，故②正确；分两种情况：当点P在点B的右侧时，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB-BP=12-2=10，∴10÷2=5（秒），∴BP=2时，t=5，当点P在点B的左侧时，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB+BP=12+2=14，∴14÷2=7（秒），∴BP=2时，t=7，综上所述，BP=2时，t=5或7，故③错误；分两种情况：当点P在点B的右侧时，∵M，N分别为AP，BP的中点，∴MP=AP，NP=BP，∴MN=MP+NP=AP+BP=AB=×12=6，当点P在点B的左侧时，∵M，N分别为AP，BP的中点，∴MP=AP，NP=BP，∴MN=MP-NP=AP-BP=AB=×12=6，∴在点P的运动过程中，线段MN的长度不变，故④正确；所以，上列结论中正确的有3个，故选：C．【点睛】本题考查了数轴，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．变式2．（2022·河北·邯郸七年级阶段练习）在数轴上标出数所对应的点；两点间距离=____；两点间距离=；数轴上有两点，点对应的数为，点对应的数为，那么两点之间的距离=；若动点分别从点同时出发，沿数轴负方向运动；已知点的速度是每秒个单位长度，点的速度是每秒个单位长度，设运动时间为，问：①为何值时两点重合？②为何值时两点之间的距离为？【答案】（1）见解析；（2）；（3）（4）①；②2或4【分析】直接根据数轴上的点与有理数的对应关系即可得出答案；用数轴上右边的点对应的有理数减去左边点对应的有理数即可求出距离；根据距离等于两点表示的数之差的绝对值即可得出答案；①分别用含t的代数式表示出P，Q表示的有理数，通过题意建立方程，解方程即可；②根据两点之间的距离为1，建立方程，解方程即可．【详解】如图，之间的距离为，B，C两点间距离为；两点之间的距离为；①设点表示的数为，点表示的数为，令解得，②间的为，令解得．【点睛】本题主要考查数轴上的点与有理数，掌握数轴上两点之间的距离的求法是解题的关键．模型3.中点与n等分点模型【模型解读】例1．（2022·山东·七年级专题练习）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”．（1）如图1，点A表示的数为-1，则A的幸福点C所表示的数应该是______；（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是______（填一个即可）；（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为-1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心吗？请说明理由．【答案】（1）-4或2；（2）C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；（3）当经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．【分析】（1）根据幸福点的定义即可求解；（2）根据幸福中心的定义即可求解；（3）根据幸福中心的定义即可求解．【详解】解：（1）A的幸福点C所表示的数应该是-1-3=-4或-1+3=2；故答案为：-4或2；（2）∵4-（-2）=6，∴M，N之间的所有数都是M，N的幸福中心．故C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；（3）经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心，理由是：8-2-4+（8-2+1）=6，故当经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．【点睛】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，熟练掌握动点中三个量的数量关系式：路程=时间×速度，认真理解新定义．例2．（2022·江苏扬州·七年级期末）已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣2，6．(1)请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B；(2)若同一时间点M从点A出发以1个单位长度/秒的速度在数轴上向右运动，点N从点B出发以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，点P从原点出发以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动．①若点P向右运动，几秒后点P到点M、点N的距离相等？②若点P到A的距离是点P到B的距离的三倍，我们就称点P是【A，B】的三倍点．当点P是【B，A】的三倍点时，求此时P对应的数．【答案】(1)见解析；(2)①秒或2秒后点P到点M、点N的距离相等，②P对应数-6或0．【分析】（1）画出数轴，找出A、B所对应的点即可；（2）①根据两点间距离表示出MP=2t+2－t=t+2．当点P在点N左侧时，NP=6－5t；当点P在点N左右侧时，NP=5t－6，计算即可；②根据点P是【B，A】的三倍点，可得PB=3PA．分情况讨论：当点P在A点左侧时，求出点P对应数-6；当点P在A、B之间时，求出点P对应数0，综上可知点P对应数-6或0．(1)解：如图所示：(2)解：①MP=2t+2－t=t+2．当点P在点N左侧时，NP=6－5t；当点P在点N左右侧时，NP=5t－6∴t+2=6－5t，得：t=；或t+2=5t－6，得：t=2．即秒或2秒后点P到点M、点N的距离相等，②∵点P是【B，A】的三倍点，∴PB=3PA．当点P在A点左侧时，AB=2PA=8，∴PA=4，点P对应数-6；当点P在A、B之间时，AB=4PA=8，∴PA=2，点P对应数0，综上可知点P对应数-6或0．【点睛】本题考查数轴，解题的关键是掌握数轴的三要素及画法，数轴上两点之间的距离，注意对于动点问题需要进行分情况讨论．变式1．（2022·四川·成都市七年级期末）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上位于点左侧一点，且，动点以点出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．（1）写出数轴上点表示的数_________；点表示的数_________（用含的代数式表示）．（2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若点、同时出发，问多少秒时、之间的距离恰好等于2？（3）若为的中点，为的中点，在点运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请你画出图形，并求出线段的长．【答案】（1）-12；；（2）2．25秒或2．75秒；（3）长度不变，画图见解析，．【分析】（1）根据点B和点P的运动轨迹列式即可．（2）分两种情况：①点P、Q相遇之前；②点P、Q相遇之后，分别列式求解即可．（3）分两种情况：①当点P在点A、B两点之间运动时；②当点在点的左侧时，分别列式求解即可．【详解】解：（1）数轴上点表示的数为：，点表示的数为：．故答案为：-12；．（2）设秒后，之间的距离恰好等于2，①点，相遇前，由题意可得：，解得，②点，相遇之后，由题意可得：，解得．答：若点，同时出发，2．25秒或2．75秒时，，之间的距离恰好等于2．故答案为：2．25秒或2．75秒．（3）线段的长度不发生变化，都等于10，①当点在，两点之间运动时，，②当点在点的左侧时，，综上可得长度不变，且．【点睛】本题考查了数轴动点的问题，掌握数轴的性质是解题的关键．变式2．（2023·吉林·七年级期末）点A、B在数轴上表示的数如图所示，动点P从点A出发，沿数轴向右以每秒1个单位长度的速度向点B运动到点B停止运动；同时，动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动设点P运动的时间为t秒，P、Q两点的距离为d（d≥0）个单位长度．（1）当t＝1时，d＝；（2）当P、Q两点中有一个点恰好运动到线段AB的中点时，求d的值；（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，直接写出d的值；（4）当d＝5时，直接写出t的值．【答案】（1）d＝3；（2）d的值为3或；（3）所求d的值为0或4；（4）所求t的值为或5．【分析】（1）当t＝1时，求出AP＝1，BQ＝2，根据PQ＝AB﹣AP﹣BQ即可求解；（2）分①P点恰好运动到线段AB的中点；②Q点恰好运动到线段AB的中点两种情况进行讨论；（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，分①AP＝AB；②AP＝AB两种情况进行讨论；（4）当d＝5时，分①P与Q相遇之前；②P与Q相遇之后两种情况进行讨论．【详解】（1）当t＝1时，AP＝1，BQ＝2，∵AB＝4﹣（﹣2）＝6，∴PQ＝AB﹣AP﹣BQ＝3，即d＝3．故答案为3；（2）线段AB的中点表示的数是：＝1．①如果P点恰好运动到线段AB的中点，那么AP＝AB＝3，t＝＝3，BQ＝2×3＝6，即Q运动到A点，此时d＝PQ＝PA＝3；②如果Q点恰好运动到线段AB的中点，那么BQ＝AB＝3，t＝，AP＝1×＝，则d＝PQ＝AB﹣AP﹣BQ＝6﹣﹣3＝．故d的值为3或；（3）当点P运动到线段AB的3等分点时，分两种情况：①如果AP＝AB＝2，那么t＝＝2，此时BQ＝2×2＝4，P、Q重合于原点，则d＝PQ＝0；②如果AP＝AB＝4，那么t＝＝4，∵动点Q从点B出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度的速度向点A运动，到点A停止运动，∴此时BQ＝6，即Q运动到A点，∴d＝PQ＝AP＝4．故所求d的值为0或4；（4）当d＝5时，分两种情况：①P与Q相遇之前，∵PQ＝AB﹣AP﹣BQ，∴6﹣t﹣2t＝5，解得t＝；②P与Q相遇之后，∵P点运动到线段AB的中点时，t＝3，此时Q运动到A点，停止运动，∴d＝AP＝t＝5．故所求t的值为或5．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，两点间的距离，理解题意，分清动点P与动点Q的运动方向、运动速度与运动时间，从而正确进行分类讨论是解题的关键．模型4.动态定值（无参型）模型【模型解读】设未知数并表示各动点对应的数，若是行程问题一般设运动时间为t，从而表示出两点之间的距离。当计算结果中不含有未知数，则为定值。例1．（2022·四川阿坝·七年级期末）如图：在数轴上点表示数点示数点表示数是最大的负整数，在左边两个单位长度处，在右边个单位处。；；；若将数轴折叠，使得点与点重合，则点与数___表示的点重合；点开始在数轴上运动，若点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设秒钟过后，若点与点之间的距离表示为点与点之间的距离表示为点与点之间的距离表示为，则__，__，___；（用含的代数式表示）请问:的值是否随着时间的变化而改变﹖若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】（1）﹣3，﹣1，4；（2）2；（3）2+5t，7+7t，2t+5；（4）5BC﹣2AB的值不会随着时间t的变化而改变，该值是21．【分析】（1）根据b为最大的负整数可得出b的值，再根据在左边两个单位长度处，在右边个单位处即可得出a、c的值；（2）根据折叠的性质结合a、b、c的值，即可找出与点B重合的数；（3）根据运动的方向和速度结合a、b、c的值，即可找出t秒后点A、B、C分别表示的数，利用数轴上两点间的距离即可求出AB、AC、BC的值；（4））将（3）的结论代入中，可得出的值不会随着时间的变化而变化，即为定值，此题得解．【详解】（1）b是最大的负整数，在左边两个单位长度处，在右边个单位处，（2）将数轴折叠，使得点与点重合（3）点以每秒个单位长度的速度向左运动，同时，点和点分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动t秒钟过后，根据得：，，又，，点表示的数为，点表示的数为，点C表示的数为，，，；（4）由（3）可知：，的值为定值21．故答案为：（1）﹣3，﹣1，4；（2）2；（3）2+5t，7+7t，2t+5；（4）5BC﹣2AB的值不会随着时间t的变化而改变，该值是21．【点睛】本题考查了数轴及两点间的距离，根据点运动的方向和速度找出点A、B、C运动后代表的数是解题的关键．例2．（2022秋·广西·七年级专题练习）如图，在数轴上，点A、B、C表示的数分别为－2、1、6（点A与点B之间的距离表示为AB）．（1）AB=，BC=，AC=．（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：2BC－AC的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求其值．（3）若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．求随着运动时间t的变化，AB、BC、AC之间的数量关系．【答案】（1）3，5，8；（2）不会，理由见解析；（3）当t<1时，AB+BC=AC；当t大于或等于1，且t小于或等于2时，BC+AC=AB；当t>2时，AB+AC=BC【分析】（1）根据点A、B、C在数轴上的位置，写出AB、BC、AC的长度；（2）求出BC和AC的值，然后求出2BC−AC的值，判断即可；（3）分别表示出AB、BC、AC的长度，然后分情况讨论得出之间的关系．【详解】解：（1）由图可得，AB＝3，BC＝5，AC＝8，故答案为：3，5，8；（2）2BC−AC的值不会随着时间t的变化而改变．设运动时间为t秒，则2BC−AC＝2[6＋5t−（1＋2t）]−[6＋5t−（−2−t）]＝12＋10t−2−4t−8−6t＝2，故2BC−AC的值不会随着时间t的变化而改变；（3）由题意得，AB＝t＋3，BC＝5−5t（t＜1时）或BC＝5t−5（t≥1时），AC＝8−4t（t≤2时）或AC＝4t−8（t＞2时），当t＜1时，AB＋BC＝（t＋3）＋（5−5t）＝8−4t＝AC；当1≤t≤2时，BC＋AC＝（5t−5）＋（8−4t）＝t＋3＝AB；当t＞2时，AB＋AC＝（t＋3）＋（4t−8）＝5t−5＝BC．【点睛】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是能求出两点间的距离．变式1．（2023·江苏·七年级统考期末）点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足：|a＋3|＋(b－2)2=0（1）求线段AB的长；（2）如图①，点C在数轴上对应的数为x，且是方程的根，在数轴上是否存在点M使MA＋MB＝BC＋AB？若存在，求出点M对应的数；若不存在，说明理由；（3）如图②，若N点是B点右侧一点，NA的中点为Q，P为NB的三等分点且靠近于B点，当N在B的右侧运动时，请直接判断的值是不变的还是变的，如果不变请直接写出其值，如果是变的请说明理由．【答案】（1）线段AB的长为5；（2）存在，当点M表示的数为﹣5或4时，MA+MB＝BC+AB；（3）的值不变，为.【分析】（1）利用非负数的性质求出a与b的值，即可确定出AB的长；（2）求出已知方程的解确定出x，得到C表示的点，设点M在数轴上对应的数是m，由MA+MB＝BC+AB确定出M位置，即可做出判断；（3）设N点所表示的数为n，就有NA=n+3，NB=n﹣2，根据条件就可以表示出NQ＝NA＝，BP＝NB＝（n﹣2），再代入求出其值即可．【详解】（1）∵|a+3|+（b﹣2）2=0，∴a+3=0，b﹣2=0，∴a=﹣3，b=2，∴AB=|﹣3﹣2|=5．答：线段AB的长为5；（2）存在，∵x+1＝x﹣2，∴x=﹣6，∴BC=8．设点M在数轴上对应的数是m，∵MA+MB＝BC+AB，∴|m+3|+|m﹣2|＝×8+5，令m+3=0，m﹣2=0，∴m=﹣3或m=2．①当m≤﹣3时，﹣m﹣3+2﹣m=9，

m=﹣5；②当﹣3＜m≤2时，m+3+2﹣m=9（舍去）；③当m＞2时，m+3+m﹣2=9，m=4．∴当点M表示的数为﹣5或4时，MA+MB＝BC+AB；（3）设N点所表示的数为n，∴NA=n+3，NB=n﹣2．∵NA的中点为Q，∴NQ＝NA＝，P为NB的三等分点且靠近于B点，∴BP＝NB＝（n﹣2），∴×-×(n-2)=，故的值是不变的．【点睛】本题考查了一元一次方程的运用，数轴的运用，数轴上任意两点间的距离的运用，去绝对值的运用，解答时灵活运用两点间的距离公式求解是关键．变式2.（2023·江苏苏州·七年级期末）如图，射线上有三点，满足cm，cm，cm.点从点出发，沿方向以2cm/秒的速度匀速运动，点从点出发在线段上向点匀速运动，两点同时出发，当点运动到点时，点停止运动.(1)若点运动速度为3cm/秒，经过多长时间两点相遇?(2)当时，点运动到的位置恰好是线段的中点，求点的运动速度;(3)自点运动到线段上时，分别取和的中点，求的值.【答案】（1）18秒相遇；(2)Q的运动速度为11cm/s或者cm/s；(3)2.【分析】（1）设运动时间为t秒，先求出OC=90，根据速度乘以时间得到OP=2t，CQ=3t，再根据相遇公式路程和等于距离列方程解答即可；（2）先求出线段OB的长度得到中点Q所表示的数，再根据只存在两种情况，求出点P的运动时间即点Q的运动时间即可得到速度；（3）分别求出OB、AP及EF的长，即可代入计算得到答案.【详解】（1）设运动时间为t秒，此时OP=2t，OQ=3t，∵cm，cm，cm，∴OC=OA+AB+BC=90cm，∴2t+3t=90，t=18，∴经过18秒两点相遇；（2）∵点运动到的位置恰好是线段的中点，OB=40+30=70，∴点Q表示的数是35，此时CQ=90-35=55，由，可分两种情况：①当点P在OA上时，得PA=AB=30，此时OP=OA-PA=10，点P运动的时间为s，∴点Q的运动速度=cm/s；②当点P在AB上时，AB=3PA，∴PA=10，此时OP=OA+PA=50，点P的运动时间是s，∴点Q的运动速度=cm/s，综上，点的运动速度是11cm/s或者cm/s；（3）设运动时间是a秒，此时OP=2a，AP=2a-40，∵点E是OP的中点，∴OE=a，∵点F是AB的中点，AB=30，∴BF=15，∴EF=OB-OE-BF=70-a-15=55-a，∴=.【点睛】此题考查数轴上的点的运动问题，数轴上两点之间的距离公式，两点的中点公式，在点运动过程中注意分情况解决问题的方法.模型5.折线数轴（双动点）模型【模型解读】例1．（2022秋·浙江宁波·七年级校考期中）数轴上点A表示，点B表示6，点C表示12，点D表示18．如图，将数轴在原点O和点B、C处各折一下，得到一条“折线数轴”．在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离．例如，点A和点D在折线数轴上的和谐距离为个单位长度．动点M从点A出发，以4个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点C期间速度变为原来的一半，过点C后继续以原来的速度向终点D运动；点M从点A出发的同时，点N从点D出发，一直以3个单位/秒的速度沿着“折线数轴”负方向向终点A运动，其中一点到达终点时，两点都停止运动．设运动的时间为t秒．(1)当秒时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为__________；(2)当点M、N都运动到折线段上时，O、M两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；C、N两点间的和谐距离__________（用含有t的代数式表示）；__________时，M、N两点相遇；(3)当__________时，M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；当__________时，M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等．【答案】(1)12(2)，，(3)或；8或【分析】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是，即的M、N两点在折线数轴上的和谐距离为；（2）当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是，而M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，即得，可解得答案；（3）根据M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，得，可解得或，由时，M运动到O，同时N运动到C，可知时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当，即M在从点O运动到点C时，有，可解得或，当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，即可得答案．【详解】（1）当秒时，M表示的数是，N表示的数是，∴M、N两点在折线数轴上的和谐距离为，故答案为：12；（2）由（1）知，2秒时M运动到O，N运动到C，∴当点M、N都运动到折线段上，即时，M表示的数是，N表示的数是，∴O、M两点间的和谐距离，C、N两点间的和谐距离，∵M、N两点相遇时，M、N表示的数相同，∴，解得，故答案为：，，；（3）∵M、N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，∴，即，∴或，解得或，由（1）知，时，M运动到O，同时N运动到C，∴时，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，当，即M在从点O运动到点C时，，即，∴或，解得或，当时，M在从C运动到D，速度变为4个单位/秒，不存在M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，故答案为：或；8或．【点睛】本题考查一次方程的应用，解题的关键是用含t的代数式表示点运动后表示的数及分类讨论．变式1．（2023·广东·七年级专题练习）如下图，数轴上，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为9，点D表示的数为13，在点B和点C处各折一下，得到一条“折线数轴”，我们称点A和点D在数轴上相距20个长度单位，动点P从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点D出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在“水平路线”射线BA和射线CD上的运动速度相同均为2个单位/秒，“上坡路段”从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍．设运动的时间为t秒，问：(1)动点Q从点C运动到点B需要的时间为______秒；(2)动点P从点A运动至D点需要的时间为多少秒？(3)当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，求出动点P在数轴上所对应的数．【答案】(1)2.5(2)15(3)【分析】（1）求出BC长度，“下坡路段”速度是4个单位/秒，即得动点Q从点C运动到点B的时间；（2）先求出AB，BC，CD的长度，再根据“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，即得动点P从点A运动至D点需要的时间；（3）设运动时间为秒，分四种情况：①当0≤t≤2，②当2＜t≤3，③当3<t<4.5，④当4.5＜t≤7.5，列方程求出t．【详解】（1）∵点B表示的数为-1，点C表示的数为9，∴BC=1-(-9)=10(个单位)，∵“下坡路段”从C到B速度变为“水平路线”速度的2倍，“水平路线”速度是2个单位/秒，∴“下坡路段”速度是4个单位/秒，∴动点Q从点C运动到点B需要的时间为10÷4=2.5(秒)；（2）根据题意知：AB=|-7-(-1)|=6(个单位)，BC=1-(-9)=10(个单位)，CD=13-9=4(个单位)，∴“水平路线”速度是2个单位/秒，从B到C速度变为“水平路线”速度的一半，∴动点P从点A运动至D点需要的时间为6÷2+10÷+4÷2=3+10+2=15(秒)；（3）设运动时间为t秒，①当0≤t≤2，即P在AB上，Q在CD上，显然P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度不会相等；②当2＜t≤3，即P在AB上，Q在CB上时，P表示的数是-7+2t，Q表示的数是9-4(t-2)，∴0-(-7+2t)=9-4(t-2)-0，解得t=5，此时P已不在AB上，不符合题意，这种情况不存在；③当3<t<4.5，即P在BC上，Q在CB上时，P表示的数是-1+(t-3)=t-4，Q表示的数是9-4(t-2)=17-4t，∴|t-4|=|17-4t|，解得t=或t=，∴P表示的数是或；④当4.5＜t≤7.5，即P在BC上，Q在AB上时，P表示的数是t-4，Q表示的数是-1-2(t-4.5)=8-2t，∴t-4-0=0-(8-2t)，解得t=4(不合题意，舍去)，综上所述，当P、O两点在数轴上相距的长度与Q、O两点在数轴上相距的长度相等时，动点P在数轴上所对应的数是或．【点睛】本题考查数轴上的动点问题，解题关键是用含t的代数式表示动点表示的数，据运动过程分类讨论．变式2．（2022·重庆·七年级期中）数轴上点A表示－12，点B表示12，点C表示24，如图，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，在“折线数轴”上，把两点所对应的两数之差的绝对值叫这两点间的和谐距离，那么我们称点A和点C在折线数轴上的和谐距离为36个单位长度．动点M从点A出发，以3个单位/秒的速度沿着折线数轴的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，过点B后继续以原来的速度向正方向运动；点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以4个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，过点O后继续以原来的速度向负方向运动．设运动的时间为t秒．（1）当秒时，求M，N两点在折线数轴上的和谐距离；（2）当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度时，求运动时间t的值；（3）当点M运动到点C时，立即以原速返回，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半；当点N运动到点A时，点M、N立即停止运动，是否存在某一时刻t使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等？若存在，请直接写出t的取值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）15；（2）秒或秒；（3）存在，或或【分析】（1）当秒时，求出点和点在数轴上相距的长度单位，点和点在数轴上相距的长度单位，据此求出、和谐距离即可；（2）分两种情况：当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且没有相遇时，当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且相遇后又离开时，分别列出方程，然后求解即可；（3）分六种情况：①当点在，点在上运动时，②当点在，点在上运动时，③当点，点在上运动时，④当点在，点在上运动时，⑤当点在，点在上运动，且点没有返回时，⑥当点在，点在上运动，且点返回时，分别列出方程，然后求解即可．【详解】解：（1）当秒时，点和点在数轴上相距个长度单位，即点在数轴上表示的点是点和点在数轴上相距个长度单位，即点在点的位置上，在数轴上表示的点是12，则、和谐距离是：个单位长度；（2）如图示：点运动到点位置时，用的时间是：秒，当点在折线数轴上运动4秒时，则在上的运动时间是秒，在上的运动时间是秒，则，∴，设点，点在在上的运动时间是，当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且没有相遇时，依题意得：，解得：，∴总用时是：秒；当M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度，且相遇后又离开时，依题意得：，解得：，∴总用时是：秒；综上所述，当运动秒或秒时，M，N两点在折线数轴上的和谐距离为4个单位长度；（3）存在，理由如下：根据题意可知，点在上的运动，并没返回时，使用的时间是秒，点在上的运动，使用的时间是秒，可得，点在到达点时，继续返回运动了2秒，①当点在，点在上运动时，依题意得：解得：，不合题意，舍去；∵点在到达点时，使用的时间是秒，先于点在上运动，②当点在，点在上运动时，依题意得：解得：；③当点，点在上运动时，依题意得：解得：；④∵点在到达点时，使用的时间是秒，先于点到达点，当点在，点在上运动时，无法找到任一点，使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等，故不存在这样的时间；⑤当点在，点在上运动，且点没有返回时，依题意得：解得：，不合题意，舍去；⑥当点在，点在上运动，且点返回时，依题意得：解得：；综上所述，使得M、O两点在折线数轴上的和谐距离与N、B两点在折线数轴上的和谐距离相等的时间是：或或；【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的应用，路程、速度、时间三者的关系等相关知识点，利用分类讨论思想，对题目进行分析解答是解题的关键．模型6.动点往返运动模型【模型解读】例1．（2022·辽宁沈阳·七年级期末）已知数轴上有A，B，C三个点，分别表示有理数，4，6．(1)画出数轴，并用数轴上的点表示点A，点B，点C；(2)动点P从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向数轴负方向运动，到达点A后立即以每秒2个单位长度的速度沿数轴返回到点C，到达点C后停止运动，设运动时间为t秒．①当时，的长为__________个单位长度，的长为__________个单位长度，的长为____________。个单位长度；②在点P的运动过程中，若个单位长度，则请直接写出t的值为___________。【答案】(1)见解析；(2)①4，2，4；②或或或【分析】（1）根据题意画出数轴即可；（2）①先求出当时，P点表示的数为6-4=2，然后根据数轴上两点距离公式求解即可；②分当P从C向A运动和当P从A向C运动两种情况讨论求解即可．(1)解：如图所示，即为所求；(2)解：①当时，P点表示的数为6-4=2，∴，，，故答案为：4、2、4；②当P从C向A运动，时，，，，∵，∴，解得；当P从C向A运动，时，，，，∵，∴，解得；当P从A向C运动时，当时，，，，∵，∴，解得；当P从A向C运动时，当时，，，，∵，∴，解得；综上所述，t的值为或或或．【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，解题的关键在于能够正确理解题意，利用分类讨论的思想求解．例2.（2022·四川绵阳·七年级期中）已知a、b为常数，且关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，其中a、b分别为点A、点B在数轴上表示的数，如图所示．动点E、F分别从A、B同时开始运动，点E以每秒6个单位向左运动，点F以每秒2个单位向右运动，设运动时间为t秒．（1）求a、b的值；（2）请用含t的代数式表示点E在数轴上对应的数为：，点F在数轴上对应的数为：．（3）当E、F相遇后，点E继续保持向左运动，点F在原地停留4秒后向左运动且速度变为原来的5倍．在整个运动过程中，当E、F之间的距离为2个单位时，求运动时间t的值（不必写过程）．【答案】（1）a＝12，b＝﹣20；（2）12﹣6t，﹣20+2t；（3）秒或秒秒或秒【分析】（1）由题意根据关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，即可求出a、b；（2）由题意根据点E、F的运动方向和速度可得解；（3）根据题意分相遇前和相遇后两种情况，然后正确列出方程进行分析计算即可．【详解】解：（1）∵关于x、y的多项式（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）的值与字母x取值无关，∴（﹣20x2+ax﹣y+12）﹣（bx2+12x+6y﹣3）＝﹣20x2+ax﹣y+12﹣bx2﹣12x﹣6y+3）＝（﹣20﹣b）x2+（a﹣12）x﹣7y+15，∴﹣20﹣b＝0或a﹣12＝0，解得b＝﹣20，a＝12；设运动时间为t秒．由题意得：点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣20+2t，故答案为：12﹣6t，﹣20+2t；（3）设当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为t秒，相遇前：12﹣6t＝﹣20+2t+2，解得：t＝；相遇后：E、F相遇的时间为：（20+12）÷（2+6）＝4（秒），相遇点为﹣20+2×4＝﹣12，点F在原地停留4秒时，6（t﹣4）＝2，解得：t＝；由题意得：当E、F相遇后，点E在数轴上对应的数为：12﹣6t，点F在数轴上对应的数为：﹣12﹣2×5（t﹣4﹣4）＝68﹣10t．当E在F左侧时，68﹣10t﹣（12﹣6t）＝2，解得：t＝；当E在F右侧时，12﹣6t﹣（68﹣10t）＝2，解得：t＝．答：当E、F之间的距离为2个单位时，运动时间为秒或秒秒或秒【点睛】本题考查数轴和一元一次方程的应用，能根据题意列出代数式和方程是解答此题的关键．变式1.（2022·陕西·西安七年级期中）如图：在数轴上A点表示数a，B点表示数b，C点表示数c，且a，b满足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1．（1）a＝，b＝；（2）点P为数轴上一动点，其对应的数为x，则当x时，代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值为；（3）点P从点A处以1个单位/秒的速度向左运动；同时点Q从点B处以2个单位/秒的速度也向左运动，在点Q到达点C后，以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t（t≤8）秒，求第几秒时，点P、Q之间的距离是点B、Q之问距离的2倍？【答案】（1）﹣3，9；（2）≥9，12；（3）秒或秒．【分析】（1）由|a+3|+（b﹣9）2＝0，根据非负数的性质得|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，即可求出a＝﹣3、b＝9；（2）由（1）得a＝﹣3、b＝9，则代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，按x＜﹣3、﹣3≤x＜9及x≥9分类讨论，分别求出相应的代数式的值或范围，再确定代数式的最大值；（3）先由点C表示的数是1，点B表示的数是9，计算出B、C两点之间的距离，确定t的取值范围，再按t的不同取值范围分别求出相应的t的值即可．【详解】解：（1）∵|a+3|≥0，（b﹣9）2≥0，且|a+3|+（b﹣9）2＝0，∴|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，∴a＝﹣3，b＝9，故答案为：﹣3，9．（2）∵a＝﹣3，b＝9，∴代数式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代数式|x+3|﹣|x﹣9|，当x＜﹣3时，|x+3|﹣|x﹣9|＝﹣（x+3）﹣（9﹣x）＝﹣12；当﹣3≤x＜9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（9﹣x）＝2x﹣6，∵﹣12≤2x﹣6＜12，∴﹣12≤|x+3|﹣|x﹣9|＜12；当x≥9时，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（x﹣9）＝12，综上所述，|x+3|﹣|x﹣9|的最大值为12，故答案为：≥9，12．（3）∵点C表示的数是1，点B表示的数是9，∴B、C两点之间的距离是9﹣1＝8，当点Q与点C重合时，则2t＝8，解得t＝4，当0＜t≤4时，如图1，点P表示的数是﹣3﹣t，点Q表示的数是9﹣2t，根据题意得9﹣2t﹣（﹣3﹣t）＝2×2t，解得t＝；当4＜t≤8时，如图2，点P表示的数仍是﹣3﹣t，∵1+（2t﹣8）＝2t﹣7，∴点Q表示的数是2t﹣7，根据题意得2t﹣7﹣（﹣3﹣t）＝2（16﹣2t），解得t＝，综上所述，第秒或第秒，点P、Q之间的距离是点B、Q之间距离的2倍．【点睛】本题考查数轴、数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用、绝对值的几何意义等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键．变式2．（2022·江苏盐城·七年级期中）如图，点、、在数轴上对应的数分别是、、，且、满足，动点从点出发以单位/秒的速度向右运动，同时点从点出发，以个单位/秒速度向左运动，、两点之间为“变速区”，规则为从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速，从点运动到点期间速度变为原来的倍，之后立刻恢复原速，设运动时间为秒．（1）____，____，、两点间的距离为____个单位；（2）①若动点从出发运动至点时，求的值；②当、两点相遇时，求相遇点在数轴上所对应的数；（3）当___时，、两点到点的距离相等．【答案】（1）9，20，32；（2）①；②相遇点对应的数为6；（3）当t=12或25时，点P、Q到点B的距离相等．【分析】（1）根据可先求出b、c的值，然后再由数轴两点距离可求解；（2）①点P从点A运动到点C可得当点P在AO上时，点P在OB上时及点P在BC上时，然后分别求出时间，进而问题可求解；②由题意易得当点C到达变速点B时，点P所运动到的位置可求，然后再根据相遇问题进行求解，最后在利用数轴求解即可；（3）由（1）（2）及题意可分：①当时，②当时，③当点Q的速度变为3单位/秒时，即，④当点Q和点P都过了“变速区”，即，然后根据数轴两点距离及线段的和差关系进行列方程求解即可．【详解】解：（1）∵，∴，∴，∴A、C两点距离为：；故答案为9，20，32；（2）①由题意可分：当点P从A运动到O和从B运动到C时，所需时间为：，点P从点O到点B属于变速区，所以速度为2÷2=1单位/秒，此时所需时间为9÷1=9s，∴点P从点A到点C的时间为：；②当点C到达变速点B时，所需时间为11÷1=11s，此时点P运动的路程为：，即在数轴上所表示的数为5，此时点Q的速度为1×3=3单位/秒，∴，∴5+1×1=6，∴相遇点所表示的数为6；（3）由（1）（2）及题意可分：①当时，如图所示：则有AB=21，AP=2t，PB=21-2t，BC=11，BQ=11-t，∵BP=BQ，∴，解得：（不符合题意，舍去）；②当时，如图所示：∵点P的速度为1单位/秒，Q速度不变，∴，BQ=11-t，∵PB=BQ，∴，方程无解；③当点Q的速度变为3单位/秒时，即，如图所示：∴PB=15-t，，∵PB=BQ，∴，解得t=12，④当点Q和点P都过了“变速区”，即，如图所示：∴，，∵PB=BQ，∴，解得：；综上所述：当t=12或25时，点P、Q到点B的距离相等；故答案为12或25．【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法，熟练掌握数轴上的动点问题及线段的和差、一元一次方程的解法是解题的关键．模型7.线段和差且含参模型【模型解读】例1．（2022秋·广西·七年级专题练习）如图，在数轴上点B表示数b，点C表示数c，且．我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母一起标记．比如：点A与点B之间的距离记作AB．（1）求BC的值；（2）在数轴上有一动点M满足MB＋MC＝51，直接写出点M表示的数；（3）动点A从数3对应的点开始向右运动，速度为每秒2个单位长度，同时点B，C在数轴上运动，点B，C的速度分别为每秒3个单位长度、每秒5个单位长度，运动时间为t秒．①若点B向右运动，点C向左运动，BA＝ＢC，求t的值；②若点B向右运动，点C向右运动，（不考虑点A与点B重合），是否存在一个常数使得的值在一定时间范围内不随t的变化而变化？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）45；（2）-18或33；（3）①或；②存在，n=3或-3【分析】（1）根据非负性可求出答案；（2）分三种情况：当点M在点B的左侧；当点M在点B，C之间时；当点M在点C的右侧时；进行讨论可求M点表示的数；（3）①用t的代数式表示AB，BC，列出等式可求解；②用t的代数式表示AB，AC，代入代数式可求解．【详解】（1）∵，∴b=-15，c=30，∴BC=30-（-15）=45；（2）当点M在点B的左侧，∵MB＋MC＝51，∴MB＋MB+BC＝51，∴MB=3，∴点M点表示的数为-15-3=-18；当点M在点B，C之间时，∵MB＋MC＝BC=45≠51，∴不存在点M，使MB＋MC＝51；当点M在点C的右侧时,∵MB＋MC＝51，∴BC+MC+MC=51，∴MC=3，∴点M点表示的数为30+3=33；综上所述，M点表示的数为-18或33；（3）①∵AB=BC，∴|（3+2t）-（-15+3t）|=|（3+2t）-（30-5t）|∴或．②∵=-，原式=(3+n)t+27-18n或者(3-n)t+27+18n，且的值不随时间t的变化而改变，∴3+n=0，3-n=0，∴存在，n=3或者-3．【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，数轴以及绝对值的知识点，数轴上的中点公式，动点在数轴上运动，在已知运动的方向和速度之后，就可以利用原来所在的数如果向右移动就加上向右移动的距离，如果向左移动，就减去向左移动的距离为解题关键，利用方程思想列式求解即可．例2．（2022春·湖南衡阳·七年级校考阶段练习）如图，点表示的数是，点表示的数是，满足，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒，动点表示的数是．(1)直接写______，______，______用含的代数式表示；(2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，①问点运动多少秒时追上点？②问点运动多少秒时与点相距个单位长度？并求出此时点表示的数；(3)点、以（2）中的速度同时分别从点、向右运动，同时点从原点以每秒个单位的速度向右运动，是否存在常数，使得的值为定值，若存在请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；；(2)①点运动秒时追上点；②点运动秒或秒时与点相距个单位长度，此时点表示的数为或(3)存在常数，使得的值为定值，该定值为【分析】（1）利用绝对值及偶次方的非负性，即可求出，的值，由点的出发点、运动方向及运动速度，即可用含的代数式表示出值；（2）当运动时间为秒时，点表示的数为．根据点，表示的数相同，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；根据点，两点之间的距离为，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中即可求出点表示的数；（3）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，利用数轴上两点间的距离公式，可找出，，的值，进而可得出，结合的值为定值，即可求出的值，进而可得出该定值为．（1）解；，，，，．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，运动时间为秒，，故答案为：，，；（2）解：当运动时间为秒时，点表示的数为．依题意得：，解得：，故点运动秒时追上点．依题意得：，即或，解得：或．当时，；当时，．综上：点运动秒或秒时与点相距个单位长度，此时点表示的数为或；（3）解：当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，，，，．的值为定值，，，存在常数，使得的值为定值，该定值为．【点睛】本题考查了绝对值的非负性、偶次方的非负性、列代数式、一元一次方程的应用以及数轴上两点之间的距离，解题的关键是：（1）利用绝对值及偶次方的非负性，求出，；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出，，的长度．变式1．（2022秋·江苏·七年级专题练习）已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，a，c满足．（1）填空：______，______，______；（2）点A，B，C分别以每秒4个单位长度，1个单位长度，1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒．①当AC长为6时，求t的值；②当点A在点C左侧时（不考虑点A与B，C重合的情况），是否存在一个常数m使得的值在某段运动过程中不随t的改变而改变？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）①或；②存在，的值为或2．【分析】（1）根据正整数的定义、绝对值的非负性、偶次方的非负性分别可求出的值；（2）①先求出运动秒后，点所表示的数，再分点在点左侧和点在点右侧两种情况，然后根据数轴的定义建立方程，解方程即可得；②先求出运动秒后，点所表示的数，从而可得的长，再分点在点左侧和点在点右侧两种情况，分别求出的值，代入化简，然后根据整式的无关型问题求解即可得．【详解】解：（1）是最小的正整数，，，，解得，故答案为：；（2）①由题意，运动后，点所表示的数是，点所表示的数是，当点在点左侧时，，解得，当点在点右侧时，，解得，综上，的值为或；②由题意，运动后，点所表示的数是，点所表示的数是，点所表示的数是，当时，，当时，，因为点在点左侧，所以，当点在点左侧，即时，，则，由得：，即在运动时间内，当时，的值不随的改变而改变；当点在点右侧，即时，，则，由得：，即在运动时间内，当时，的值不随的改变而改变；综上，存在一个常数使得的值在某段运动过程中不随的改变而改变，的值为或2．【点睛】本题考查了数轴、一元一次方程的应用、绝对值和偶次方的非负性、整式等知识点，较难的是题（2）②，正确分两种情况讨论是解题关键．变式2．（2022秋·江苏扬州·七年级校联考期中）已知：如图数轴上有三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，，数轴上有一动点P从点A出发，以2个单位秒的速度向右沿数轴运动，设运动时间为t秒．(1)点A表示的有理数是______，点C表示的有理数是______，点P表示的数是______用含的式子表示．(2)当___秒时，两点之间相距8个单位长度？(3)若点A、点B和点C与点P同时在数轴上运动，点A以个单位秒的速度向左运动，点B和点C分别以3个单位秒和4个单位秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为一个定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，，(2)或(3)，这个定值为【分析】（1）设点B表示的数为，则点A表示的数为，由数轴可知，求出，根据算出点C表示的数，再由点P的运动速度和时间求出点P表示的数即可；（2）分点P在点B左边和点P在点B右边两种情况进行解答即可；（3）根据题意先将点A、点B和点C表示的数用t表示出来，再算出、、并代入中，合并同类项即可解答．【详解】（1）解：设点B表示的数为，则点A表示的数为，∵点A和点B间距个单位长度，∴，解得：，∴点A表示的有理数是，∵，∴点C表示的有理数是，∵动点P从点A出发，以2个单位长度秒的速度向右沿数轴运动，运动时间为秒，∴点P表示的数是，故答案为：，，；（2）解：①当点P在点B左边时，，∵两点之间相距8个单位长度，∴，解得：，②当点P在点B右边时，，∵两点之间相距8个单位长度，∴，解得：，∴当或秒时，两点之间相距8个单位长度，故答案为：或；（3）解：存在常数，使得为一个定值，理由如下：由题意可知，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为，则，，，，∵要使得为一个定值，∴，解得：，∴，∴，这个定值为．【点睛】本题考查的是数轴的知识，整式的加减，一元一次方程的应用，掌握相反数的概念、灵活运用数形结合思想和分情况讨论思想是解题的关键．模型8.数轴折叠（翻折）模型【模型解读】例1．（2022秋·河南漯河·七年级统考期中）操作探究：已知在纸上有一数轴（如图所示）．(1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与________表示的点重合．(2)操作二：折叠纸面，若使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①5表示的点与数________表示的点重合；②若数轴上A，B两点之间距离为10（A在B左侧），且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数为________，点B表示的数为________；(3)操作三：点E以每秒3个单位长度的速度从数5对应的点沿着数轴的负方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度从数对应的点沿着数轴的负方向运动，且两个点同时出发，请直接写出多少秒后，折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合时，点E与点F也恰好重合．【答案】(1)3(2)①；②，6(3)秒【分析】（1）设表示的点与x表示的点重合，根据1表示的点与表示的点重合，得到折痕过原点，根据对称点到对称轴的距离相等得到，解得；（2）①根据表示的点与3表示的点重合，得到折痕经过数表示的点，设5表示的点与数x表示的点重合，得到，解得；②设点A表示的数为x，则，解得，点B表示的数为；（3）设t秒，得到点E表示的数为，点F表示的数为，当1表示的点与表示的点重合时，得到折痕过原点，根据点E与点F也恰好重合，得到，解得．【详解】（1）设表示的点与x表示的点重合∵1表示的点与表示的点重合，∴折痕经过数表示的点，即原点，∴，∴∴表示的点与3表示的点重合；故答案为：3（2）①∵表示的点与3表示的点重合，∴折痕经过数表示的点，设5表示的点与数x表示的点重合，则，∴；故答案为：；②设点A表示的数为x，则点B表示的数为，，∴，，故答案为：，6；（3）设t秒，则点E表示的数为，点F表示的数为，∵1表示的点与表示的点重合时，折痕经过原点，∴点E与点F也恰好重合时，，∴．【点睛】本题主要考查了轴对称，解决问题的关键是熟练掌握对称点到对称轴的距离相等，中点坐标公式．变式1．（2023·浙江·七年级期中）已知在纸面上有一数轴（如图）折叠纸面．（1）若1表示的点与表示的点重合，则表示的点与数_____表示的点重合；（2）若1表示的点与表示的点重合，回答以下问题：①13表示的点与数_____表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？【答案】（1）5；（2）①-17；②A点表示的数为-1013，B点表示的数为1009【分析】（1）由表示1的点与表示-1的点重合，即可找出与表示-5的点重合的点表示的数；（2）①由表示1的点与表示-5的点重合，即可找出与表示13的点重合的点表示的数；②设A点表示的数为x，则B点表示的数为x+2022，根据重合两点表示的数之和相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】解：（1）∵表示1的点与表示-1的点重合，∴与表示-5的点重合的点表示的数为1+（-1）-（-5）=5．故答案为：5．（2）①∵表示1的点与表示-5的点重合，∴与表示13的点重合的点表示的数为1-5-13=-17．故答案为：-17．②设A点表示的数为x，则B点表示的数为x+2022，根据题意得：1-5=x+x+2022，解得：x=-1013，∴x+2022=1009．答：A点表示的数为-1013，B点表示的数为1009．【点睛】本题考查了数轴、折叠的性质以及一元一次方程的应用，根据折叠的性质找出重合两点表示的数之和相等是解题的关键．变式2．（2022·江苏镇江·七年级期中）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题：（一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移．（1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是；（2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是；（3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动个单位．（二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动．（4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示的点重合；（5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为；（6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝．【答案】（1）；（2）或或；（3）2或10；（4）2；（5）-6；（6）或【分析】（1）根据移动的方向和距离，求解即可；（2）分情况讨论，分别向左，向右移动2次2个单位长度和向右移动一次向左移动一次，然后求解即可；（3）设点P向左移动个单位，求得P，A两点的距离和A，B两点距离，再求解即可；（4）求得对称中心，然后求解即可；（5）求得对称中心，由题意可得A点在表示−1的点的左侧5个单位，求解即可；（6）根据题意，求得的距离，然后分在左侧和右侧两种情况讨论求解即可．【详解】解：（1）笔尖的位置表示的数为故答案为；（2）机器人向右移动两次，则B点表示的数为机器人向左移动两次，则B点表示的数为机器人向右移动一次，再向左移动一次，则B点表示的数为故答案为或或（3）设点P向左移动个单位，则点P表示的数为，，，由题意可得：，解得或即向左平移2或10个单位长度故答案为2或10（4）由题意可得：对称中心为，则表示−4的点与表示2的点重合故答案为2（5）由题意可得，A点在表示−1的点的左侧5个单位长度，则A点表示的数为故答案为-6（6）由题意可得：，则，即之间的距离为8当在左侧时，，点N表示的数为-4当在右侧时，，点N表示的数为12故答案为或【点睛】此题考查数轴的应用，涉及了数轴上的距离和动点问题，解题的关键是熟练掌握数轴的基本性质．模型9.数轴上的线段移动模型【模型解读】例1．（2022·广东佛山·七年级阶段练习）如图，有两条线段，（单位长度），（单位长度）在数轴上，点在数轴上表示的数是-12，点在数轴上表示的数是15．（1）点在数轴上表示的数是______，点在数轴上表示的数是______，线段的长=______；（2）若线段以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段以2个单位长度秒的速度向左匀速运动．当点与重合时，点与点在数轴上表示的数是多少？（3）若线段以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为秒，当为何值时，点与点之间的距离为1个单位长度？【答案】-10，14，24；(2)-2；(3)t=23或25【分析】(1)根据AB、CD的长度结合点A、D在数轴上表示的数，即可求出点B、C在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式求出线段BC的长度；(2)设相遇时间为a,分别用a表示出相遇时B、C两点所表示的数,让其相等即可求出;(3)分线段AB与线段CD在相遇之前与相遇之后两种情况，利用两点间的距离公式结合BC=1，得出关于t的的一元一次方程，解之即可得出结论；【详解】解：（1）∵AB=2，点A在数轴上表示的数是-12，∴点B在数轴上表示的数是-12+2=-10；∵CD=1，点D在数轴上表示的数是15，∴点C在数轴上表示的数是15-1=14．∴BC=14-（-10）=24．故答案为：-10，14，24；（2）设运动时间为a秒时B、C相遇，此时点B在数轴上表示的数为-10+a，点C在数轴上表示的数为14-2a∵B、C重合∴-10+a=14-2a解得a=8此时点与点在数轴上表示的数是-10+a=-10+8=-2；故答案为：-2(3)当运动时间为t秒时，点B在数轴上表示的数为-10-t，点C在数轴上表示的数为14-2t∴BC==∵BC=1∴=1∴t1=，t2=综上所述：当BC=1时，t=23或25；【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，数轴等知识，解题的关键是：根据点与点之间的位置关系求出点B、C在数轴上表示的数．变式1．（2022·山东济南·七年级期末）在数学综合实践活动课上，小亮同学借助于两根小木棒m、n研究数学问题：如图，他把两根木棒放在数轴上，木棒的端点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，已知|a＋5|＋（b＋1）2＝0，c＝3，d＝8．(1)求m和n的长度；(2)小亮把木棒m、n同时沿x轴正方向移动，m、n的速度分别为4个单位/s和3个单位/s，设平移时间为t（s）①若在平移过程中原点O恰好是木棒m的中点，则t＝（s）；②在平移过程中，当木棒m、n重叠部分的长为2个单位长度时，求t的值．【答