专题05 对角互补模型巩固练习（基础）-（解析版）

对角互补模型巩固练习（基础）1. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90º，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝PF时，AP＝.【解答】3【解析】如图，作PQ⊥AB于点Q，PR⊥BC于R.∵∠PQB＝∠QBR＝∠BRP＝90º，∴四边形PQBR是矩形，∴∠QPR＝90º＝∠MPN，∴∠QPE＝∠RPE，∴△QPE∽△RPF，，，设，则，，，解得，.2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E在对角线AC上，连接BE，作EF⊥BE，垂足为E，直线EF交线段DC于点F，则＝.【解答】【解析】如图，过点E分别作于点G，于点H.∵四边形ABCD是矩形，∴四边形CHEG也是矩形，∴∠GEH＝90º，∴∠BEG＋∠GEF＝∠GEF＋∠FEH＝90º，∴∠BEG＝∠FEH，又∵∠BGE＝∠FHE＝90º，∴△BEG∽△FEH，，.3. 如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A（0，2），B点在轴上，对角线AC、BD交于点M，，则点C的坐标为.【解答】C（6，4）【解析】如图，过点C作轴于点E，过点M作轴于点F，连接EM.∠MFO＝∠CEO＝∠AOB＝90º，AO∥MF∥CE，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90º，AM＝CM，∴∠OAB＝∠EBC，OF＝EF，∴MF是梯形AOEC的中位线，，，∴OB＝CE，AO＝BE，，又∵OF＝FE，∴△MOE是直角三角形，∵MO＝ME，∴△MOE是等腰直角三角形，.4. 如图，在正方形外作直线FE并经过正方形的顶点C，分别过点B、D作直线FE的垂线，垂足分别为点E、F，求证：△CBE≌△DCF.【解答】见解析【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∵∠BCE＋∠DCF＝90º，∠BCE＋∠CBE＝90º，∴∠CBE＝∠DCF，在Rt△CBE与Rt△DCF中，，.5. 如图，正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10，点O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP绕点O旋转，求证：无论正方形OMNP旋转到何种位置，这两个重叠部分面积总是一个定值，并求这个定值.【解答】25【解析】当OP∥AD或OP经过点C时，重叠部分面积为正方形面积的，即25；当点P旋转到如图所示位置时，过点O分别作CD、BC的垂线，垂足分别为E、F.在Rt△OEG与Rt△OFH中，∠EOG＝∠HOF，OE＝OF＝5，∴△OEG≌△OFH，.6. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别为AD、CD上的点，若AE＝4，CF＝3，且OE⊥OF，求EF的长.【解答】5【解析】如图，连接EF.∵四边形ABCD是正方形，∴AO＝DO，∠OAE＝∠ODF＝45º，∠ADC＝90º，又∵OE⊥OF，∴∠OFD＋∠EDO＝180º，∵∠AEO＋DEO＝180º，∴∠OFD＝∠AEO，∴△AEO≌△DFO（AAS），∴AE＝DE＝4，又∵AD＝CD，∴DE＝CF＝3，在Rt△EOF中，.7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC的中点，点E、F分别在AB、AC上，若∠A＝60º，∠EDF＋∠A＝180º，求证：.【解答】见解析【解析】取AB的中点G，连接DG，如图所示：∵AB＝AC，∠A＝60º，∴△ABC是等边三角形，∵点D、G分别是AB、BC的中点，∴DG是△ABC的中位线，∴DG＝DC＝BD，∵∠B＝60º，∴△BDG是等边三角形，∴∠BGD＝∠C，∵∠AED＋∠AFD＝180º，且∠AFD＋∠DFC＝180º，∴∠AED＝∠DFC，∴△GED≌△CFD，∴EG＝FC，∴BE＋CF＝BE＋EC＝BG＝.8. 在△ABC中，AD是BC边上的中线，点M在AB边上，点N在AC边上，且∠MDN＝90º，若，求证：.【解答】见解析【解析】证明：过点B作AC的平行线交ND的延长线于点E，连接ME.∵BD＝DC，∴ED＝DN，在△BED与△CND中，，∴BE＝NC，∵∠MDN＝90º，∴MD为EN的中垂线，∴EM＝MN，∴，∴△BEM为直角三角形，∠MBE＝90º，∴∠ABC＋∠ACB＝∠ABC＋∠EBC＝90º，∴∠BAC＝90º，.9．数学课上，张老师正在上课：同学们，我们学过四个顶点在圆上的四边形是圆内接四边形，圆内接四边形的对角（相对的两个角）互补．下面我们来研究它外角的性质．（1）在图①中作出圆内接四边形ABCD中以点C为顶点的外角∠DCE，并请你探究外角∠DCE与它的相内角的对角（简称内对角）∠A的关系，并证明∠DCE与∠A的关系；（2）分别延长BD、AD到点F、E，如图②，已知四边形ABCD是圆内接四边形，如果DE平分∠FDC，请你探索AB与AC有怎样的数量关系呢？（3）如图③，点D是圆上一点，弦AB=3，DC是∠ADB的平分线，∠BAC＝30°．当∠DAC等于多少度时，四边形DACB【解答】（1）∠DCE＝∠A；（2）AB＝AC；（3）3【解析】（1）画图如图，∠DCE＝∠A．证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠BCD＝180°，∴∠DCE+∠BCD＝180°∠DCE＝∠A；（2）AB＝AC，证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠2＝∠ABC，∵∠1＝∠ADB，∠ADB＝∠ACB，∴∠1＝∠ACB，∵DE平分∠FDC，∴∠1＝∠2，∴∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC；（3）∵DC平分∠ADB，∴∠ADC＝∠BDC，又∵∠ADC＝∠ABC，∠BDC＝∠BAC，∴∠ABC＝∠BAC，∴AC＝BC，∵AB=3，∠BAC∴AC＝BC＝1，∵S四边形DACB＝S△ABC+S△DABS△ABC为定值，当S△DAB最大时，四边形DACB面积最大，要使四边形DACB面积最大，只需求