专题05 对角互补模型巩固练习(基础)-(解析版)_第1页
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对角互补模型巩固练习(基础)1. 如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90º,AB=3,BC=4,在Rt△MPN中,点P在AC上,PM交AB于点E,PN交BC于点F,当PE=PF时,AP=.【解答】3【解析】如图,作PQ⊥AB于点Q,PR⊥BC于R.∵∠PQB=∠QBR=∠BRP=90º,∴四边形PQBR是矩形,∴∠QPR=90º=∠MPN,∴∠QPE=∠RPE,∴△QPE∽△RPF,,,设,则,,,解得,.2. 如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点E在对角线AC上,连接BE,作EF⊥BE,垂足为E,直线EF交线段DC于点F,则=.【解答】【解析】如图,过点E分别作于点G,于点H.∵四边形ABCD是矩形,∴四边形CHEG也是矩形,∴∠GEH=90º,∴∠BEG+∠GEF=∠GEF+∠FEH=90º,∴∠BEG=∠FEH,又∵∠BGE=∠FHE=90º,∴△BEG∽△FEH,,.3. 如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD顶点A(0,2),B点在轴上,对角线AC、BD交于点M,,则点C的坐标为.【解答】C(6,4)【解析】如图,过点C作轴于点E,过点M作轴于点F,连接EM.∠MFO=∠CEO=∠AOB=90º,AO∥MF∥CE,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=90º,AM=CM,∴∠OAB=∠EBC,OF=EF,∴MF是梯形AOEC的中位线,,,∴OB=CE,AO=BE,,又∵OF=FE,∴△MOE是直角三角形,∵MO=ME,∴△MOE是等腰直角三角形,.4. 如图,在正方形外作直线FE并经过正方形的顶点C,分别过点B、D作直线FE的垂线,垂足分别为点E、F,求证:△CBE≌△DCF.【解答】见解析【解析】证明:∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∵∠BCE+∠DCF=90º,∠BCE+∠CBE=90º,∴∠CBE=∠DCF,在Rt△CBE与Rt△DCF中,,.5. 如图,正方形ABCD与正方形OMNP的边长均为10,点O是正方形ABCD的中心,正方形OMNP绕点O旋转,求证:无论正方形OMNP旋转到何种位置,这两个重叠部分面积总是一个定值,并求这个定值.【解答】25【解析】当OP∥AD或OP经过点C时,重叠部分面积为正方形面积的,即25;当点P旋转到如图所示位置时,过点O分别作CD、BC的垂线,垂足分别为E、F.在Rt△OEG与Rt△OFH中,∠EOG=∠HOF,OE=OF=5,∴△OEG≌△OFH,.6. 如图,在正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,E、F分别为AD、CD上的点,若AE=4,CF=3,且OE⊥OF,求EF的长.【解答】5【解析】如图,连接EF.∵四边形ABCD是正方形,∴AO=DO,∠OAE=∠ODF=45º,∠ADC=90º,又∵OE⊥OF,∴∠OFD+∠EDO=180º,∵∠AEO+DEO=180º,∴∠OFD=∠AEO,∴△AEO≌△DFO(AAS),∴AE=DE=4,又∵AD=CD,∴DE=CF=3,在Rt△EOF中,.7. 如图,在△ABC中,AB=AC,点D为BC的中点,点E、F分别在AB、AC上,若∠A=60º,∠EDF+∠A=180º,求证:.【解答】见解析【解析】取AB的中点G,连接DG,如图所示:∵AB=AC,∠A=60º,∴△ABC是等边三角形,∵点D、G分别是AB、BC的中点,∴DG是△ABC的中位线,∴DG=DC=BD,∵∠B=60º,∴△BDG是等边三角形,∴∠BGD=∠C,∵∠AED+∠AFD=180º,且∠AFD+∠DFC=180º,∴∠AED=∠DFC,∴△GED≌△CFD,∴EG=FC,∴BE+CF=BE+EC=BG=.8. 在△ABC中,AD是BC边上的中线,点M在AB边上,点N在AC边上,且∠MDN=90º,若,求证:.【解答】见解析【解析】证明:过点B作AC的平行线交ND的延长线于点E,连接ME.∵BD=DC,∴ED=DN,在△BED与△CND中,,∴BE=NC,∵∠MDN=90º,∴MD为EN的中垂线,∴EM=MN,∴,∴△BEM为直角三角形,∠MBE=90º,∴∠ABC+∠ACB=∠ABC+∠EBC=90º,∴∠BAC=90º,.9.数学课上,张老师正在上课:同学们,我们学过四个顶点在圆上的四边形是圆内接四边形,圆内接四边形的对角(相对的两个角)互补.下面我们来研究它外角的性质.(1)在图①中作出圆内接四边形ABCD中以点C为顶点的外角∠DCE,并请你探究外角∠DCE与它的相内角的对角(简称内对角)∠A的关系,并证明∠DCE与∠A的关系;(2)分别延长BD、AD到点F、E,如图②,已知四边形ABCD是圆内接四边形,如果DE平分∠FDC,请你探索AB与AC有怎样的数量关系呢?(3)如图③,点D是圆上一点,弦AB=3,DC是∠ADB的平分线,∠BAC=30°.当∠DAC等于多少度时,四边形DACB【解答】(1)∠DCE=∠A;(2)AB=AC;(3)3【解析】(1)画图如图,∠DCE=∠A.证明:∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠A+∠BCD=180°,∴∠DCE+∠BCD=180°∠DCE=∠A;(2)AB=AC,证明:∵四边形ABCD是圆内接四边形,∴∠2=∠ABC,∵∠1=∠ADB,∠ADB=∠ACB,∴∠1=∠ACB,∵DE平分∠FDC,∴∠1=∠2,∴∠ABC=∠ACB,∴AB=AC;(3)∵DC平分∠ADB,∴∠ADC=∠BDC,又∵∠ADC=∠ABC,∠BDC=∠BAC,∴∠ABC=∠BAC,∴AC=BC,∵AB=3,∠BAC∴AC=BC=1,∵S四边形DACB=S△ABC+S△DABS△ABC为定值,当S△DAB最大时,四边形DACB面积最大,要使四边形DACB面积最大,只需求

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