专题04 圆中的重要模型之圆中的翻折模型（解析版）

专题04圆中的重要模型之圆中的翻折模型知识储备：1、翻折变换的性质：翻折前后，对应边相等，对应角相等，对应点之间的连线被折痕垂直平分；2、圆的性质：在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，所对的弦也相等；同弧或等弧所对的圆周角相等；3、等圆相交：如图，圆O和圆G为两个相等的圆，圆O和圆G相交，相交形成的弦为AB，则弦AB为整个图形的对称轴，圆心O和圆心G关于AB对称，弧ACB和弧ADB为等弧，且关于AB对称；4、弧翻折（即等圆相交）：如图，以弦BC为对称轴，将弧BC翻折后交弦AB于点D，那么弧CDB所在的圆圆G与圆O是相等的圆，且两个圆关于BC对称，故圆心O、G也关于BC对称。模型1.圆中的翻折模型（弧翻折必出等腰）如图，以圆O的一条弦BC为对称轴将弧BC折叠后与弦AB交于点D，则CD=CA特别的，若将弧BC折叠后过圆心，则CD=CA，∠CAB=60°例1．（2022秋·福建莆田·九年级校考期末）如图，在中，点在优弧上，将弧沿折叠后刚好经过的中点．若的半径为5，，则的长是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】连接AC、OB、OD、CD，作于点F，作于点E，由垂径定理可知于点D，由勾股定理可知OD的值，再利用折叠性质判断AC=DC，利用等腰三角形性质得出，再证明四边形ODFE为正方形，得到△CFB为等腰三角形，计算出弧AC所对圆周角度数，进而得弧AC所对圆周角度数，再代入弧长公式可得弧长．【详解】解：连接AC、OB、OD、CD，作于点F，作于点E，由垂径定理可知于点D，又CA、CD所对的圆周角为、，且，△CAD为等腰三角形又四边形ODFE为矩形且OD=DF=四边形ODFE为正方形故△CFB为等腰三角形，所对的圆心角为故选A．【点睛】本题考查了弧长的计算、圆的折叠的性质、圆周角定理和垂径定理，熟练掌握性质定理和弧长公式是解题的关键．例2．（2023·广东广州·统考一模）如图，为的直径，点为圆上一点，，将劣弧沿弦所在的直线翻折，交于点，则的度数等于(

)．A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角求出，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据优弧所对的圆周角为，得到，然后根据，计算求得的度数．【详解】解：如图，连接，是直径，，，．根据翻折的性质，所对的圆周角为，优弧所对的圆周角为，，，，故选:B．【点睛】本题考查的是翻折变换，圆周角定理，圆内接四边形的性质．根据题意作出直径所对的圆周角，构造出直角三角形是解答此题的关键．难点是理解.例3．（2023·河北保定·统考一模）如图，已知是的直径，且，是上一点，将弧沿直线翻折，使翻折后的圆弧恰好经过圆心，则（1）的长是．（2）劣弧的长是．【答案】【分析】（1）首先利用垂径定理以及“30°角所对的直角边等于斜边的一半”得出∠EAO为30°，由此进一步利用三角函数即可得出AC；（2）由（1）进一步得出∠COB=60°，然后进一步结合题意直接计算出劣弧BC的长即可.【详解】如图，作交于，交于，连接，，则：OA=OF=OC=OB，（1）由折叠的性质可知，，∴，∴在Rt△AOE中，30°，∵AB=4，∵AB为直径，∴∠ACB=90°∴在Rt△CAB中，cos∠CAB，∴，故答案为：；（2）由（1）可得∠CBO=90°−∠CAB=60°，又∵CO=OB，∴∠COB=60°，∴劣弧的长，故答案为：.【点睛】本题主要考查了圆的性质和弧的长度计算与三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.例4．（2022春·湖北荆州·九年级专题练习）如图，为的直径，将沿翻折，翻折后的弧交于D．若，，则图中阴影部分的面积为（

）A． B． C．8 D．10【答案】C【分析】连结AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D′，连结CD′，BD，设AC=x，根据直径时圆周角性质得出∠ACB=90°，利用三角函数求出，然后利用勾股定理构建方程，即，求出，，利用面积桥求出斜边上高CE与AE，根据BC为折痕，点D与点D′对称，得出∠ABC=∠D′BC，，可得AC=CD，利用等腰三角形性质求出AE=DE=2，利用弓形AC=弓形DC进行面积转化求即即可．【详解】解：连接AC，DC，过点C作CE⊥AB与E，点D关于BC的对称点D′，连接CD′，BD′设AC=x，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵，∴，∴，即，解得，，∴，∴，∴AE=，∵BC为折痕，点D与点D′对称，∴∠ABC=∠D′BC，，∴，∴AC=CD，∵CE⊥AD，∴AE=DE=2，AD=4，∴弓形AC=弓形DC，∴S阴影=S△ACD=．故选：C．【点睛】本题考查圆周角的性质综合，折叠性质，等腰三角形三线合一性质，不规则图形的面积，掌握圆周角的性质综合，折叠性质，等腰三角形三线合一性质，不规则图形的面积是解题关键．例5．（2023·河南商丘·统考二模）如图，在扇形中，，点C，D分别是和上的点，且，将扇形沿翻折，翻折后的恰好经过点O．若，则图中阴影部分的面积是．

【答案】【详解】过点O作交于点E，连接OC，CE，由折叠的性质结合所作辅助线可得出为等边三角形，即．再根据平行线的性质可求出，从而可求出，进而可求出，利用锐角三角函数可求出，最后根据，结合扇形面积公式和三角形面积公式求解即可．【分析】解：过点O作交于点E，连接，如图，

∴，∴为等边三角形，∴．∵，，∴．∵，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查折叠的性质，扇形的面积公式，平行线的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形等知识．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键．例6．（2023·吉林长春·统考模拟预测）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D，连接AC，CD．则下列结论中错误的是（）①AC＝CD；②AD＝BD；③+＝；④CD平分∠ACBA．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】根据折叠的性质可得AD＝CD；根据线段中点的定义可得AD＝BD；根据垂径定理可作判断③；延长OD交⊙O于E，连接CE，根据垂径定理可作判断④．【详解】过D作DD'⊥BC，交⊙O于D'，连接CD'、BD'，由折叠得：CD＝CD'，∠ABC＝∠CBD'，∴AC＝CD'＝CD，故①正确；∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，∵AC＝CD'，故②正确；∴，由折叠得：，∴；故③正确；延长OD交⊙O于E，连接CE，∵OD⊥AB，∴∠ACE＝∠BCE，∴CD不平分∠ACB，故④错误；故选：A．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了圆周角定理和垂径定理．例7．（2022秋·山东九年级课时练习）如图，将⊙O上的沿弦BC翻折交半径OA于点D，再将沿BD翻折交BC于点E，连接DE．若AD＝2OD，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】如图，连接AC，CD，OC，过点C作CH⊥AB于H．设OA＝3a，则AB＝6a．首先证明AC＝CD＝DE，求出AC（用a表示），即可解决问题．【详解】解：如图，连接AC，CD，OC，过点C作CH⊥AB于H．设OA＝3a，则AB＝6a．∵在同圆或等圆中，∠ABC所对的弧有，，，∴AC＝CD＝DE，∵CH⊥AD，∴AH＝DH，∵AD＝2OD，∴AH＝DH＝OD＝a，在Rt△OCH中，CH＝，在Rt△ACH中，AC＝，∴．故选：D．【点睛】本题考查圆周角定理，翻折变换，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．例8．（2023春·江苏盐城·八年级校考期末）如图，是半径为2的的弦，将沿着弦折叠，正好经过圆心O，点C是折叠后的上一动点，连接并延长交于点D，点E是的中点，连接，．则的最小值为．【答案】/【分析】首先证明是等边三角形，再证明，求出，可得结论．【详解】解：连接，作．连接．由题知：沿着弦折叠，正好经过圆心O，∴，∴，∴，∴，，∴，∴是等边三角形，∵E是中点，∴，又∵，∴F是中点，∴，即，E点在以为直径的圆上运动．所以，当E、O、F在同一直线时，长度最小，此时，，∵的半径是2，即，∴（勾股定理），∴．故答案为：．【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．例9．（2022·广西南宁·统考三模）综合实践：在数学综合实践课上，第一小组同学展示了如下的操作及问题：如图1，同学们先画出半径为的，将圆形纸片沿着弦折叠，使对折后劣弧恰好过圆心，同学们用尺子度量折痕的长约为，并且同学们用学过的知识验证度量的结果是正确的．验证如下：如图1，过点作于点，并延长交虚线劣弧于点，∴，由折叠知，，连接，在中，，根据勾股定理得，，∴，通过计算：，同学们用尺子度量折痕的长约为是正确的．请同学们进一步研究以下问题：(1)如图2，的半径为，为的弦，，垂足为点，劣弧沿弦折叠后经过的中点，求弦的长（结果保留根号）；(2)如图3，在中劣弧沿弦折叠后与直径相交于点，若，，求弦的长（结果保留根号）．【答案】(1)(2)【分析】（1）连接，延长交于点，求出，再根据勾股定理可得出结论；（2）作点关于弦的对称点，连接并延长与的延长线相交于，连接，先证明，可得，，再证明，根据相似三角形的性质求出，利用勾股定理可得出结论．【详解】（1）解：连接，延长交于点，由题意可知，∵是的中点，∴，∴，∵，∴，，∴，∴；（2）解：作点关于弦的对称点，连接并延长与的延长线相交于，连接，，，，有折叠性质可知：，，，∴，∴，，∴，．∵四边形是圆内接四边形，∴，，∴，∵，∴，∴，即．则，又∵，∴，∴．【点睛】此题是圆的综合题，主要考查了垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，构造出直角三角形是解本题的关键．课后专项训练1．（2023·湖北武汉·九年级统考期中）如图，AB是⊙O的直径，AB＝4，E是上一点，将沿BC翻折后E点的对称点F落在OA中点处，则BC的长为（）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】连接OC．由△AFC∽△ACO，推出AC2＝AF•OA，可得AC＝，再利用勾股定理求出BC即可解决问题；【详解】解：连接OC．由翻折不变性可知：EC＝CF，∠CBE＝∠CBA，∴，∴AC＝CE＝CF，∴∠A＝∠AFC，∵OA＝OC＝2，∴∠A＝∠ACO，∴∠AFC＝∠ACO，∵∠A＝∠A，∴△AFC∽△ACO，∴AC2＝AF•OA，∵AF＝OF＝1，∴AC2＝2，∵AC＞0，∴AC＝，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝，故选D．【点睛】本题考查翻折变换，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．2．（2023·广东深圳·校联考模拟预测）如图，已知内接于，，将弧沿弦翻折后恰好经过弦的中点，则的半径为(

)

A． B． C．5 D．【答案】B【分析】连接，作于，连接并延长交于，连接，可由推出，进而求得，，，，，再在中列方程求得．【详解】解：如图，

连接，作于，连接并延长交于，连接，，，，，在中，，，，在中，，，，根据对称性可得，，，在中，，，，设，

在中，由勾股定理得，，故选：B．【点睛】本题考查了轴对称性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，得出3．（2023·四川南充·九年级校考阶段练习）如图，⊙O是△ABC的外接圆，将△ABC绕点C顺时针旋转至△EDC，使点E在⊙O上，再将△EDC沿CD翻折，点E恰好与点A重合，已知∠BAC=36°，则∠DCE的度数是（

）A．24 B．27 C．30 D．33【答案】B【分析】延长CD交⊙O于点F，连接AF，则由CD经过圆心O可得∠CAF＝90°，先由翻折得到∠BCA＝∠DCA，AB＝AD，∠CAD＝∠CAB＝36°，然后得到∠FAD＝54°，再由圆周角定理得到AB＝AF，进而得到AF＝AD，也就有∠ADF＝∠AFD＝63°，再由三角形的外角性质得到∠ACD的大小，最后由旋转的性质得到∠DCE的大小．【详解】解：如图，延长CD交⊙O于点F，连接AF，由题可知，,垂直平分,CD经过圆心O，∴∠CAF＝90°，由翻折得，∠DCA＝∠BCA，AB＝AD，∠CAD＝∠CAB＝36°，∴∠FAD＝∠CAF﹣∠CAD＝90°﹣36°＝54°，AB＝AF，∴AF＝AD，∴∠ADF＝∠AFD＝（180°﹣∠DAF）＝（180°﹣54°）＝63°，∵∠ADF是△ACD的外角，∴∠ACD＝∠ADF﹣∠CAD＝63°﹣36°＝27°，∴∠BCA＝27°，由旋转的性质得，∠DCE＝∠BCA＝27°，故选：B．【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、旋转的性质、翻折的性质、三角形的外角性质，解题的关键是熟知“直径所对的圆周角为直角”求得∠DAF的大小．4．（2022秋·山东济南·九年级统考期末）如图，的半径为6，将劣弧沿弦翻折，恰好经过圆心，点为优弧上的一个动点，则面积的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO，AK．解直角三角形求出AB，求出CT的最大值，可得结论．【详解】解：如图，过点C作CT⊥AB于点T，过点O作OH⊥AB于点H，交⊙O于点K，连接AO，AK．由题意AB垂直平分线段OK，∴AO＝AK，∵OA＝OK，∴OA＝OK＝AK，∴∠OAK＝∠AOK＝60°．∴AH＝OA•sin60°＝6×＝3，∵OH⊥AB，∴AH＝BH，∴AB＝2AH＝6，∵OC＋OH≥CT，∴CT≤6＋3＝9，∴CT的最大值为9，∴△ABC的面积的最大值为，故选：A．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，三角形的面积，垂线段最短等知识，解题的关键是求出CT的最大值，属于中考常考题型．5．（2023·湖北十堰·九年级统考期中）⊙O的直径AB长为10，弦CD⊥AB于E，将⊙O沿CD翻折，翻折后点B的对应点为点B′，若AB′＝6，CB′的长为（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【分析】分点B'在线段AB上，点B'在BA延长线上两种情况讨论，根据勾股定理可求CB'的长度．【详解】解：①如图：当点B'在线段AB上，连接OC，∵AB＝10，AB'＝6，∴AO＝BO＝5＝OC，BB'＝4，∴BE＝B'E＝2，B'O＝1，∴OE＝3，∵CD⊥ABCE＝，B'C＝；②若点B'在BA的延长线上，连接OC，∵AB＝10，AB'＝6，∴AO＝BO＝5＝OC，BB'＝16，∴BE＝B'E＝8，B'O＝11，∴OE＝3，∵CD⊥AB,CE＝，B'C＝；综上所述B'C＝2或故选：B．【点睛】本题考查了翻折问题，圆的有关概念和性质，勾股定理，利用分类思想解决问题是本题的关键．6．（2023·广东广州·校考二模）如图,AB为O直径,点C为圆上一点,将劣弧ACˆ沿弦AC翻折交AB于点D,连接CD,若点D与圆心O不重合,∠BAC=20°,则∠DCA的度数是()A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】C【分析】连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折及圆内接四边形的性质得到所对的圆周角，然后根据三角形内角和，计算即可得解．【详解】如图，连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=20°，∴∠B=90°－∠BAC=90°－20°=70°，根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B,所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B=180°，∴∠ADC=180°－∠B=110°，∴∠DCA=180°－∠BAC－∠ADC=180°－20°－110°=50°.故选C.【点睛】本题考查的是翻折变换，圆周角定理，圆内接四边形的性质，难度适中，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.7．（2023·湖北武汉·统考一模）如图，的半径，弦，将沿向上翻折，与翻折后的弧相切于点，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作点关于的对称点，连接，根据圆的对称性与勾股定理即可求解.【详解】解析：作点关于的对称点，连接，则，设垂足为点，，中由勾股定理得.故选C.【点睛】此题主要考查垂径定理与切线的性质，解题的关键是根据圆的对称性解题.8．（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点的直线折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，则阴影部分的面积为（）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连接，由折叠的性质可得，从而得到为等边三角形，再求出，从而得出，进行得出，最后由与面积相等及，进行计算即可得到答案．【详解】解：如图，连接，

，根据折叠的性质，，，为等边三角形，，，，，，与面积相等，，故选：B．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、折叠的性质、扇形面积的计算—求不规则图形的面积，添加适当的辅助线，得到是解题的关键．9．（2023·广西南宁·统考二模）如图，AB是的直径，点C是上一点，将劣弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D，连接CD，若，则下列式子正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】连，由AB是的直径，可知，由折叠，和所在的圆为等圆，可推得，再利用正弦定义求解即可．【详解】解：连，

∵是的直径，∴，由折叠，和所在的圆为等圆，又∵，∴和所对的圆周角相等，∴，∴，在中，，故选：B．【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角、弦、弧之间的关系以及正弦、余弦定义，解答关键是通过折叠找到公共的圆周角推出等弦．10．（2023·黑龙江绥化·统考中考真题）如图，的半径为，为的弦，点为上的一点，将沿弦翻折，使点与圆心重合，则阴影部分的面积为．（结果保留与根号）

【答案】【分析】根据折叠的性质得出是等边三角形，则，，根据阴影部分面积即可求解．【详解】解：如图所示，连接，设交于点

∵将沿弦翻折，使点与圆心重合，∴，又∴，∴是等边三角形，∴，，∴,∴阴影部分面积故答案为：．11．（2023·河南周口·统考二模）如图①，为半圆的直径，点在上从点向点运动，将沿弦，翻折，翻折后的中点为，设点，间的距离为，点，间的距离为，图②是点运动时随变化的关系图象，则的长为．

【答案】8【分析】由图可知，当时，，此时，，点与点重合，由此即可解题．【详解】解：由图可知，当时，，此时，，点与点重合，如图，

取的中点，连接、，，根据对称性，得，，，是等边三角形，，，为直径，，在中，，，，长为．故答案为：．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象、圆周角定理及含角的直角三角形的性质，解答本题的关键是根据图2得到时，点与点重合，此题难度一般．12．（2023·四川成都·校考三模）如图，中，，斜边，以边为直径在另一侧作半圆，点为半圆上一点，将半圆沿所在直线翻折，翻折后的与边相切于点，与边相交于点，则的长为．

【答案】【分析】作点O关于的对称点，连接，，作于点F，证明四边形为正方形，得，即，作于G，利用垂径定理、勾股定理、含30度角的三角形的性质即可求解．【详解】解：如图，作点O关于的对称点，连接，，

∵中，，斜边，∴，∴，，过A作于点F，则，∴，∴，且，∴四边形为矩形，∵，∴四边形为正方形，∴，∴，作于G，∴，∴，∴．∴．故答案为：．【点睛】本题考查圆的切线的性质，垂径定理，直角三角形的性质，正方形的判定和性质，解题的关键是掌握圆的切线的性质．13．（2023·江苏南京·统考二模）如图，是的直径，点在圆上．将沿翻折与交于点．若的度数为，则．

【答案】【分析】如图：作D关于的对称点E，连接,则，然后再根据的度数为可知，然后再根据圆周角定理、邻补角性质可得，最后运用弧长公式即可解答．【详解】解：如图：作D关于的对称点E，连接,则，∵的度数为，∴，∴∴，∴，∴的长度为，∴的长度为．故答案为．

【点睛】本题主要考查了圆周角定理、弧长公式等知识点，求得的度数是解答本题的关键．14．（2023·河南周口·统考一模）如图，在扇形中，，将扇形翻折，使点B与圆心O重合，为折痕．若，则图中阴影部分的面积是．（结果保留）【答案】【分析】如图，连接，由题意知，，由，可得，，则，根据，计算求解即可．【详解】解：如图，连接，由题意知，，∵，∴，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了余弦，翻折的性质，扇形的面积．正确的表示阴影部分面积是解题的关键．15．（2022秋·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，是半圆上一点，是直径，将弧沿翻折交于点，再将弧沿翻折交于点，若是弧的中点，，则阴影部分面积为．【答案】/【分析】首先添加辅助线（见详解），利用圆周角定理证明线段，设，则，构建方程求出，再通过解直角三角形求出，即可解决问题．【详解】解：如图，连接，，，过点作于，过点作于．，，，，，，，是的中点，，，，设，则，，是直径，，，，，，，，，在上取一点，使得，连接，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，弓形的面积弓形的面积，，故答案为：．【点睛】本题主要考查圆周角定理、等腰直角三角形判定和性质、解直角三角形、扇形的面积等知识，学会添加常用辅助线，利用特殊角解决问题是解答本题的关键．16．（2023·河北衡水·校联考模拟预测）如图，在半径为6的扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F，设所在的圆的圆心为，且．(1)求的大小及的长；(2)请在图中画出线段，用其长度表示劣弧上的点到弦的最大距离（不说理由），并求弦的长．【答案】(1)，(2)见解析；【分析】（1）连接、、OD，由对称性可知，即，根据与，相切于点E，F得，，则，，在四边形中，，根据，，得平分，即；（2）过O作交于P，延长与交于点Q，由折叠可知：垂直平分，则是所在弓形的高，即的长度是劣弧上的点到弦的最大距离，则O、、P三点共线，在中，根据锐角三角函数得，由对称性可知，在中，根据勾股定理得，即可得．【详解】（1）解：如图所示，连接、、OD，由对称性可知，即，∵与，相切于点E，F，∴，，∴，，在四边形中，；∵，，∴平分，即，在中，；（2）解：如图中的即为所求，作法：过O作交于P，延长与交于点Q，理由：由折叠可知：垂直平分，∴是所在弓形的高，即的长度是劣弧上的点到弦的最大距离，则O、、P三点共线，在中，，由对称性可知，在中，，所以．【点睛】本题考查了对称性，切线的性质，角平分线，锐角三角函数，勾股定理，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点．17．（2023秋·江苏泰州·九年级统考期末）数学兴趣小组在探究圆中图形的性质时，用到了半径是6的若干圆形纸片．(1)如图1，一张圆形纸片，圆心为，圆上有一点A，折叠圆形纸片使得A点落在圆心上，折痕交于、两点，求的度数．(2)把一张圆形纸片对折再对折后得到如图扇形，点是弧上一动点．①如图2，当点是弧中点时，在线段、上各找一点、，使得是等边三角形．试用尺规作出，不证明，但简要说明作法，保留作图痕迹．②在①的条件下，取的内心，则___________．③如图3，当在弧上三等分点S、之间（包括S、两点）运动时，经过兴趣小组探究都可以作出一个是等边三角形，取的内心，请问的长度是否变化．如变化，请说明理由；如不变，请求出的长度．【答案】(1)(2)①图见解析，说明见解析；②；③不变，【分析】（1）根据折叠得出，证明是等边三角形，，同理得出，即可得出的度数；（2）①作等边，作垂直平分线交于点，以为圆心为半径作圆交于点，连接、、即可；②设，则，，，求出，根据，得出，求出x，即可得出答案；③取中点，连接，，，作交于点，设，，则，，，根据勾股定理得出，最后在中，根据勾股定理求出，即可得出答案．【详解】（1）解：由折叠可得，，，是等边三角形，，同理：，；（2）解：①作等边，作垂直平分线交于点，以为圆心为半径作圆交于点，连接、、得；根据作图可知，，根据折叠可知，，∵点为的中点，∴，∵，∴，∴，，∵为等边三角形，∴，∵垂直平分，∴，∴，∴，∴为等边三角形；②根据解析①可知，为等边三角形，，∴内心的内心N在上，，，设，则，，，∵，∴，∵，，，∴，∴，解得：，∴；故答案为：．③不变，理由如下：如图，取中点，连接，，，作交于点，设，，则，，，在中，，为的中点，，在中，，在中，，即有化简得，在中，；即，的值不变．【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握等边三角形的判定和性质．18．（2022秋·河北承德·九年级校考期末）如图，的直径，是弦，沿折叠劣弧，记折叠后的劣弧为．(1)如图1，当与相切于时．①为画出所在圆的圆心，请选择你认为正确的答案．甲：在上找一点，连、并分别作它们的中垂线，交点为；乙：分别以、为圆心，以为半径作弧，除外两弧另一个交点即为圆心．A．甲正确

B．乙正确

C．甲乙都正确

D．都不正确②选择合适的方法做出圆心，求的长；直接写出此时的度数．(2)如图2，当经过圆心时，求的长；(3)如图3，当覆盖圆心且与直径交于点，若，直接写出的度数．【答案】(1)①C②，(2)(3)【分析】（1）①确定圆心最常见思路为不在同一直线的三点共圆，利用其外心可确定圆心；②连接、，易证得四边形为菱形，加上，所以四边形为正方形，根据正方形的性质得可得结果；（2）作于，如图，根据折叠的性质得，由，根据垂径定理得，再在中，利用勾股定理计算出，进而容易得出；（3）连接，作关于的对称轴点在上，并连接、，，根据圆周角定理得到，求得，根据圆内接四边形的性质得到，再由翻折可求得，于是得到结论．【详解】（1）①甲：在上找一点，连、并分别做它们的中垂线，即做的外心，故甲正确；乙：由切线长定理可知，为切线，且，故也为的切线，易知为正方形（证明见②），故乙正确；故选：C；②如图，连接、，∵，∴四边形为菱形，而，∴四边形为正方形，∴，；（2）作于，交劣弧于，如图，∵沿折叠劣弧，记折叠后的劣弧为，即∴，∵，∴，在中，，，∴，∴；（3）连接，作关于的对称轴点在上，并连接、，如图，∵是的直径，∴，又∵，∴，由圆内接四边形的性质得到，可得：，∴【点睛】本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理、圆周角定理和切线的性质；会利用勾股定理和相似比进行几何计算；理解折叠的性质和正方形的判定与性质，作出辅助线是解答此题的关键．19．（2023·江苏盐城·统考三模）如图1，扇形中，，，点在半径上，连接．

(1)把沿翻折，点的对称点为点．①当点刚好落在弧上，求弧的长；②如图2，点落在扇