专题08平行四边形的性质与判定重难点题型专训（原卷版）

专题08平行四边形的性质与判定重难点题型专训【题型目录】题型一利用平行四边形的判定定理证明题型二利用平行四边形的性质求角度题型三利用平行四边形的性质求长度题型四利用平行四边形的性质求面积题型五平行四边形中的线段最值问题题型六平行四边形中的翻折问题题型七平行四边形中的旋转问题题型八平行四边形的存在性问题题型九三角形中位线有关的证明题型十平行四边形的性质与判定综合题型【经典例题一利用平行四边形的判定定理证明】【知识归纳】1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；5.对角线互相平分的四边形是平行四边形.特别说明：（1）这些判定方法是学习本章的基础，必须牢固掌握，当几种方法都能判定同一个平行四边形时，应选择较简单的方法.（2）这些判定方法既可作为判定平行四边形的依据，也可作为“画平行四边形”的依据.【例1】（2022春·福建泉州·八年级统考期末）如图，四边形中，ADBC，，，．若点是线段的中点，则的长为（

）A． B．2 C． D．3【变式训练】【变式1】（2022春·浙江杭州·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD=2AD，E，F，G分别是OC，OD，AB的中点．下列结论正确的是（）①EG⊥AB；②EF=EG；③四边形BEFG为平行四边形；④AC垂直平分线段FG．A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【变式2】（2022秋·重庆綦江·九年级校考阶段练习）如图，在中，D是边上的中点，连结，把沿翻折，得到，连接，若，则的面积为___________【变式3】（2022春·宁夏银川·八年级校考期末）如图，在中，对角线，相交于点O，点E，F在上，点G，H在上，且，．(1)若，，试求的度数．(2)求证：四边形是平行四边形．【经典例题二利用平行四边形的性质求角度】【知识归纳】1．边的性质：平行四边形两组对边平行且相等；2．角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等；3．对角线性质：平行四边形的对角线互相平分；4．平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；特别说明：（1）平行四边形的性质中边的性质可以证明两边平行或两边相等；角的性质可以证明两角相等或两角互补；对角线的性质可以证明线段的相等关系或倍半关系.（2）由于平行四边形的性质内容较多，在使用时根据需要进行选择.（3）利用对角线互相平分可解决对角线或边的取值范围的问题，在解答时应联系三角形三边的不等关系来解决.【例2】（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，以平行四边形的边为斜边向内作等腰直角，使，，且点在平行四边形内部，连接、，则的度数是（

）．A． B． C． D．【变式训练】【变式1】（2021春·全国·八年级专题练习）在中，，于点，点为的中点，若，则的度数是（

）A． B． C． D．【变式2】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，平行四边形中，于点，为线段上一点且满足，，连并延长交于点，则的度数为_____．【变式3】（2021春·福建福州·八年级校考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥CD，E为BC中点，点M在线段BE上，连接AM，AE，在BC下方有一点N，满足∠CAD＝∠BCN，连接MN．(1)若∠BCN＝60°，求证：∠BAE＝30°；(2)若MA＝MN，求证：∠NMC＝∠MAE；(3)在（2）的条件下，若MC＝EA+CN，求证：AB＝AE．【经典例题三利用平行四边形的性质求长度】【例3】（2022春·四川绵阳·八年级校考期中）如图，在中，，，点E、F分别在上，将四边形沿折叠得四边形，恰好垂直于，若，则的值为（

）A．3 B． C． D．【变式训练】【变式1】（2022春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，在四边形中，，，点为延长线上一点，连接AC、AE，AE交于点H，的平分线交于点．若，点为的中点，，则的长为（

）．A．9 B． C．10 D．【变式2】（2020春·重庆渝中·八年级重庆市第二十九中学校校考期中）如图，平行四边形中，＝，°，将沿边折叠得到，交于，，则点到的距离为______．【变式3】（2022春·辽宁沈阳·八年级统考期末）在平行四边形中，对角线交于点O．且分别平分．(1)求的度数；(2)猜测线段之间的等量关系，并证明你的结论；(3)设点P为对角线上一点，，若平行四边形的周长为16，平行四边形的面积为，直接写出的长．【经典例题四利用平行四边形的性质求面积】【例4】（2023·广东佛山·校考一模）如图，直线经过平行四边形的对角线的交点，若四边形的面积为cm2，则四边形的面积为（

）cm2．A． B． C． D．【变式训练】【变式1】（2022秋·福建厦门·八年级厦门市湖滨中学校考期末）如图，已知，∠ABC=60°，BC=2AB=8，点C关于AD的对称点为E，连接BE交AD于点F，点G为CD的中点，连接EG、BG，则=（

）A． B． C． D．【变式2】（2022秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）如图，平行四边形ABCD中，，，，点E为DC中点，点F为BC上一点，△CEF沿EF折叠，点C恰好落在BD边上的点G处，则BGF的面积为______．【变式3】（2022秋·吉林长春·八年级长春市第五十二中学校考期中）在中，，，，动点从点出发，以的速度沿折线运动，连接交于点，设点的运动时间为秒．(1)当点在边上运动时，直接写出、的长；(2)在（1）的条件下，当是等腰三角形时，求的值；(3)当点在的垂直平分线上时，求出此时的值；(4)点与点同时出发，且点在边上由点向点运动，点的速度是，当直线平分的面积时，直接写出的值．【经典例题五平行四边形中的线段最值问题】【例5】（2022春·福建龙岩·八年级校考阶段练习）如图，在平行四边形中，．点M是边的中点，点N是边上的一个动点．将沿所在的直线翻折到，连接．则线段长度的最小值为（

）A．5 B．7 C． D．【变式训练】【变式1】（2022春·福建福州·八年级校考期末）如图，在中，，，，D为AB边上一点，将DC平移到AE（点D与点A对应），连接DE，则DE的最小值为（

）A． B．2 C．4 D．【变式2】（2021春·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在中，，，，E为斜边边上的一动点，以，为边作平行四边形．（1）的长为________．（2）线段长度的最小值为______．【变式3】（2021春·福建厦门·八年级厦门双十中学校考阶段练习）如图，在等边中，点是射线上一动点（点在点的右侧），．点是线段的中点，连接．（1）请你判断线段与的数量关系，并给出证明；（2）若，求线段长度的最小值．【经典例题六平行四边形中的翻折问题】【例6】（2022春·浙江杭州·八年级统考期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝，E，F分别为CD，AB上的动点，DE＝BF，分别以AE，CF所在直线为对称轴翻折△ADE，△BCF，点D，B的对称点分别为G，H．若E、G、H、F恰好在同一直线上，∠GAF＝45°，且GH＝3，则AF的长是（

）A．4 B．5 C．6 D．7【变式训练】【变式1】（2022秋·九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，，，，点E在AB边上，将沿着直线DE翻折得．连结，若点恰好落在的平分线上，则，C两点间的距离为（

）A．3或6 B．3或 C． D．6【变式2】（2022春·浙江舟山·八年级校考期中）在平行四边形ABCD中，BC=3，CD=4，点E是CD边上的中点，将ΔBCE沿BE翻折得ΔBGE，连结AE，A、G、E在同一直线上，则点G到AB的距离为________．【变式3】（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在平行四边形中，，，，(1)平行四边形的面积为________．(2)若是边的中点，是边上的一个动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是________．【经典例题七平行四边形中的旋转问题】【例7】（2021春·浙江·九年级期末）如图，在中，，，将点绕点逆时针旋转得到点，点落在线段上，在线段BE上取点，使，连结，，则的长为（

）A．2 B． C． D．【变式训练】【变式1】（2020·湖北·九年级统考阶段练习）如图，等腰△ABC的顶角∠A=36°，若将其绕点C顺时针旋转36°，得到△，点B′在AB边上，交AC于E，连接AA′．有下列结论：①△ABC≌△；②四边形是平行四边形；③图中所有的三角形都是等腰三角形；其中正确的结论是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【变式2】（2022春·江苏盐城·八年级校联考阶段练习）如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，对角线AC与BD交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交AD、BC于点E、F，则四边形ABFE周长的最小值是______．【变式3】（2022春·陕西渭南·八年级统考期末）如图，是等边三角形，点E在直线BC上，点F在直线AB上（点E、F不与三角形的顶点重合），，连接CF和AE，将线段CF绕点C顺时针旋转得到线段CG，连接AG．(1)如图1，当点E与点F分别在线段BC与线段AB上时．①求证：；②求证：四边形AECG是平行四边形；(2)如图2，当点E与点F分别在线段CB与线段BA的延长线上时，请判断四边形AECG还是平行四边形吗？并说明理由．【经典例题八平行四边形的存在性问题】【例8】（2022春·浙江温州·八年级校联考阶段练习）在直角坐标系中，A，B，C，D的坐标依次为，，，．若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则的值不可能是（

）A．7 B．1 C．1 D．7【变式训练】【变式1】（2022春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD＝6cm，BC＝12cm，点P从A出发以1cm/s的速度向D运动，点Q从C出发以2cm/s的速度向B运动．两点同时出发，当点P运动到点D时，点Q也随之停止运动．若设运动的时间为t秒，以点A、B、C、D、P、Q任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则t的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2】（2022秋·山东济宁·八年级校考阶段练习）如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t，当________s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．【变式3】（2022春·河南郑州·八年级校考期末）如图，在四边形中，，，，若动点从A点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；点从点出发以每秒的速度沿方向运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，回答下列问题：(1)设点、同时出发，并运动了秒，求当为多少秒时，四边形变为平行四边形．(2)如图，若四边形变为平行四边形，，动点从A点出发，以每秒的速度沿线段向点运动；动点从点出发以每秒的速度在间往返运动，当点到达点时，动点、同时停止运动，设、两点同时出发，并运动了秒，求当为多少秒时，以，，，B四点组成的四边形是平行四边形．请直接写出答案．【经典例题九三角形中位线有关的证明】【例8】（2021春·四川凉山·八年级校考期中）如图，中，平分，且，E为的中点，，，，则的长为（

）．A．6 B．3 C．1.5 D．5【变式训练】【变式1】（2023秋·湖北武汉·八年级校考期末）如图，在中，，，，点为的中点，点为内一动点且，点为的中点，当最小时，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式2】（2022春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）如图，在中，，点B为延长线上一点，且，连接，点F、E分别为、的中点，连接、，当，时，则的长度为______．【变式3】（2023秋·山西吕梁·九年级统考期末）综合与实践【知识呈现】两块等腰直角三角板和如图摆放，其中，是的中点，是的中点，是的中点．(1)如图，若点，分别在，的延长线上，通过观察和测量，猜想和的数量关系为______，位置关系为______；【拓展巩固】(2)如图，若将三角板绕着点顺时针旋转至在一条直线上时，其余条件均不变，则（1）中的猜想是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；【探究提升】(3)如图，将图中的绕点顺时针旋转一个锐角，得到图，中的猜想还成立吗？直接写出结论，不用证明．【经典例题十平行四边形的性质与判定综合题型】【例8】（2022春·陕西咸阳·八年级统考期末）如图，分别以的直角边，斜边为边向外作等边和等边，F为的中点，连接，，．则以下结论：①；②四边形为平行四边形；③，其中正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式训练】【变式1】（2021春·辽宁丹东·八年级统考期末）如图，的对角线交于点O，平分，交于点，且，，连接，下列结论：①；②；③；④；⑤．其中成立的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【变式2】（2023秋·江西抚州·八年级临川一中校考期末）在中，，D为形内一点，以为腰作等腰，使，连接，若分别是的中点，，则的长为_______．【变式3】（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）在数学中，我们会用“截长补短”的方法来解决几条线段之间的和差问题．请看这个例题：如图1，在四边形中，，，若，求四边形的面积．解：延长线段到E，使得，连接，我们可以证明，根据全等三角形的性质得，，则，得，这样，四边形的面积就转化为等腰直角三角形面积．(1)根据上面的思路，我们可以求得四边形的面积为cm2．(2)如图2，在中，，且，求线段的最小值．(3)如图3，在平行四边形中，对角线与相交于O，且；，则是否为定值？若是，求出定值；若不是，求出的最小值及此时平行四边形的面积．【培优检测】1．（2023秋·河北保定·九年级校考期末）如图，在中，于点D，，若E，F分别为的中点，则的长为（

）A． B． C． D．2．（2021春·浙江杭州·八年级校考期中）如图所示，在平行四边形中，M是的中点，，，，则的长为（）A． B．2 C． D．3．（2022·江苏淮安·模拟预测）如图，在平行四边形中，点、、分别是、、的中点，，则的长是（）A．2 B．3 C．4 D．54．（2022秋·山东烟台·八年级统考期末）如图，在平行四边形中，E为上一点，且，，，，则下列结论：①；②平行四边形周长是24；③；④；⑤E为中点．正确的结论有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个5．（2022春·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考阶段练习）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（）A．24 B．17 C．13 D．106．（2023秋·陕西西安·九年级统考期末）如图，是内一点，，，，，、、、分别是、、、的中点，则四边形的周长是（

）A． B． C． D．7．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：①；②EF＝CF；③；④∠DFE＝4∠AEF．其中一定成立的是（

）A．①②③④ B．①②③ C．①② D．①②④8．（2022春·陕西汉中·八年级统考期末）如图，分别以的斜边、直角边为边向外作等边和等边，为的中点，连接、，与相交于点，若，下列结论：①；②四边形为平行四边形；③；④．其中正确结论有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（2022秋·山东东营·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，过点A作且点F在点A的右侧．点D从点A出发沿射线方向以1cm/秒的速度运动，同时点P从点E出发沿射线方向以2cm/秒的速度运动，在线段上取点C，使得，设点D的运动时间为x秒．当x=___________秒时，以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．10．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，已知中，垂直平分，且，点为上一点，连接，若，，则的长为____________．11．（2022·江苏镇江·统考一模）如图，在平行四边形中，，E为边上的一动点，那么的最小值等于______．12．（2022·江苏扬州·校考二模）如图，平行四边形中，点E在上，以为折痕，把向上翻折，点A正好落在边的点F处，若的周长为6，的周长为，那么的长为_________．13．（2021春·浙江杭州·八年级杭州英特外国语学校校考期中）如图，在矩形中，，E是边上的一个动点，连接，过点D作于F，连接，当为等腰三角形时，则的长是______．14．（2023秋·广东广州·九年级广州大学附属中学校考阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，，线段在斜边上运动，且．连接，．则周长的最小值是______．15．（2023·全国·八年级专题练习）如图，在中，，分别是的中点，延长到点，使得，连接与交于点．，求四边形的面积．16．（2022秋·河南周口·九年级校考期中）如图，在四边形中，E，F分别是的中点．(1)若，求的长．(2)若，求证：．17．（2022秋·山东济宁·八年级济宁市第十三中学校考阶段练习）如图，在梯形中，，，，E是的中点．动点P从点A出发沿向终点D运动，动点P平均每秒运动1cm；同时动点Q从点C出发沿向终点B运动，动点Q平均每秒运动2