专题9.6菱形的性质与判定（知识解读）-2022-2023学年八年级数学下册《考点解读专题训练》（苏科版）

专题9.6菱形的性质与判定（知识解读）【学习目标】1.理解菱形的概念；2.探索并证明菱形的性质定理和判定定理，并能运用它们进行证明和计算；3.通过经历菱形的性质定理和判定定理的探索过程，丰富学生的数学活动经验和体验，进一步培养和发展学生的合情推理能力；4.通过菱形的性质定理和判定定理以及相关问题的证明和计算，进一步培养和发展学生的演绎推理能力。【知识点梳理】知识点1：菱形的概念与性质概念：一组邻边相等的平行四边形是菱形2.性质：边：菱形的四条边都相等．对角线：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．菱形的面积：菱形的面积等于对角线乘积的一半．知识点2：菱形的判定1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）．2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形（对角线）．3.四条边相等的四边形是菱形（边）【典例分析】【考点1：菱形的概念和性质】【典例1】（2022秋•南岸区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AC＝6，BD＝8，则菱形ABCD的周长为（）A．12 B．16 C．20 D．40【答案】C【解答】解：四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝OD＝4，AO＝OC＝3，AC⊥BD，∴AB＝＝5，故菱形的周长为4×5＝20．故选：C．【变式11】（2021春•龙马潭区期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是AB的中点，连结EO．若EO＝2，则CD的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB＝CD，∵E是AB的中点，∴AB＝2EO，∵EO＝2，∴AB＝4，∴CD＝4．故选：C．【变式12】（2022秋•丰城市校级期末）如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，AB＝AC，则∠ADB的度数是（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】A【解答】解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ADC＝∠ABC，∵AB＝AC，∴AB＝BC＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ADC＝60°，在菱形ABCD中，∠ADB＝∠CDB，∴∠ADB＝30°，故选：A．【变式13】（2022秋•三明期中）如图，在菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠BCD＝50°，则∠OED的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．20°【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠BCD＝50°，∴O为BD中点，∠DBE＝∠ABC＝65°．∵DE⊥BC，∴在Rt△BDE中，OE＝OB＝OD，∴∠OEB＝∠OBE＝65°．∴∠OED＝90°﹣65°＝25°．故选：A【典例2】（2022秋•绥化期末）下列不属于菱形性质的是（）A．四条边都相等 B．两条对角线相等 C．两条对角线互相垂直 D．每一条对角线平分一组对角【答案】B【解答】解：A．菱形的四条边都相等，故A选项不符合题意；B．菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，不一定相等，故B选项符合题意；C．菱形的两条对角线互相垂直，故C选项不符合题意；D．菱形的每一条对角线平分一组对角，故D选项不符合题意．故选：B．【变式21】（2022秋•舞钢市期中）下列说法不正确的是（）A．菱形的四条边都相等 B．菱形的对角线相等 C．菱形是轴对称图形 D．菱形的对角线互相垂直【答案】B【解答】解：由菱形的性质定理可知，菱形的四条边都相等，故A正确；菱形的两条对角线不一定相等，故B错误；∵菱形的两条对角线互相垂直平分，∴菱形是以它的任意一条对角线所在直线为对称轴的轴对称图形，故C正确；由菱形的性质定理可知，菱形的对角线互相垂直，故D正确，故选：B．【变式22】（2022•赫章县模拟）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是（4，0），（0，3），点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于（）A．16 B．20 C．24 D．26【答案】B【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（4，0），（0，3），∴OA＝4，OB＝3，∴AB＝＝5，∴菱形ABCD的周长等于4AB＝20．故选：B．【典例31】（2021秋•榆林期末）如图，在菱形ABCD中，若AB＝5，AC＝8，则菱形ABCD的面积为（）A．24 B．20 C．16 D．12【答案】A【解答】解：设AC与BD交于点O，作出BC边的高h，∵四边形ABCD是菱形，∴AO⊥BO，且AC＝2AO，BD＝2BO．在Rt△AOB中利用勾股定理可得BO＝＝3．∴BD＝2BO＝8．∴菱形的面积为BD×AC＝×6×8＝24．故选：A．【典例32】（2022•州模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝6，DB＝8，则点A到BC的距离为（）A． B．6 C．8 D．【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，DB＝8，∴AD∥BC，AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝3，OB＝OD＝BD＝4，∴∠BOC＝90°，∴BC＝＝＝5，设点A到BC的距离是h，则菱形ABCD的高是h，∵BC•h＝AC•BD＝S菱形ABCD，∴5h＝×6×8，∴h＝，∴点A到BC的距离是，故选：A．【变式31】（2021秋•深圳期末）已知菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积是（）A．20cm2 B．24cm2 C．48cm2 D．100cm2【答案】B【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6cm和8cm，∴这个菱形的面积＝×6×8＝24（cm2），故选：B．【变式32】（2021秋•毕节市期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝6，DB＝8，AE⊥BC于点E，则AE＝（）A．6 B．8 C． D．【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，OC＝OA，OB＝OD，∵AC＝6，DB＝8，∴OC＝3，OB＝4，∴BC＝，∵AC＝6，DB＝8，∴菱形ABCD的面积＝，∵BC＝5，∴AE＝＝，故选：C．【考点2：菱形的判定】【典例4】（2021秋•莱西市期末）如图，△ABC中，D为BC上一点，DE∥AB，DF∥AC．增加下列条件能判定四边形AFDE为菱形的是（）A．点D在∠BAC的平分线上 B．AB＝AC C．∠A＝90° D．点D为BC的中点【答案】A【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形，如图，连接AD，∴三角形ADE和三角形ADF的面积相等，∴当点D在∠BAC的平分线上，点D到AE，AF的距离相等，∴AF＝AE，∴平行四边形AFDE是菱形；B，D不能得平行四边形AFDE是菱形；C能得平行四边形AFDE是矩形；故选：A．【变式41】（2022春•南昌期中）下列选项中能使平行四边形ABCD成为菱形的是（）A．AB＝CD B．AB＝BC C．∠BAD＝90° D．AC＝BD【答案】B【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴▱ABCD为菱形，故选项B符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD＝90°，∴▱ABCD为矩形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD为矩形，故选项D不符合题意；故选：B．【变式42】（2022秋•胶州市校级月考）如图所示，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（）A．一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．四边相等的四边形是菱形 C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形【答案】B【解答】解：由AB＝AC，将△ABC沿BC边翻折可得AB＝BD＝CD＝AC，所以根据“四边相等的四边形是菱形”可得四边形ABDC是菱形．故选：B．【变式43】（2022秋•二七区校级月考）如图▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列说法正确的是（）A．若OB＝OD，则▱ABCD是菱形 B．若AC＝BD，则▱ABCD是菱形 C．若OA＝OD，则▱ABCD是菱形 D．若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形【答案】D【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∵OA＝OD，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D【典例5】（2022春•长乐区期中）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AB＝13，AO＝12，BO＝5．求证：▱ABCD是菱形．【解答】证明：∵AB＝13，AO＝12，OB＝5，∴AB2＝132＝169，AO2+OB2＝122+52＝169，∴AB2＝AO2+OB2，∴△AOB为直角三角形，即∠AOB＝90°．∴AC、BD互相垂直，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．【变式51】（2022春•苍溪县期末）如图，在△AFC中，∠FAC＝90°，B、E分别是FC、AB的中点，过点A作AD∥FC交FE的延长线于点D．（1）求证：BF＝AD；（2）求证：四边形ABCD是菱形．【解答】（1）证明：∵AD∥FC，∴∠ADE＝∠BFE，∵E为AB的中点，∴AE＝BE，又∵∠AED＝∠BEF，∴△AED≌△BEF（AAS），∴AD＝BF；（2）证明：∵∠FAC＝90°，B为CF的中点，∴AB＝BF＝BC，∵AD＝BF，∴AD＝BC，又∵AD∥BC，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形．【变式52】（2022春•铁西区期末）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，BC的垂直平分线分别交BC和AB于点D和点E，点F在DE的延长线上，且AF＝CE．（1）∠BCE的度数为°．（2）求证：四边形ACEF是菱形．【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，DE是BC的中垂线，∴DE⊥BC，又∵AC⊥BC，∴DE∥AC，又∵D为BC中点，DF∥AC，∴DE是△ABC的中位线，∴E为AB边的中点，∴CE＝AE＝BE，∵∠BAC＝60°，∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴∠BCE＝∠B＝30°；故答案为：30；（2）证明：由（1）得CE＝AE＝BE，∵∠BAC＝60°，∴△ACE为正三角形，∴∠AEF＝∠DEB＝∠CAB＝60°，而AF＝CE，又CE＝AE，∴AE＝AF，∴△AEF也为正三角形，∴∠CAE＝∠AEF＝60°，∴AC平行且等于EF，∴四边形ACEF为平行四边形，又∵CE＝AC，∴平行四边形ACEF为菱形．【变式53】（2022•聊城）如图，△ABC中，点D是AB上一点，点E是AC的中点，过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．（1）求证：AD＝CF；（2）连接AF，CD．如果点D是AB的中点，那么当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形，证明你的结论．【解答】（1）证明：∵CF∥AB，∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA，∵点E是AC的中点，∴AE＝CE，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF；（2）解：当AC⊥BC时，四边形ADCF是菱形，证明如下：由（1）知，AD＝CF，∵AD∥CF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形，∵点D是AB的中点，∴CD＝AB＝AD，∴四边形ADCF是菱形【考点3：菱形的性质和判定】【典例6】（2022秋•龙岗区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC平分∠DAB，连接BD交AC于点O，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E．（1）求证：四边形ABCD为菱形；（2）若OA＝4，OB＝3，求CE的长．【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠BAC＝∠DCA，四边形ABCD是平行四边形，∵AC平分∠DAB，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴CD＝AD，∴▱ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，OA＝4，OB＝3，∴AC⊥BD，AC＝2OA＝8，BD＝2OB＝6，∴∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝5，∵CE⊥AB，∴S菱形ABCD＝AB•CE＝AC•BD，即5CE＝×8×6，解得：CE＝，即CE的长为．【变式61】（2022•冷水滩区校级开学）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，线段AC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，过点A作BC的平行线交ED于点F，连接AE，AF．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若AB＝10，∠ACB＝30°，求菱形AECF的面积．【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC，∴FA＝FC，EA＝EC，∴∠EAC＝∠ECA，∵AF∥BC，∴∠FAC＝∠ECA，∴∠FAC＝∠EAC，∵EF⊥AC，∴∠ADF＝∠ADE＝90°．∴∠FAC+∠AFE＝90°，∠EAC+∠AEF＝90°．∴∠AFE＝∠AEF，∴AF＝AE，∴AF＝FC＝CE＝EA，∴四边形AECF是菱形；（2）解：∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF，∴∠ADF＝90°，∵∠BAC＝∠ADF＝90°，∴AB∥FE，∵AF∥BE，∴四边形ABEF为平行四边形，∵AB＝10，∴EF＝AB＝10，∵∠ACB＝30°，∴BC＝2AB＝20，∴AC＝＝＝10，∴S菱形AECF＝AC•EF＝×10×10＝50．【变式62】（2022秋•罗湖区校级月考）如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）如果∠A＝90°，∠C＝30°，BD＝12，求菱形BEDF的边长．【解答】（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形BEDF是平行四边形，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠D