专题34中考命题核心元素铅锤法求面积(原卷版)_第1页
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文档简介

专题34中考命题核心元素铅锤法求面积(原卷版)模块一典例剖析+针对训练模型一三角形面积问题【模型解读】作以下定义:如图①,过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a),中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高”(h).于是可得出一种计算三角形面积的新方法:S△ABC=eq\f(1,2)ah,即三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.典例1(2022•会理县校级模拟)铅锤定理:一个三角形,从一条边上的两个顶点作垂线,且互相平行,铅锤定理就是一种求三角形面积的特殊方法,主要解决的是斜三角形面积问题.具体公式是:三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.该三角形面积等于两垂线乘积的一半.如图1所示:S△OAB应用:(1)如图2所示:平面直角坐标系中,点A(4,4),点B(6,2),点C(4,1)求:△OAB的面积;(2)抛物线y1=k1x2+b1x+c经过点原点O且与x轴交于点C(6,0)直线y2=k2x(a)求抛物线和直线OB的解析式;(b)当△OBP面积最大时,求P的坐标.

针对训练1.(2019•沈阳)如图,正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=k2x(x>0)的图象相交于点A(3,23),点B是反比例函数图象上一点,它的横坐标是3,连接OB,AB,则△AOB典例2(2023•岳阳县一模)如图,抛物线y=12x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B,与y轴相交于点(1)请直接写出点A,B,C的坐标;(2)若点P是抛物线BC段上的一点,当△PBC的面积最大时求出点P的坐标,并求出△PBC面积的最大值;针对训练1.(2022•广东)如图,抛物线y=x2+bx+c(b,c是常数)的顶点为C,与x轴交于A,B两点,A(1,0),AB=4,点P为线段AB上的动点,过P作PQ∥BC交AC于点Q.(1)求该抛物线的解析式;(2)求△CPQ面积的最大值,并求此时P点坐标.

2.(2022•福建)在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx经过A(4,0),B(1,4)两点.P是抛物线上一点,且在直线AB的上方.(1)求抛物线的解析式;(2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍,求点P的坐标;模型二四边形面积问题【模型解读】求四边形的面积问题时,可将四边形分割成两个三角形,从而转变成求三角形的面积问题.典例3(2022•海南)如图1,抛物线y=ax2+2x+c经过点A(﹣1,0)、C(0,3),并交x轴于另一点B,点P(x,y)在第一象限的抛物线上,AP交直线BC于点D.(1)求该抛物线的函数表达式;(2)当点P的坐标为(1,4)时,求四边形BOCP的面积;

针对训练1.(2022秋•平阴县期末)如图,已知直线y=43x+4与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=ax2+bx+4经过A,C两点,且与x轴的另一个交点为B(1)求抛物线的表达式;(2)D是第二象限内抛物线上的动点,设点D的横坐标为m,求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标;(3)若点P在抛物线对称轴上,点Q为任意一点,是否存在点P、Q,使以点A,C,P,Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形?若存在,请直接写出P,Q两点的坐标,若不存在,请说明理由.

模块二2023中考押题预测1.(2020春•雨花区校级月考)如图,已知函数y=x+3的图象与函数y=kx(k≠0)的图象交于A、B两点,连接BO并延长交函数y=kx(k≠0)的图象于点C,连接AC,若△2.如图,我们可以用“三角形面积等于水平宽(a)与铅垂高(h)乘积的一半”的方法来计算三角形面积.已知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(﹣1,0)、B(5,0)两点,交y轴于点C(0,5)(1)求抛物线的解析式;(2)写出该抛物线的对称轴及顶点M的坐标;(3)求△BCM的面积.3.(2021秋•梅江区校级期末)抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A(3,0),交y轴于点B(0,3).(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,点P是线段AB上方抛物线上一动点,当△PAB的面积最大值时,求出此时P点的坐标;(3)点Q是线段AO上的动点,直接写出12AQ+BQ的最小值为4.(2022秋•临淄区期末)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A(﹣2,0)、B(8,0)两点,与y轴交于点C(0,4),连接AC、BC.(1)求抛物线的表达式;(2)D为抛物线上第一象限内一点,求△DCB面积的最大值;(3)点P是抛物线上的一动点,当∠PCB=∠ABC时,求点P的坐标.5.(2020•中原区校级三模)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点A的坐标为(﹣1,0),抛物线顶点D的坐标为(1,﹣4),直线BC与对称轴相交于点E.(1)求抛物线的解析式;(2)点M为直线x=1右方抛物线上的一点(点M不与点B重合),设点M的横坐标为m,记A、B、C、M四点所构成的四边形面积为S,若S=3S△BCD,请求出m的值;(3)点P是线段BD上的动点,将△DEP沿边EP翻折得到△D'EP,是否存在点P,使得△D'EP与△BEP的重叠部分图形为直角三角形?若存在,请直接写出BP的长,若不存在,请说明理由.

6.(2021•酒泉一模)如图,已知抛物线y=﹣x2+mx+n与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(﹣1,0),C(0,3).(1)求抛物线的表达式;(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形?如果存在,直接写出P点的坐标;如果不存在,请说明理由;(3)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.7.(2022春•李沧区期末)对于某些三角形或四边形,我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积.下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法:如图1,2所示,分别过三角形或四边形的顶点A,C作水平线的铅垂线l1,l2,l1,l2之间的距离d叫做水平宽;如图1所示,过点B作水平线的铅垂线交AC于点D,称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂高;如图2所示,分别过四边形的顶点B,D作水平线l3,l4,l3,l4之间的距离h叫做四边形的铅垂高.【结论提炼】容易证明:“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”,即“S=12【结论应用】为了便于计算水平宽和铅垂高,我们不妨借助平面直角坐标系.已知:如图3,点A(﹣5,2),B(5,0),C(0,5),则△ABC的水平宽为10,铅垂高为,所以△ABC面积的大小为.【再探新知】三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求,那四边形的面积是不是也可以这样求呢?带着这个问题,我们进行如下探索:(1)在图4所示的平面直角坐标系中,取A(﹣4,2),B(1,5),C(4,1),D(﹣2,﹣4)四个点,得到四边形ABCD.运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是;用其它的方法进行计算得到其面积的大小是,由此发现:用“S=12dh”这一方法对求图4中四边形的面积(2)在图5所示的平面直角坐标系中,取A(﹣5,2),B(1,5),C(4,2),D(﹣2,﹣3)四个点,得到了四边形ABCD.运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是,用其它的方法进行计算得到面积的大小是,由此发现:用“S=12dh”这一方法对求图5中四边形的面积(3)

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