第七章 随机变量及其分布（培优课-离散型随机变量的概率分布及应用）教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第七章随机变量及其分布（培优课——离散型随机变量的概率分布及应用）教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教学内容《人教A版选择性必修第三册》第七章“随机变量及其分布”中的“7.2离散型随机变量的概率分布及应用”，主要包括以下内容：

1.离散型随机变量的概念及其分布列的定义。

2.离散型随机变量的数学期望、方差及其计算方法。

3.常见离散型随机变量的概率分布，如二项分布、泊松分布等。

4.离散型随机变量概率分布在实际问题中的应用，如概率统计、风险分析等。核心素养目标分析本节课的核心素养目标主要包括：

1.逻辑推理能力：通过理解离散型随机变量的概念，培养学生运用逻辑推理分析随机现象的能力。

2.数据分析观念：通过计算离散型随机变量的概率分布和数学期望，培养学生运用数据分析的方法解决实际问题的能力。

3.数学应用意识：通过实际案例的学习，提高学生将离散型随机变量知识应用于生活和其他学科中的意识。

4.问题解决能力：通过解决与离散型随机变量相关的数学问题，培养学生运用数学工具解决复杂问题的能力。重点难点及解决办法重点：

1.离散型随机变量的概念及其分布列的理解。

2.离散型随机变量的数学期望和方差的计算。

3.常见离散型随机变量概率分布的特点和应用。

难点：

1.离散型随机变量的概率分布列的构建。

2.离散型随机变量的数学期望和方差的计算方法。

3.将离散型随机变量知识应用于实际问题中的策略。

解决办法与突破策略：

1.通过实例引入离散型随机变量的概念，让学生在具体情境中感受其意义，通过讨论和小组合作来构建分布列。

2.通过详细的例题讲解和练习，使学生掌握数学期望和方差的计算公式，通过反复练习巩固知识点。

3.引导学生分析实际问题，抽象出离散型随机变量的模型，结合具体案例让学生理解其应用。

4.利用多媒体教学工具，如动画和模拟实验，帮助学生直观理解离散型随机变量的概率分布特征。

5.鼓励学生主动探索，通过解决实际问题来提高应用能力，同时在课堂中提供及时的反馈和指导。教学资源准备1.教材：人教A版选择性必修第三册。

2.辅助材料：准备相关的概率分布图、期望与方差计算示例PPT。

3.实验器材：计算器（每人一个）。

4.教室布置：设置小组讨论区，确保每组有足够的空间进行讨论和计算。教学过程设计一、导入环节（5分钟）

1.创设情境：通过展示一个简单的抛硬币实验，让学生观察并记录正反面的次数，引导学生思考如何用数学方法描述和预测随机现象。

2.提出问题：询问学生，当我们多次抛一枚均匀硬币时，正面朝上的次数与总次数的比例是否稳定？如果改为抛一枚不均匀的硬币，情况又会如何？

二、讲授新课（20分钟）

1.讲解离散型随机变量的概念（5分钟）：通过教材中的定义，解释离散型随机变量的含义，并给出几个具体例子，如抛硬币实验中的正面朝上的次数。

2.讲解分布列的概念（5分钟）：展示如何构建离散型随机变量的分布列，并通过例题让学生理解分布列的表示方法。

3.讲解数学期望和方差的计算（10分钟）：通过具体例题，详细讲解数学期望和方差的计算方法，并让学生跟随教师的步骤进行计算。

三、巩固练习（10分钟）

1.练习题1（3分钟）：让学生独立完成一道离散型随机变量分布列的构建题目，并计算其数学期望。

2.练习题2（3分钟）：让学生独立完成一道关于二项分布的题目，计算其概率分布和数学期望。

3.小组讨论（4分钟）：让学生分组讨论练习题的解答过程，互相检查答案，并解决彼此在解题过程中遇到的问题。

四、课堂提问与师生互动（10分钟）

1.提问1（3分钟）：随机抽取一名学生，询问其对离散型随机变量概念的理解。

2.提问2（3分钟）：随机抽取一名学生，询问其在构建分布列时遇到的问题及解决方法。

3.提问3（4分钟）：随机抽取一名学生，询问其对数学期望和方差计算的理解，并让其解释这两个概念在实际问题中的应用。

五、创新环节：概率分布应用案例分析（10分钟）

1.展示案例：提供一个实际案例，如彩票中奖概率分析，让学生运用所学知识进行讨论。

2.小组讨论：学生分组讨论案例，尝试构建相应的概率模型，并计算数学期望。

3.分享与总结：每组选派一名代表分享本组的讨论结果，教师进行点评和总结。

六、课堂小结（5分钟）

1.回顾本节课的主要内容，强调离散型随机变量的概念、分布列的构建以及数学期望和方差的重要性。

2.鼓励学生在课后继续思考和探索随机变量在实际生活中的应用。

总用时：45分钟教学资源拓展1.拓展资源：

-拓展阅读：介绍关于概率论和统计学的基本概念、原理及其应用的书籍，如《概率论及其应用》、《统计学原理与应用》等，让学生在课后能够更深入地了解随机变量的相关理论。

-拓展案例：收集和整理一些实际生活中的概率问题，如彩票中奖概率分析、市场调查中的随机抽样等，通过这些案例让学生感受概率分布在实际生活中的应用。

-拓展练习：提供一些难度较高的练习题，如涉及多个随机变量的联合分布、条件分布等，以挑战学生的思维和计算能力。

2.拓展建议：

-自主学习：鼓励学生在课后自主查阅相关资料，了解随机变量的更多知识点，如随机变量的独立性、随机变量的变换等。

-小组研究：组织学生进行小组研究，选择一个与随机变量相关的课题，如某项体育比赛中运动员获胜的概率分析，让学生合作完成研究报告。

-实践应用：鼓励学生将所学知识应用于实际问题中，如设计一个简单的概率实验，收集数据，构建概率分布，计算数学期望和方差，并撰写实验报告。

-学术交流：鼓励学生参加数学学术活动，如数学竞赛、学术讲座等，与其他学生交流学习经验，拓宽知识视野。

-概率论的发展历史：介绍概率论的发展历程，从最早的赌博问题到现代的概率模型，让学生了解概率论在数学和其他领域中的重要地位。

-概率分布的种类：除了教材中提到的二项分布和泊松分布，还可以介绍正态分布、均匀分布等其他常见的概率分布，以及它们的应用场景。

-数学期望的拓展：介绍数学期望在金融、保险、经济学等领域的应用，如计算投资组合的预期收益、风险评估等。

-方差的拓展：讨论方差在描述数据分散程度中的应用，以及如何利用方差进行决策分析，如比较不同投资方案的收益波动性。课后作业1.题目：已知离散型随机变量X的分布列如下：

X|1|2|3

--|---|---|---

P|a|b|c

其中a,b,c为概率值，且a+b+c=1。求：

(1)当P(X=2)=0.4时，求a和c的值。

(2)若E(X)=2.5，求随机变量X的方差Var(X)。

答案：

(1)由P(X=2)=b=0.4，得a+c=0.6。因为a+b+c=1，所以a+0.4+c=1，解得a=0.2，c=0.4。

(2)E(X)=1*a+2*b+3*c=1*0.2+2*0.4+3*0.4=2.5，已知b=0.4，a=c=0.3。Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2。计算E(X^2)=1^2*0.2+2^2*0.4+3^2*0.4=0.2+1.6+3.6=5.4。所以Var(X)=5.4-(2.5)^2=5.4-6.25=-0.85（注意，这里方差计算结果为负数，这是不合理的，因为方差应为非负数。实际情况下，需要重新检查分布列或期望值是否正确）。

2.题目：某商店举行抽奖活动，每次抽奖均有1/4的概率中奖。设顾客连续抽奖3次，中奖次数为随机变量X。求X的分布列和数学期望。

答案：随机变量X的可能取值为0,1,2,3。根据二项分布公式，计算得到：

P(X=0)=(3/4)^3=27/64

P(X=1)=3*(1/4)*(3/4)^2=27/64

P(X=2)=3*(1/4)^2*(3/4)=9/64

P(X=3)=(1/4)^3=1/64

数学期望E(X)=0*27/64+1*27/64+2*9/64+3*1/64=3/4。

3.题目：某电子设备在使用过程中，故障发生的次数服从泊松分布，平均每天发生0.5次故障。求设备在一天内发生两次故障的概率。

答案：根据泊松分布公式，P(X=k)=(λ^k*e^(-λ))/k!，其中λ=0.5，k=2。计算得到P(X=2)=(0.5^2*e^(-0.5))/2!≈0.0758。

4.题目：某班级学生的体重服从正态分布，平均体重为60公斤，标准差为5公斤。求该班级学生体重在55公斤到65公斤之间的概率。

答案：由于体重服从正态分布，可以使用标准正态分布表计算概率。将体重范围转换为标准正态分布的Z分数，即Z1=(55-60)/5=-1，Z2=(65-60)/5=1。查表得到P(-1<Z<1)≈0.6826，即体重在55公斤到65公斤之间的概率约为68.26%。

5.题目：某产品的寿命服从指数分布，平均寿命为2年。求产品在购买后一年内失效的概率。

答案：指数分布的无记忆性表明，产品在购买后一年内失效的概率等于产品在任意时刻t后一年内失效的概率。指数分布的概率密度函数为f(t)=λ*e^(-λt)，其中λ=1/2（因为平均寿命为2年）。计算得到P(T<1)=1-e^(-λt)=1-e^(-1/2*1)≈0.3935。课堂1.课堂评价：

-提问评价：在课堂上，通过提问的方式来检查学生对离散型随机变量及其分布知识的理解程度。问题应涵盖概念理解、公式应用、解题思路等方面。根据学生的回答，教师可以即时了解学生的掌握情况，并对学生的疑惑进行解答。

-观察评价：在讲授新课和巩固练习环节，教师应密切观察学生的反应和参与程度，注意是否有学生表现出困惑或注意力不集中的情况。通过观察学生的课堂表现，教师可以调整教学节奏和方式，确保教学内容的有效传递。

-测试评价：在课程结束时，进行一次小测验，以测试学生对本节课内容的掌握情况。测试可以包括计算题和应用题，要求学生在规定时间内完成。通过测试结果，教师可以评估学生对知识点的理解和应用能力。

2.作业评价：

-批改评价：对学生的作业进行认真批改，关注学生解题过程中的错误和不足。批改时应记录下常见的错误类型，以便在课堂上集中讲解和纠正。

-点评反馈：在作业批改后，及时将反馈信息传达给学生，指出他们的错误和不足，同时给予正确的指导和建议。鼓励学生针对自己的错误进行反思和改正。

-鼓励进步：对于在学习上取得进步的学生，给予及时的鼓励和认可，增强他们的自信心和学习动力。对于成绩较好的学生，可以提供更具挑战性的拓展题目，以促进他们的深入