人教版九年级数学上册重难考点专题05二次函数与一元二次方程、不等式的关系(知识串讲+7大考点)特训(原卷版+解析)

专题05二次函数与一元二次方程、不等式的关系考点类型知识串讲（一）二次函数与一元二次方程的关系a>0(示意图)a<0(示意图)一元二次方程根的情况b2-4ac>0  有两个不相等的实数根b2-4ac=0  有两个相等的实数根b2-4ac<0  无实数根（二）利用函数图像解不等式考点训练考点1：求抛物线与x轴的交点典例1：（2022秋·九年级单元测试）已知函数y=x2−6x+5的部分图象（如图），满足y<0【变式1】（2023春·安徽蚌埠·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2−2x−3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（1）点C的坐标为__________．（2）点P的坐标为__________．【变式2】（2022秋·九年级单元测试）抛物线y=(x−3)(x+2)与x轴的交点坐标是____．【变式3】（2023春·陕西西安·九年级校考阶段练习）将抛物线y=x2−1考点2：求抛物线与y轴的交点典例2：（2023·上海·一模）抛物线y=−x2−3x+3【变式1】（2023·上海·一模）抛物线y=x+12−2【变式2】（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为y=x2+b，若AB【变式3】（2022秋·河北沧州·九年级校考期末）抛物线y=x2−4x+3考点3：由函数值求自变量x的值典例3：（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）已知函数y=2x2−3【变式1】（2023·江苏徐州·九年级专题练习）如图，已知抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y=kx−2k+5【变式2】（2022春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，抛物线y＝﹣2x2+mx+m﹣2经过B、C两点，若OA＝2OC，则矩形OABC的周长为_____．【变式3】（2022春·九年级课时练习）如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2x≥0与y2=考点4：图像法求方程的近似根典例4：（2022秋·八年级单元测试）根据如下表格对应值：判断关于x的方程ax2+bx+c=1.5x−0.500.511.52a1325152【变式1】（2022秋·湖北黄石·九年级黄石市有色中学校考开学考试）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B1,【变式2】（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）设一元二次方程x+1x−3=mm>0的两实数根分别为α、β且α<β，则α【变式3】（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量xx…−4−3−2−10…y…3−2−5−6−5…则方程ax2+bx+c=0考点5：图像法解不等式典例5：（2022春·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(−3,−6)，B(1,−2)，则关于x【变式1】（2023春·山东济南·九年级校考开学考试）如图，已知二次函数y1=ax2+bx+ca≠0与一次函数y2=kx+mk≠0【变式2】（2022秋·湖北恩施·九年级校联考期中）二次函数顶点为−1，（1）二次函数y=ax（2）不等式ax【变式3】（2023·全国·九年级专题练习）二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y>0考点6：利用不等式求自变量、函数值的范围典例6：（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）若二次函数y=ax2+bx+ca≠0中，函数值x…−2−1012…y…0−2−204…则当y<4时，自变量x的取值范围为______．【变式1】（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）直线y1=x+1与抛物线y2=−x【变式2】（2022春·江苏·九年级期末）二次函数y=x-3-2-1012345y1250-3-4-30512利用二次函数的图象可知，当函数值y<0时，x【变式3】（2022秋·北京丰台·九年级北京市第十二中学校考阶段练习）已知二次函数y=x2+2x−3，当−3<x<1考点7：抛物线与x轴的交点问题典例7：（2022春·九年级单元测试）抛物线的顶点是C2， 3，它与x轴交于A，B【变式1】（2023春·广东汕头·九年级汕头市翠英中学校考阶段练习）抛物线y=ax2−2ax−3与x轴交于两点，分别是(x1【变式2】（2023·江苏南京·统考一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其顶点为C，连接AC，若AB=6，AC=5【变式3】（2023·江苏·模拟预测）若二次函数y=2−mx2+4x+1的图像与同步过关一、单选题1．（2023·安徽·九年级专题练习）已知二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k≥3 B．k＜3 C．k≤3且k≠2 D．k＜22．（2022·浙江·九年级专题练习）二次函数y=x2-xA．-3，0 B．6，0 C．0，-12 D．2，163．（2022秋·山东枣庄·九年级统考期末）抛物线y=x2+x−2与yA．（0，2） B．（0，－2） C．（-2，0） D．（－2，0）、（1，0）4．（2022秋·广东珠海·九年级珠海市第九中学校考阶段练习）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（﹣2，0），（5，0），则一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个解是（）A．x1＝﹣2，x2＝5 B．x1＝2，x2＝﹣5C．x1＝﹣2，x2＝﹣5 D．x1＝2，x2＝55．（2022秋·九年级单元测试）根据下表列出的函数y=ax2+bx+c的几组x与y的对应值，判断方程ax2x3.233.243.253.26y−0.37−0.110.090.28A．3<x<3.23 B．3.23<x<3.24 C．3.24<x<3.25 D．3.25<x<3.266．（2023春·北京丰台·九年级北京市第十二中学校考阶段练习）如图，坐标平面上有一顶点为A的抛物线，此抛物线与方程式y＝2的图形交于B、C两点，ΔABC为正三角形．若A点坐标为−3,0，则此抛物线与Y轴的交点坐标为何？（）A．0,92 B．0,272 C．7．（2023秋·安徽淮南·九年级统考阶段练习）观察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的最精确的一个近似根是（）x1.21.31.41.51.61.71.8x2-x-1-0.76-0.61-0.44-0.25-0.040.190.44A．1.2 B．1.4 C．1.6 D．1.88．（2023·陕西渭南·校考一模）已知抛物线y=−2x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点Am−7，n，A．−50 B．−25 C．−20 D．−159．（2023秋·浙江温州·九年级瑞安市安阳实验中学校考期中）已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（2，-1），与A．0＜x＜4 B．0＜x＜3 C．0＜x＜2 D．2＜x＜410．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的xx−1013y−1353下列结论：（1）ac<（2）当x≥1.5时，y的值随x值的增大而减小；（3）x=3是方程ax（4）当−1<x<3时，ax其中正确的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个11．（2023秋·广西崇左·九年级统考期末）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc>0；②9a+c>0；③ax2+bx+c=0的两个根是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个12．（2023·福建·福州四中校考模拟预测）已知二次函数y=2x−1x−m−3(其中m为常数)，该函数图象与y轴交点在x轴上方，则m的取值范围正确的是(A．m>3 B．m>−3 C．m<3 D．m<−313．（2023秋·安徽淮北·九年级阶段练习）已知函数与x轴交点是（m，0），（n，0），则的值是（）A．2013 B．2014 C．2015 D．202314．（2023·山东临沂·统考模拟预测）关于x的二次函数y＝x2+2kx+k﹣1，下列说法正确的是（）A．对任意实数k，函数图象与x轴都没有交点B．对任意实数k，函数图象没有唯一的定点C．对任意实数k，函数图象的顶点在抛物线y＝﹣x2﹣x﹣1上运动D．对任意实数k，当x≥﹣k﹣1时，函数y的值都随x的增大而增大15．（2023秋·山东泰安·九年级统考期末）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图所示，则ax2+bx+c+m=0的实数根的条件是（）A．m≥﹣2 B．m≤﹣2 C．m≤2 D．m≥2二、填空题16．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交于A−4,−1、B0,217．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如果二次函数y=mx2−2mx−3m的图象与y轴的交点为(0,3)18．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，则m的取值范围是________．19．（2022秋·九年级单元测试）如果抛物线y=(x−2)2+k20．（2023秋·九年级单元测试）二次函数y=x2+x−2与x21．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）若抛物线y=x2−2x+k−1与x22．（2022春·九年级课时练习）如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为(﹣5，0)，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的另一根为______．23．（2022秋·上海·九年级阶段练习）已知抛物线y=x2−k−1x−3k−1与x轴交于Aa,0，24．（2023秋·黑龙江佳木斯·九年级校联考期中）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，且经过点A（3，0），则a﹣b+c的值为___________.25．（2023秋·山东济南·九年级统考期末）已知二次函数y=x2+4x+c的图象与x轴的一个交点坐标是2,0三、解答题26．（2022春·九年级课时练习）二次函数y=ax（1）写出方程ax（2）写出不等式ax（3）若方程ax2+bx+c=k27．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y＝ax2-5x＋4a与x轴相交于点A，B，且过点C（5,4）．（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线经过原点，并写出平移后抛物线的解析式．28．（2022秋·安徽马鞍山·九年级校考期中）若二次函数y=x2+b29．（2022秋·河南新乡·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线y=x2与直线y=−x+2交于(1)求交点A、B的坐标；(2)直接写出不等式x230．（2022秋·广东广州·九年级广州市第三中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=ax2+x+ma≠0的图象与x轴交于A、C两点，与直线y2=−x−4交于点A、B(1)求此抛物线的函数解析式．(2)根据图象，直接写出y2<y31．（2022秋·北京西城·九年级统考期末）已知二次函数y=x(1)将y=x2(2)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；(3)当−1<x<2时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围．32．（2022秋·北京朝阳·九年级北京市陈经纶中学校考期中）在初中阶段的函数学习中我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程.以下是我们研究函数y=|1（1）自变量x的取值范围是全体实数，与y的几组对应值列表如下x…-4-3-2-1012…y…41.500.50m4…其中，m=__________________.（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中补全函数y=|1（3）根据函数图象，下列关于该函数性质的说法正确的有__________________（填序号）；①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴②该函数在自变量的取值范围内，没有最大值，但有最小值③当x=−2时，函数取得最小值0④当x<−2或x>0时，y随x的增大而减小；当−2<x<0时，y随x的增大而增大.（4）在同一坐标系中作出函数y=x+1的图象，结合你所画的函数图象，直接写出方程|133．（2022秋·吉林长春·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x−12−2与x轴交于点A和点B（点A(1)直接写出A、B两点的坐标；(2)若△ABC的面积为12，求点C坐标；(3)在第（2）问的条件下，直线y=mx+n经过点A、C，当12x−1234．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2+bx+c经过1,−m2(1)求b的值，并用含m的代数式表示c；(2)判断该抛物线与x轴的交点个数，并说明理由；(3)已知点Aa,p、B2,q在抛物线的图象上，若p<q，求35．（2022秋·浙江·八年级专题练习）我国传统的计重工具——秤的应用，方便了人们的生活，如图1，可以用秤砣到秤纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的重量．称重时，若秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为x（厘米）时，秤钩所挂物重为y（斤）．如表中为若干次称重时所记录的一些数据．x（厘米）1247y（斤）0.751.001.502.25（1）在图2中将表x，y的数据通过描点的方法表示，观察判断x，y的函数关系，并求秤杆上秤砣到秤纽的水平距离为16厘米时，秤钩所挂物重是多少斤？（2）已知秤砣到秤纽的最大水平距离为50厘米，这杆秤的可称物重范围是多少斤？

专题05二次函数与一元二次方程、不等式的关系考点类型知识串讲（一）二次函数与一元二次方程的关系a>0(示意图)a<0(示意图)一元二次方程根的情况b2-4ac>0  有两个不相等的实数根b2-4ac=0  有两个相等的实数根b2-4ac<0  无实数根（二）利用函数图像解不等式考点训练考点1：求抛物线与x轴的交点典例1：（2022秋·九年级单元测试）已知函数y=x2−6x+5的部分图象（如图），满足y<0【答案】1<x<5【分析】首先由图象可求得该抛物线与x轴的另一个交点的横坐标，再根据图象即可求解．【详解】解：由y=x2−6x+5，当解得：x∴该抛物线与x轴的交点的横坐标1，5，∵该抛物线的开口向上，∴当y<0时，x的取值范围是1<x<5，故答案为：1<x<5．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，从图象中获取相关信息是解决本题的关键．【变式1】（2023春·安徽蚌埠·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2−2x−3的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C（1）点C的坐标为__________．（2）点P的坐标为__________．【答案】0,−34,5【分析】（1）因为与y轴交于点C，所以横坐标为0，代入后即可得到纵坐标；（2）先让纵坐标为0，求出点A，B的横坐标，进而求出直线BC的表达式，再依据S△APC=S△APB，求出直线【详解】（1）∵y=x2−∴当x=0时，y=−3∴C故填：0,−3．（2）∵因为y=x2−2x−∴当y=0时，x∴x1=3∴A−1,0,∵C0,−3,B3,0,设直线BC∴b=−3∴b=−3∴直线BC为y=x−3∵S∴AP∥BC∴设直线AP为y=x+m∵A∴直线AP为y=x+1∵解方程组y=x2−∴P−1,0（舍去）,故填：4,5．【点睛】本题考查了二次函数与两坐标轴交点坐标的求法，待定系数法，利用坐标求三角形面积等，解题时要应用数形结合思想．【变式2】（2022秋·九年级单元测试）抛物线y=(x−3)(x+2)与x轴的交点坐标是____．【答案】(3,0)，(−2,0)【分析】令y=0，解关于x的一元二次方程，即可得到答案；【详解】解：令y=0，则：x−3解得：x1=3∴抛物线y=(x−3)(x+2)与x轴的交点坐标是(3,0)，(−2,0)；故答案为：(3,0)，(−2,0)．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与x轴的交点问题，解题的关键在于能够熟知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交点的横坐标是令y=0【变式3】（2023春·陕西西安·九年级校考阶段练习）将抛物线y=x2−1【答案】6【分析】根据平移规律得出平移后的二次函数的解析式为y=x2−9，令x【详解】解：将抛物线y=x2−1当x2解得：x1=−3，∴抛物线y=x2−9与x轴的交点为−3∴抛物线y=x2−1故答案为：6．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与几何变换，解题的关键是掌握二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减．考点2：求抛物线与y轴的交点典例2：（2023·上海·一模）抛物线y=−x2−3x+3【答案】(0,3)【分析】把x=0代入抛物线y=−x2−3x+3，即得抛物线y=−【详解】解：∵当x=0时，抛物线y=−x2−3x+3∴把x=0代入y=−x2−3x+3∴抛物线y=−x2+3x−3与y故答案为：(0,3)．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，比较简单，掌握y轴上点的横坐标为0是解题的关键．【变式1】（2023·上海·一模）抛物线y=x+12−2【答案】0,−1【分析】求出x=0时y的值即可得到抛物线与y轴的交点坐标．【详解】解：当x=0时，y=x+1所以抛物线与y轴的交点坐标是0,−1，故答案为：0,−1．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据y轴上点的横坐标为0求出交点的纵坐标是解题的关键．【变式2】（2022秋·浙江温州·九年级校考期中）如图，是一个半圆和抛物线的一部分围成的“芒果”．已知点A、B、C、D分别是“芒果”与坐标轴的交点，AB是半圆的直径，抛物线的解析式为y=x2+b，若AB【答案】6【分析】根据题意得，B点坐标为2，0，将B点坐标2，0代入抛物线的解析式为y=x2+b【详解】解：∵AB长为4，AB是半圆的直径，∴A点坐标为−2，0，B点坐标为将B点坐标2，0代入抛物线的解析式为得，22解得b=−4，∴抛物线解析式为y=x当x=0时，y=−4，∴C点坐标为0，∴OC=4，∵OD=1∴CD=OC+OD=4+2=6，故答案为：6．【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是求出抛物线的解析式，从而求出点C的坐标．【变式3】（2022秋·河北沧州·九年级校考期末）抛物线y=x2−4x+3【答案】(0,3)(2,−1)【分析】（1）令x=0，即可求出函数与y轴的交点坐标；（2）将抛物线y=x【详解】y=令x=0，则y=3，即抛物线与y轴的交点坐标是(0,3)；y=x=(x−2)∴抛物线y=x2故答案为：(0,3)；(2,−1)【点睛】本题考查了抛物线与y轴的交点坐标，二次函数的图像与性质，明确抛物线与y轴的交点的横坐标为0与将抛物线的一般式化为顶点式是解题的关键．考点3：由函数值求自变量x的值典例3：（2023秋·江苏镇江·九年级统考期末）已知函数y=2x2−3【答案】±2【分析】令y=5，求出x的值即可．【详解】解：当y=5时，2x解得：x=±2；故答案为：±2．【点睛】本题考查求二次函数自变量的值．解题的关键，是将二次函数的函数值代入解析式，解一元二次方程求出自变量的值．【变式1】（2023·江苏徐州·九年级专题练习）如图，已知抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y=kx−2k+5【答案】−2+22或【分析】先确定A、B、C三点坐标，y=kx-2k+5=k（x-2）+5，可得直线经过定点（2，5）画出图形，分别找到两个极限位置，求出k的值．【详解】解：∵y=∴当y=0时，解得x=-1或x=3；当x=0时，解得y=3∴A（-1,0），B（3,0），C（0，3）∵y=kx-2k+5=k（x-2）+5∴直线y=kx−2k+5必过定点（2，5）要使直线y=kx-2k+5与图像有三个公共点，则可得到如图所示的两个极限位置，①直线经过A、N，此时将点A（-1，0）代入可得：0=-k-2k+5，解得：k=5②直线经过点N与抛物线相切时，由题意可得：−整理得：xΔ=(k−2)由图像可知，k＞0，则k=−2+2综上可知，y=kx−2k+5与y=x2−2x−3有三个公共点时，则k值为−2+2故答案为−2+22或5【点睛】本题主要考查了一次函数与抛物线的交点问题，根据题意找到恰好有3个公共点的位置以及数形结合思想的运用是解答本题的关键．【变式2】（2022春·九年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，抛物线y＝﹣2x2+mx+m﹣2经过B、C两点，若OA＝2OC，则矩形OABC的周长为_____．【答案】4【分析】先求得点C的坐标，然后由OA＝2OC得到点A的坐标，进而得到点B的坐标，最后将点B的坐标代入函数解析式求得m的值，即可得到矩形的周长．【详解】解：当x＝0时，y＝m﹣2，∴点C（0，m﹣2），∴OC＝m﹣2，∴m≠2，∵OA＝2OC，∴OA＝2m﹣4，∴A（2m﹣4，0），∴B（2m﹣4，m﹣2），将点B的坐标代入函数解析式得，﹣2（2m﹣4）2+m（2m﹣4）+m﹣2＝m﹣2，解得：m＝2（舍）或m＝83∴OC＝23，OA＝4∴矩形OABC的周长为2×（23+4故答案为：4．【点睛】本题考查了已知二次函数的函数值求自变量的值，二次函数与坐标轴交点问题，矩形的性质，根据点C的坐标求得点A,B的坐标是解题的关键．【变式3】（2022春·九年级课时练习）如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2x≥0与y2=【答案】2【分析】根据题意，将y=4分别代入y1=x2x≥0，y2=【详解】解：∵x≥0，则y=4y=x2解得y=4y2=1∴BC=4−2=2故答案为：2【点睛】本题考查了根据二次函数的函数值求自变量，联立解方程是解题的关键．考点4：图像法求方程的近似根典例4：（2022秋·八年级单元测试）根据如下表格对应值：判断关于x的方程ax2+bx+c=1.5x−0.500.511.52a1325152【答案】0<x<0．5【分析】根据x=0时，ax2+bx+c=2；x=0．5时，ax2+bx+c=54可得方程ax2+bx+c=1．5的一个解x的范围为0<x<0【详解】解：∵x=0时，ax2+bx+c=2；x=0当x取0~0．5的某一个数时，即方程ax2+bx+c=1．5∵x=1．5时，ax2+bx+c=当x取1．5~2的某一个数时，即方程ax2+bx+c=1．5综上所述，方程ax2+bx+c=1.5a≠0的解x的范围是故答案为0<x<0．5或【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，正确理解题意是解题的关键．【变式1】（2022秋·湖北黄石·九年级黄石市有色中学校考开学考试）如图，抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A(﹣3，6)，B1,【答案】x1=−3【分析】利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标．【详解】解：由图象可知，关于x的方程ax2−bx−c=0的解，就是抛物线y=ax2（a≠0）与直线y=bx+c（b即x1=−3，故答案为：x1=−3，【点睛】本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题．【变式2】（2022秋·陕西西安·九年级校考阶段练习）设一元二次方程x+1x−3=mm>0的两实数根分别为α、β且α<β，则α【答案】α<−1且β>3【分析】方程的两实数根α、β可看作抛物线y=x+1x−3与直线【详解】方程x+1x−3=mm>0的两实数根α、β可看作抛物线y=而抛物线y=x+1x−3与x轴的交点坐标为−1，如图，所以α<−1且β>3．故答案为：α<−1且β>3．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）与x【变式3】（2022秋·江苏南京·九年级校考阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c的自变量xx…−4−3−2−10…y…3−2−5−6−5…则方程ax2+bx+c=0【答案】1<x1【分析】根据表格中的自变量与函数值求出对称轴，可得答案．【详解】解：∵x=−2或0时，y=−5，∴y=ax2+bx+c当x=−4时，y=3，x=−3时，y=−2，得−4<x<−3；根据对称性可得：当x=2时，y=3，x=1时，y=−2，得1<x<2；则方程ax2+bx+c=0的正数解故答案为：1<x【点睛】本题考查了图象求一元二次方程的近似根，解题的关键是掌握两个函数值的积小于零时，方程的解在这两个函数值对应的自变量的中间．考点5：图像法解不等式典例5：（2022春·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(−3,−6)，B(1,−2)，则关于x【答案】−3<x<1【分析】根据A、B两点的横坐标和函数的图象得出不等式的解集即可．【详解】∵抛物线y=ax2+bx与直线y=mx+n相交于点A(−3,−6)∴关于x的不等式ax2+bx>mx+n故答案为：−3<x<1．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，二次函数的图象和性质等知识点，能根据交点的坐标得出不等式的解集是解此题的关键．【变式1】（2023春·山东济南·九年级校考开学考试）如图，已知二次函数y1=ax2+bx+ca≠0与一次函数y2=kx+mk≠0【答案】−1<x<4/4>x>−1【分析】观察图象，当抛物线位于直线的下方时，即可求得x的取值范围．【详解】解：由图象知，当−1<x<4时，抛物线位于直线的下方，即y1故答案为：−1<x<4．【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象，数形结合是关键．【变式2】（2022秋·湖北恩施·九年级校联考期中）二次函数顶点为−1，（1）二次函数y=ax（2）不等式ax【答案】(−1,−43)【分析】（1）根据抛物线的对称轴和抛物线过点−3，0求出抛物线与（2）根据函数的图象以及图象与【详解】解：（1）∵∴二次函数的对称轴直线为x=∵二次函数的图象与x轴交点为−3，∴二次函数的图象与x轴另一交点为1，设二次函数的解析式为y=ax+3∵二次函数的图象与y轴相交于0，∴−3a=−1，∴a=1∴二次函数的解析式为y=1∴顶点坐标为−1，故答案为：−1，（2）由函数图象可知，不等式ax2+bx+c≥0故答案为：x≥1或【点睛】本题考查二次函数的性质以及二次函数与不等式（组），关键是求出二次函数的解析式．【变式3】（2023·全国·九年级专题练习）二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当y>0【答案】−5<x<3【分析】首先根据对称轴和与x轴的一个交点确定另一个交点的坐标，然后根据其图象确定自变量的取值范围即可．【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=−1，与x∴与x轴的另一个交点坐标为(−5,0∴y>0时，x的取值范围为：−5<x<3，故答案为：−5<x<3．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点及二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴求得另一个交点坐标，难度不大．考点6：利用不等式求自变量、函数值的范围典例6：（2022秋·浙江宁波·九年级校考期中）若二次函数y=ax2+bx+ca≠0中，函数值x…−2−1012…y…0−2−204…则当y<4时，自变量x的取值范围为______．【答案】−3<x<2【分析】由表格可得抛物线经过(−1,−2)，(0,−2)可得抛物线的对称轴，由抛物线经过(−2,0)，(1,0)可得抛物线开口方向，再由(2,4)关于对称轴的对称点坐标求解．【详解】解：∵抛物线经过(−1,−2)，(0,−2)，∴抛物线对称轴为直线x=−1又∵抛物线经过(−2,0)，(1,0)，∴抛物线开口向上，∵(2,4)关于直线x=−12的对称点坐标为∴−3<x<2时，y<4，故答案为：−3<x<2．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．【变式1】（2022秋·江苏淮安·九年级校考阶段练习）直线y1=x+1与抛物线y2=−x【答案】x<−2或x>1/x>1或x<−2【分析】根据函数图象写出直线在抛物线上方部分的x的取值范围即可．【详解】解：∵直线y1=x+1与抛物线y2∴当y1>y2时，x的取值范围为：故答案为：x<−2或x>1．【点睛】本题考查了根据函数图象求不等式的解集，数形结合是解题的关键．【变式2】（2022春·江苏·九年级期末）二次函数y=x-3-2-1012345y1250-3-4-30512利用二次函数的图象可知，当函数值y<0时，x【答案】-1<x【分析】由表格给出的信息可看出，对称轴为直线x=1，a＞0，开口向上，与x轴交于（-1，0）、（3，0）两点，则y<0时，【详解】解：根据表格中给出的二次函数图象的信息，对称轴为直线x=∴顶点坐标为（1，−4），∴a＞0∴根据抛物线的对称性知：与x轴交于（-1，0）、（3，0）两点，则当函数值y<0时，x的取值范围是：-1＜故答案为：-1＜x【点睛】本题考查了二次函数的图象及其性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性进行解题．【变式3】（2022秋·北京丰台·九年级北京市第十二中学校考阶段练习）已知二次函数y=x2+2x−3，当−3<x<1【答案】−4【分析】先求出二次函数的对称轴和顶点坐标，再利用二次函数的增减性即可得出结论．【详解】解：∵y=x∴该抛物线的对称轴为直线x=−1，当x=−3时，y=9−6−3=0，当x=−1时，最小值为y=−4，当y=1时，y=1+2−3=0，∴−4≤故答案为：−4≤【点睛】本题主要考查二次函数的增减性和最值，关键是要牢记抛物线的对称轴的公式，理解抛物线的增减性．考点7：抛物线与x轴的交点问题典例7：（2022春·九年级单元测试）抛物线的顶点是C2， 3，它与x轴交于A，B【答案】3【分析】首先，因为A，B两点的横坐标是方程x2−4x+3=0的两个根，可得【详解】解：∵由方程x2−4x+3=0得：∴A、，B点的横坐标为1或3，∴AB=3−1=2，∴S△ABC故答案为：3．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据题意求出抛物线与x轴两交点的坐标是解答此题的关键．【变式1】（2023春·广东汕头·九年级汕头市翠英中学校考阶段练习）抛物线y=ax2−2ax−3与x轴交于两点，分别是(x1【答案】2【分析】与x轴交点即令y=ax2−2ax−3中y=0，再由根与系数的关系得到x【详解】解：由题意得令y=ax∴ax2−2ax−3=0∴x1+x故答案为：2．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，与x轴的交点即令二次函数中y=0得到对应的一元二次方程．【变式2】（2023·江苏南京·统考一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其顶点为C，连接AC，若AB=6，AC=5【答案】4【分析】过点C作CD⊥x轴于点D，根据抛物线的对称性可得AD=BD=12AB=3，再由勾股定理可得CD=4，设点A的坐标为m,0，则B【详解】解：过点C作CD⊥x轴于点D，∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，其顶点为C∴AD=BD=1∵AC=5，∴CD=A设点A的坐标为m,0，则Bm+6,0∴Cm+3,−4∴抛物线解析式为y=ax−m∵点Cm+3,−4∴抛物线解析式为y=ax−m−3∴am即9a−4=0，解得：a=4故答案为：4【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，根据题意得到抛物线的交点式和顶点式是解题的关键．【变式3】（2023·江苏·模拟预测）若二次函数y=2−mx2+4x+1的图像与【答案】−2【分析】由抛物线与x轴只有一个交点，得到根的判别式的值等于0，且2−m≠0，求解即可．【详解】解：∵二次函数y=2−mx2∴Δ=42解得：m=−2，故答案为：−2．【点睛】此题考查了抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点个数由根的判别式的值来确定，当抛物线与x轴有2个交点时，则Δ>0；抛物线与x轴有1交点时，则Δ=0；当抛物线与x轴没有交点时，则同步过关一、单选题1．（2023·安徽·九年级专题练习）已知二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．k≥3 B．k＜3 C．k≤3且k≠2 D．k＜2【答案】C【分析】根据二次函数图象与x轴有交点可得出关于x的一元二次方程有解，根据根的判别式结合二次项系数非零即可得出关于k的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】解：∵二次函数y=（k﹣2）x2+2x+1的图象与x轴有交点，∴一元二次方程（k﹣2）x2+2x+1=0有解，∴k−2≠0解得：k≤3且k≠2．故选C．【点睛】考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式△≥0结合二次项系数非零找出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．2．（2022·浙江·九年级专题练习）二次函数y=x2-xA．-3，0 B．6，0 C．0，-12 D．2，16【答案】C【分析】图象与y轴相交则x=0，代入得到y【详解】解：由图象与y轴相交则x=0，代入得：y∴与y轴交点坐标是0，-12；故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式．3．（2022秋·山东枣庄·九年级统考期末）抛物线y=x2+x−2与yA．（0，2） B．（0，－2） C．（-2，0） D．（－2，0）、（1，0）【答案】B【分析】令x＝0，求出y的值即可．【详解】解：令x＝0，则y＝−2，∴抛物线y＝x2＋x−2与y轴的交点坐标是（0，−2）．故选：B．【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知y轴上点的坐标特点是解答此题的关键．4．（2022秋·广东珠海·九年级珠海市第九中学校考阶段练习）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点坐标是（﹣2，0），（5，0），则一元二次方程ax2+bx+c＝0的两个解是（）A．x1＝﹣2，x2＝5 B．x1＝2，x2＝﹣5C．x1＝﹣2，x2＝﹣5 D．x1＝2，x2＝5【答案】A【分析】根据抛物线与x轴的交点问题，两交点的横坐标即为方程ax2+bx+c＝0的解．【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两个交点分别为（﹣2，0），（5，0），即自变量为﹣2和5时函数值为0，∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣2，x2＝5，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，理解函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的解是解题的关键．5．（2022秋·九年级单元测试）根据下表列出的函数y=ax2+bx+c的几组x与y的对应值，判断方程ax2x3.233.243.253.26y−0.37−0.110.090.28A．3<x<3.23 B．3.23<x<3.24 C．3.24<x<3.25 D．3.25<x<3.26【答案】C【分析】根据表格数据，便可求值根的范围．【详解】解：由表格数据可知：当x=3.24时，y=−0.11；当x=3.25，y=0.09∴一个根的范围是：3.24<x<3.25故选：C．【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程根之间的关系，属于基础题，准确理解题意是解题关键．6．（2023春·北京丰台·九年级北京市第十二中学校考阶段练习）如图，坐标平面上有一顶点为A的抛物线，此抛物线与方程式y＝2的图形交于B、C两点，ΔABC为正三角形．若A点坐标为−3,0，则此抛物线与Y轴的交点坐标为何？（）A．0,92 B．0,272 C．【答案】B【分析】设B−3−m,2，C−3+m,2，m>0，可知BC=2m，再由等边三角形的性质可知C−3+233,2【详解】解：设B−3−m,2，C−3+m,2∵A点坐标为−3,0，∴BC=2m，∵ΔABC为正三角形，∴AC=2m，∠C∴m=∴C设抛物线解析式y=ax+3a−3+∴a=3∴y=3当x=0时，y=27故选B．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等边三角形的性质；结合函数图象将等边三角形的边长转化为点的坐标是解题的关键．7．（2023秋·安徽淮南·九年级统考阶段练习）观察下列表格，一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的最精确的一个近似根是（）x1.21.31.41.51.61.71.8x2-x-1-0.76-0.61-0.44-0.25-0.040.190.44A．1.2 B．1.4 C．1.6 D．1.8【答案】C【分析】根据表格中的数据和题意可以解答本题．【详解】解：由表格可知，当x＝1.6时，y＝﹣0.04与y＝0最接近，故选：C．【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．8．（2023·陕西渭南·校考一模）已知抛物线y=−2x2+bx+c与x轴只有一个交点，且过点Am−7，n，A．−50 B．−25 C．−20 D．−15【答案】A【分析】根据点A、B的坐标易求该抛物线的对称轴是直线x=m−2，再根据题意，得出抛物线的顶点坐标为m−2，0，进而设抛物线解析式为y=−2x−m+22，直接将【详解】解：∵抛物线y=−2x2+bx+c过点A∴对称轴是直线x=m−7+m+3又∵抛物线y=−2x2+bx+c∴抛物线的顶点坐标为m−2，∴设抛物线解析式为y=−2x−m+2把Am−7n=−2m−7−m+2即n=−50．故选：A．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解本题的关键在找到抛物线的顶点坐标，根据顶点坐标设抛物线的解析式．9．（2023秋·浙江温州·九年级瑞安市安阳实验中学校考期中）已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为（2，-1），与A．0＜x＜4 B．0＜x＜3 C．0＜x＜2 D．2＜x＜4【答案】A【分析】首先根据顶点坐标确定对称轴，然后根据对称轴和与y轴的交点坐标确定当y＝3时的x的值，从而确定答案．【详解】解：∵y=ax∴对称轴为直线x＝2，函数图象大致如下：∵抛物线与y轴的交点为（0，3），∴当y＝3时x的值为0或4，∴当函数值y＜3时，0＜x＜4，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴和与y轴的交点坐标确定当y＝3时的x的值，难度不大．10．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的xx−1013y−1353下列结论：（1）ac<（2）当x≥1.5时，y的值随x值的增大而减小；（3）x=3是方程ax（4）当−1<x<3时，ax其中正确的个数为（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【答案】A【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=3【详解】解：①由图表中数据可知，x=0和x=3时，函数值相同，都是3，∴对称轴为直线x=0+3∵x=1时，y=5，∴a<∵x=0时，y=3，∴c=3，∴ac<②∵a<∴开口向下，∵抛物线的对称轴x=3∴当x>32时，y∵x=3时，y=3，∴9a+3b+c=3，∴9a+3(b−1)+c=0，∴x=3是方程ax∵x=−1时，y=−1，∴a−b+c=−1，∴a−(b−1)+c=0，∴x=−1是方程ax∴当−1<x<3时，ax综上所述，正确的有4个，故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与不等式，二次函数的性质是解题的关键．11．（2023秋·广西崇左·九年级统考期末）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc>0；②9a+c>0；③ax2+bx+c=0的两个根是A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】①由抛物线开口向上，可得出a＞0，由抛物线与x轴交点知对称轴为x=1>0，即−b2a>0，所以b<0，根据抛物线与y轴的交点在x轴下方，可得c<0，根据a,b,c【详解】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与x轴交点为−2,0,∴抛物线的对称轴为x=1>0，即−b∴b<0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c<0，∴abc>0，结论①正确；②∵抛物线与x轴交于（−2，0）和（4，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x＝−2+42∴−∴b＝−2a，∵当x＝−2时，y＝4a−2b＋c＝0，∴8a＋c＝0，∵a＞0，∴9a＋c＞0，结论②正确；③∵抛物线与x轴交于（−2，0）和（4，0）两点，∴ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝−2，x2＝4，结论③正确；④∵b＝−2a，∴a＝−b∵当x＝−2时，y＝4a−2b＋c＝0，∴−2b−2b＋c＝0，∴4b＝c，∴b：c＝1：4，结论④正确．综上所述，正确的结论是：①②③④．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数：△＝b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．12．（2023·福建·福州四中校考模拟预测）已知二次函数y=2x−1x−m−3(其中m为常数)，该函数图象与y轴交点在x轴上方，则m的取值范围正确的是(A．m>3 B．m>−3 C．m<3 D．m<−3【答案】B【分析】先求出与y轴的交点坐标，然后根据与y轴的交点在x轴上方列不等式求解即可.【详解】当x=0时，y=2×0−1∵函数图像与y轴的交点坐标是（0，2m+6）.∵该函数图象与y轴交点在x轴上方，∴2m+6>0，∴m>−3.故选B.【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图像与与坐标轴的交点是解答本题的关键.13．（2023秋·安徽淮北·九年级阶段练习）已知函数与x轴交点是（m，0），（n，0），则的值是（）A．2013 B．2014 C．2015 D．2023【答案】B【详解】试题分析：∵抛物线与x轴的交点为（m，0），（n，0），∴,且m,n是一元二次方程的两个根∴．故选B考点：抛物线与x轴的交点点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，揭示了二次函数与一元二次方程间的联系，应用了方程的根的定义14．（2023·山东临沂·统考模拟预测）关于x的二次函数y＝x2+2kx+k﹣1，下列说法正确的是（）A．对任意实数k，函数图象与x轴都没有交点B．对任意实数k，函数图象没有唯一的定点C．对任意实数k，函数图象的顶点在抛物线y＝﹣x2﹣x﹣1上运动D．对任意实数k，当x≥﹣k﹣1时，函数y的值都随x的增大而增大【答案】C【分析】此题根据二次函数的图像，位置与各项系数的关系做题即可．【详解】A、△＝4k2﹣4（k﹣1）＝B、k（2x+1）＝y+1﹣x2，k为任意实数，则2x+1＝0，y+1﹣x2＝0，所以抛物线经过定点（﹣12C、y＝（x+k）2﹣kD、抛物线的对称轴为直线x＝﹣2k2故选：C．【点睛】根据解析式找出函数对称轴即可判断增减性，根据二次函数性质数形结合较为简便．15．（2023秋·山东泰安·九年级统考期末）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图所示，则ax2+bx+c+m=0的实数根的条件是（）A．m≥﹣2 B．m≤﹣2 C．m≤2 D．m≥2【答案】C【详解】试题分析：由于抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m有交点时，方程ax2+bx+c=m有实数根，观察函数图象得到当m≥﹣2时，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m有交点，即可得出结论．解：当抛物线y=ax2+bx+c与直线y=﹣m有交点时，方程ax2+bx+c=﹣m有实数根，由函数图象得：直线y=﹣2与抛物线y=ax2+bx+c只有一个公共点，∴当m≤﹣2时，抛物线y=ax2+bx+c与直线y=﹣m有交点，即方程ax2+bx+c=﹣m有实数根的条件是m≤﹣2，∴ax2+bx+c+m=0的实数根的条件是m≤﹣2，故选C．考点：抛物线与x轴的交点．二、填空题16．（2023·全国·九年级专题练习）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m交于A−4,−1、B0,2【答案】−4<x<0【分析】根据图象，写出抛物线在直线上方部分的x的取值范围即可．【详解】由图象可知，当−4<x<0时，抛物线在直线的上方，∴关于x的不等式ax2+b+c>kx+m故答案为：−4<x<0．【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，主要利用了数形结合的思想，解题关键在于对图象的理解，题目中的不等式的含义为：二次函数的图象在一次函数图象上方时，自变量x的取值范围．17．（2023秋·北京海淀·九年级期末）如果二次函数y=mx2−2mx−3m的图象与y轴的交点为(0,3)【答案】-1【分析】把(0,3)代入函数解析式即可求出m的值．【详解】解：把(0,3)代入y=mx3=−3m，解得m=−1，故答案为：-1．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题关键是把点的坐标代入求未知系数的值．18．（2022秋·江苏南通·九年级校考阶段练习）若抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，则m的取值范围是________．【答案】m＜9【分析】根据抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，可知b2﹣4ac＞0，从而可以求得m的取值范围．【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有两个公共点，∴Δ=b2−4ac=（﹣6）2解得：m＜9，故答案为：m＜9．【点睛】此题考查了二次函数与x轴的交点问题，解题的关键是明确题意，熟练掌握二次函数与x轴的交点个数和判别式的关系．抛物线与x轴交点个数由Δ决定：当Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；当Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．19．（2022秋·九年级单元测试）如果抛物线y=(x−2)2+k【答案】k=2（答案不唯一）【分析】抛物线y=(x−2)2+k不经过第三象限，可得抛物线与y轴的交点在y【详解】解：∵抛物线y=(x−2)∴抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴或原点，而当x=0时，y=4+k,∴4+k≥0,解得：k≥−4,所以当k=2时，符合题意，故答案为：k=2（答案不唯一）【点睛】本题考查的是抛物线的性质，掌握“抛物线与y轴的交点的位置与图象的关系”是解本题的关键.20．（2023秋·九年级单元测试）二次函数y=x2+x−2与x【答案】(−2, 0)1, 0【分析】根据抛物线与x轴的交点问题，通过解方程x2＋x−2＝0可得到二次函数图象与x轴的交点坐标，然后计算自变量为0时的函数值可确定二次函数图象与y轴的交点坐标．【详解】当y＝0时，x2＋x−2＝0，解得x1＝−2，x2＝1，则二次函数图象与x轴的交点坐标为（−2，0），（1，0）；当x＝0时，y＝x2＋x−2＝−2，则二次函数图象与y轴的交点坐标为（0，−2）．故答案为（−2，0），（1，0）；（0，−2）．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程问题是解决本题的关键．21．（2022秋·北京顺义·九年级统考期末）若抛物线y=x2−2x+k−1与x【答案】k≤2【分析】根据抛物线与x轴有交点，Δ≥0【详解】解：∵抛物线y=x2−2x+k−1∴Δ=解得：k≤2；故答案为：k≤2．【点睛】本题考查二次函数图象与x轴交点问题．熟练掌握抛物线与x轴有交点：Δ≥022．（2022春·九年级课时练习）如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为(﹣5，0)，则一元二次方程ax2+bx+c＝0的另一根为______．【答案】x＝3【分析】根据抛物线的对称性知，抛物线与x轴的两个交点关于直线x=-1对称，据此可以求得抛物线与x轴的另一个交点，即可得出一元二次方程ax2+bx+c=0的另一个解．【详解】解：根据图示知，抛物线y=ax2+bx+c图象的对称轴是x=-1，与x轴的一个交点坐标为（-5，0），根据抛物线的对称性知，抛物线y=ax2+bx+c图象与x轴的两个交点关于直线x=-1对称，即抛物线y=ax2+bx+c图象与x轴的另一个交点与（-5，0）关于直线x=-1对称，∴另一个交点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c=0的另一个解是x=3；故答案是：x=3．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．解题的关键是掌握抛物线的对称性．23．（2022秋·上海·九年级阶段练习）已知抛物线y=x2−k−1x−3k−1与x轴交于Aa,0，【答案】2【分析】首先由一元二次方程的根的判别式求得k的取值范围，然后利用根与系数的关系得到a+b和ab的值，由此易求得k的值，最后验证k值是否符合题意.【详解】解：抛物线y=x2−k−1x−3k−1与x∴Δ=[−(k−1)]由题意可知方程x2由韦达定理得：a+b=k−1，a∙b=−3k−1，a2解得：k1=22将k1将k2综上所述：k【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握基础知识是解题关键.24．（2023秋·黑龙江佳木斯·九年级校联考期中）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=1，且经过点A（3，0），则a﹣b+c的值为___________.【答案】0【分析】根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（-1，0），由此求出a-b+c的值．【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（3，0），对称轴是直线x=1，∴y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（-1，0），∴a-b+c=0．故答案为0．【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的对称性求出抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为（-1，0）是解题的关键．25．（2023秋·山东济南·九年级统考期末）已知二次函数y=x2+4x+c的图象与x轴的一个交点坐标是2,0【答案】−6,0【分析】用待定系数法求得c，再令二次函数解析式的y=0，求得相应交点坐标．【详解】解：将2,0代入y=x0=22+4×2+c，解得c=−12令y=0，则x2+4x−12=0，解得，x1∵图象与x轴的一个交点坐标是2,0，∴它与x轴的另一个交点坐标是−6,0，故答案为：−6,0．【点睛】本题考查了求解二次函数交点坐标，正确理解交点坐标的特征是解题关键，另外，此题还可以运用韦达定理求解．三、解答题26．（2022春·九年级课时练习）二次函数y=ax（1）写出方程ax（2）写出不等式ax（3）若方程ax2+bx+c=k【答案】（1）x1=0，x2=2；（2）x<0【分析】（1）找到抛物线与x轴的交点，即可得出方程ax2+bx+c=0的两个根；（2）找出抛物线在x轴下方时，x的取值范围即可；（3）根据图象可以看出k取值范围．【详解】解：（1）观察图象可知，方程ax2+bx+c=0∴x1=0，（2）观察图象可知：不等式ax2+bx+c<0的解集为x<0（3）由图象可知，k>2时，方程ax【点睛】本题考查了二次函数的图象与方程和不等式的关系，求方程ax2+bx+c=0的两个根，即为抛物线与x轴的交点的横坐标；判断y＞0，y=0，y＜0时，x的取值范围，要结合开口方向，图象与x轴的交点而定；方程ax2+bx+c=k有无实数根，看顶点坐标的纵坐标即可．27．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y＝ax2-5x＋4a与x轴相交于点A，B，且过点C（5,4）．（1）求a的值和该抛物线顶点P的坐标；（2）请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线经过原点，并写出平移后抛物线的解析式．【答案】（1）a=1，P52,−【分析】（1）把C（5,4）代入y=ax2-5x＋4a即可求得a的值，利用配方法即可求得顶点坐标；（2）根据原点坐标(0，0)以及平移规律确定出抛物线解析式即可．【详解】（1）把C（5,4）代入y=ax2-5x＋4a得：a=1，所以y=x2-5x＋4=(x−所以点P的坐标为：(5（2）将抛物线y=x2-5x＋4向下平移４个单位，得：y=x【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数图象与几何变换，熟练掌握运算法则是解本题的关键．28．（2022秋·安徽马鞍山·九年级校考期中）若二次函数y=x2+b【答案】5或-3【分析】根据函数图象与x轴只有一个交点，可得Δ=0，即可求解．【详解】解：∵二次函数y=x2∴Δ=b解得：b=5【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与x轴的交点问题，解题的关键是熟练掌握当Δ>0时，二次函数的图象与x轴有两个交点；当Δ=0时，二次函数的图象与x轴有一个交点；当Δ<0时，二次函数的图象与x轴没有交点．29．（2022秋·河南新乡·九年级校考阶段练习）如图，已知抛物线y=x2与直线y=−x+2交于(1)求交点A、B的坐标；(2)直接写出不等式x2【答案】(1)A(2)−2≤x≤1【分析】（1）将抛物线y=x2与直线y=−x+2联立解方程组y=x（2）直接观察图象，抛物线在直线下方的符合题意，即可得到答案．【详解】（1）解：解方程组y=xx1=−2y∴A−2，4（2）解：由图象观察可得：不等式x2≤−x+2的解集为：【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，函数图象的性质，解题的关键是列出方程组y=x2y=−x+230．（2022秋·广东广州·九年级广州市第三中学校考期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=ax2+x+ma≠0的图象与x轴交于A、C两点，与直线y2=−x−4交于点A、B(1)求此抛物线的函数解析式．(2)根据图象，直接写出y2<y【答案】(1)y(2)x<−【分析】（1）把点B0,−4，C2，（2）根据函数图象直接写出直线在抛物线下方时的x的取值范围即可求解．【详解】（1）∵抛物线y1=ax2+x+ma≠0的图象经过点B∴m=−44a+2+m=0解得a=1∴抛物线的解析式为y1（2）∵点A在y2令y=0，得x=−4∴A−4,0又B0,−4根据函数图像可知，当y2<y1时，x的取值范围为：【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据交点求不等式的解集，数形结合是解题的关键．31．（2022秋·北京西城·九年级统考期末）已知二次函数y=x(1)将y=x2(2)在所给的平面直角坐标系中画出此函数的图象；(3)当−1<x<2时，结合图象，直接写出函数值y的取值范围．【答案】(1)y=(x−1)2(2)见解析(3)−4≤y<0【分析】（1）运用配方法将原解析式化为顶点式即可；（2）根据（1）所得的顶点式解析式，利用五点作图法直接画出图像即可；（3）根据函数图像确定当−1<x<2时对应的y的取值范围即可．【详解】（1）y===(x−1)（2）列表如下：x−10123y0−3−4−30图象如图所示；：（3）由图象可得，当−1<x<2时，−4≤y<【点睛】本