极限与连续21极限的概念-数列的极限教学目的树立极限

第二章极限与连续2.1极限的概念——数列的极限教学目的：树立极限思想，正确理解数列极限的定义，并能用不等式语言叙述简单数列的极限。理解数列收敛与性质之间的关系，初步学会建立知识间的横向联系。教学重点：数列极限定义。教学难点：数列极限定义教学方法：启发讲授式＋探究式（渗透合情推理——观察、实验、类比、归纳的思想方法）教学过程：数列的极限上节已经指出，微积分是研究函数为对象的一门学科。那么，它是用什么方法研究函数呢？这个方法就是极限。从方法论来说这是微积分区别于初等数学的显著标志。微积分中几乎所有的概念（如导数、微分、积分、级数等）都离不开极限。也可以说，极限概念贯穿于微积分的始与终。因此，极限概念是微积分的重要概念，极限理论是微积分的基础理论。虽然在中学我们都不同程度地学习过极限，那么从本章开始我们将系统地学习极限的概念（包括定量定义），运算和性质。极限概念是由于求某些问题的精确解答而提出的。早在公元263年，我国杰出的数学家刘徽在计算圆的周长中创立并使用了极限方法——称之为“割圆术”。他为了定义和计算圆的周长（曲边形不会算），设想用直边形去逼近（而直边形是可以计算的）。他用正6边形、12边形、24边形……192边形（）。“割之弥细，所失弥少”，即，边数越大，近似程度愈好。但是无论边数怎样多，只要是有限数，它永远是圆的近似值。而我们需要的是圆周长的精确值，因此，当“割之又割，以至于不可割”，即让边数无限增多（记）则“与圆合体无所失矣”。近似值向精确值进行了转化，从而求得圆的周长。刘徽的“割圆术”给了我们一个重要启示：在有限的过程中，只是解决了圆周长近似值的计算问题，而在无限的过程中，则近似值向精确值进行了转化。因此，未知与已知，直与曲，近似与精确，既有差别又有联系，但在无限的过程中，则可以由此达彼。虽然我们的极限思想建立较早，但形成严密的理论，则是在19世纪柯西（法国数学家）等人完成。与极限概念有着紧密联系的是函数的连续性。在第一章中，我们从几何直观入手，给出了连续性的定义，作为极限的直接应用，在本章的后几节中，我们将进一步研究函数连续性的有关性质以及初等函数的连续性等。（一）、数列及性质：1.数列的概念：按照一定规律排成的一列数：或简记为称为数列。其中每一个数称为数列的项，第项称为数列的通项。数列也可以看成是定义在全体正整数集上的函数，即，或例1：：2：：3：：4：：5：：6：：2.数列的性质、有界性：定义1.设有数列，若存在正数，使得对一切，都有，则称数列有界，称为的一个界。若这样的正数不存在，则称数列无界。（逻辑语言，数列有界有）特殊：对数列，若存在数，使得对一切都有（或），则称数列有下界（或有上界），为的一个上界（或下界）（逻辑语言，数列有上（下）界有（或））从上面的分析得知，一个数列有界的充要条件是既有上界又有下界。在几何上，有界数列在数轴上所对应的点列全部落在闭区间上。、单调性：定义2.设有数列，若对于任意有（或），则称数列单增（或单减），单增或单减数列统称为单调数列。在几何上，单调数列在数轴上所对应的点列都随着的增加朝一个方向移动，单增数列向右方移动，单减数列向左方移动。（二）数列的极限在初等数学里，研究的数列不外乎求通项和前项和，而在高等数学中是从另一个角度研究数列的，而当自变量无限增大时，数列的变化趋势，并给出其精确的定义1.考察：数列（1）当无限增大时的变化趋势？12341观察：当无限增大时（记），无限趋近于12341（记）如图2.1实验：结论：数列有一个稳定的变化趋势，而时，数列。数就是数列的极限。这种结论是观察实验得到的，也是在中学里接触到极限的描述性定义，因为上述的“无限增大”，“无限接近”只是对数列变化趋势的一种形象描述，即只是定性说明，这样在数学中是不能进行严谨论证的，而数学中需要的定量化定义，即用符号进行说明的数学语言，下面我们必须把这种定性的描述，上升为量化定义（精确定义）首先必须明确下列问题：，问题1：何谓？中学里比较两个数的接近程度是用来刻化。同理也用第项与的距离来说明，即的距离能任意小，并保持任意小问题2：何谓的距离能任意小，并保持任意小例如：1）对欲使，只需第即可，（取），即第项以后所有项，都满满足这个不等式2）对，欲使只需即可（取），对第项以后的所有项都满足3）对，欲使只需即可（取），当项以后的所有项都满足这个不等式问题3：尽管对分别能做到：能否说明能任意小，并保持任意小？当然这是不行的，这是因为尽管是一个比一个小的正数，甚至可可以认为是非常小的数，但它们毕竟是确定的数！而刻划任意小，并保持任意小，上述确定的数是不能满足要求的，因此必须用一个任意的、无论多么小的正数才行，即事实上，这也是能够做到的，显然，只需即可，而从数列（1）的第项，以后的所有项都满足这个不等式综上分析，数列的极限是的定量定义为：对任意，总存在整数，对任意的正数，有。事实上，用刻化了，用刻化了，这里的是任意给定的，是通过解不等式找到的。2．数列极限的概念上面给出了一个特殊的“数列的极限是”的定量定义。根据同样的思想方法和数学语言，不难给出一般的“数列的极限是”的定量定义。.定义1.3设有数列，是常数，若对于任意总存在正整数，对任意的正整数有，则称数列的极限是（或称是数列的极限），或称数列收敛于（是收敛数列），记为或若数列不存在极限，则称数列发散，数列的极限是，用逻辑符号简要表为这就是数列极限的定义.几何解释即对任意就有一个以为圆心以为半径的领域，或开区间（），数列中总存在一项，在此项后面的所有项它们在数轴上所对应的点，都落在或区间（）之中，而至多能有个点在此领域之外。因此可以任意小，所以数列各项所对应的点都无限聚集在点的附近.关于数列极限概念的几点说明１）关于，（１）一方面是任意给出的，它具有绝对的任意性，只有这样，才能保证的无限性；另一方面，又具有相对的固定性，一旦给出，便相对固定，而这种相对固定性是通过不等式来体现的，从而，也可估算与的近似程度。显然，的任意性是通过无限多个相对固定性表现出来的，的这种两重性使数列极限的定义，能从近似到精确，又能从精确转化到近似，因此，它是极限定量定义的精髓。（２）是任意给出的正数，则，（为正常数）也都是任意给出的正数。显然，它们在形式上与不同，但在本质是一样的。２）关于（１）在数列极限定义中，第二句“”，在于说明正整数的存在性，与有关，一般来说愈小就愈大（２）若当时，就有，从而也有作业：研究性作业：表格2：性质有界单调收敛上界下界单增单减找到数列收敛、有界与单调性之间的关系，并得出结论。根据所得结论证明二、课堂作业：1.用定义描述：（）2.3.（）4.（为常数）2.2极限的概念——函数的极限教学目的：正确理解函数极限的定义，并能用不等式语言叙述函数的极限。了解函数值与极限值的区别，初步学会建立知识间的横向联系。教学重点：函数极限定义。教学难点：函数极限定义教学方法：启发讲授式＋探究式（渗透合情推理——观察、实验、类比、归纳的思想方法）教学过程：二、函数的极限数列是定义在正整数集合上的函数，它的自变量是离散的取值，因而极限只是一种特殊函数的极限。下面我们来讨论定义在实数集上自变量连续取值的函数的极限。根据自变量的变化过程，我们将分两种基本情况来讨论：第一，当自变量的绝对值无限增大的过程中，函数的变化趋势，即时，的极限；第二，当自变量无限接近于的过程中，函数的变化趋势，即时，的极限。图2—3（一）当时，函数图2—3一、考察：时，的极限。结论：从图2—3知，，下面就上述情况，给出定量定义。量化回顾：量化量量化量化类比：量化量量化对一般函数，有定义：设有函数，A是常数，若对于任给的，总存在正数，使得对于一切的，，有，则称当趋于无穷大时，函数以常数Ａ为极限.记作逻辑符号为：几何意义：作两条平行线，对于每一个预先给定的，总存在一个正数，当时，函数的图象就全部夹在这两条平行线之间，如图２—４：图２—４从图２—３可以看到，包含两种情况。一是，二是，而对函数，有：但对于函数与，则有：下面分别就两种情况依照定义２.１，给出定量定义。（用逻辑符号）请学生写出：定理２.１（补）（二）当时，函数的极限O211考察：时，函数O211分析：在处没有意义但是当时，从图２—５可知，无限趋近，而不等于时，对应的函数值无限接近于2。图2—5结论：时，下面给出定量定义。回顾：类比：量量化化对一般函数有定义：设函数在点的去心邻域内有定义，A是一个确定的常数，若对于任意的，总存在正数，使得对满足不等式的一切，都有，则称当无限趋近于时，函数以A为极限（或收敛于A）。记：逻辑符号：（1）（2）（3）（4）几何意义：OO上面给出了当时，的极限定义，事实上，的方式是任意的，既可以从的左侧趋近于，记作，也可以从的右侧趋近于，记作，当时，的极限存在，这样的极限我们称左极限，记。当时，的极限存在，则这样的极限我们称右极限，记。左极限和右极限通称为单侧极限，其定量定义如下：定义2.5定义2.6定理2.2例2、试求函数在和处的极限。解：（1）因为，函数在处左、右极限存在但不相等，所以，当时，的极限不存在。（2）因为，函数在处左、右极限存在而且相等，所以，当时，的极限存在且。例3、求解：例4、例5、设函数求解：补例1）求证2）证在处极限不存在。小结：综上，我们可以看到，函数值和极限值不是一个概念，那么比较它们之间的关系，则有下列情况：对后一种特殊情形，将在以后讨论。作业：一、研究性作业续表一.观察写出基本初等函数的极限，并归纳出结论。二、课堂作业36——43三、用和定义叙述2.3极限的运算教学目的：理解掌握极限的四则运算定理；会熟练求出多项式函数、有理函数的极限；初步掌握从特殊到一般的归纳方法.教学方法：师生谈话式（学生主体，教师主导—引导学生从高中有关知识对应到大学中来），体现高初结合的原则.教学过程：前面所求得函数的极限，主要是靠观察而得，但对于比较复杂的函数，如：时，函数的极限，总不能靠观察得到.分析这个函数的结构，为此，引入：定理5.设，，（1）（2）（3）（）注：①四则运算可以推广到有限次②每个函数极限都存在，才能运用定理5.例2、求分析：的结构：由“＋”与“－”构成，所以运用定理5.教师对例2进行多种变形后，引导学生归纳：例3、求分析：<1>函数结构是商（分子、分母都是多项式）<2>分子、分母极限不为零，且分母不为0解：例4：求分析：结构同例3，但分母极限为零，不能用定理5解：因为所以例5、求分析：结构同例3、例4，但分子、分母极限为零，此类极限为“”型不定式.因为，先约去为0的公因式“”解：归纳：设.（有理函数）对例5变形：（让学生口算）变形1：变形2：变形3：=例7.求分析：“”型不定式引导学生发现解决问题的方法解：原式=（即通分）=（先通分再计算）==例8、计算例9、计算（口算）补例:求分析：因为是无限项相加，所以不能进入加法运算解：小结：略布置作业：2.4两个重要极限教学目的：会用两个重要极限求出简单三角函数、反三角函数、指数函数、幂指函数、对数函数等不定式的极限问题；了解基本的证明，让学生了解合情推理与演绎证明的解法教学方法：启发讲授式，体现高初结合原则教学过程：图2－7图2－7如图2-7是中学里常见的单位圆，易得：,则==列表给出时取值的变化情况10.50.10.050.010.005…0.84150.47940.09980.049980.00999980.0049999…我们看到，当时，0，并且当时，与的值越来越接近，即与越来越相等，=1，即①这个极限通常称为第一个重要极限，或称为弦弧之比的极限。附：两边夹法则证明：(设0)若对于或证：⑴从图2-7可以看到（只证情况）（）时有且由练习二⑵结论知：，而则由性质3.4⑵，令,再根据定理2.2关于①的几点说明：1.为型不定式.2.“”位置的表达式相同3.推广：4.凡是三角函数和反三角函数的不定式求极限时均可考虑用①.说明：以下例1——例12，均由教师启发引导学生自己寻求解法，教师只需板书即可。例1、.求解：即：公式例2、求解：一般例3、求解：即：公式例4、求解：令即：公式例5、求解：令，则当时例6、解：法一：原式法二：原式（II）第二个重要极限在§1.2研究性作业中曾得到：类比猜想：（证略）令几点说明：1.型不定式2.互为倒数3.4.幂指函数、对数函数、指数函数的不定式求极限时可以考虑重要极限二例7、求解：因为，且所以有例8、求解：法一：令，因为时所以法二：熟练后可不设新变量例9、求解：，令，则当时，所以原式＝1，即：公式例10、求解：令，则，当时，所以即公式例11、求解：因为所以，令，当时，因此：例12、求解：布置作业：2.5无穷小量与无穷大量教学目的：理解无穷小量及无穷大量的概念，并会举例说明；理解无穷小量的运算性质及普通极限运算的关系；了解无穷小量与函数值之间的关系定理，了解无穷小量与无穷大量的关系，掌握无穷小量阶的比较教学难点：运用无穷小量阶的比较求极限教学方法：启发讲授式教学过程：一、无穷小量的概念引入：（为常数）特殊的有：定义1：极限为零的变量称为无穷小量即则称为这一极限过程的无穷小量，简称无穷小。注：包括（，）当时，都是无穷小当时，都是无穷小当时，都是无穷小无穷小量是极限为的变量，是表达变化状态的，不要与很小很小的数混为一谈。例如：不是无穷小量，是无穷小量，但无穷小量不都是如果：时的无穷小量，记为定理1若，其中（时，定理1仍成立）二、无穷小量的性质既然无穷小量是有着特殊极限值的变量，那么根据极限定义和四则运算定理，不难证明，无穷小量有以下几个性质：性质1有限个无穷小量的代数和为无穷小量性质2有限个无穷小量的乘积为无穷小量推论1任一常数与无穷小量的乘积为无穷小量推论2有界变量与无穷小量的乘积为无穷小量例1：求时无穷小量解：是有界变量因为，所以三、无穷小量阶的比较从前面例子可以看到，当时，虽然都是无穷小量，但它们趋近于的速度是不一样的，列表如下：0.10.010.50.050.0010.000001从表中可以看出，与趋近于的速度差不多，而比趋近于的速度快得多。因此为了比较两个无穷小量趋近于的速度快慢，我们引入无穷小量阶的比较定义2.设是同一极限过程中的两个无穷小量（均不为）（1）若则称是比的高阶无穷小，记特殊（2）若则称是比的低阶无穷小特殊（3）若(为常数)则是与的同阶无穷小 ，则称与等价，记为（4）若)则称是的阶无穷小例2：1）则是的高阶无穷小2）则是的低阶无穷小3）则是的同阶无穷小4）则称与等价5）则称是与同阶无穷小，而是的阶无穷小☆利用等价无穷小在计算极限时，有一个有用的性质。定理2若在同一极限的过程中，且存在，则例3：1）2）注：要整体代换四、无穷大量定义极限为无穷大的变量为无穷大量，即则为这一极限过程的无穷大量，简称无穷大。同定义1包括两种情形：如是无穷大量都是无穷大量同无穷小量的理解一样，通俗点说无穷大量是极限为无穷（）的变量，它不能与很大很大的数混为一谈，而“”是一记号，也不是无穷大量无穷大量与无穷小量之间的关系定理31）若则2）若则（证略）无穷大量与无穷小量指的都是因变量，再者，判断一个变量是否为无穷大（小）量，不仅与本身有关，而且与自变量趋近过程有关如当时为无穷小量当时为无穷大量当时既不是无穷大量，也不是无穷小量小结：略布置作业：2.6函数的连续性教学目的：理解连续函数的概念及几种表述方式，理解间断点的概念及分类，理解初等函数的连续性及结构和处理方法，并学会这种处理问题的方法。教学重点：判断函数的连续性，求出间断点及判别类型，会用极限与连续的关系求极限，会用零点定理解决简单方程根的范围问题。教学难点：零点定理的应用。教学方法：着重讲授+自学指导教学过程：一、连续函数的概念引入：（连续）连续函数是高等数学中主要研究对象，也是许多自然过程中数学变化的抽象，如自然界中气温的变化、河水流动、植物生长等都是连续变化着的，连续函数在几何上则是一条不间断的曲线。函数在一点连续的概念预备知识：增量△x0定义1.设函数在的某领域内△x0有定义，若（1） △y则称在处连续，是△y的连续点.从定义可以看到，在点处连续须满足三个条件：函数在点处有定义图2—8存在设变量从动值变到终值终极限值等于函数值值与初值之差就叫做变量的增由（1）式量记为，即=，增量改写为-=0可正可负，在为正时，从变到是增大的，在为负时，是减小的，对于增量，我们也称改变量。定义2.设函数在的某领域内对于函数，如图2—8，当有定义，若（2）自变量从变到时，函数相应地则称在点处连续。从变到，即当自变量有一改变量时，函数相应地也有一改变量:把（1）用语言叙述.定义3.设在的某领域内有定义，,时，，则称在处连续.单调连续定义4.设函数在处左（右）邻域内有定义，若，则称在处左（右）连续，左连续和右连续，我们称为单侧连续。（学生可自创写出定量定义）显然，函数在点连续的充要条件是：在处既左连续又右连续.函数在区间上连续定义5.如果函数在区间上每一点都连续，则称函数在该区间上连续.若，则在上连续，指（1）在内任一点连续，（2）在处右连续，在处左连补例1：讨论函数在点处的连续性解：在处连续，如图2—9图2—9补例2：讨论在处的连续性解：0在处不连续，如图2—10.图2—10例1.讨论函数在上的连续性解：，有于是因为，而是有界变量所以即在内任意点处是连续的同理可以证明在任意点处连续例2：讨论在处的连续性解：，在处不连续.二、函数的间断点及分类定义1.如果函数在点处不满足定义1中三个条件：1、存在，2.存在，3.之一，则称在点间断，点称为的间断点.间断点可按下述情况分类：（一）第Ⅰ类间断点定义2.若是函数的间断点，且在处的左、右极限都存在，即与都存在，则点是函数的第类间断点.特殊：若=，则点是函数的可去间断点.可去间断点，我们可以补充在点处的函数值，或改变在处的定义（一般补充或修改在处的函数值等于极限值），可使在点连续，这正是“可去”的本意.例如：补例2是类间断点，例2是可去间断点，修改为，则在处连续.（二）第Ⅱ类间断点定义6