高考数学专项练习第04讲 数列求和（含答案及解析）

第04讲数列求和目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查倒序相加法 1题型二：重点考查分组求和（形如） 3题型三：重点考查分组求和（形如） 5题型四：重点考查裂项相消法（等差型） 7题型五：重点考查裂项相消法（无理型：形如） 9题型六：重点考查裂项相消法（指数型：形如） 11题型七：重点考查数列求和之错位相减法 13题型八：重点考查数列求和之通项含绝对值求和 15题型九：重点考查其他方法求和 17题型一：重点考查倒序相加法典型例题例题1．（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知，则（

）A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094例题2．（2024·全国·高二假期作业）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足（），则．例题3．（2024·全国·高二假期作业）已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为.精练核心考点1．（2024·全国·高二假期作业）设，若，试求：（1）；（2）．2．（2024·全国·高三专题练习）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则.3．（2024·全国·高三专题练习）设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为.题型二：重点考查分组求和（形如）典型例题例题1．（2024上·上海浦东新·高二校考期末）己知等差数列中，，公差；等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项．(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前n项和.例题2．（2024·全国·高三专题练习）已知公比为3的等比数列与首项为1的等差数列，满足．(1)求数列和的通项公式；(2)若数列，数列的前和为，求．例题3．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，（）.(1)求的通项公式；(2)设数列，满足，，求数列的前n项和.精练核心考点1．（2024·四川攀枝花·统考二模）已知数列满足．(1)证明：是等比数列；(2)求数列的前n项和．2．（2024上·甘肃酒泉·高三校考期末）已知数列是由正数组成的等比数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前n项和.3．（2024上·广东广州·高二广州市第八十九中学校考期末）已知是等差数列，其前项和为．若．(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求．题型三：重点考查分组求和（形如）典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知是单调递增的等差数列，其前项和为.是公比为的等比数列..(1)求和的通项公式；(2)设，求数列的前项和.例题2．（2024上·辽宁·高三校联考期末）已知数列满足，.(1)求的通项公式；(2)求的前项和.例题3．（2024·全国·高三专题练习）已知等比数列的前n项和为，其公比，，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和．精练核心考点1．（2024·陕西铜川·统考一模）从①，，成等差数列；②，，成等比数列；③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答下列问题.已知为数列的前项和，，，且________.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.2．（2024·全国·高三专题练习）已知为数列的前项和，，．(1)求的通项公式；(2)若，，求数列的前项和．3．（2024·全国·高三专题练习）设是首项为1，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列.(1)求的通项公式；(2)令，求数列的前项和.题型四：重点考查裂项相消法（等差型）典型例题例题1．（2024上·广东广州·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，，，.(1)求，的通项公式；(2)求数列的前项和.例题2．（2024上·全国·高二期末）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，为数列的前项和，试问：是否存在正整数，，使得？若存在，求出满足条件的所有，的值；若不存在，请说明理由．例题3．（2024上·山东泰安·高三校考期末）已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，．(1)求与通项公式；(2)设，求的前项和．精练核心考点1．（2024上·广东深圳·高二校考期末）已知数列满足，数列为等差数列，且，.(1)求数列，的通项公式；(2)设，求数列的前项和.2．（2024上·重庆·高二校联考期末）已知是等差数列的前项和，若，．(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求证：．3．（2024上·四川宜宾·高二统考期末）等差数列的前项和为.已知且.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.题型五：重点考查裂项相消法（无理型：形如）典型例题例题1．（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.例题2．（2024·全国·高三专题练习）设各项均为正数的数列的前项和为，满足.(1)求的值：(2)求数列的通项公式：(3)证明：对一切正整数，有.精练核心考点1．（2024上·天津·高二耀华中学校考期末）对于实数，表示不超过的最大整数.已知数列的通项公式，前项和为，则（

）.A．65 B．67 C．74 D．82（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，若，则数列的前n项和.题型六：重点考查裂项相消法（指数型：形如）典型例题例题1．（2024上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）记为正项数列的前项和，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，证明：.例题2．（2024上·上海·高二上海南汇中学校考期末）已知数列的前项和为，且对任意正整数，都有.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，求数列的最大项；(3)若数列满足，且对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.例题3．（2024·全国·高三专题练习）设是等比数列的公比大于，其前项和为，是等差数列，已知，，，.(1)求，的通项公式(2)设，求；(3)设，数列的前项和为，求.精练核心考点1．（2024上·河北邢台·高三统考期末）在正项数列中，，且．(1)求证：数列是常数列，并求数列的通项公式；(2)若，记数列的前项和为，求证：．2．（2024·全国·高二假期作业）设数列的前项和为，且对于任意正整数，都有．(1)求证：数列是等比数列；(2)设，数列的前项和为，求证：．3．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期末）已知数列是递增的等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.题型七：重点考查数列求和之错位相减法典型例题例题1．（2024上·山东德州·高三统考期末）已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和满足关系式．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．例题2．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）已知正项数列满足：.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.例题3．（2024上·宁夏银川·高二校考期末）已知数列，其前项和为.数列满足，.(1)求数列、的通项公式；(2)若数列满足，求数列前项和.精练核心考点1．（2024上·湖北·高二期末）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和2．（2024上·四川泸州·高二泸县五中校考期末）已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.3．（2024·全国·高三专题练习）在公差不为零的等差数列中，前五项和，且依次成等比数列，数列的前项和满足，(1)求及；(2)设数列的前项和为，求.题型八：重点考查数列求和之通项含绝对值求和典型例题例题1．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列，记为的前项和，从下面①②③中再选取一个作为条件，解决下面问题．①；②；③．(1)求的最小值；(2)设的前项和为，求．例题2．（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列满足是与的等差中项．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．例题3．（2024·全国·高三专题练习）已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）记等差数列的前项和为，已知．(1)求的通项公式；(2)记数列的前项和为，求．2．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）记为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．3．（2024·全国·高三专题练习）记为等差数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．题型九：重点考查其他方法求和典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，若．(1)求数列，的通项公式；(2)设由，的公共项构成的新数列记为，求数列的前5项之和．例题2．（2023下·河北保定·高二河北省唐县第二中学校考阶段练习）从条件①；②；③中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.已知数列的前项和为，，_____________.(1)求的通项公式；(2)表示不超过的最大整数，记，求的前项和.例题3．（2023·山东·山东省实验中学校考一模）已知正项数列的前项和为，且，．(1)求；(2)在数列的每相邻两项、之间依次插入、、、，得到数列、、、、、、、、、、，求的前项和．精练核心考点1．（2023·河南郑州·统考二模）已知数列的前n项之积为.(1)求数列的通项公式；(2)记为在区间中的项的个数，求数列的前50项和.2．（2023下·江苏宿迁·高二宿迁中学校考开学考试）在①，；②公差为1，且成等比数列；③，，三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知等差数列的前项和为，且满足___________(1)求数列的通项公式；(2)令，其中表示不超过的最大整数，求.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.3．（2023·全国·高三专题练习）已知等比数列的公比，前n项和为且.数列足.（1）求数列的通项公式；（2）记为区间内整数的个数求数列的前50项和.

第04讲数列求和目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查倒序相加法 1题型二：重点考查分组求和（形如） 5题型三：重点考查分组求和（形如） 9题型四：重点考查裂项相消法（等差型） 16题型五：重点考查裂项相消法（无理型：形如） 20题型六：重点考查裂项相消法（指数型：形如） 23题型七：重点考查数列求和之错位相减法 29题型八：重点考查数列求和之通项含绝对值求和 34题型九：重点考查其他方法求和 38题型一：重点考查倒序相加法典型例题例题1．（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）已知，则（

）A．-8088 B．-8090 C．-8092 D．-8094【答案】D【详解】，即设①，则②①+②得，所以，又，所以.故选：D.例题2．（2024·全国·高二假期作业）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学界的王子，19岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就是《正十七边形尺规作图之理论与方法》．在其年幼时，对的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数，设数列满足（），则．【答案】【详解】，，因为①，所以②，两式相加得，所以.故答案为：例题3．（2024·全国·高二假期作业）已知函数为奇函数，且，若，则数列的前2022项和为.【答案】2022【详解】由于函数为奇函数，则，即，所以，所以，所以，因此数列的前2022项和为，故答案为：2022精练核心考点1．（2024·全国·高二假期作业）设，若，试求：（1）；（2）．【答案】1500【详解】（1）因为，，所以，.（2）由（1）可得，.所以，，所以.故答案为：1；500.2．（2024·全国·高三专题练习）“数学王子”高斯是近代数学奠基者之一，他的数学研究几乎遍及所有领域，并且高斯研究出很多数学理论，比如高斯函数､倒序相加法､最小二乘法､每一个阶代数方程必有个复数解等.若函数，设，则.【答案】46【详解】因为函数的定义域为，设是函数图象上的两点，其中，且，则有，从而当时，有：，当时，，，相加得所以，又，所以对一切正整数，有；故有.故答案为：46.3．（2024·全国·高三专题练习）设函数，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求得的值为.【答案】11【详解】因，设，则，故.故答案为：11题型二：重点考查分组求和（形如）典型例题例题1．（2024上·上海浦东新·高二校考期末）己知等差数列中，，公差；等比数列中，，是和的等差中项，是和的等差中项．(1)求数列，的通项公式；(2)求数列的前n项和.【答案】(1)，，(2)【详解】（1）由题意得，又，设的公比为，故，相加得，则①，两式相除得②，又，所以③，由①③得④，由②④得，解得，解得或0（舍去），由得，，所以，所以，其中，故，（2），其中，，故例题2．（2024·全国·高三专题练习）已知公比为3的等比数列与首项为1的等差数列，满足．(1)求数列和的通项公式；(2)若数列，数列的前和为，求．【答案】(1)(2)【详解】（1）设数列的首项为，数列的公差为，因为，可得，所以（2）由（1）知，，所以，.例题3．（2024·全国·高三专题练习）已知数列的前n项和为，，（）.(1)求的通项公式；(2)设数列，满足，，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意可得（），两式作差，得（），则（），当时，，即，将代入，解得，则，适合（），所以，，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以.（2）由（1得），.故.精练核心考点1．（2024·四川攀枝花·统考二模）已知数列满足．(1)证明：是等比数列；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）数列满足,整理得：，所以，即又，故是以为首项，为公比的等比数列．（2）由（1）可知，，，所以．．2．（2024上·甘肃酒泉·高三校考期末）已知数列是由正数组成的等比数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）设等比数列的公比为，由，得，是由正数组成的等比数列，则，，则，解得或（舍），又，所以，解得，所以.（2），所以.3．（2024上·广东广州·高二广州市第八十九中学校考期末）已知是等差数列，其前项和为．若．(1)求的通项公式；(2)设，数列的前项和为，求．【答案】(1)(2)【详解】（1）设等差数列的公差为．，，，又，，．的通项公式为.（2）由（1）可知，，，，，．题型三：重点考查分组求和（形如）典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习）已知是单调递增的等差数列，其前项和为.是公比为的等比数列..(1)求和的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可得：，解得或（舍去），所以.（2）由（1）可得，当为奇数时，则，设，则，两式相减得，所以；当为偶数时，则，设，所以；综上所述：，当为奇数时，则；当为偶数时，则；综上所述：.例题2．（2024上·辽宁·高三校联考期末）已知数列满足，.(1)求的通项公式；(2)求的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，两式相减可得，因为，，所以，所以，所以，，，，是首项为1，公差为3的等差数列，，，，，是首项为2，公差为3的等差数列，则，，故；（2）当为奇数时，，当为偶数时，，综上.例题3．（2024·全国·高三专题练习）已知等比数列的前n项和为，其公比，，且．(1)求数列的通项公式；(2)已知，求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为是等比数列，公比为，则，所以，解得，由，可得，解得，所以数列的通项公式为．（2）由（1）得，当n为偶数时，；当n为奇数时；综上所述：.精练核心考点1．（2024·陕西铜川·统考一模）从①，，成等差数列；②，，成等比数列；③这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解答下列问题.已知为数列的前项和，，，且________.(1)求数列的通项公式；(2)记，求数列的前项和.注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)条件选择见解析，.(2)【详解】（1）由，，当时，，两式相减得，即，所以数列为等比数列，公比为.选①，由，，成等差数列，可得，即，解得，所以.选②，由，，成等比数列，得，即，解得，所以.选③，由，得，所以.（2）当为奇数时，，记前项和中的奇数项之和为，则.当为偶数时，，记前项和中的偶数项之和为，则，故.2．（2024·全国·高三专题练习）已知为数列的前项和，，．(1)求的通项公式；(2)若，，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）法一:当时，，即，由，得，由，得，两式相减得：．又，满足上式．所以当时，，又当时，，两式相减得：，所以数列的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，所以（n为奇数），数列的偶数项是以为首项，4为公差的等差数列，所以（n为偶数），所以，即的通项公式是．法二：因为，所以，同理可得，故，因为，所以，即，当时，，当时，适合上式，所以的通项公式是.（2）因为，故当时，①，当时，②，①、②两式相减得：，因为，，所以，因为，所以当为奇数时，，当为偶数时，，所以，所以；当n为偶数时，,当n为奇数时，，综上，.3．（2024·全国·高三专题练习）设是首项为1，公差不为0的等差数列，且，，成等比数列.(1)求的通项公式；(2)令，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）设数列的公差为，则，又，所以因为，，成等比数列，所以，化简得，又，所以，所以；（2）由（1）可得：，则，则当为偶数时，，当为奇数时，，即.题型四：重点考查裂项相消法（等差型）典型例题例题1．（2024上·广东广州·高二统考期末）已知等差数列的前项和为，数列为等比数列，，，.(1)求，的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1);(2)【详解】（1）设数列的公差为，数列的等比为，因为，，，所以，解得，.（2）因为，所以，则，所以.例题2．（2024上·全国·高二期末）已知数列的前项和为，且．(1)求数列的通项公式；(2)设，为数列的前项和，试问：是否存在正整数，，使得？若存在，求出满足条件的所有，的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)满足条件的所有的值为或或【详解】（1）∵，①∴当时，，∴；当时，，②由①－②得，∴，，．当时，符合，∴，．（2）存在．由（1）知，∴，∴．令，得．∵，∴的可能值为4，6，12，即的值为1，3，9，对应的的值为，∴存在正整数，使得．因此满足条件的所有的值为或或例题3．（2024上·山东泰安·高三校考期末）已知等差数列满足，，公比不为的等比数列满足，．(1)求与通项公式；(2)设，求的前项和．【答案】(1)，(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，解得，则；，由于，则，故解得，则.（2），所以.精练核心考点1．（2024上·广东深圳·高二校考期末）已知数列满足，数列为等差数列，且，.(1)求数列，的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)，(2)【详解】（1）设数列的前项和为，则.当时，；当时，.当时，显然符合通项，所以；因为为等差数列，因为，，所以公差，，则；（2）由（1）知，所以数列的前项和：2．（2024上·重庆·高二校联考期末）已知是等差数列的前项和，若，．(1)求数列的通项公式；(2)记，数列的前项和为，求证：．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，则由题意可知，即，解得，所以数列的通项公式为（2）由（1）知，，，所以.所以，当时，.故.3．（2024上·四川宜宾·高二统考期末）等差数列的前项和为.已知且.(1)求的通项公式；(2)设，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，由,则，解得则；（2）由（1）得则题型五：重点考查裂项相消法（无理型：形如）典型例题例题1．（2024上·广东深圳·高三统考期末）已知数列满足.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）解法一：由得，由累乘法得.解法二：由得，则数列是各项为1的常数列，所以，即.（2）由（1）得，所以.例题2．（2024·全国·高三专题练习）设各项均为正数的数列的前项和为，满足.(1)求的值：(2)求数列的通项公式：(3)证明：对一切正整数，有.【答案】(1)(2)(3)证明见解析【详解】（1）令，，则舍去，所以.（2），因为数列各项均为正数，舍去，，当时，，（3）令，所以精练核心考点1．（2024上·天津·高二耀华中学校考期末）对于实数，表示不超过的最大整数.已知数列的通项公式，前项和为，则（

）.A．65 B．67 C．74 D．82【答案】C【详解】由题知，，所以，，，当时，，；当时，，；当时，，；当时，，；当时，，；所以.故选：C.2．（2024·全国·高三专题练习）已知数列满足，若，则数列的前n项和.【答案】【详解】数列中，由，得，当时，，两式相减得，整理得，而满足上式，因此，，所以.故答案为：题型六：重点考查裂项相消法（指数型：形如）典型例题例题1．（2024上·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）记为正项数列的前项和，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，记数列的前项和为，证明：.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）因为，所以，当时，，两式相减得，，化简可得，所以，即，又可得，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，可得（2）由（1）可知，，所以，则，，，，因为，所以，则.例题2．（2024上·上海·高二上海南汇中学校考期末）已知数列的前项和为，且对任意正整数，都有.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，，求数列的最大项；(3)若数列满足，且对任意的正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）解：数列的前项和为，且对任意正整数，都有，当时，，当时，，也满足，故对任意的，.（2）解：因为，等式两边同时除以可得，所以，数列是首项为，公差为的等差数列，所以，，所以，，所以，，由可得，此时，数列单调递增，即，由可得，此时，数列单调递减，即，所以，数列中的最大项为.（3）解：因为，所以，，因为对任意的正整数，不等式恒成立，则.因此，实数的取值范围是.例题3．（2024·全国·高三专题练习）设是等比数列的公比大于，其前项和为，是等差数列，已知，，，.(1)求，的通项公式(2)设，求；(3)设，数列的前项和为，求.【答案】(1),(2)(3)【详解】（1）设的公比为，因为，所以，即，解得或（舍），所以，设的公差为，因为，，所以，，所以，解得，所以.（2）由（1）可得，，所以，，所以，所以.（3），所以.精练核心考点1．（2024上·河北邢台·高三统考期末）在正项数列中，，且．(1)求证：数列是常数列，并求数列的通项公式；(2)若，记数列的前项和为，求证：．【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析【详解】（1）解：由题知正项数列，且，所以有，两式相除得，即，两边取对数有，即，所以，所以，结合，所以，即数列是常数列，所以，即，所以.（2）由（1）知，所以，所以，故，又因为单调递增，所以，即，得证.2．（2024·全国·高二假期作业）设数列的前项和为，且对于任意正整数，都有．(1)求证：数列是等比数列；(2)设，数列的前项和为，求证：．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【详解】（1）数列中，，则，两式相减得，即，因此，又当时，，得

即，所以数列是首项为5公比为2的等比数列．（2）由（1）得，即，则有，又，因此是常数数列，即，则，从而所以.3．（2024上·河北廊坊·高三河北省文安县第一中学校联考期末）已知数列是递增的等比数列，.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为数列是递增的等比数列，所以，所以,解得，所以公比，所以.（2）由（1）知，，所以.题型七：重点考查数列求和之错位相减法典型例题例题1．（2024上·山东德州·高三统考期末）已知等差数列的前项和为，且，数列的前项和满足关系式．(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)，(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可知，解得，，由，则当时，有，则，故，当时，有，故，即数列是以为首项，为公比的等比数列，；（2）由（1）知，故，则，则，.例题2．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考期末）已知正项数列满足：.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，所以，因为当时，，将得，当时也适用，所以，所以数列的通项公式为.（2）由，所以，，将得，化简得.例题3．（2024上·宁夏银川·高二校考期末）已知数列，其前项和为.数列满足，.(1)求数列、的通项公式；(2)若数列满足，求数列前项和.【答案】(1)，(2)【详解】（1）当时，.又满足，所以.由题意，经检验也满足，所以.（2），，，①②.①-②得，所以.精练核心考点1．（2024上·湖北·高二期末）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且(1)求的通项公式；(2)若，求数列的前n项和【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，，又的各项均为正数，所以；当时，得，则，所以，又的各项均为正数，所以，所以，，所以是以1为首项，1为公差的等差数列，所以；（2）由（1）知，，所以，①故，②①-②得：，所以2．（2024上·四川泸州·高二泸县五中校考期末）已知数列的前项和为，且.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）当时，由，得；当时，因为，所以，则，可得.故是以4为首项，2为公比的等比数列，所以.（2），则，两边都乘以，得，以上两个式子相减，可得：，故.3．（2024·全国·高三专题练习）在公差不为零的等差数列中，前五项和，且依次成等比数列，数列的前项和满足，(1)求及；(2)设数列的前项和为，求.【答案】(1)，(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，由依次成等比数列，，，即，解得（舍）或，，对于，当时，，当时，由可得，相减得，即，所以数列是首项为，公比的等比数列，故；（2）依题，，，故，.题型八：重点考查数列求和之通项含绝对值求和典型例题例题1．（2024·全国·模拟预测）已知等差数列，记为的前项和，从下面①②③中再选取一个作为条件，解决下面问题．①；②；③．(1)求的最小值；(2)设的前项和为，求．【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【详解】（1）设等差数列的公差为，且．选择①：（1）因为，所以，解得．所以，则，利用二次函数对称性和开口方向知，关于对称，因为，所以当或6时，.选择②：因为，可得，因为，所以，此时，所以，因为，所以单调递增，且当时，．所以当或11时，最小，此时.选择③：因为，所以，即，所以，所以，则，利用二次函数对称性和开口方向知，关于对称，因为，所以当或6时，.（2）解：若选择①或③：由（1）知，当时，，所以.若选择②：由（1）知，且当时，，且，所以.例题2．（2024·全国·模拟预测）已知正项等比数列满足是与的等差中项．(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，又，所以，解得，设的公比为，因为是与的等差中项，所以，即，解得，从而，故等比数列的通项公式是；（2）由（1）知，所以，，设的前项和为，当时，易知数列是首项为6，公差为的等差数列，所以，当时，易知数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以数列的前项和．例题3．（2024·全国·高三专题练习）已知等差数列的公差为整数，，设其前n项和为，且是公差为的等差数列.(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前n项和.【答案】(1)(2)【详解】（1）设的公差为，依题意得，所以，即，化简得，解得或（舍去），，所以经检验满足题意.（2）依题意得，，，其前项和，当时，，，故，当时，，故所以.精练核心考点1．（2024·全国·高三专题练习）记等差数列的前项和为，已知．(1)求的通项公式；(2)记数列的前项和为，求．【答案】(1)(2)【详解】（1）设的公差为，，则，得；则；所以数列的通项公式为;（2）由题可知2．（2024上·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）记为数列的前n项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)；(2).【详解】（1）依题意，，当时，，，当时，满足上式，所以的通项公式是.（2）由（1）知时，，时，当时，当时，所以.3．（2024·全国·高三专题练习）记为等差数列的前项和，已知．(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和．【答案】(1)(2)【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意可得，即，解得，所以，（2）因为，令，解得，且，当时，则，可得；当时，则，可得；综上所述：.题型九：重点考查其他方法求和典型例题例题1．（2024·全国·高三专题练习