（圆梦高考数学）专题9.8 解析几何综合练（含答案及解析）

专题9.8解析几何综合练题号一二三四总分得分练习建议用时：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟（一）数学试题）已知圆C的一条直径的两个端点是分别是和，则圆的标准方程是（

）A．B．C．2．（2021秋·高三课时练习）已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（

）A． B．C． D．3．（2021秋·高三课时练习）直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3，而且它的斜率是直线的斜率的相反数，则（

）A．， B．，C．， D．，4．（2023秋·河南平顶山·高三统考期末）已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段的中点为，则直线l的斜率为（

）A． B．1 C． D．25．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知椭圆，，分别是的左顶点和上顶点，是的左焦点，若，则的离心率为（

）A． B．C． D．6．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（

）A． B． C． D．7．（2021秋·广东深圳·高三深圳中学校考期中）已知双曲线C的离心率为，焦点为，点A在C上，若，则（

）A． B． C． D．8．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为与，点在直线：上．当取最大值时，比的值为（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．（浙江省新阵地教育联盟2022-2023学年高二下学期第一次联考数学试题）已知圆的方程为，下列结论正确的是（

）A．该圆的面积为 B．点在该圆内C．该圆与圆相离 D．直线与该圆相切10．（2021秋·广东深圳·高三深圳中学校考期中）定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，以下关于共轭双曲线的结论正确的有（

）A．与共轭的双曲线是B．互为共轭的双曲线渐近线不相同C．互为共轭的双曲线的离心率为，则D．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上11．（2023秋·广东·高三华南师大附中校考期末）已知曲线，则（

）A．若，则曲线C是圆，其半径为2B．若，则曲线C是椭圆，其焦点在y轴上C．若线C过点，则C是双曲线D．若，则曲线C不表示任何图形12．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为，则正方形ABCD四边所在直线中过点的直线的斜率可以是（

）A．2 B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．（2022秋·高三课时练习）已知实数满足，则直线过定点_____.14．（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆C与双曲线构成，一光线从左焦点发出，依次经过与C的反射，又回到点.，历时m秒；若将装置中的去掉，则该光线从点发出，经过C两次反射后又回到点历时n秒，若的离心率为C的离心率的4倍，则_____________.15．（2023春·贵州遵义·高二遵义市南白中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线过与交于A，B两点，过点A，B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，则的大小为____.16．（2023春·上海徐汇·高三上海市徐汇中学校考期中）已知圆的方程为，该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为______．四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2022秋·高二课时练习）已知两直线(1)若直线与可组成三角形，求实数满足的条件；(2)设，若直线过与的交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程.18．（2023·全国·高三对口高考）已知抛物线的焦点为F，过点的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．(1)证明：点F在直线上；(2)设，求的内切圆M的方程．19．（2022秋·高三课时练习）已知点N(1，2)，过点N的直线交双曲线于A，B两点，且．(1)求直线AB的方程；(2)若过点N的直线交双曲线于C，D两点，且，那么A，B，C，D四点是否共圆？为什么？20．（2023春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）已知是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，若的最大值和最小值分别为和.(1)求椭圆的标准方程；(2)是轴正半轴上的一点，求的最大值.21．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）在平面直角坐标系中，已知圆.设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)设垂直于的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程.22．（2021秋·广东深圳·高三深圳中学校考期中）已知椭圆的右焦点是，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点Q的坐标为．(1)求椭圆C的方程；(2)已知是椭圆C的下顶点，如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点M，N，且M，N都在以P为圆心的圆上，求k的值；(3)过点作一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A，B为椭圆的左右顶点，记直线AR、BS的斜率分别为k1、k2，则是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由．

专题9.8解析几何综合练题号一二三四总分得分练习建议用时：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟（一）数学试题）已知圆C的一条直径的两个端点是分别是和，则圆的标准方程是（

）A．B．C．【答案】C【分析】根据条件求出圆心与半径写出圆的方程.【详解】因为圆C的一条直径的两个端点是分别是和，所以圆心为，直径为，所以圆的标准方程是.故选：C.2．（2021秋·高三课时练习）已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设所求圆的圆心，根据点关于直线的对称得到关于的方程，解出即可.【详解】将圆化成标准形式得，所以已知圆的圆心为，半径，因为圆与圆关于直线对称，所以圆的圆心与点关于直线对称，半径也为1，设可得，解得，所以，圆的方程是，故选：B3．（2021秋·高三课时练习）直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3，而且它的斜率是直线的斜率的相反数，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据已知表示出直线mx+ny+3=0的截距以及斜率，即可得出答案.【详解】因为直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3，所以，0-3n+3=0，解得.因为直线的斜率为，由已知可得，直线mx+ny+3=0的斜率为，即.所以.故选：D.4．（2023秋·河南平顶山·高三统考期末）已知双曲线C：的焦点到渐近线的距离为，直线l与C相交于A，B两点，若线段的中点为，则直线l的斜率为（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线的斜率.【详解】因为双曲线的标准方程为，所以它的一个焦点为，一条渐近线方程为，所以焦点到渐近线的距离，化简得，解得，所以双曲线的标准方程为，设，所以①，②，①-②得，，化简得③，因为线段的中点为，所以，代入③，整理得，显然，所以直线的斜率.故选：B5．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知椭圆，，分别是的左顶点和上顶点，是的左焦点，若，则的离心率为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据椭圆的性质结合锐角三角函数，在和在求出，的正切值，由两角差的正切公式求出的正切值，结合题目条件得，的关系，即求出椭圆的离心率.【详解】由题意作出图形，如下图所示：

可知：，，，在中可得：，在中可得：，所以化简得：因为，所以①，又，所以①整理可得：，即，解得，又，所以，故选：C.6．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知抛物线上一点到其焦点的距离为5，双曲线的左顶点为A，若双曲线的一条渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由得抛物线方程，在抛物线上求得坐标，再根据双曲线一条渐近线与直线平行可得答案.【详解】根据题意，抛物线上一点到其焦点的距离为5，则点到抛物线的准线的距离也为5，即，解得，所以抛物线的方程为，则，所以，即M的坐标为，又双曲线的左顶点，一条渐近线为，而，由双曲线的一条渐近线与直线平行，则有，解得.故选：A7．（2021秋·广东深圳·高三深圳中学校考期中）已知双曲线C的离心率为，焦点为，点A在C上，若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据双曲线离心率可得，根据双曲线定义推出，利用余弦定理即可求得答案.【详解】由题意双曲线C的离心率为，焦点为F1、F2，点A在C上，故不妨设为左、右焦点，由可知A在双曲线右支上，则，故，由于双曲线C的离心率为，则，即，在中，，故选：B8．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知椭圆的左右焦点分别为与，点在直线：上．当取最大值时，比的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由米勒最大张角定理确定P点位置，利用正弦定理计算即可.【详解】补充：米勒最大张角定理，已知点AB是∠MON的边ON上两定点，点P为边OM上一动点，则当且仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大.证明：如下图所示，当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时(圆心为Q)，取OM上任一点，连接交圆Q于C，显然∠APB=∠ACB≥∠，当且仅当重合时∠取得最大值.如图所示，由题意易得，根据米勒最大张角定理可知：当的外接圆与直线相切于P时，此时夹角最大，设其圆心，则，解之得或，由圆的性质知：，显然时，张角最大为60°，而此时则.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9．（浙江省新阵地教育联盟2022-2023学年高二下学期第一次联考数学试题）已知圆的方程为，下列结论正确的是（

）A．该圆的面积为 B．点在该圆内C．该圆与圆相离 D．直线与该圆相切【答案】BD【分析】首先将圆的方程写为标准方程，得出圆心坐标和半径，对于A，根据圆的面积公式即可判断；对于B，将点代入，判断与的大小，即可得出结论；对于C，求出两圆心之间的距离，判断是否大于两圆半径之和；对于D，根据点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离是否等于半径，即可判断．【详解】，可知圆心为，半径；对于A：由圆的半径，得该圆的面积为，故A错误；对于B：因为，所以点在该圆内，故B正确；对于C：圆的圆心为，半径为1，因为两圆心距离为，且，所以两圆相交，故C错误；对于D：圆心到直线的距离，所以直线与该圆相切，故D正确，故选：BD．10．（2021秋·广东深圳·高三深圳中学校考期中）定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，以下关于共轭双曲线的结论正确的有（

）A．与共轭的双曲线是B．互为共轭的双曲线渐近线不相同C．互为共轭的双曲线的离心率为，则D．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上【答案】CD【分析】根据共轭双曲线的定义可判断A；分别求得互为共轭的双曲线的渐近线判断B；根据双曲线离心率定义可得，即，即可结合基本不等式推得，判断C；求得四个焦点坐标，即可判断D.【详解】对于A，根据共轭双曲线的定义可知，与共轭的双曲线是，A错误；对于B，的渐近线方程为，的渐近线方程也为，二者相同，B错误；对于C，由题意可得，故，由于，故，即，当且仅当时等号成立，C正确；对于D，的焦点坐标为，其共轭双曲线的焦点坐标为，显然这4个焦点在以原点为圆心，为半径的圆上，D正确，故选：CD11．（2023秋·广东·高三华南师大附中校考期末）已知曲线，则（

）A．若，则曲线C是圆，其半径为2B．若，则曲线C是椭圆，其焦点在y轴上C．若线C过点，则C是双曲线D．若，则曲线C不表示任何图形【答案】BC【分析】对于A，曲线可化为，表示圆，可求半径，判断A;对于B，时，曲线可化为，可判断表示椭圆，判断B;对于C，将点，，代入曲线：，求得曲线方程，判断C;对于D，可举特例进行说明，判断D.【详解】对于A，时，曲线可化为，其半径为，故A错误；对于B，时，曲线可化为表示的是椭圆，而，所以其焦点在轴上，故B正确；对于C，将点，，代入曲线：，有，，所以曲线是双曲线，故C正确；对于D，若，，满足条件，此时曲线：，表示两条直线，故D错误，故选：.12．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线与x轴的交点分别为，则正方形ABCD四边所在直线中过点的直线的斜率可以是（

）A．2 B． C． D．【答案】ABD【分析】假设所在的直线过点，分类讨论所在的直线所过的点，结合图象分析运算.【详解】因为选项斜率均为正值，不妨假设所在的直线过点，设直线的倾斜角为，斜率为，①若所在的直线过点，如图，可得，因为，即，则；②若所在的直线过点，如图，可得，因为，即，则；③若所在的直线过点，如图，可得，因为，即，则；综上所述：的可能值为.故选：ABD.【点睛】关键点睛：假设所在的直线过点，分类讨论所在的直线所过的点，数形结合处理问题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.13．（2022秋·高三课时练习）已知实数满足，则直线过定点_____.【答案】【分析】根据题意化简直线方程为，联立方程组，即可求解.【详解】由实数满足，可得,代入直线方程，可得，联立方程组，解得，所以直线过定点.故答案为：.14．（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆C与双曲线构成，一光线从左焦点发出，依次经过与C的反射，又回到点.，历时m秒；若将装置中的去掉，则该光线从点发出，经过C两次反射后又回到点历时n秒，若的离心率为C的离心率的4倍，则_____________.【答案】/0.375【分析】由离心率比求得长半轴与实半轴的比，根据椭圆与双曲线的定义求两种装置中光线路程之比即得．【详解】设椭圆长轴长为，双曲线实轴长为，焦距，由，依次经过与C的反射，又回到点F1，则有，，两式相减得，将装置中的去掉，则有，所以故答案为：．15．（2023春·贵州遵义·高二遵义市南白中学校考阶段练习）已知抛物线的焦点为，直线过与交于A，B两点，过点A，B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，则的大小为____.【答案】/【分析】联立直线与抛物线的方程，利用设而不求的方法求得，进而得到的大小.【详解】抛物线的焦点为，设直线的方程为，令，则，又，整理得，则，又，，则，则故答案为：16．（2023春·上海徐汇·高三上海市徐汇中学校考期中）已知圆的方程为，该圆过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积为______．【答案】【分析】根据给定条件，求出过定点的圆的最长、最短弦长，再求出四边形面积作答.【详解】依题意，圆的圆心，半径，点与圆心的距离，则点在圆内，过点及圆心的直线与圆相交，得最长弦长，当时，最短，过的最短的弦长，所以四边形的面积.故答案为：

四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（2022秋·高二课时练习）已知两直线(1)若直线与可组成三角形，求实数满足的条件；(2)设，若直线过与的交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程.【答案】(1)且且(2)或【分析】（1）先求得的交点，根据三线不共点和任意两直线不平行，列出不等式，即可求解；（2）根据题意，当直线的斜率存在，设直线的方程为，结合点到直线的距离公式，列出方程求得的值；当直线的斜率不存在，直线的方程为，验证符合题意，进而得到答案.【详解】（1）解：由方程组，解得，所以的交点为，①当直线过与的交点时，不能构成三角形，所以，解得；②当直线分别与平行时，不能构成三角形，则，，所以且.综上可得，实数满足的条件且且.（2）解：若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，因为点到直线的距离为1，可得，解得，即所求直线的方程为；若直线的斜率不存在，即直线的方程为，因为点到直线的距离为1，所以直线也满足题意故所求的直线的方程为或.18．（2023·全国·高三对口高考）已知抛物线的焦点为F，过点的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．(1)证明：点F在直线上；(2)设，求的内切圆M的方程．【答案】(1)证明见解析.(2)圆M的方程为：.【分析】（1）利用斜率相等即可证得结果；（2）利用向量数量积和内切圆的性质即可求得结果.【详解】（1）设，，已知点A关于x轴的对称点为D，则点D的坐标为，由，可得整理可得，即.则，由，可知点F在直线上.（2）由，可得，即可得，由于A，B在抛物线上，，所以，不妨设A，B在x轴上方，则，可知AB的直线方程为，而，故，则DB的直线方程为，由于x轴是的角平分线，可知内切圆的圆心必然在x轴上，故设圆心坐标为，由于角平分线上的点到角的两边距离相等，则，解得或（舍），则可得，的内切圆M的方程为.

19．（2022秋·高三课时练习）已知点N(1，2)，过点N的直线交双曲线于A，B两点，且．(1)求直线AB的方程；(2)若过点N的直线交双曲线于C，D两点，且，那么A，B，C，D四点是否共圆？为什么？【答案】(1)y＝x＋1(2)四点共圆，原因见解析【分析】（1）设直线的方程为，代入双曲线方程，设，，根据得是的中点，利用韦达定理求出可得直线的方程为；（2）直线的方程代入双曲线方程解得可得，坐标，根据得垂直，求出所在直线方程代入双曲线方程，令，及中点，根据韦达定理得弦长及，可得四点共圆.【详解】（1）由题意知直线的斜率存在,设直线：，代入，得(*)，设，，则是方程(*)的两根，∴且，∵，∴是的中点，∴，∴，解得，∴直线的方程为；（2）共圆，理由如下，将代入方程(*)得，解得或，∴，，∵，∴垂直，∴所在直线方程为，即，代入双曲线方程整理得，令，及中点，则，，∴，，即，，所以，，即到的距离相等，∴四点共圆.

20．（2023春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）已知是椭圆上一个动点，是椭圆的左焦点，若的最大值和最小值分别为和.(1)求椭圆的标准方程；(2)是轴正半轴上的一点，求的最大值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据题意列出方程组，解之即可求解；（2）设，根据两点间距离公式和二次函数的图像与性质即可求解.【详解】（1）由题意可得，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）设，则当时，当时，，所以.21．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）在平面直角坐标系中，已知圆.设圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)设垂