简单幂函数的图象和性质课件

北师大版（2019）必修第一册2.4.2简单幂函数的图象和性质学习目标LearningObjectives探索新知Explorenewknowledge题型突破Breakthroughinquestiontypes当堂检测Classroomtest学习目录ParentConferenceDirectory壹叁贰肆学习目标PART01学习目标01了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式01结合幂函数的图象，理解它们的变化规律02能利用幂函数的基本性质解决相关问题03探索新知PART02探索新知02情境导学

探索新知02情境导学

从上述三种函数出发，可以把它们统一写成y＝xk的形式．那么对于xk，我们把它称作什么？它有什么特点呢？探索新知02幂函数：一般地，形如y＝xα(α为常数)的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数.幂函数的特征：知识点1

幂函数的概念①xα的系数为1；②xα的底数是自变量；③xα的指数为常数特别提醒：判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否同时具备上述三个特征，形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα+6等的函数都不是幂函数.反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必同时具备这三个特征.探索新知02探究

知识点1

幂函数的概念提问2：下列函数中哪些函数是幂函数？

探索新知02知识点1

幂函数的概念

函数y＝xy＝

y＝x2y＝x3定义域

值域

单调性

奇偶性

y＝x3y＝x2y＝x

12-1-112xyO-2-2RR增[0,+∞)减(－∞,0]在R上为增函数奇函数R[0,+∞)偶函数RR奇函数在R上为增函数[0,+∞)[0,+∞)非奇非偶在[0,+∞)上为增函数奇函数(－∞,0)∪(0,+∞)(－∞,0)∪(0,+∞)减(0,+∞)，(－∞,0)探索新知02分析

观察图象，能够发现什么？知识点2

一般幂函数的图象与性质

探索新知02

第一象限单调性当α>1时，向下凸；当0<α<1，向上凸知识点2

一般幂函数的图象与性质探索新知02当0<x<1时，α值越大，图象越低当x>1时，α值越大，图象越高知识点2

一般幂函数的图象与性质探索新知02一般地，幂函数y＝xα（α为常数）的图象有哪些特点？幂函数具有什么性质？知识点2

一般幂函数的图象与性质⑴所有的幂函数在(0，＋∞)都有定义，并且图象都过点(1，1)，（原因1x＝1）．⑵α＞0时，幂函数的图象都通过原点，且在[0，＋∞）上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）．⑶α＜0时，幂函数的图象在区间[0，＋∞）上是减函数．在第一象限内，当x向原点靠近时，图象在y轴的右方无限逼近x轴正半轴，当x慢慢地变大时，图象在x轴上方并无限逼近x轴的正半轴．探索新知02在图中，只画出了函数在y轴某一侧的图象，请你画出函数在y轴另一侧的图象，并说出画法的依据．知识点2

一般幂函数的图象与性质前三个函数为奇函数，所以图象关于原点中心对称，后两个函数为偶函数，图象关于轴对称.探索新知021.幂函数的图象知识点2

一般幂函数的图象与性质观察五种特殊的幂函数在第一象限内的图象，可知，幂函数y＝xα的图象在第一象限内具有如下特征：直线y＝1，y＝x将直线x＝1的右侧部分分为(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三个区域，如图所示.①对于y＝xα，当α＜0时，其图象在第一象限内为双曲线形；②当0＜α＜1时，其图象在第一象限内为抛物线形，且开口向右；③当α＞1时，其图象在第一象限内为抛物线形，且开口向上；探索新知021.幂函数的图象知识点2

一般幂函数的图象与性质若α∈(1，+∞)，则y＝xα的图象经过区域(Ⅰ)；若α∈(0，1)，则y＝xα的图象经过区域(Ⅱ)若α∈(－∞，0)，则y＝xα的图象经过区域(Ⅲ)在直线x＝1的右侧，从x轴起，幂函数y＝xα的指数α由小到大递增，即“指大图高”“指小图低”探索新知021.幂函数的图象知识点2

一般幂函数的图象与性质作幂函数图象的步骤先利用上述特征，由给定的幂指数，作出幂指数在第一象限的图象；再研究其定义域，看当x≤0时函数是否有意义；若在(－∞，0)上有意义，再研究函数的奇偶性，利用奇函数(或偶函数)图象的对称性，便可作出函数在y轴左边的图象，从而得到幂函数的图象，进而利用图象可得到函数的有关性质.探索新知022.幂函数的图象和性质知识点2

一般幂函数的图象与性质解析式图象图象特征定义域定点单调性奇偶性y＝xα(α∈R)α＞0在第一象限内，当0＜α＜1时，图象上凸；当α＞1时，图象下凸在(0，＋∞)上都有定义，定义域与α的取值有关图象过点(0，0)和点(1，1)在(0，＋∞)上单调递增α为奇数，幂函数为奇函数；α为偶数，幂函数为偶函数α＜0在第一象限内，图象都下凸图象过点(1，1)在(0，＋∞)上单调递减探索新知02例

如图所示，曲线是幂函数y＝xa在第一象限内的图象，已知α分别取－1，1，

，2四个值，则相应图象依次为

．

xyOC1C2C3C4C4，C2，C3，C1当α＞0时，幂函数y＝xα在（0，＋∞）上递增，且随α增大，图象在x=1右侧从上到下依次降低；当α＜0时，幂函数y＝xα在（0，＋∞）上递减；故图象依次为C4，C2，C3，C1．探索新知02

B．−1D．−2或1A．2或−1C．2

故选：B．B探索新知02

B．b＜a＜cD．b＜c＜aA．a＜b＜cC．c＜a＜b

∵b6－a6＝9－8＝1＞0，∴a＞c，∴b6＞a6，∴b＞a，∵a10－c10＝32－25＞0，a10＞c10，综上可得：b＞a＞c．故选：C．C题型突破PART03题型突破03题型1幂函数的图象及应用C题型突破03解题通法

题型1幂函数的图象及应用题型突破03

【方法指导】将数化成同指数的，然后利用幂函数的性质比较.

题型2比较幂的大小B题型突破03题型2比较幂的大小

题型突破03解题通法三种方法比较幂值的大小直接法：当幂指数相同时，直接利用幂函数的单调性来比较大小转化法：当幂函数不同时，可以先转化为相同幂指数，再运用幂函数的单调性比较大小中间值法：当底数不同且幂指数也不同而不能运用单调性直接比较大小时，可选取适当的中间值与两数分别比较，从而达到比较大小的目的，这里的中间值常选择0或1题型2比较幂的大小题型突破03题型3解不等式

题型突破03题型3解不等式

题型突破03解题通法利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量或幂指数的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题.求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量或幂指数的大小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意幂函数的定义域及分类讨论思想的应用题型3解不等式题型突破03题型4幂函数的奇偶性题型突破03解题通法幂函数y＝xα(α∈R)奇偶性的判断方法题型4幂函数的奇偶性