2025年高考数学复习：三角函数【学案讲义】

2025年高考数学大招秒杀基础版-板块3-三角函数【学案讲

义】

大招一判定三角函数分角所在象限的几何法

若a是第一象限角，则巴，区是第几象限角？

23

几何法

将单位圆在第一象限的圆弧分成两等份（2是里的分母），再将第二、三、四象限的圆

2

弧两等分，逆时针依次标上1、2、3、4,再循环一遍，直到标满为止，则有标号1的（1指

的是a所在的象限）就是里所在的象限.如图所示：色在第一、三象限.

其实，把一个角除以2之后，原来在四个象限中的角就分别对应到所在的1,2,3,4

四块区域中，因为原来的角相差2乃终边相同，故对应的区域有两块.

同理，将单位圆在第一象限的圆弧分成三等份（3是色的分母），再将第二、三、四象限

3

的圆弧三等分，逆时针依次标上1、2、3、4,再循环一遍，直到标满为止，则有标号1的（1

指的是a所在的象）就是里所在的象限，如图所示：区在第一、二、三象限.

例1.若a是锐角，那么2a是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.小于兀的正角

【答案】D

TT

【解析】由0<a〈生可知，0<2。<不，故选D.本题容易错选C.

2

例2.若a是第二象限角，则上是第象限角，3是第象限角.

23

【答案】一、三一、二、四

aOL

【解析】数形结合，因为e为第二象限角，所以用图表示出§（图（①），］（图②）,

ora

看“2”在哪一象限，一，一就在哪一象限.

23

大招二三角函数符号判定有绝招

三角函数的符号判定

（1）正弦值上对于第一、二象限为正（y>0,>0）,对于第三、四象很为负

r

（y<0,r>0）.

x

（2）余弦值上对于第一、四象限为正（x>0/>0）,对于第二、三象限为负

r

（x<0,r>0）.

⑶正切值上（x/0）对于第一、三象限为正（x,y同号），对于第二、四象限为负（x,y

X

异号）.

三角函数的符号记忆口诀

一全正、二正弦、三两切（或三正切）、四余弦一一是从象限的三角函数名为正出发的.

例1.已知点Paanc^coscir）在第三象限，则角a在（）.

A.第'象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】B

【解析】依题意，tana<0,且cosor<0.故选B.

例2.若三角形两内角口,分满足sintz-cos/?<0,则此三角形为（）三角形.

A.锐角B.钝角C.直角D.不确定

【答案】B

【解析】因为e,分是三角形的内角，所以。<a（万,0</?<肛因此sina>0.又

sina-cos<0,所以cos，<0,因此，为钝角.故选B.

例3.若。=3,下列函数值中为负的是（）

A.cos-B.cos2。C.cos|—|D.sin|—]

2I2；{2）

【答案】D

no

【解析】。=3为第二象限角，26=6为第四象限角，2=二为第一象限角，

22

—3=—T为第四象限角，故只有选项爪sin[—故选D.

例4.sinlcos3tan5的值（）

A.小于0B.大于0C.等于0D.不存在

【答案】B

7T

【解析】0<1<一<3<肛——<5<2],所以sinl>0,cos3<0,tan5<0.故

22

选B.

例5.若。是第二象限角，则点P（sin（cos6»）,cos（cos。））在（）

A.第一象限B.第二象限C.第象限D.第四象限

【答案】B

【解析】因为。是第二象限角，所以—I<cos6<0,角cos。在第四象限内，因此

sin（cos，）<0,cos（cos0）>0,即点。在第二象限，故选B.

einf)coQf)

例6.若------=0,则5皿90$9)<0$缶皿。)的值()

1|sin^|1\cosO\r

A.小于08大于0C.等于0D.不确定，与。有关

【答案】D

sin0cos3

【解析】=0osinacose异号=夕为第二或第四象限角.

①若。是第二象限角，贝0<sin^<l,-l<cos6^<0,从而

sin(cos。)v0,cos(sin6)>0.所以sin(cos。)•cos(sin0)<0.

②若。是第四象限角，贝！！-l<sin^<0,0<cos^<l,从而

sin(cos^)>0,cos(sin0)>0.所以sin(cos0)・cos(sin6)>0.故选D.

大招三利用三角函数线比大小

如下图，角a的终边与单位圆交于点P(羽y).过。作x轴的垂线，垂足为过点

4(1,0)作单位围的切线，它与角a的终边或其反向延长线交于点T，根据三角函数的定义,

我们有：

|MP|=|y|=|sin«|;|(9A/|=|%|=|cos«|;|AT|=|tana|.

a的

7/终边

a的

终边

当角a的终边不在坐标轴上时，以。为始点，M为终点、,规定:当线段与x轴同

向时，的方向为正，且有正值x；当线段与x轴反向时，的方向为负，且

有负值x.其中x为P点的横坐标，所以无论哪一种情况都有。河=x=cosa.同理，可以

得到，无论哪一种情况都有A/P=y=sina,AT=—=tana.

像MP,OM,AT这种被看作带有方向的线段叫作有向线段.规定:与坐标轴方向一致时

为正，与坐标轴方向相反时为负.

例1。已知tze|o,三试证明：sincr<«<tancr.

【证明】作出单位圆，如图，设=则弧的长度为a,角a的正弦线为

MP，正切线为AT,04=1.所以％”=；|叫阿，S扇形”却山仪；

S,OAT=^\OA\-\AT\.

又SA0AP<S^OAP<S”所以T。4HMpI<1|0A|.«<!|<9A|.|AT|.

所以sinav。<tana.

JI

例2.已知。为锐角，求证：1<sin。+coso.

2

【证明】如图，设角a的终边与单位圆相交于点P（苍y）,过尸作尸轴,

PQLy轴，M,Q为垂足，连接AP,5P.

因为y=sin（z,x=costz，在AOPM中，|?^+|0叫>|（?P|,所以sin«+cos«>1.

因为SAPoLllOAHPMnJyn:sino；SAPOB=^-\OB\-\PQ\=^x=^cosa,

乙乙乙乙乙乙

S扇形AO3而S"OA+S、POB<S扇形AOH—<sincr+—cosa即

si.na+cosa<—71.

2

JI

所以1vsin^+cos。（一.

2

例3.若。£（0,2»）,sina>cosa,则a的取值范围是_

【答案】

【解折】如图，由三角函数定义结合三角函数线，在（0,2乃）内，使sinocosi成立

的a的取值范围是羊）

例4.以下命题正确的是（）

A./是第一象限角，若cos夕>cos/7,则sina>sin/?

B.%，是第二象限角，若sina>sin/7,则tana>tan/?

C.a,6是第三象限角,若cosa>cos/?,P!!!sina>sin/?

D.是第四象限角，若sina>sin力，则tana>tan/?.

【答案】D

【解析】如图，设单鸟是角的终边与单位圆的交点，过68分别作x轴的垂线

P\M,P?N,则MgNg分别为两角的正弦线，OM,ON分别为余弦线.由于。,月在第

一象限，所以余弦线越长角的余弦值越大，从而OR为a的终边，0P2为£的终边，显然

sincr<sin/?,故A不正确，同理可知，B,C错，D正确.故选D.

例5.。，瓦C均属于区间0,—，且满足々=以%。,b二5111（00513）,（7=853111（7）,则

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.b<c<a

【答案】C

【解析】对于任意ae0,g,如图，在单位圆中,AC=sin。，弧AB的长度为a,

而SAABC<S扇形33,即Lsinov,。，所以sinav。，结合三角函数图像，可知，对任意

兀

0<a<p<—,有sincr<sin尸,coscif>coss/7,所以若a2c,BPcosa^cos（sinc）,

由于a,sine都属于104j,则arsine,则有矛盾！从而即

cos6Z<cos(sine),即〃>sinc,所以sincvavc.若bNsinc,BPsin(cosb)^sine,

则cosb'c=cos(sinc),所以bWsinc,即sincWbWsinc,所以b=sinc,所以

b<a<c,故选C.

大招四同角三角函数基本关系合集

平方关系：sin2x+cos2x=l

商数关系：里吧=tanx

COSX

例1.(1)若a是第二象限角，sina=,贝!jcosa=，tana=.

10_

(2)若。是四象限角，tana=—―,贝Usina二，cosa=.

12~~

,田田,八、3厢1赤、512

【答案J(1)-------(2)--------

1031313

【解析】（1）可以构造一个边长是1,3,痴的直角三角形，再判断符号；（2）可以构造

一个边长是5,12,13的直角三角形，再判断符号.

【评注】

本题是同角三角关系的基本应用，知一求二，可以通过构造直角三角形求值，同时注意

三角函数值的符号.

例2.已知sin。一costz=­，则sine-cos&=，sina+cos«=.

13_

rx-60,17

【答案】I69；±l3

,A-nIr-1/•\2491c••60

【解析】(sma—cosa)==I-2sinor-cosasincr-cosa=;

、2i.289^17

sincr+cosa=l+2sincrcosc=-----=^>sina+cosa=±——.

716913

【评注】本题是三角函数关系的重要变形，由(sin。土cos。)？=l±2sinscos。得

到.在符号确定的情况下，可以知一求二，进而求出sinx,cosx,tanx的值.

zsine+2cosasin*2*4or+sinacosa-2cos2a

例3.已知tana=2,则---------------=_；--------------------------

3sina+4cos。sin5。+2cos5a

22

【答案】jI

【解析】前者是一次齐次分式，分子分母同时除以cos。；后者是二次齐次分式，分子

分母同时除以cos?。，都可以转化成只关于tana的式子，也有人将sina=2cos。的式子

代入，将分子转化成只含cosa或sina的式子.

sina+2cosa_tana+2_2

3sina+4cosa3tana+45

sin2a+sinacosa-2cos2atan2a+tana-22

sin26Z+2COS2atan2a+23

【评注】本题是三角函数关系的重要变形，在已知tanx的情况下，可以直接处理关于

sin%与cos%的齐次分式(所谓次分式是指分子与分母的所有单项式次数都相同).

例4.(1)6^G(0,—),则Jl+2sinecos。=()

2

A.sine+cosOB.-sin9-cos6C.sin<9-cos^D.cossin

/、-一esin2a

(2)已知tana=2,则-------------

sinacosa+1

4

【答案】(1)A(2)-

7

【解析】(1)Jl+2sin)cos6=Jsin?1+2sin夕cos8+cos29=J解ini+cos6)2,

由于8£(0,工)，sin^>0,cos^>0,故sinS+cosS〉。.故选A.

2

/、si•n2asi,n2aAt-an2a4A

(2)--------------二----------------7---------『=—o----------------=一

sinacosa+1sinacosa+sina+cosatana+tana+17

【评注】注意“1”的变形使用：l=sin20+cos2a.可用于配平方式与齐次式转化.

大招五三角函数三兄弟

在三角函数中有一个重要公式“sin2o+cos2o=l"，由此可得：

2sin%cos%=(sinx+cosx)2-1=1-(sinx-cosx)2.所以，在sinxcosx

sinx+cosx,sinx-cosx

三个式子中，只要知道任意一个，就可求出另外两个：

(1)若知道sinxcosx=r,得sin%+cosx=±Jl+2r,sinx-cosx=±Vl-2r；

/一]/----T

(2)若知道sinx+cosx=，，得sin%cos%=------,sinx-cosx=±v2-r；

(3)若知道sinx-cos%=s,^fsinxcosx=-——,sinx+cosx=±y]2-s2.

2

例1.求函数y=sin2x-3(sinx+cosx)的值域.

【解析】设sinx+cosX=，(一五W/W五),得sin2x=2sinxcosx=/一1.所以原

函数可化为y=t2-3t-i(―0WWJ5),可求得函数y的值域是[1—3底,1+30].

业心sinxcosx,,,.,.

例2.求函数y=------------------的值域.

1+sinx+cosx

(―(―J―]

【解析】设sinx+cos%=%(—J^W/Wj^LtwlM^sin%cos%=------,所以原函数

2

可化为y==,可得函数y的值域是

2（?+1）2

A/2+I

2

25

例3.已知QN),函数/(%)=(〃+cosx)(〃+sinx)的最大值为w，则〃=_.

【答案】2&

【解析]/(x)=(〃+cosx)(a+sinx)=a1+〃(sinx+cosx)+sinxcosx.

设sinx+cosx=t(—0W/W0)，贝!jsinxcosx=-------.所以

2

产一1

f⑺=a2+at——--

i2i

=-(/+a)2+y--.因为aN),所以/=&时取得最大值.即

y(V2)==-(^+a)2,解得a=20.

'/2222

大招六诱导公式全攻略

诱导公式

诱导公式一：sin(a+2匕r)=sinacos(a+Ikn)=cosatan(。+2匕r)=tana

诱导公式二：sin(a+»)=-sinacos(a+〃)=-cosatan(a+〃)=/〃na

诱导公式三：sin(-cr)=-sin。cos(-a)=cosatan(-cr)=-tana

诱导公式四：sin(〃-a)=-sinacosQr-a)=-cos。tanQr-。)=V〃na

诱导公式五：sin(^-cif)=cosacos(^-a)=sinatang-。)=cot。

诱导公式六：sin(^+cif)=cosacos(]+a)=-sinatan(^+a)=-cota

(注:诱导公式一中，keZ)

诱导公式有统一的记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”.“奇变偶不变”指的是对

TT

于任意三角函数，以y=sin(m-万+0)为例，若加为偶数，则函数名称不改变；若m为奇

数，则函数名称变成余弦.“符号看象限”是指，假定0为第一象限内的角，根据

7T7T

sin(m--+^)的正负判断变换后的三角函数的符号，所以主要是看+°所在的象限.

TT7T

如：sin(2--+^),偶不变，值与sin。同，夕是第一象限角时，在第三象

JTTT

限，于是sinQ3+e)为负，故有负号，即sin(2・]+°)=-sin°.

JTjr

再如：sin(-+^),奇变，0是第一象限角时°在第二象限，正弦为正，故

.TC、

sin(z—+°)=coscp.

0为什么要取第一象限角？

其实诱导公式都是恒等式，即对任意的0都成立，所以0取第几象限的角都没关乐，但

jr

是，当夕不是第一象限角时，推导符号时需要考虑两边，如sin(2・]+e)与0相关；当夕

7T4

为第三象限角时，sin^<0,2・耳+0是第一象限角，sin(-+^)>0,从而符号为负,

jr

即有sin(]+9)=-sin。.我们当然希望越简单越好，所以我们默认取第一象限角，其实不

是必须的，只是为了符号好确定.

例1.若sin(»+a)+sin(-。)=-m,则sin(3%+a)+2sin(2〃-a)=()

2m3m八2m3m

A.------B.--------C.一D.一

3232

【答案】B

..TTI

【解析】sin(〃+a)+sin(-a)=-m,BP-2sina=-m,sina=一

2

..3TTL

所以sin(3〃+a)+2sin(2〃-a)=—sina—2sin2=-3sina=---.故选B.

例2.己知sin(?+«)=#,则sin(今—a)的值为()

11石

A.—B.——C6

2222

【答案】C

3兀71

【解析】sin(--6z)=sin^-(―+a)=sin(—+cr)=――•故选C.

44442

377|

例3.已知cos(羊—8)=^，则

cos(7»+8)cos(-6-2〃)

+

cos[cos(^--cos(6+2兀)cos(6+»)+cos(-6)

【答案】32

【解析】因为cos(网—8)=1，所以sin6=—1所以

244

cos(7〃+e)+cos(-e-2»)

cose[cos(i-cos(6+2])cos(8+»)+cos(-8)

-COS0cos。cos。cos。

------------------------------1--------------------------------------二-----------------------------------------------------------------------

cos0(-cos0-1)cos0(-cos0)+cos6cos6(cos8+1)cos6(cos8-1)

11-22；=32.

(cos3+1)(cos0-1)cos2^-1sin20

(-4)2

例4.已知cos。-。)=-^,则cos(^+a)-sin2(a-g=_.

■林aY2+A/3

【答案】------

3

冗nJnT

【解析】因为cos(——+6/)=cos»-(----a)=-cos(-----a)=-

666

2

.2/兀、•2_2

sin(a----)—sin-a)=l-cos2(^-cir)=1-

6-3

匚Ui、1Z5TT、.2/1、A/32_2+73

所以cos(-----oc)_sin\cc-----)——

66333

大招七搞定正切函数图像

正切函数丁=tanx

图J;J

像TTJTT

定义域[711

<xx^k7r+—,keZ>

值域R

性最小正周71

质期

对称性对称中心仔,0）（左eZ）

奇偶性奇函数

JTJT

单调性单调增区（--+^,—+^TT）eZ）

间

TT7T

例1.若将函数丁=1211(。％+生)(。＞0)的图像向右平移2个单位长度后，与函数

46

7T

y=tan(s+w)的图像重合，则0的最小值为().

A.-B.—C.-D.一

6432

【答案】D

TTTT

【解析】函数y=tan(s+—)(@＞0)的图像向右平移上个单位长度后的函数解析式

46

为

71.71.（D7t71、

y=tan（Oz\X----）H——tan（69%-------1—）

6464

依题意有卫=—"+工+Qr,左eZ.解得。=工+6左，左eZ

6642

又口＞0,所以0的最小值为工，故选D.

2

TT

例2.设定义在区间（0,万）上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为

尸，过点尸作

x轴的垂线，垂足为《，直线2片与函数y=sinx的图像交于点鸟，则线段《舄的长

为一.

2

【答案】-

3

y=6cosx,_22

【解析】由《,消y得6cosx=5tanx,解得sinx二一或sinx二--(舍).故

y=5sin%33

_2।I2

点P2的纵坐标为%=耳•所以|P1P2|=§.

例3.函数y=tanx+sinxTtan%-sinx|］在区间内的图像是（

【答案】D

■.sinx.sinx(l-cosx)

【解析】当tan%>smx时，y=2sin%，------smx二--------------->0,又

cosxcosx

3万

cosx<0,l-cosx>0,故sinxVO,xG71，------.当tanx<sinx时，y=2tanx,此

2

时sinx20,x£[1•，兀].故选D.

大招八已知三角函数图像求表达式

由已知条件确定函数y=Asin(cox+0)+Z?的解析式，需要确定A,0,/b

(1)由函数的最大值|A|+A,最小值为—|A|+＞可确定〃与A;

2%

(2)由函数的最小正周期为可以确定。；

(3)确定0:一般使用最高点或者最低点确定0的值，如果选用平衡点，一般会得到

两个符合条件的0值，还需要结合平衡点所在处的单调性再确定.

例1.已知下图是函数y=2sin(ox+。)网的图像的一段，则()

兀「r\兀nCn

(p=---C.(o=Z(p=—D.①=2,(p--------

666

I1jr(冗\27rTC

【解析】因为-丁=»，所以。=一=2.又因为--处于递增部分的平

12I12j7i12

7T

衡点，所以29=,故选C.

6

97r

【答案】

Io

(3万、5万2万4＜4

【解析】由图易知，T=22万一彳=”-,所以。=亍=二,所以y=5诂6》+。

下面来求0.由图可知，当x=2乃时，ymax=1,即sin1gx2万+。］=1.所以

7i1\TC97r

-----b0=2k»+—(k£Z),(p=-------+2k»(kwZ),因为一万《0〈乃，所以。=——.

521010.

例3.已知下图是函数丁=5皿(。%+。)［。＞0,0＜。＜5)的部分图像，则点P(①，⑼

的坐标为()

【答案】A

5兀712»,,

【解析】此函数的周期为T=2R=—,故折2

~6~^CD

又此图像过点即故丁=5皿［2乂答+9］=-1,故A正

确，本题也可以由图像与y轴的交点坐标大于;直接排除B选项，得到A正确.故选A.

例4.已知下图是函数y=sin(2x+°)(0W/＜»)的图像，则0=()

(jr1A27r〜兀〜37r

【解析】因为A［耳,eJ在递减段上，所以-2k»+—,2k»+——(keZ),所

22

一2万57171

以丁+。二二，即。二二

36o

大招九三角函数图像变换全攻略

人,0,夕对函数丁=八5皿的+0）的图像的影响

（1）。对丁=sin（x+0）的图像的影响

函数y=sin（x+0（0WO）的图像,可以看作是把y=sinx图像上的各点向左（。>0）

或者向右（0VO）平移Id个单位而得到的（可记作左加右减）既丁=5也%：|鬻篝平移

附个单位得丁=5血1伍+0）.

(2)。对y=sin(x+0）的图像的影响

函数y=sintyx（0>O,o»wl）的图像，可以看作是把y=sinx的图像上的各点的横

坐标缩短（。>1）或伸长（0<。（1）到原来的工倍（纵坐标不变）而得到的，既丁=5也。乂

CD

的横坐标长到原来的一倍得尸/①x.

（3）A（A>0）对y=Asin（twx+°）的图像的影响

函数F=Asinx（A>0且Aw1）的图像可看作是K=sin%的图像上的各点的纵坐标

伸长为原来的A（A>1）倍，或缩短到原来的A（O<A<1）（横坐标不变）而得到的，

A>/时伸长

既丫=sinx的纵坐标到原来的A倍得到y=Asinx

0<AV/时缩短

jr5jr

例1.下图是函数y=Asin（azr+0）,xeR在区间——上的图像.为了得到这

L66

个图像，只要将y=Asinx（xeR）的图像上的所有点（）

71再把所得点的横坐标缩短到原来的1倍,

A.向左平移了个单位长度，纵坐标不变

2

JT

B.向左平移§个单位长度，再把所得点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变

7T再把所得点的横坐标缩短到原来的1倍,

C.向左平移7个单位长度，纵坐标不变

62

7T

D.向左平移7个单位长度，再把所得点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变

6

【答案】A

71^571

27r36_7汽

【解析】由图像可知，A=l,——二R、解得①二2故y=sin（2x+0）.

0）212

(7TZ"]7冗TC

sin2x——+(p=-l,从而0+——=2k»+——(k£Z).故°=2k»+—(kwZ).此函数

V12J623

的解析式为y=sin12x+。],故选A.

例2.把函数y=cos2x+l的图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不

变），然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是（)

2

O\

【答案】A

【解析】y=cos2x+l横坐啜黑腰的2倍＞y=cosx+l向左平移1个单位长度>

y=cos（x+l）+l—问下平移i个单位长度＞y=cos（x+D,故选A.

jr

例3.为得到函数y=cos（x+§）的图像，只需将函数y=sinx的图像（）

7T7T

A.向左平移二个单位长度B.向右平移二个单位长度

66

57r

c.向左平移二个单位长度D.向右平移个单位长度

66

【答案】D

【解析】y=cos^x+yj=sin^x+y+^j=sin^x+^j,故将正弦函数的图像向

左平移个单位长度即可得到.故选C.

6

例4.为得到函数y=cos［gx+q］的图像，只需将函数y=singx的图像（）

A.向左平移二个单位长度B.向右平移丁个单位长度

33

c.向左平移▼个单位长度D.向右平移▼个单位长度

66

【答案】A

【解析】y=cjL+A=sin（L+-A=sin（L+至］=sin*+与只

•（23）（232）（26）2（3）

需将函数y=sin；x的图像向左平移3个单位长度即可得到函数y=cos（；x+g］的图

像，故选A.

大招十三角函数与二次函数复合

类型1形如y=sin2x+psinx+q(y=cos2x+pcosx+q)型的函数

解决此类为题可通过配方法，转化成关于正弦或余弦的二次函数的形式，注意变量的取

值范围.

例1.求y=sin2x+〃sinx+4得最大值和最小值(其中p,q为常数).

【解析】y=sir?x+，sinx+q=(sinx+^J+^+^>①若

-1<—<l.U-2<p<2,贝(Jsinx=--时有丁而口=—~—■最大值在sinx=l或

224

sinx=—1时取得，需比较，当一1<^40时，即—2<pV0,sinx=—1时取最大值，

Vmax=l—0+q；当04541时,即sinx=l时取最大值,Vmax=1+2+4・②

>2

若—当<-1，即p，则当sinx=-l时，X11ta=1—。+4，当Sinx=l时，

ymax=l+p+q-③若一3>1，即。<2,则当sinx=l时，Vmin=1+。+4；当sinx=T

时，Wax=1一。+4-如图甲、乙、丙所示•将

例2.(1)若关于x的方程cos2x-sinx+a=0在04内有实数解，则。的取值范

围为

(2)若函数y=(sinx-a)2+1在sinx=l时取最大值，在5足1=。时取得最小值，则

实数。的取值范围为一.

【答案】⑴(-1,1]⑵[-1,0]

【解析】⑴令1=5足》,因为,所以.

解法一：根据题意，a=-cos2x+sinx+<2=sin2x+sinx-1=rl1-

所以Q的取值范围为—1<Q<1.

解法二：原方程可化为『+"1=0,设/(t)=t2+-a—1,因为对称轴/=—；,f(t)

/⑺<0=-1-1<0

在(0』上单调递增，/(t)在(0』内有零点，则有<=^>-1<6Z<1.

J⑴l-a>Q

(2)由sinx=a知一iWaWl,又y=Q-a)2+1的最大值一定在端点处取到，而

—iWsinxWl故当且仅当(―1—ay+l<(l—。丫+1,所给函数在sinx=l处取到最大值,

解得aWO,综上可知，ae[—1,0]

例3.已知函数/(%)=sin2x+2cosx

⑴若/食)在区间T，a上的最大值为1,则。=_.

(2)若/(x)在区间T，a上的最小值为-；，则。的取值范围为一

【答案】⑴4⑵

【解析】/(x)=1-cos2x+2cos%=-(cosx-1)2+2令t-cosx,则

/«)=(——1)2+2在(—8,1]上单调递增；又当xe--,0时，/=cosx单调递增，且

t<l,故当xe--,0时，/(x)单调递增.

(1)当X=—万时，cosx=0此时/(x)=l;由函数/(幻在--,0上单调增知,

TT

。只能等于-丁.

2

2〃12乃1F2乃27r

⑵当x=—《-时，/(x)=-a；当》=曰-吐/(乃=一“当XC时，

cosxe一(，1，此时/'(x)N—[HcosxV—：时，/(幻的最小值将小于一^,不符合

2J424

题意.故a<-综上可知，———•

3133」

类型2形如y=psinxcosx+<y(sinx±cosx)型的函数

解决此类问题主要是利用公式(sinx±cosx)2=1±2sinxcosx进行换元.令

t=sinx±cosx,贝贝[_)仔=l±2sinxcosx,从而sinxcos九=±——.

JI_

例4.已知xe0,—,求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+l的最大值和最小值,

并求出此时x值.

【解析】令sinx+cosx=t,贝1J2sinxcosx=/一1,代入得

y=t+t2-l+l=t+t2=(t+—)2--,因为t=V^sinx(x+工],xe0,—,所以

24I4；L2j

x+[e四].于是当t=l时，^ymin=2,此时sinx(x+[j=¥，

解得x=0或£；当1=后时，有y1mx=2+夜，此时sinx[x+?]=l