2024-2025学年新教材高中数学第一章直线与圆2.4圆与圆的位置关系学案北师大版选择性必修第一册

PAGE2.4圆与圆的位置关系必备学问·自主学习导思1.如何通过两个圆的方程推断位置关系？2．从几何图形如何推断位置关系？1.若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，则两圆有以下位置关系：位置关系公共点个数圆心距与半径的关系图示两圆外离0d>r1+r2两圆内含d<|r1-r2|两圆相交2|r1-r2|<d<r1+r2两圆内切1d=|r1-r2|两圆外切d=r1+r22.本质：利用圆的方程，通过定量计算探讨圆与圆的位置关系．(1)当两圆外离、外切、相交、内切、内含时公切线的条数分别是多少？提示：公切线的条数分别是4，3，2，1，0.(2)当两圆相交、外切、内切时，连心线有什么性质？提示：当两圆相交时，连心线垂直平分公共弦；当两圆外切时，连心线垂直于过两圆公共点的公切线；当两圆内切时，连心线垂直于两圆的公切线．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”).(1)若两圆有唯一的公共点，则两圆外切．()(2)若两圆没有公切线，则两圆内含．()(3)若两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，当d<|r1－r2|时，两圆相交．()提示：(1)×.两圆也可能内切．(2)√.只有两圆内含时，两圆才没有公切线．(3)×.当d<|r1－r2|时，两圆内含．2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离【解析】选B.两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17).因为3－2<d<3＋2，所以两圆相交．3．(教材二次开发：例题改编)若圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则实数m＝()A．－24B．－16C．24D．16【解析】选D.C1(0，0)，r1＝2，C2(3，4)，r2＝eq\r(25－m)，由外切得eq\r(（0－3）2＋（0－4）2)＝2＋eq\r(25－m)，解得m＝16.关键实力·合作学习类型一两圆位置关系的判定(数学运算、直观想象)1．圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是()A．外离B．相交C．外切D．内切2．圆A：x2＋y2＝1与圆B：x2－4x＋y2－5＝0的公共点个数为()A．0B．3C．2D．13．圆C1：x2＋y2－2y＝0，C2：x2＋y2－2eq\r(3)x－6＝0的位置关系为()A．外切B．相交C．内切D．内含【解析】1.选B.O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2－4y＝0，故圆心坐标与半径分别为O1(1，0)，O2(0，2)，r1＝1，r2＝2，O1O2＝eq\r(5)，r2－r1＝1，1<eq\r(5)<3，所以两圆相交．2．选D.因为圆B：(x－2)2＋y2＝1，其圆心为B(2，0)，半径为1，圆A的圆心为A(0，0)，半径为1，所以圆心距为|AB|＝2，半径之和为1＋1＝2，所以两圆外切，只有一个公共点．3．选C.两圆的标准方程分别为x2＋(y－1)2＝1，(x－eq\r(3))2＋y2＝9.圆心分别为(0，1)，(eq\r(3)，0)，半径分别为1，3.圆心距eq\r(3＋1)＝3－1，所以两圆内切．几何法推断圆与圆的位置关系的步骤(1)将两圆的方程化为标准方程．(2)求两圆的圆心坐标和半径r1，r2.(3)求两圆的圆心距d.(4)比较d与|r1－r2|，r1＋r2的大小关系，从而推断两圆的位置关系．类型二有关相切的问题(数学运算、逻辑推理)【典例】1.若圆C1：＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0相切，则m等于()A．16B．7C．－4或16D．7或162．已知圆O1：x2＋y2－8eq\r(2)x－8eq\r(2)y＋48＝0，圆O2过点A(0，－4)，若圆O2与圆O1相切于点B(2eq\r(2)，2eq\r(2))，求圆O2的方程．【解析】1.选C.圆心分别为(1，0)，(4，－4).半径分别为1，eq\r(32－m).因为两圆相切，所以当外切时，eq\r(（1－4）2＋（0＋4）2)＝1＋eq\r(32－m)，解得m＝16；当内切时，eq\r(（1－4）2＋（0＋4）2)＝|1－eq\r(32－m)|，解得m＝－4.2．圆O1的方程变为＋＝16，所以圆心O1(4eq\r(2)，4eq\r(2))，因为圆O2与圆O1相切于点B(2eq\r(2)，2eq\r(2))，所以圆O2的圆心在直线y＝x上，不妨设为(a，a)，因为圆O2过点A(0，－4)，所以圆O2与圆O1外切，因为圆O2过B(2eq\r(2)，2eq\r(2))，所以a2＋(a＋4)2＝2(a－2eq\r(2))2，所以a＝0，所以圆O2的方程为x2＋y2＝16.解决两圆相切问题的两个步骤(1)定型，即必需精确把握是内切还是外切，若只是告知相切，则必需考虑分两圆内切还是外切两种状况探讨．(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的肯定值(内切时)或两圆半径之和(外切时).求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋eq\r(3)y＝0相切于点M(3，－eq\r(3))的圆的方程．【解析】圆C的方程化为标准式(x－1)2＋y2＝1，则圆心C(1，0)，半径为1，设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由题意可得解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝0，,r＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0，,b＝－4\r(3)，,r＝6，))所以所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36.【拓展延长】圆O1(x－a)2＋(y－b)2＝req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))，圆O2(x－c)2＋(y－d)2＝req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)).两圆相切时，两圆方程作差得过切点的公切线方程．【拓展训练】已知圆C1：x2＋y2＝9与圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝r2(r>0)相外切．若圆C2关于直线l：eq\f(ax,9)－eq\f(by,12)＝1对称，求由点(a，b)向圆C2所作的切线长的最小值．【解析】圆C1的圆心C1(0，0)，半径为3.圆C2的圆心C2(3，4)，半径r.eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(C1C2))＝eq\r(32＋42)＝5.因为两圆相外切，所以eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(C1C2))＝3＋r＝5，解得r＝2.因为圆C2关于直线l：eq\f(ax,9)－eq\f(by,12)＝1对称，所以eq\f(3a,9)－eq\f(4b,12)＝1，化为a＝b＋3.由点(a，b)向圆C2所作的切线长eq\r(（a－3）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－4))2－22)＝eq\r(2b2－8b＋12)＝eq\r(2（b－2）2＋4)，所以当b＝2时，切线长取得最小值2.类型三两圆相交问题(数学运算、直观想象)角度1与公共弦相关的问题

【典例】两圆x2＋y2＋4x－6y＋12＝0与x2＋y2－2x－14y＋15＝0公共弦所在直线的方程是()A．x－3y＋1＝0 B．6x＋2y－1＝0C．6x＋8y－3＝0D．3x－y＋5＝0【思路导引】把两圆方程作差可得公共弦所在直线方程．【解析】选C.两圆方程x2＋y2＋4x－6y＋12＝0与x2＋y2－2x－14y＋15＝0相减，可得公共弦所在直线方程为6x＋8y－3＝0.求【典例】中两圆相交所得公共弦的弦长．【解析】x2＋y2＋4x－6y＋12＝0化成标准方程得，(x＋2)2＋(y－3)2＝1，所以弦长为2＝2eq\r(1－\f(81,100))＝eq\f(\r(19),5).角度2圆与圆位置关系的应用

【典例】若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m∈R))相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线相互垂直，则线段AB的长度为________．【思路导引】切线垂直转化为过切点的两个半径垂直．【解析】如图所示，在Rt△OO1A中，OA＝eq\r(5)，O1A＝2eq\r(5)，所以OO1＝5，所以AC＝eq\f(\r(5)×2\r(5),5)＝2，所以AB＝4.答案：4公共弦长的求法(1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．(2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，依据勾股定理求解．1．圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0的公共弦所在的直线方程是x－y＋1＝0，则()A．E＝－4，F＝8 B．E＝4，F＝－8C．E＝－4，F＝－8 D．E＝4，F＝8【解析】选C.由圆x2＋y2－2x＋F＝0和圆x2＋y2＋2x＋Ey－4＝0作差，得－4x－Ey＋F＋4＝0.所以E＝－4，F＝－8.2．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为2eq\r(3)，则a＝()A．2B．1C．－1D．－2【解析】选B.由圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)，可得公共弦的方程为y＝eq\f(1,a)，又x2＋y2＝4的圆心坐标为(0，0)，半径为r＝2，由圆的弦长公式可得l＝2eq\r(r2－d2)＝2＝2eq\r(3)，解得a＝1.【补偿训练】若圆＋＝b2＋1始终平分＋＝4的周长，则a，b应满意的关系式为()A．a2－2a－2b－3＝0B．a2＋2a＋2b＋5＝0C．a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0D．3a2＋2b2＋2a＋2b＋1＝0【解析】选B.因为圆＋＝b2＋1始终平分＋＝4的周长．所以两圆交点的直线过＋＝4的圆心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－1))，两圆方程相减可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2a))x＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2b))y－a2－1＝0，将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－1))代入可得－2－2a－2－2b－a2－1＝0，即5＋2a＋2b＋a2＝0，所以B选项是正确的．备选类型圆系方程【典例】圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为()A．x2＋y2－x＋7y－32＝0B．x2＋y2－x＋7y－16＝0C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0【思路导引】方法一，联立两圆方程，求出交点坐标，再求圆的方程；方法二，利用圆系方程求解．【解析】选A.方法一：(几何法)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4＝0，,x2＋y2＋6y－28＝0，))得A(－1，3)，B(－6，－2)，线段AB的垂直平分线方程为x＋y＋3＝0.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－4＝0，,x＋y＋3＝0))得圆心坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(7,2))).半径＝eq\f(\r(178),2).所求圆的方程为＝eq\f(178,4)，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.方法二：(圆系方程)依据题意，要求圆经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点，设其方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6y－28))＝0，变形可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋λ))x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋λ))y2＋6x＋6λy－4－28λ＝0，其圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,1＋λ)，\f(－3λ,1＋λ)))，又由圆心在直线x－y－4＝0上，则有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,1＋λ)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－3λ,1＋λ)))－4＝0，解得λ＝－7；则圆的方程为x2＋y2＋6x－42y＋192＝0，即x2＋y2－x＋7y－32＝0，所以A选项是正确的．求经过两圆交点的圆方程已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则方程x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0.当λ＝－1时，表示公共弦所在直线方程；当λ≠－1时，表示过两圆交点的圆．过两圆x2＋y2－x－y－2＝0与x2＋y2＋4x－4y－8＝0的交点和点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，1))的圆的方程是________．【解析】依据题意，设所求圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－x－y－2))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋4x－4y－8))＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(λ≠－1))，要求圆经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，1))，则有4＋10λ＝0，解可得λ＝－eq\f(2,5)，则要求圆的方程为x2＋y2－eq\f(13,3)x＋y＋2＝0.答案：x2＋y2－eq\f(13,3)x＋y＋2＝0课堂检测·素养达标1．已知圆M的圆心M(2，0)，圆M与圆O：x2＋y2＝1外切，则圆M的方程为()A．(x－1)2＋y2＝1B．(x－2)2＋y2＝1C．x2＋(y－1)2＝1D．x2＋(y－2)2＝1【解析】选B.两圆圆心距2，圆M的半径为2－1＝1，所以圆M的方程为(x－2)2＋y2＝1.2．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是()A．内切B．外离C．外切D．相交【解析】选D.由题意可得两圆方程为x2＋y2＝1和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋1))2＝9.则两圆圆心分别为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，0))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，－1))；半径分别为r1＝1和r2＝3，则圆心距：d＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－0))2)＝eq\r(5)，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(r1－r2))<eq\r(5)<eq\b\lc\|\rc\|(