概率统计教案

第一章随机事件与概率

第一节随机事件

教学目的：了解概率的主要任务及其研究对象；掌握随机试验、随机事件等基本概念;

掌握随机事件间的关系与运算，了解其运算规律。

教学重点：随机试验，随机事件，事件间的关系与运算。

教学难点：事件（关系、运算）与集合的对应，用运算表示复杂事件。

教学内容：

1、随机现象与概率统计的研究对象

随机现象：在一定的条件下，出现不确定结果的现象。

研究现象：概率论与数理统计研究随机现象的统计规律性。

2、随机试验（E）

对随机现象的观察。特点①试验可在相同条件下重复;②试验的所有可能结果不只一个,

但事先已知；③每次试验出现一个且出现一个，哪个出现事先不知。

3、基本事件与样本空间

（1）基本事件：E中的结果（能直接观察到，不可再分），也称为样本点，用0表示。

（2）样本空间：E中所有基本事件的集合称为这个随机试验E的样本空间，用Q表

zj\O

4、随机事件

（1）随机事件：随机试验中可能发生也可能不发生的时间。用A、B、C等表示。

（2）随机事件的集合表示

（3）随机事件的图形表示

必然事件（Q）和不可能事件（E）

5、事件间的关系与运算

（1）包含（子事件）与相等

（2）和事件（加法运算）

（2）积事件（乘法运算）

（3）互斥关系

（4）对立关系（逆事件）

（5）差事件（减法运算）

6、事件间的运算规律

（1）交换律；（2）结合律；（3）分配律；（4）对偶律

教学时数：2学时

作业：习题一1、2

第二节概率的定义

教学目的：掌握概率的古典定义，几何定义，统计定义及这三种概率的计算方法；了解

概率的基本性质。

教学难点：古典概率的计算，频率性质与统计概率。

教学内容：

1、概率

用于表示事件A发生可能性大小的数称为事件A的概率，用P(A)表示。

2、古典型试验与古典概率

(1)古典型试验：特点①基本事件只有有限个；②所有基本事件的发生是等可能的。

(2)古典概率，在古典型试验中规定

A中含的基本事件数=k

)一Q中基本事件总数F

3、几何型试验与几何概率

(1)几何型试验

向区域G内投点，点落在G内每一点处是等可能的，落在子区域G］内(称事件A发生)

的概率与G］的度量成正比，而与G］的位置和形状无关。

(2)几何概率。在几何型试验中规律定

G1的度量

P(A)=

G的度量

4、频率与统计概率

(1)事件的概率

r

设在n次重复试验中，事件A发生了r次，则称比值一为在这n次试验中事件A发生

n

的频率，记为/(A)=£

n

(2)频率的性质

①0W力(A)W1；②力(Q)=l；③力(①)=0；

④45=①时，fn(A+B)^fn(A)+fn(B)；

⑤随机性：厂的出现是不确定的；⑥稳定性：£,(A)--8)

(3)统计概率，规定

P(A)=P

(4)统计概率的计算

p(A)®—(n很大)

n

5、概率的基本性质

从以上三种定义的概率中可归纳得到：

(1)O<P(A)<1;

(2)P(Q)=1

(3)P0)=O

(4)若AB=。，则p(A+3)=P(A)+P(3)

教学时数：2学时

作业：习题一4、7、8、11

第三节概率的公理化体系

教学目的：掌握概率的公理化定义及概率的性质；会用概率的基本公式求概率。

教学重点：概率的公理化定义；概率基本公式。

教学难点：用概率基本公式计算概率。

教学内容：

1、概率的公理化定义

(1)为什么要用公理定义概率

①数学特点；②深入研究的需要；③是第二节中三种特殊形式的扩展。

(2)定义

设A为随机试验E中的任何事件，如果函数P(A)满足

公理一(范围)O<P(A)<1；

公理二(正则性)2(。)=1；

公理三(可列可加性)。若可列个事件4,42，4…A,…两个互斥，则

0000

P(ZA,)=ZP(4)

n=ln=l

则称P(A)为事件A的概率。

2、概率的性质

从公理出发，可以严格证明

性质1：P(*=0

性质2：若事件A，4,A3…A”…两两互斥，则〃(之4)=丑

n=\n=\

性质3：对任何事件A,P(A)=1-P(A)

性质4：若Au8,则P(A-B)=P(B)-P(A)

性质4'P(BA)=P(B-A)=P(B)-P(AB)

注:①P(AB)=P(A-B)=P(A)-P(AB)

②A^BP(A)<P(B)

性质5P(A+B)=p(A)+P(B)-P(AB)

注：性质5对任意有限个事件情况可以扩展

教学时数：2学时

作业：习题一15、16

第四节条件概率，乘法定理、全概率公式与贝叶斯公式

教学目的：理解条件概率的定义和概率的乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式。使学生

掌握条件概率和概率的乘法公式，全概率公式和贝叶斯公式的应用。

教学重点：条件概率、乘法定理、全概率公式和贝叶斯公式。

教学难点：条件概率的确定，用全概率公式和贝叶斯公式计算概率。

教学内容：

1、条件概率

(1)实际问题中要确定在某事件已发生时，另一事件的概率，看书020例，在具体问题

求条件概率。

(2)定义：若P(B)>0,称

P(A|B)=P(AB)

P(B)

为在事件B发生的条件下事件A的条件概率。

2、概率的乘法公式

(1)P{AB)=P{B}P{^B)

=P(A).P(@A)

⑵P(ABC)=P(A)P(@A)P(CAB)

⑶P(A4…4)=P(AM(4|A)P(A3AA2)……AJ

3、概率的全概率公式与贝叶斯公式

⑴看书023。例3分析和解决看两公式的实际背景。

(2)定理I设事件A,4，4…4两两互斥，且P(A)〉oa=1,2,•••«),对于任何

事件B,若之AjnB,则有P(3)=£P(A)P(@A)(全概率公式)

i=li=\

(3)定理2,定理1中的事件中，又P(B)>0,则有

尸(4)一(冏4)

P(AmIB)=n(m=l,2,X贝叶斯公式)

其尸(A)夕(网A)

i=l

教学时数：2学时

作业：习题一12、14、17、18

第五节独立试验概型

教学目的:掌握独立性的概念。会判断数乘的独立性并进行概率计算;掌握贝努里概型，

会用二项概率公式计算概率。

教学重点：事件独立性的概念，具有独立性的事件但相应的概率计算，贝努里概型与贝

努里概型意义的正确理解。

教学内容：

1、两事件的独立性

定义1对任意两事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B)则称事件A、B相互独立。

2、两事件独立的性质

若事件A与B独立，则事件A与方，福B,X与五都相互独立。

3、三事件的独立性

定义2设有事件A、B、C,若有P(AB)=P(A)P(B)、P(AQ=P(A)P(C)、P(BC)=P(B)P(C),

则称事件A,B,C,两两相互独立；又，若P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件A,B,C相互

独立。

4、n个事件的独立性

定义3、设有事件4…4，若P(&)M&A一夕(4」其中(，；，马，…，。为Q2,

…“)中任意s个不同的数。(s=2,3,,〃)则事件4/2,4…A,相互独立。

5、独立情况的概率公式

定理1.设事件A，A2，A3…4相互独立，则

⑴p(£a)=£p(a)

i=lz=l

(2)P(£d)=l—(&

力=1i=l

定理2、若事件A,B,C独立，则A+B、AB.A—5分别与C独立。

6、贝努里概型

(1)贝努里试验：只有两个结果(人和入)的试验。

P(A)=p,P(A)=q,0<P<1,p+q=1

(2)“重贝努里试验：把同一个贝努里试验独立地重复“次。也称贝努里概型。

7.二项概率公式

在“重贝努里试验中，时间A恰好发生女次的概率为

Pn(k)=C：pkq『k,k=0』,2,,n

教学时数：2学时

作业：习题一19、23、26、27、28

第二章随机变量及其分布

第一节随机变量与分布函数

教学目的：掌握随机变量的概念，并利用其表示随机事件，掌握随机变量的分布函数的

概念和性质。

教学重点：随机变量的概念；随机变量分布函数的定义及其性质。

教学难点：对随机变量及其分布函数的正确理解。

教学内容：

1.随机变量的概念

(1)引入随机变量的目的

深入研究随机试验；求概率；整体描述随机试验。

(2)定义

定义1、设随机试验的样本空间为Q,若VoeO,有一个实数其⑼与之对应，则其⑼

称为随机变量，并简记为

2.事件的表示

(1)对J的取值加上<、>、=、/形式的限制条件。

(2)S为一个数集。{]eS}

3.概率分布

(1)随机变量&取得概率的点及其数量的分布情况。

(2)可用J的概率分布确定J表示的事件的概率

(3)两个大的类型：

离散型随机变量与连续型随机变量

4.分布函数

(1)定义2、设有随机变量对于任何实数无，称概率为随机变量&的分

布函数。记为/(无)=<X)(TO<X<+8)

(2)分布函数的几何意义

落在数轴X点左侧(含X点)处概率的数量。

(3)Va<b,P(a<^<b)=F(b)-F(a)

5.分布函数的性质

(1)0<F(x)<l

⑵F(-oo)=0,=l

(3)/(x)是单调不减函数，Va<b则尸(a)〈尸3)

(4)/(x)是右连续函数，即V%/(尤+0)=下(无)

教学时数：2学时

作业：习题二5

第二节离散型随机变量及其概率分布

教学目的：掌握离散型随机变量的概念及其概率分布的几种表示方法；掌握四种常见的

离散性分布。

教学重点：离散型随机变量的概率分布；0-1分布、二项分布、泊松分布、超几何分布

四种常见分布。

教学难点：正确理解概率分布；四种常见分布与所描述试验的对立性。

教学内容：

1.离散型随机变量

如果随机变量&的所有可能取值只有有限个或可列个，则称4为一个离散型随机变量。

2.概率分布

J取值：x1,x2,

(1)图形表示

(2)公式表示

p(a，i=12

(3)表格表示

3.概率分布的基本性质

(1)>0,i-1,2,

00

⑵±Pi=1

i=l

4.确定概率

P(2)=£p,

Xj<S

5.求分布函数

F(x)=£pj(阶梯型函数)

6.常见的离散型分布

(1)0—1分布

(2)二项分布

(3)泊松分布

(3)超几何分布

教学时数：2学时

作业：习题二3、6、7、9

第三节连续型随机变量及其概率密度函数

教学目的：掌握连续型随机变量及其概率密度函数的定义；会求概率；掌握均匀分布和

指数分布。

教学重点：连续型随机变量；概率密度函数；均匀分布和指数分布。

教学难点：正确理解概率密度函数

教学内容：

1.连续型随机变量及其概率密度的定义

(1)说明当随机变量取值充满某区间时，象离散型情况那样给出概率分布的不可行

性。

(2)连续取值随机变量的概率(线)密度

一、P(x<^<x+Ax)F(x+Ax)-F(x)

f(x)=lrim------------------------=lim-------------------------=F(x)

—>+AxAr-0+Ax

(在分布函数F\x)的可微点处)

(3)定义

设随机变量&的所有可能取值充满某个区间，如果存在一个非负函数/(%),使得&的

分布函数尸(x)=P(JVx)=「°0/⑺力(一8<%<+8)则称4为一个连续型随机变量。

/(X)称为J的概率密度函数(或分布密度函数)

2.f(x)的性质

(1)/(%)相当于离散型概率分布中的P-

(2)基本性质

①/(x)>0；②:f(x)dx=1

J-00

(3)\/a<b,P(a<b)=ff{x}dx

Ja

(4)几何意义

(5)Wa,P(J=a)=0,从而

P(a<《<》)=P(a<<^<l>)=P(a<^<b)=P(a<<^<Z?)=j于(x)dx

(6)f(x)=F'(x)(在/(x)的连续点处)

(7)/(x)是连续函数。

3.两个常见的连续函型分布

(1)均匀分布(2)指数分布

教学时数：2学时

作业：习题二11、14、15、16

第四节正态分布

教学目的：正态分布是概率统计中最重要的分布，掌握正态分布的定义、特点，标准

正态分布，正态分布中的概率计算。

教学难点：正态分布的定义、特点、标准正态分布，概率计算(查表)

教学难点：对正态分布的正确理解

教学内容：

1.正态分布

[(工-〃)2

(1)定义：如果随机变量&的概率密度为/(%)=方£(-«)<%<+«)),

其中〃，b>o为常数，则称4服从于参数为〃和的正态分布，记为&~N(〃02)

(2)实际问题中正态分布非常广泛和常见。

2

内_t_______内

(3)[e2dt=yfl/i,由此可证明[f(x)dx=1

J—00J—00

(4)正态分布的分布函数

2.正态分布的概率密度曲线

3.标准正态分布

(1)〃=0,cr=l时的正态分布，记为N(0,l)

(2)分布函数

(3)①(x)的性质

①尸(%)=0>[三耳；②①(―x)=l—①(x)

4.概率计算(查表)

当x»0时，①(x)可查表求得函数值。

(1)J~N(O,1)

①尸(4<。)=①S)；②尸(a<&</?)=①(①―①3)；③

P(冏<c)=2①(c)—1(c>0)

（2）p（a<4《刀=①（^Z£）—①（£Z£）

<7<7

教学时数：1学时

作业：习题二12、18

第五节随机变量函数的分布

教学目的：掌握求离散型和连续型随机变量函数的概率分布的方法；掌握正态分布的

两个重要性质。

教学重点：离散型随机变量函数的分布；连续型随机变量函数的分布；正态分布的两

个重要性质。

教学难点：连续型随机变量函数的分布

教学内容：

1.离散型随机变量函数的分布

(1)举例1(P62)。说明基本方法，总结归纳一般方法。

(2)J的分布为PC=x,)=p"=l,2,；，3贝1JG=g4)的分

布为P(G=%)=£P,J=1,2,

g(%■)=%

2.连续型随机变量函数的分布

设J的概率密度为了(幻，求［=8修)的概率密度

(1)分布函数法

①4(y)=P(G<y)=P(gC)Vy)=\f(x)dx

8(x)<y

②工(y)=a'(y)，(连续点处)

(2)单调变换法

当y=g(x)单调、连续、可导时，其反函数x=/z(_y)存在且单调、连续、可导，则

3.两个重要结论

(1)J~N(〃Q2),则IZ£~N(0,1),一般地

a

若+b〜N{a1u+b,a1(awO)

(2)D，/⑴

教学时数：1学时

作业：习题二、1,13

第三章多维随机变量

第一节多维随机变量及其分布函数

教学目的：掌握多维随机变量的概念，掌握二维随机变量的分布函数及其性质。

教学重点：多维随机变量的定义，二维随机变量的分布函数及其性质。

教学难点：正确理解多维随机变量及其分布函数。

教学内容：

1.多维随机变量的定义

定义1、如果。，2，©，是定义在样本空间Q上的几个随机变量，则这几个随机变量

的整体(5,2，,£)称为九维随机变量，也称为“元随机变量或几元随机向量。

〃=2时，二维随机变量记为C，〃)

2.事件表示

二维数集S2UR2,事件表示为{C，〃)eS2}

3.二维随机变量的分布函数

定义2、设有二维随机变量C，〃)，对于任何实数x和y,称概率「(《〈元〃〈月为

的(联合)分布函数，记为尸(％,y)=尸(4<%,7/<y)<%,y<-HX>)

4.二维随机变量分布函数的性质

(1)0<F(x,y)<l

(2)F(^o,y)=0,F(x,-<o)=0,F(^»,-<O)=0,F(-H»,-HX>)=1,

(3)歹(x,y)关于变量x和y分别为不减函数。

(4)歹(x,y)关于变量x和y分别为右连续函数。

(5)V%1<x2,\/yl<y2,有尸(々，当)一/(石，％)一/(々，%)+尸(的，。

教学时数：2学时

作业：

第二节离散型二维随机变量

教学目的：掌握离散型二维随机变量及其联合分布、边缘分布和条件分布，会求这三

种分布。

教学重点：离散型二维随机变量及其联合概率分布，边缘分布，条件分布，概率计算

问题。

教学难点：正确理解联合分布，边缘分布，条件分布。

教学内容：

1.离散型二维随机变量

对于二维随机变量c，〃），如果分量4和77都是离散型随机变量，则称c，〃）为离散

型二维随机变量。

2.联合分布

J取值：x1,x2,,天，

〃取值：X，%，，为，

PC=x,,〃=X）=p"i,j=1,2,称为©7）的联合概率分布。

注：也可以列成表格形式

3.边缘分布

&〃）中两个分量4和〃的分布称为0,7）的边缘分布，可由联合分布来确定。

8A

（1）尸q=%）=£Pg—Pi』=1,2,

j=i

8A

（2）P（〃=yi）=£Pij=pj,j=12

i=l

注：可以在表格形式的联合分布上行列分别相加得到。

4.条件分布

（1）7=/固定时，J的条件分布为：

P©=Xj\r/=y）=,i=1,2,0=1,2,）

'Pj

（2）4=可.固定时，〃的条件分布为：

尸（〃=4匕=改）="/=1,2,0=1,2,）

Pi

注：条件分布可在表格上利用某一行(或列)上计算得到。

教学时数：2学时

作业：习题三2、3

第三节连续型二维随机变量

教学目的：掌握连续型二维随机变量的联合分布、边缘分布和条件分布；掌握二维均

匀分布和二维正态分布。

教学重点：连续型二维随机变量的概念与联合分布、边缘分布、条件分布；二维均匀

分布和二维正态分布。

教学难点：正确理解三种分布；求分布和概率时所涉及的积分计算。

教学内容：

1.定义与联合分布

(1)定义1、对于二维随机变量C，1),如果存在非负函数/(x,y),使得C，〃)的

分布函数尸(羽丁)=。(自三羽〃三丁)=「「/(5,/)为力，则称C，〃)为连续型二维随机变

J—00J—00

量，其中/(x,y)称为的联合概率分布函数。

(2)f(x,y)为0,7)在(x,y)点处分布概率的面密度。

/(x,y)=iimP(x<"x+Ax，y<、y+4y)

..露留心闲

2./(x,y)的性质

(1)对比性

①与一维情况对比，/(苍丁)相当于/(幻；

②与离散情况对比，/(苍丁)相当于办

(2)基本性质

f+oop+oo

①于(x,y)20,②[ff(x,y)dxdy=1

J—00J—co

(3)设D为任何平面区域，则P[咯〃)€£>]=JJ/(%/)“

D

(4)“fF)=/(x,y),(在/(x,y)的连续点处)

dxoy

3.边缘分布

连续型二维(,〃)的边缘分布为连续性的。可由其联合密度/(x,y)确定。

(1)关于4的边缘分布密度/(x)=「"/(X,y)dy

J—00

(2)关于〃的边缘分布密度力(y)=Pf+00f(x,y)dx

J-00

4.条件分布

(1)当〃=丁固定时，&的条件密度为人(x|y)=今需

(1)当&=X固定时，〃的条件密度为力(y|》)=号詈

5.二维均匀分布

设G为一个有界平面区域，若C，〃)的概率密度为

-----,(x,y)&G

/(x,y)=S(G)

、0，其他

则称C，〃)服从G上的均匀分布。

注：二维均匀分布描述平面区域上的几何型试验。

6.二维正态分布

如果c，〃)的概率密度为：

〃、11r(x-〃l)C(x——〃2),(丁—〃2)一

/(X,y)=--------r=^exp-—~~J-[A~~L-2P--------------+-~~d

2g皿也-p-[2(1一夕)b]/%

其中〃1，〃2，1〉o,%〉0,|。|<1是常数，则称c，〃)服从二维正态分布，记作:

c，〃）~N（〃1,〃2;cr：,crf；p）

注：二维正态分布是常见的重要二维分布，其边缘分布和条件分布都是正态分布。

教学时数：2学时

作业：习题三、4、5

第四节随机变量的独立性

教学目的：掌握随机变量独立性的意义、定义，判断独立性的充分必要条件，会用意

义和充分必要条件判断随机变量的独立性。

教学重点：随机变量独立性的定义，判断独立性的充分必要条件。

教学难点：正确理解由独立性意义所给出的独立性定义。

教学内容：

1.随机变量独立性的概念

(1)定义1对于二维随机变量C，〃)，设S］和$2为任何两数集，若

P/eSwe凡)=P(Je$)P(〃eS2)

则称J与〃相互独立。

(2)意义

自与〃相互独立的意义是自与〃的取值情况互不影响，可由此直接判断J与〃的独立

性。

(3)自与〃相互独立。尸(x,y)=整(到4(丁),(-co<x,y<+oo)

2.离散型情况

C，〃)的联合分布为尸(J=X"〃=X)=Pij,i,j=1,2,,

贝母与〃独立=Pg=PiJ=L2，

3.连续型情况

的联合概率密度为/(x,y),

则J与〃独立O/(x,y)=/；(x)力(y),(-co<x,y<+co)

4.推广

(1)以上二维随机变量中自与〃独立性的三个充分必要条件都可以推广到“维

随机变量(。，2，，&)中分量，,独立性的情况。

(2)，,相互独立的意义是4，，”的取值情况互相无任何影响，也可由

此判断其独立性。

教学时数：2学时

作业：习题三9、11

3.4两个随机变量的函数及其分布

教学目的：掌握离散型二维随机变量的函数的分布律，求连续型二维随机变量的函数

的概率分布的一般方法。掌握和的分布、商的分布的求法。

教学重点：求离散型、连续型二维随机变量函数的概率分布的一般方法，和的分布，

商的分布。

教学难点：连续型二维随机变量函数的分布。

教学时数：2学时

教学内容：

一、离散型二维随机变量的函数的分布律

联合分布为：

P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2,

z=g(x,y)是连续函数，随机变量Z=g(X,y)的分布律为

P(z=zJ=ZP/j,k=1,2,

g(%力)=Z^

二、连续型二维随机变量的函数的概率分布

(x,y)的联合密度函数为了(x,y),z=g(x,y)

(1)先求z的分布函数

Fz(z)=/(x,y)dxdy

g(x,y)<z

(2)人(z)=娉(z)(在/^z)的连续点处)

三、几个常用函数的概率分布

1.z=x+y的概率分布

/z(z)=[p+oof(x,z-x)dx=\p+oof(z-y,y)dy

J-CDJ-00

X与y相互独立时,有/z(z)=J;/(x)力,(z—x)dx=J：fx(z-Y)fy(Y)dy

2.z=x2+y2的概率分布

—ff（Vzcos0,VzsinO'）AO,z>0

1yz（z）=,2）。

0,z<0

一，工一、一c—[于x(5cos6)于Y(正sinz>0

X与y相互独立时，有/z(z)=12J。x'"八

0,z<0

3.Z=X/F的概率分布

/z(z)=「8/(zy,y)|y@

J—00

1•4-00

x与y相互独立时，有1/z(z)=]fx(zy)fY(y)\y\dy

J-00

作业：P93习题三20、28、30

第四章随机变量的数字特征

4.1随机变量的数学期望

教学目的：掌握数学期望的概念，随机变量函数的数学期望，数学期望的性质，掌握

常见分布的数学期望。

教学重点：随机变量及其函数的数学期望的计算。

教学难点：各种概念的正确理解。

教学时数：2学时

教学内容：

一、离散型随机变量的数学期望

定义4.1设离散型随机变量J的概率函数为尸(自=七)=0,，=1,2,…，若级数

800

EXR绝对收敛，则定义&的数学期望为EJ=£xiPi

i=lz=l

二、连续型随机变量的数学期望

r+oo

定义4.2设连续型随机变量J的概率密度函数为/(%),若积分fW(x)办绝对收

J—00

敛，则定义J的数学期望为

J—00

2.讲解常见随机变量的数学期望

1)0-1分布

2)泊松分布

3)二项分布

4)均匀分布

5)指数分布

6)正态分布

3.讲解随机变量函数的数学期望及例题

(1)定理1：设〃=g(J),g(x)是连续函数

①当4是离散型随机变量，概率分布为pe=x,)=p,，=i,2,…，，且

0000

WJg(项M收敛，则有=Eg记)=Eg(x.Pi

i=li=l

②当自是连续型随机变量，概率密度函数为/(X),且(刈/(幻心;收敛，则有

r+co

E〃=Eg©=]g{x}f{x}dx

J—00

(2)定理2：设^二冢；〃)，g(%y)是连续函数

①当(J,77)是二维离散型随机变量，概率分布为尸«=天0=力)=口『

00000000

"=1,2,…，且22年(孙匕加收敛时，则有EG=EgC，〃)=XXg(x，〕X)Pi/

i=lj=lz=lj=l

②当(J,〃)是二维连续型随机变量，概率密度函数为/(x,y),且

f|g(九,y)|/(x,y)办办收敛时,则有EG=E?C，〃)=ffg(x,y)f(x,y)dxdy

11

—00J—CDJ—COJ—00

4.讲解数学期望的性质

(1)EC=C,C为常数

(2)E(C&)=CE&,C为常数

(3)%+〃)=唐+助

(4)若自与〃相互独立，则成功)=布•

作业：习题四1、6、7

第五节多维随机变量函数的分布

教学目的：掌握离散型二维随机变量函数的分布，求连续型二维随即变量函数的一般

方法。和的分布，商的分布，掌握数理统计中的几个常见分布。

教学重点：求离散型、连续型二维随机变量函数分布的一般方法，和的分布，商的分

布，随机变量函数的独立性。四个统计常用分布。

教学难点：连续型二维随机变量函数的分布。

教学内容：

1.离散型二维随机变量函数的分布

联合分布为：

PC=xi,i7=yj)=Pij,i,j=1,2,

G=gC，〃)的分布为

=zQ=EPi「k=12

gtXi，yj)=zk

2.连续型二维随机变量函数的分布

c，n)的概率密度为于(X,y),G=g©7)

(1)先求G的分布函数

F人z)=JJ/(%,y)dxdy

g(x,y)<z

(2)于4z)=F；(z)(在4(z)的可微点)

3.和的分布

p+oop+oo

fg+n(z)=1/(x，z-x)dx=［于(z-y,y)dy

4.商的分布

分7(z)=J：/(0,y)ly@

5.随机变量函数的独立性

设有4+%++%个随机变量几当；晶，&品，，加相互独

立，①是“元连续函数，令5=叱(。1，，品)"=1,2,,k,则q,〃2，，队相互独

立。

6.数理统计中的几个常用分布

(1)正态随机变量函数的分布

(2)/分布

(3)♦分布

(4)F分布

注：以上分布主要记住其性质，概率密度曲线。

教学时数：2学时

作业：习题三14、7、16、18

第四章随机变量的数字特征

第一节数学期望

教学目的：掌握数学期望的概念，随机变量函数的数学期望，数学期望的性质，同时

掌握常见随机变量分布的数学期望。

教学重点：随机变量及其函数的数学期望的计算。

教学难点：各种概念的正确理解。

教学内容：

1.讲解随机变量的数学期望

1)定义1：设离散型随机变量&的概率函数为==i=l,2,…，若级数

008

AR绝对收敛，则定义J的数学期望为=*Pi

Z=1

(•+00

2)定义2：设连续型随机变量J的概率密度函数为/(x),若积分f比绝对

J—00

收敛，则定义&的数学期望为f2+00xf(x)dx

J—00

2.讲解常见随机变量分布的数学期望

1)0-1分布

2)泊松分布

3)二项分布

4)均匀分布

5)指数分布

6)正态分布

3.讲解随机变量函数的数学期望及例题

(1)定理1：设〃=g(J),g(x)是连续函数

①当自是离散型随机变量，概率分布为pe=xj