2024-2025学年北京市东城区某中学九年级（上）开学数学试卷

2024-2025学年北京市东城区东直门中学九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（每题3分，共30分）

1.（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

2.（3分）已知关于x的一元二次方程，+3x-加=0的一个根是x=l,则机的值为（）

A.2B.4C.-4D.-2

3.（3分）方程/+i=3x二次项系数，一次项系数和常数项分别是（）

A.1,-3,1B.-1,-3,1C.1,3,-1D.1,3,1

4.（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，得到

抛物线（）

A.y—（x-2）2+1B.y—（x-2）2-1

C.y=（x+2）2+lD.y=（x+2）2-1

5.（3分）用配方法解方程f-6x+l=0,方程应变形为（）

A.（x-3）2=8B.（x-3）2=10C.（x-6）2=10D.（x-6）2=8

6.（3分）关于x的一元二次方程，+如「8=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.不能判断

7.（3分）如图是一条抛物线的图象，则其解析式为（）

A.y—x2-2x+3B.y—x2-2x-3C.y—x2+2x+3D.y—x2+2x-3

8.（3分）已知点（7,/）、（-3,”）都在函数y=/的图象上，则（）

第1页（共21页）

A.J^I<J/2<0B.j^2<_yi<0C.0<y2<yiD.0<_yi<y2

9.（3分）如图，平面直角坐标系中，点2在第一象限，NAOB=/B=30°,04=2.将△/O3绕点。

逆时针旋转90°（）

A.（-V3,3）B.（-3,V3）C.（-V3,2a）D.（-1,2相）

10.（3分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，

运动员起跳后的竖直高度歹（单位：m）（单位：m）近似满足函数关系y=Qx2+fcr+c（Q#0）.如图记录

了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，水平距离为（）

A.10mB.15mC.20mD.22.5m

二、填空题（每题2分，共16分）

11.（2分）在平面直角坐标系中，点（2,-3）关于原点的对称点坐标为.

12.（2分）已知y=（加+2）x^+2是关于x的二次函数，那么小的值为.

13.（2分）二次函数-4x-1的最小值是.

14.（2分）如图，在△/BC中，/BAC=35°,得到C,贝！］/夕ZC的度数是

15.（2分）写出一个开口向下，顶点为（1,2）的二次函数

第2页（共21页）

16.（2分）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，设

该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x,根据题意.

17.（2分）已知抛物线y=ax2+bx+c（aWO）中的x与y满足下表：

X.・•-2-1012.・・

y.・・-8-20-2-8・・・

则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③图象的对称轴是〉轴（-3,-18）.其中正确的

是.

18.（2分）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动.已知某木艺艺术品加工完成共需4,B,C,

D,E,F,G七道工序，加工要求如下：

①工序C,。须在工序/完成后进行，工序E须在工序3,工序下须在工序C,。都完成后进行；

②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；

③各道工序所需时间如下表所示：

工序ABCDEFG

所需时间/99797104

分钟

在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要分钟；若

由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要分钟.

三、解答题（19题8分，20题12分，21-23题5分，24-25题6分，26题7分）

19.（8分）解一元二次方程x2-4x-12=0.

20.（12分）已知二次函数y=七2-4x+5.

（1）用配方法求函数的顶点坐标；

（2）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象.

X......-5-4-201......

y......059......

（3）根据图象回答下列问题：

①当x时，y随x的增大而减小；

②当x时，函数>有最______值，是

③当y>0时，x的取值范围是；

④当-5<x<0时，y的取值范围是.

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yA

।—।—।—।——।—।——।—19-

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i----1__i---1--i----1--i---iG-

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1-1——।--------1--1----1--1---\j-

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IIIIIIIK

I---1—।-----1—।---1—।----ir-

21.(5分)在平面直角坐标系xQy中，△NBC的三个顶点的坐标分别为N(-2,5),8(-3,0),C(1,

2).将△/2C绕原点。顺时针旋转90°得到△/'B'C,B,C的对应点分别为,B'

(1)画出旋转后的△，'B'C；

(2)直接写出点C的坐标；

22.(5分)如图，把一块长为40c机，宽为30c加的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，并用胶带粘

好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600c混，求剪去小正方形的边长.

23.(5分)关于x的方程/-2x+2m-1=0有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根.

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24.（6分）已知乒乓球桌的长度为274cm,某人从球桌边缘正上方高18c正处将乒乓球向正前方抛向对面

桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分.

（1）建立如图2所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高

度y（单位：cm）（单位：cm）近似满足函数关系y=a（x-hi）2+k（a<0）.

八y/cm

60

40

20

O20406080100120140160180200220240260280a7cm

图1图2

乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表所示.根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最

大值，并求出满足的函数关系式;

水平距离04080120160

x/cm

竖直高度1842504218

ylem

（2）乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y=-0.005（x-

人2）2+8.判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由.

25.（6分）在平面直角坐标系xQy中，存在抛物线y=»ix2+2以及两点/（-3,，力）和3（1,机）.

（1）求该抛物线的顶点坐标；

（2）若该抛物线经过点/（-3,m）,求此抛物线的表达式；

（3）若该抛物线与线段只有一个公共点，结合图象，求机的取值范围.

J'A

5-

4-

3-

2-

1-

5

-4-3-2一12345x

一

-2-

-S-

-4-

-5

26.（7分）如图1,在正方形/BCD中，点£是边CD上一点，过点/作4E的垂线交C3延长线于点凡

连接EF.

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图1图2

（1）计算的度数;

（2）如图2,过点/作NG_LEF,垂足为G,并证明.

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2024-2025学年北京市东城区东直门中学九年级（上）开学数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题3分，共30分）

1.（3分）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

B.既是轴对称图形，故此选项符合题意；

C.不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D.是中心对称图形，故此选项不合题意；

故选：B.

2.（3分）已知关于x的一元二次方程/+3x-加=0的一个根是x=l,则比的值为（）

A.2B.4C.-4D.-2

【解答】解：把x=l代入方程f+6x-加=0得1+7-〃?=0,

解得m—4,

即m的值为4.

故选：B.

3.（3分）方程/+l=3x二次项系数，一次项系数和常数项分别是（）

A.1,-3,1B.-1,-3,1C.1,3,-1D.1,3,1

【解答】解：把原方程化为一般式为f-3x+7=0,

...原方程的二次项系数为1,一次项系数为-3,

故选：A.

4.（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2向右平移2个单位长度，向上平移1个单位长度，得到

抛物线（）

A.尸（x-2）2+1B.（x-2）2-1

C.y—（x+2）2+1D.y—（x+2）2-1

2

【解答】解：抛物线y=x2向右平移2个单位长度，得：y=（x-5）;

再向上平移1个单位长度，得：y=（x-6）2+l.

故选：A.

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5.（3分）用配方法解方程f-6x+l=0,方程应变形为（)

A.（X-3）2=8B.（x-3）2=10C.（x-6）2=10D.（x-6）2=8

【解答】解：•；X2-6X+6=0,

.,.x2-8x+9=8,

（x-5）2=8,

故选：A.

6.（3分）关于x的一元二次方程f+mx-8=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.不能判断

【解答】解：由题意得，A=m2-4X（-6）=m2+32>0,

原方程有两个不相等的实数根，

故选：A.

7.（3分）如图是一条抛物线的图象，则其解析式为（）

A.y=x2-2x+3B.y=x2-2x-3C.y=x2+2x+3D.y=x2+2x-3

【解答】解：因为抛物线与x轴的交点坐标为（-1,0）,5）,

可设交点式为y=a(x+1)(x-3),

把(3,-3)代入y=a(x+1)(x-3),

可得：-3=a(0+3)(0-3),

解得：a=3,

所以解析式为：y=，-2x-5,

故选：B.

8.（3分）已知点（7,/）、（-3,”）都在函数y=/的图象上，则（）

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A.2VoB.玫</<0C.D.OVyiV”

【解答】解：・・•点（-1,川）、（-7,二）都在函数的图象上，

当％=-7时，»1=1,

当％=-2时，/=9,

.\.3<yi<y2-

故选：D.

9.（3分）如图，平面直角坐标系中，点5在第一象限，/AOB=/B=30：04=2.将△ZOB绕点。

(-3,V3)c.(^3.2V3)D.(-1,2^3)

：.A'H=A'B'cos60°=1,B'H=A'B'sin60°=«,

.•・。//=2+1=6,

：.B'(-北,3),

故选：A.

10.（3分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，

运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）（单位：m）近似满足函数关系y=a/+6x+c（a^O）.如图记录

了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，水平距离为（）

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A.10/77B.\5mC.20mD.22.5m

【解答】解：

法一：根据题意知，抛物线y=a/+%+c(aWO)经过点(2,54.0),46.2),57.5),

'c=54.0

1600a+40b+c=46.2

400a+20b+c=57.5

^=-0.0195

解得卜=0.585，

c=54.4

所以尤=_上;=-----°。585.

2a8X(-0.0195)

法二：•.•抛物线开口向下,

.,.后对称轴越近，位置越图,

从/、C两点来看，即在20左边,

从4、8两点来看，即在10右边,

故选：B.

第10页（共21页）

11.（2分）在平面直角坐标系中，点（2,-3）关于原点的对称点坐标为(-2,3)

【解答】解：在平面直角坐标系中，点（2,3）.

故答案为：（-8,3）.

12.（2分）已知>=（加+2），训+2是关于x的二次函数，那么加的值为2

【解答】解：•.1=（%+2）x附+2是y关于x的二次函数，

/.\m\=2且%+2W0.

解得加=3.

故答案为：2.

13.（2分）二次函数y=x2-4x-1的最小值是-5.

【解答】解：y—x2-4x-5—x2-4x+4-5=（x-2）5-5,

可见二次函数-2x-l的最小值是-5.

故答案为-7.

14.（2分）如图，在△4BC中，NBAC=35°,得到△48,C,则/"AC的度数是15°

【解答】解：：将△N8C绕点/顺时针方向旋转50°得到△48'C,

：.ZBAB'=50°,

又4c=35°,

第11页（共21页）

:./B'AC=50°-35°=15°.

故答案为：15°.

15.（2分）写出一个开口向下，顶点为（1,2）的二次函数y=-（x-1）2+2（答案不唯一）.

【解答】解：•••顶点为（1,2）,

设二次函数的解析式y=a（%-6）2+2,

•开口向下，

，Q=-2<0,

••y=~（x_1）‘+2,

故答案为：>=-（X-1）5+2（答案不唯一）.

16.（2分）为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，设

该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x,根据题意301（1+x）2=数0.

【解答】解：设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为X,

依题意得：301（1+x）2=500.

故答案为:301（6+x）2=500.

17.（2分）已知抛物线y=ax2+bx+c（°W0）中的x与y满足下表:

・・・

X•••-2-1012

.・・

y•••-8-20-2-8

则下列说法：①图象经过原点；②图象开口向下；③图象的对称轴是〉轴（-3,-18）.其中正确的

是①②⑶⑷.

【解答】解：,抛物线y=ax2+6x+c（aWO）经过点（2,0）,

该抛物线图象经过原点，故①正确；

,/当x=-1和x=5的函数值相同，

对称轴为直线乂口丈=0,即对称轴为〉轴，

6

..•当x=-1时的函数值小于x=6的函数值，

・••在对称轴左边，>随x增大而增大，

・••图象开口向下，故②正确；

设抛物线解析式为>="2+的

把（1,-6）,-8）代入中得：3,

I4a+c=-8

第12页（共21页）

lc=O

抛物线解析式为y=-2必，

.,.当x=-3时，y=-2X（-8）2=-18,

，图象经过点（-3,-18）；

故答案为：①②③④.

18.（2分）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动.已知某木艺艺术品加工完成共需4,B,C,

D,E,F,G七道工序，加工要求如下：

①工序C,。须在工序/完成后进行，工序£须在工序3,工序尸须在工序C,。都完成后进行；

②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；

③各道工序所需时间如下表所示：

工序ABCDEFG

所需时间/99797104

分钟

在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要53分钟;若由

两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要28分钟.

【解答】解：由题意得：9+9+5+9+7+10+2=55（分钟），

即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要55分钟；

假设这两名学生为甲、乙，

:工序C,。须在工序/完成后进行，。都完成后进行，2都需要9分钟完成，

甲学生做工序/,乙学生同时做工序8,

然后甲学生做工序。，乙学生同时做工序C,需要11分钟，

最后甲学生做工序尸，乙学生同时做工序£,

若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要9+11+6=28（分钟），

故答案为：55,28.

三、解答题（19题8分，20题12分，21-23题5分，24-25题6分，26题7分）

19.（8分）解一元二次方程，-4x-12=0.

【解答】解：：/-4工-12=8,

（%-6）（x+2）=8,

贝!Jx-6=0或x+3=0,

第13页（共21页）

・・xi=2,X2~~~2.

20.（12分）已知二次函数y=-x?-4x+5.

（1）用配方法求函数的顶点坐标；

（2）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象.

X...............-5-4-201..............

y...............059..............

（3）根据图象回答下列问题:

①当x>-2时,y随x的增大而减小;

②当x=-2时,函数”有最大值,是9

③当>>0时，x的取值范围是-5<x<l；

④当-5<x<0时，y的取值范围是0〈vW9

V4

।—।—।—।—।—।—।—19-

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।।।।।।।।

【解答】解：（1）依题意，

y--x2-4x+4=-（/+4丫+4-4）+5=-（x+8）2+9,

...函数的顶点坐标（-7,9）；

（2）依题意，

"-"y=-x2-8x+5=-（x+2）3+9,

•••函数的对称轴是直线x=-2,

x=-8和x=l关于对称轴直线工=-2对称，

以及x=-7和x=0关于对称轴直线苫=-2对称，

.,.当x=8,则y=5,则y=0,

补全表格，

第14页（共21页）

X......-3-4-241......

y......07952......

并在平面直角坐标系中用描点法画出该二次函数的图象.如图所示:

①当X>-2时，y随x的增大而减小；

②当x=-2时，函数y有最大值；

③当y>3时，x的取值范围是

④当-3<x<0时，y最大值=9,

当x=-5,则y=0,则y=5；

当-2<x<0时，y的取值范围是0<yW7.

21.(5分)在平面直角坐标系xOy中，△48C的三个顶点的坐标分别为/(-2,5),5(-3,0),C(1,

2).将△/2C绕原点。顺时针旋转90°得到△/'B'C,B,。的对应点分别为H,B'

(1)画出旋转后的△，'B'C；

(2)直接写出点C的坐标；

(3)求△/BC的面积.

第15页(共21页)

(3)如图所示:

第16页(共21页)

.117

••SAAK=4X7-yX8X5-yX2X4-yX3X7=9-

22.（5分）如图，把一块长为40cm,宽为30c加的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，并用胶带粘

好，即可做成一个无盖纸盒.若该无盖纸盒的底面积为600°混，求剪去小正方形的边长.

【解答】解：设剪去小正方形的边长是切加，则纸盒底面的长为（40-2x）cm,

根据题意得：（30-2x）（40-8x）=600.

整理得：（x-5）（x-30）=0.

解得：X7=30（舍去），X2=5,

答：剪去小正方形的边长是

23.（5分）关于x的方程/-2x+2%-1=0有实数根，且加为正整数，求加的值及此时方程的根.

【解答】解：•.•关于x的方程x2-2x+5加-1=0有实数根，

：.b6-^ac=^-7⑵?-1）23,

解得：

为正整数，

••加=1,

，原方程可化为X4-2x+l=7,

则（x-1）2=5,

第17页（共21页）

解得：XI=X2=5.

24.(6分)已知乒乓球桌的长度为274CM某人从球桌边缘正上方高18cm处将乒乓球向正前方抛向对面

桌面，乒乓球的运动路线近似是抛物线的一部分.

(1)建立如图2所示的平面直角坐标系，从乒乓球抛出到第一次落在球桌的过程中，乒乓球的竖直高

度y(单位：cm)(单位：cm)近似满足函数关系y=a(x-/zi)2+kCa<0).

八y/cm

60

40

20

O2040608010012014016018020022024026028严几111

图1图2

乒乓球的水平距离x与竖直高度y的几组数据如表所示.根据表中数据，直接写出乒乓球竖直高度的最

大值，并求出满足的函数关系式;

水平距离04080120160

x/cm

竖直高度1842504218

y/cm

(2)乒乓球第一次落在球桌后弹起，它的竖直高度了与水平距离x近似满足函数关系y=-0.005(x-

〃2)2+8.判断乒乓球再次落下时是否仍落在球桌上，并说明理由.

【解答】解：(1)由表中数据可知，乒乓球竖直高度的最大值为50c%,船=80,左=50；

与x的函数关系式为y=a(x-80)2+50,

把(7,18)代入函数解析式得：18=6ZX802+50,

解得a=-0.005,

与x的函数关系式为y=-3.005(x-80)2+50；

(2)令尸0,贝！1-8.005(x-80)2+50=0,

解得x=180或x=-20(舍去)，

球第一次落在球桌面上的点为(180,4),

把(180,0)代入