山东省普通高中2025届高二数学第一学期期末联考试题含解析

山东省普通高中2025届高二数学第一学期期末联考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，，执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. B.C. D.2．在数列中，，，，则（）A.2 B.C. D.13．下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②某人买彩票中奖；③从集合中任取两个不同元素，它们的和大于2；④在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾.其中是随机事件的个数是（）A.1 B.2C.3 D.44．在中，B=30°，BC=2，AB=，则边AC的长等于（）A. B.1C. D.25．给出下列四个说法，其中正确的是A.命题“若，则”的否命题是“若，则”B.“”是“双曲线的离心率大于”的充要条件C.命题“，”的否定是“，”D.命题“在中，若，则是锐角三角形”的逆否命题是假命题6．已知函数，的导函数，的图象如图所示，则的极值情况为（）A.2个极大值，1个极小值 B.1个极大值，1个极小值C.1个极大值，2个极小值 D.1个极大值，无极小值7．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝，＝，＝，则＝（）A.++ B.+C.++ D.+8．如果椭圆上一点到焦点的距离等于6，则线段的中点到坐标原点的距离等于（）A.7 B.10C.12 D.149．下列双曲线中，渐近线方程为的是A. B.C. D.10．在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是AC和BD，则四边形ABCD的面积为（）A. B.C. D.11．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆的面积为，、分别是的两个焦点，过的直线交于、两点，若的周长为，则的离心率为（）A. B.C. D.12．函数的导函数为，对任意，都有成立，若，则满足不等式的的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．记为等差数列的前n项和．若，则__________14．过圆上一点的圆的切线的一般式方程为________15．已知直线与平行，则___________.16．双曲线的渐近线方程为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）设等差数列的前项和为（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和18．（12分）已知的展开式中二项式系数和为16（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）设展开式中的常数项为p，展开式中所有项系数的和为q，求19．（12分）设命题p：实数x满足，其中；命题q：若，且为真，求实数x的取值范围；若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围20．（12分）已知函数的两个极值点之差的绝对值为.（1）求的值；（2）若过原点的直线与曲线在点处相切，求点的坐标.21．（12分）已知数列的前n项和为，，，其中.（1）记，求证：是等比数列；（2）设，数列的前n项和为，求证：.22．（10分）已知向量，，且.（1）求满足上述条件的点M(x,y)的轨迹C的方程；（2）设曲线C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点P，Q，点A(0,1)，当|AP|=|AQ|时，求实数m的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】计算出、的值，执行程序框图中的程序，进而可得出输出结果.【详解】，，则，执行如图所示的程序，，成立，则，不成立，输出的值为.故选：B.2、A【解析】根据题中条件，逐项计算，即可得出结果.【详解】因为，，，所以，因此.故选：A.3、B【解析】因为随机事件指的是在一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件，只需逐一判断4个事件哪一个符合这种情况即可【详解】解：连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点这一事件可能发生也可能不发生，①是随机事件某人买彩票中奖这一事件可能发生也可能不发生，②是随机事件从集合，2，中任取两个元素，它们的和必大于2，③是必然事件在标准大气压下，水加热到时才会沸腾，④是不可能事件故随机事件有2个，故选：B4、B【解析】利用余弦定理即得【详解】由余弦定理，得，解得AC=1故选：B.5、D【解析】A选项：否命题应该对条件结论同时否定，说法不正确；B选项：双曲线的离心率大于，解得，所以说法不正确；C选项：否定应该是：，，所以说法不正确；D选项：“在中，若，则是锐角三角形”是假命题，所以其逆否命题也为假命题，所以说法正确.【详解】命题“若，则”的否命题是“若，则”，所以A选项不正确；双曲线的离心率大于，即，解得，则“”是“双曲线的离心率大于”的充分不必要条件，所以B选项不正确；命题“，”的否定是“，”，所以C选项不正确；命题“在中，若，则是锐角三角形”，在中，若，可能，此时三角形不是锐角三角形，所以这是一个假命题，所以其逆否命题也是假命题，所以该选项说法正确.故选：D【点睛】此题考查四个命题关系，充分条件与必要条件，含有一个量词的命题的否定，关键在于弄清逻辑关系，正确求解.6、B【解析】根据图象判断的正负，再根据极值的定义分析判断即可【详解】由，得，令，由图可知的三个根即为与的交点的横坐标，当时，，当时，，即，所以为的极大值点，为的极大值，当时，，即，所以为的极小值点，为的极小值，故选：B7、B【解析】利用向量三角形法则、平行四边形法则、向量共线定理即可得出【详解】如图所示，∵＝+，又＝，＝－，＝，∴＝+，故选：B8、A【解析】可由椭圆方程先求出，在利用椭圆的定义求出，利用已知求解出，再取的中点，连接，利用中位线，即可求解出线段的中点到坐标原点的距离.【详解】因为椭圆，，所以，结合得，，取的中点，连接，所以为的中位线，所以.故选：A.9、A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A的渐进线方程为，故选A.考点：本题主要考查双曲线的渐近线公式.10、D【解析】由题，求得圆的圆心和半径，易知最长弦，最短弦为过点与垂直的弦，再求得BD的长，可得面积.【详解】圆化简为可得圆心为易知过点的最长弦为直径，即而最短弦为过与垂直的弦，圆心到的距离：所以弦所以四边形ABCD的面积：故选：D11、A【解析】本题首先可根据题意得出，然后根据的周长为得出，最后根据求出的值，即可求出的离心率.【详解】因为椭圆的面积为，所以长半轴长与短半轴长的乘积，因为的周长为，所以根据椭圆的定义易知，，，，则的离心率，故选：A.12、C【解析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性即可得解.【详解】对任意，都有成立，即令，则，所以函数上单调递增不等式即，即因为，所以所以，，解得，所以不等式的解集为故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】因为是等差数列，根据已知条件，求出公差，根据等差数列前项和，即可求得答案.【详解】是等差数列，且，设等差数列的公差根据等差数列通项公式：可得即：整理可得：解得：根据等差数列前项和公式：可得：.故答案：.【点睛】本题主要考查了求等差数列的前项和，解题关键是掌握等差数列的前项和公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.14、【解析】求出过切线的半径所在直线斜率，由垂直关系得切线斜率，然后得直线方程，现化为一般式【详解】圆心为，，所以切线的斜率为，切线方程为，即故答案为：【点睛】本题考查求过圆上一点的圆的切线方程，利用切线性质求得斜率后易得直线方程15、【解析】根据平行可得斜率相等列出关于参数的方程，解方程进行检验即可求解.【详解】因为直线与平行，所以，解得或，又因为时，，，所以直线，重合故舍去，而,,，所以两直线平行.所以，故答案为：3.【点睛】(1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论16、【解析】将双曲线化为标准方程后求解【详解】，化简得，其渐近线方程故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）根据等差数列前n项和求和公式求出首项和公差，进而求出通项公式；（2）结合（1）求出，再令得出数列的正数项和负数项，进而结合等差数列求和公式求得答案.【小问1详解】设等差数列的首项和公差分别为和，∴，解得：所以.【小问2详解】，所以.当；当，当，时，，当时，.综上：.18、（1）（2）【解析】（1）由二项式系数和的性质得出，再由性质求出展开式中二项式系数最大的项；（2）由通项得出，利用赋值法得出，再求解【小问1详解】由题意可得，解得．，展开式中二项式系数最大的项为；【小问2详解】，其展开式的通项为，令，得∴常数项令，可得展开式中所有项系数的和为，∴19、(1)(2)【解析】解二次不等式，其中解得，解得：，取再求交集即可；写出命题所对应的集合，命题p：，命题q：，由是的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集，列不等式组可求解【详解】解：(1)由，其中；解得，又，即，由得：，又为真，则，得：，故实数x的取值范围为；由得：命题p：，命题q：，由是的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件，A是B的真子集，所以，即故实数m取值范围为：.【点睛】本题考查了二次不等式的解法，复合命题的真假，命题与集合的关系，属于简单题20、（1）；（2）.【解析】（1）求，设的两根分别为，，由韦达定理可得：，，由题意知，进而可得的值；再检验所求的的值是否符合题意即可；（2）设，则，由列关于的方程，即可求得的值，进而可得的值，即可得点的坐标.【详解】由可得：设的两根分别为，，则，，由题意可知：，即，所以解得：，当时，，由可得或，由可得，所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，所以为极大值点，为极小值点，满足两个极值点之差的绝对值为，符合题意，所以.（2）由（1）知，，设，则，由题意可得：，即，整理可得：，解得：或，因为即为坐标原点，不符合题意，所以，则，所以.21、（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）应用的关系，结合构造法可得，根据已知条件及等比数列的定义即可证结论.（2）由（1）得，再应用错位相减法求，即可证结论.【小问1详解】证明：对任意的，，，时，，解得，时，因为，，两式相减可得：，即有，∴，又，则，因为，，所以，对任意的，，所以，因此，是首项和公比均为3的等比数列【小问2详解】由（1）得：，则，，，两式相减得：，化简可得：，又，∴.22、（1）+y2=1；（2）.【解析】（1）应用向量垂直的坐标表示得x2+3y2=3，即可写出M的轨迹C的方程；（2）由直线与曲线C交于不同的两点P(x1,y1)，Q(x2,y2)，设直线y=kx+m(k≠0)，联立方程整理所得方程有，且由根与系数关系用m，k表示x1+x2，x1x2，若N为PQ的中点结合|AP|=|AQ|知PQ⊥AN可得m、k的等量关系，结合即可求m的范围.【详解】(1)∵，即，∴，即有x2+3y2=3，即点M(x,y)的轨迹C的方程为+y2=1.(2)由得(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=0.∵曲线C与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点，∴Δ=(6km)2-12(1+3k2)(m2-1)=12(3k2-m2+1)>0，即3k2-m2+1>0①，且x1+x2=，x1x2=