2020高考真题汇编8：数列(文)

第页2020高考真题汇编8：数列一、选择题1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设是等比数列，且，，则()A．12B．24C．30D．322．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a5–a3=12，a6–a4=24，则=()A．2n–1B．2–21–nC．2–2n–1D．21–n–13．【2020年高考北京】在等差数列中，，．记，则数列()A．有最大项，有最小项B．有最大项，无最小项C．无最大项，有最小项D．无最大项，无最小项4．【2020年高考浙江】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差，且．记，，，下列等式不可能成立的是()A．B．C．D．二、填空题5．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】数列满足，前16项和为540，则.6．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1=−2，a2+a6=2，则S10=__________．7．【2020年高考浙江】我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列．数列的前3项和是_______．8．【2020年高考江苏】设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列．已知数列{an+bn}的前n项和，则d+q的值是________．9．【2020年新高考全国Ⅰ卷】将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．三、解答题10．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知公比大于的等比数列满足．（1）求的通项公式；（2）记为在区间中的项的个数，求数列的前项和．11．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设等比数列{an}满足，．（1）求{an}的通项公式；（2）记为数列{log3an}的前n项和．若，求m．12．【2020年高考浙江】已知数列{an}，{bn}，{cn}满足．（Ⅰ）若{bn}为等比数列，公比，且，求q的值及数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若{bn}为等差数列，公差，证明：．13．【2020年高考天津】已知为等差数列，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：；（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．14．【2020年高考北京】已知是无穷数列．给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一项，使；②对于中任意项，在中都存在两项．使得．(Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列.15．【2020年高考江苏】已知数列的首项a1=1，前n项和为Sn．设λ与k是常数，若对一切正整数n，均有成立，则称此数列为“λ～k”数列．（1）若等差数列是“λ～1”数列，求λ的值；（2）若数列是“”数列，且，求数列的通项公式；（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列为“λ～3”数列，且？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

参考答案1．答案：D解析：设等比数列的公比为，则，，因此，.故选：D.2．答案：B解析：设等比数列的公比为，由可得：，所以，因此.故选：B.3．答案：B解析：由题意可知，等差数列的公差，则其通项公式为：，注意到，且由可知，由可知数列不存在最小项，由于，故数列中的正项只有有限项：，.故数列中存在最大项，且最大项为.故选：B．4．答案：D解析：对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；对于B，由题意可知，，，∴，，，．∴，．根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；对于C，，当时，，C正确；对于D，，，．当时，，∴即；当时，，∴即，所以，D不正确．故选：D.5．答案：解析：，当为奇数时，；当为偶数时，.设数列的前项和为，，.故答案为：.6．答案：解析：是等差数列，且，设等差数列的公差根据等差数列通项公式：可得即：整理可得：解得：根据等差数列前项和公式：可得：.故答案为：.7．答案：解析：因为，所以．即．故答案为：.8．答案：解析：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据题意.等差数列的前项和公式为，等比数列的前项和公式为，依题意，即，通过对比系数可知，故.故答案为：.9．答案：解析：因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：.10．解析：（1）设的公比为．由题设得，．解得（舍去），．由题设得．所以的通项公式为．（2）由题设及（1）知，且当时，．所以．11．解析：（1）设的公比为，则.由已知得，解得.所以的通项公式为.（2）由（1）知故由得，即.解得（舍去），.12．解析：（Ⅰ）由得，解得．由得．由得．（Ⅱ）由得，所以，由，得，因此．13．解析：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由，，可得，从而的通项公式为．由，又，可得，解得，从而的通项公式为．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，故，，从而，所以．（Ⅲ）解：当为奇数时，；当为偶数时，．对任意的正整数，有，和．①由①得．②由①②得，从而得．因此，．所以，数列的前项和为．14．解析：(Ⅰ)不具有性质①；(Ⅱ)具有性质①；具有性质②；(Ⅲ)【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然，假设数列中存在负项，设，第一种情况：若，即，由①可知：存在，满足，存在，满足，由可知，从而，与数列的单调性矛盾，假设不成立.第二种情况：若，由①知存在实数，满足，由的定义可知：，另一方面，，由数列单调性可知：，这与的定义矛盾，假设不成立.同理可证得数列中的项数恒为负数.综上可得，数列中的项数同号.其次，证明：利用性质②：取，此时，由数列的单调性可知，而，故，此时必有，即，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列的前项成等比数列，不妨设，其中，（情况类似）由①可得：存在整数，满足，且（*）由②得：存在，满足：，由数列的单调性可知：，由可得：（**）由（**）和（*）式可得：，结合数列的单调性有：，注意到均为整数，故，代入（**）式，从而.总上可得，数列的通项公式为：.即数列为等比数列.【解法二】假设数列中的项数均为正数：首先利用性质②：取，此时，由数列的单调性可知，而，故，此时必有，即，即成等比数列，不妨设，然后利用性质①：取，则，即数列中必然存在一项的值为，下面我们来证明，否则，由数列的单调性可知，在性质②中，取，则，从而，与前面类似的可知则存在，满足，若，则：，与假设矛盾；若，则：，与假设矛盾；若，则：，与数列的单调性矛盾；即不存在满足题意的正整数，可见不成立，从而，同理可得：，从而数列为等比数列，同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.从而题中的结论得证，数列为等比数列.15．解析：（1）因为等差数列是“λ～1”数列，则，即，也即，此式对一切正整数n均成立．若，则恒成立，故，而，这与是等差数列矛盾．所以．（此时，任意首项为1的等差数列都是“1～1”数列）（2）因为数列是“”数列，所以，即．因为，所以，则．令，则，即．解得，即，也即，所以数列是公比为4的等比数列．因为，所以．则（3）设各项非负的数列为“”数列，则，即．因为，而，所以，则．令，则，即．（*）①若或，则（*）只有一解为，即符合条件的数列只有一个．（此数列为1，0，0，0，…）②若，则（*）化为，因为，所以，则（*）只有一