数学学案：第二讲一比较法

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精一比较法1．理解作差比较法和作商比较法．2．用比较法证明不等式．1．比较法的种类比较法一般分为两种:____________和____________．2．作差比较法(1）作差比较法的证明依据：__________.（2）基本步骤:①______;②______；③__________;④________.用作差比较法证明不等式时，要判断不等式两边差的符号，对不等式两边求差后，要通过配方、因式分解、通分等，对所得代数式进行变形，得到一个能够明显看得出其符号的代数式,进而得出证明．【做一做1－1】当a＜b＜0时，下列关系式中成立的是（)A。eq\r（a2)＜eq\r（b2) B．lgb2＜lga2 C。eq\f（b,a）＞1 D．＞【做一做1－2】若P＝eq\r(2)，Q＝eq\r(6)－eq\r(2），R＝eq\r（7)－eq\r（3），则P，Q,R的大小关系是()A．P＞Q＞R B．P＞R＞Q C．Q＞P＞R D．Q＞R＞P3．作商比较法（1）作商比较法的证明依据：____________(2）基本步骤：①______;②______；③______________；④________。【做一做2－1】比较大小：log34__________log67。【做一做2－2】比较大小：________.答案：1．作差比较法作商比较法2．（1）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(①a<b⇔a－b〈0；②a＝b⇔a－b＝0；③a〉b⇔a－b〉0)）(2）作差变形判断符号下结论【做一做1－1】B方法1:取特殊值a＝－4，b＝－1，则知选项A，C，D不正确，选项B正确,故选B；方法2：∵a＜b＜0，∴a2＞b2.而函数y＝lgx（x＞0）为增函数，∴lgb2＜lga2，B项正确．【做一做1－2】A∵eq\r(2)＋eq\r（2)＝2eq\r（2)＞eq\r(6)，∴eq\r（2)＞eq\r（6）－eq\r（2）,即P＞Q；又∵eq\r（6)＋eq\r（3）＞eq\r(7）＋eq\r（2），∴eq\r(6）－eq\r(2)＞eq\r(7)－eq\r(3），即Q＞R。∴P＞Q＞R.3．(1)当b＞0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a＝b⇔\f(a,b）＝1；，a>b⇔\f(a,b)>1；，a<b⇔\f（a,b)<1.))（2）作商变形判断与“1”的大小下结论【做一做2－1】＞设log34＝a，log67＝b，则3a＝4,6b＝7，得7×3a＝4×6b＝4×2b×3即3a－b＝eq\f(4×2b,7)，由log67＝b可知，b＞1，所以2b＞2，则3a－b＝eq\f（4×2b,7)＞1，所以a－b＞0，即a＞b,即log34＞log67。【做一做2－2】＞＝＝，又∵＞＝1，∴＞1。∴＞.1．作差比较法证明不等式的一般步骤剖析：（1)作差：将不等式左右两边的式子看作一个整体进行作差．(2)变形：将差式进行变形，变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方和等等．(3）判断符号：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号．(4)结论：肯定不等式成立的结论．若差式的符号不能确定，且与某些字母的取值有关时，需对这些字母进行讨论．2．作商比较法中的符号问题的确定剖析：在作商比较法中，eq\f（b，a）＞1b＞a是不正确的，这与a，b的符号有关，比如若a，b＞0，由eq\f(b,a）＞1，可得b＞a，但若a,b＜0，则由eq\f(b，a）＞1得出的反而是b＜a，也就是说，在作商比较法中，要对a，b的符号作出判断．否则,结论将是错误的．对于此类问题，可分为含参数变量类的和大小固定的，因而也可以通过特殊值的方法进行一定的猜测,进而给出一定的理性推理或证明过程．使用作商比较法时一定要注意不等式两边的式子均为正值,若均为负值时，可先同乘以－1，转化后再进行证明．题型一利用作差比较法证明不等式【例1】已知a≥1，求证：eq\r(a＋1）－eq\r（a）＜eq\r（a)－eq\r(a－1).分析:因不等式两边进行分子有理化相减后，可判断差的符号，故可用作差比较法进行证明．反思：根据左、右两边都含无理式的特点，也可以采取两边平方的方法来比较，但是应先判断两边的符号，都大于0时，两边平方是等价变形，否则要改变不等号．又因为a≥1,所以不等式两边都大于0，故还可以用作商比较法进行证明．题型二利用作商比较法证明不等式【例2】已知a＞0，b＞0，求证：eq\f（a,\r（b）)＋eq\f(b，\r(a））≥eq\r（a）＋eq\r（b）.分析：因为a,b均为正数，故而不等式左边和右边都是正数，所以可以用作商比较法进行比较．反思：作商比较法的前提条件是两个数a，b都大于0，对eq\f（a,b）进行整理，直到能清晰看出eq\f（a,b)与1的大小关系为止．在运算过程中注意运用计算技巧．题型三比较法在综合题目中的应用【例3】已知数列{an｝的首项a1＝5,前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5（n∈N＋)．(1)证明数列{an＋1}是等比数列；（2)令f(x）＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，求函数f(x)在点x＝1处的导数f′(1)，并比较2f′(1)与23n2－13n的大小分析:在比较大小时,作差法的差式与“n"的取值有关，且大小关系随“n”的变化而变化．反思:此类题是典型的结论不唯一的比较大小的问题．在数列中，大小问题可能会随“n"变化而变化．往往n＝1，2，…前几个自然数对应的值与后面n≥n0的值大小不一样，这就要求在解答这样的题时,要时刻有“大小关系不一定唯一"的念头，即时刻提醒自己所求解的问题是否需要讨论．答案：【例1】证明：∵（eq\r（a＋1）－eq\r（a））－（eq\r(a)－eq\r（a－1)）＝eq\f(1，\r(a＋1)＋\r(a）)－eq\f（1，\r(a)＋\r（a－1）)＝eq\f（\r(a－1)－\r（a＋1)，\r(a＋1）＋\r（a）\r（a)＋\r(a－1））＜0，∴eq\r(a＋1)－eq\r(a)＜eq\r（a）－eq\r(a－1）。【例2】证明：∵eq\f（\f(a，\r（b）)＋\f（b，\r（a）），\r（a）＋\r（b)）＝eq\f(\f（a,\r(b）)，\r(a)＋\r(b））＋eq\f(\f(b,\r(a）），\r（a）＋\r（b）)＝eq\f（a,\r(ab）＋b）＋eq\f（b,\r（ab）＋a）＝eq\f(a\r(ab）＋a2＋b\r(ab)＋b2，2ab＋a＋b\r(ab））＝eq\f（a2＋b2＋a＋b\r(ab）,2ab＋a＋b\r（ab）)，又∵a2＋b2≥2ab，∴eq\f（a2＋b2＋a＋b\r（ab），2ab＋a＋b\r（ab))≥eq\f(2ab＋a＋b\r（ab),2ab＋a＋b\r（ab））＝1，当且仅当a＝b＞0时取等号．∴eq\f（a,\r(b))＋eq\f（b,\r(a））≥eq\r（a）＋eq\r（b).【例3】（1)证明：由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5,①∴n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，②①②两式相减,得Sn＋1－Sn＝2（Sn－Sn－1）＋1,即an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2（an＋1)．当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，∴a1＋a2＝2a1又a1＝5，故a2＝11,从而a2＋1＝2（a1＋1)．故总有an＋1＋1＝2（an＋1),n∈N＋.又∵a1＝5,∴a1＋1≠0,从而eq\f(an＋1＋1,an＋1)＝2，即｛an＋1}是以a1＋1＝6为首项，2为公比的等比数列．(2）解：由(1)可知an＝3×2n－1.∵f（x）＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，∴f′(x)＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1从而f′(1）＝a1＋2a2＋…＋na＝(3×2－1）＋2(3×22－1）＋…＋n（3×2n－1）＝3(2＋2×22＋…＋n×2n)－(1＋2＋3＋…＋n)＝3［n×2n＋1－（2＋…＋2n)]－eq\f（nn＋1,2）＝3（n×2n＋1－2n＋1＋2)－eq\f（nn＋1,2)＝3(n－1)·2n＋1－eq\f（nn＋1,2）＋6。则2f′(1)－(23n2－13n＝12（n－1)·2n－12(2n2－n－1）＝12(n－1)·2n－12(n－1)(2n＋1）＝12(n－1)[2n－（2n＋1)］．(＊)当n＝1时,（＊）式＝0，∴2f′（1）＝23n2－13n当n＝2时,(＊)式＝－12＜0，∴2f′(1)＜23n2－13n当n≥3时，n－1＞0，又2n＝（1＋1）n＝Ceq\o\al(0，n）＋Ceq\o\al（1,n)＋…＋Ceq\o\al（n－1,n）＋Ceq\o\al(n，n)≥2n＋2＞2n＋1，∴(n－1)[2n－(2n＋1)］＞0，即(*）式＞0，从而2f′（1)＞23n2－13n1．已知a＞0且a≠1，P＝loga（a3＋1)，Q＝loga(a2＋1）,则P，Q的大小关系是（）A．P＞Q B．P＜Q C．P＝Q D．大小不确定2．下列命题：①当b＞0时,a＞b＞1；②当b＞0时,a＜b＜1；③当a＞0，b＞0时,＞1a＞b；④当ab＞0时,＞1a＞b.其中是真命题的为（)A．①②③ B．①②④ C．④ D．①②③④3．当x＞1时，x3与x2－x＋1的大小关系是__________．4．对于任意的实数x，求证：x2＋3＞2x。5．已知｛an}是公比为q的等比数列,且a1，a3，a2成等差数列．（1)求q的值；（2）设｛bn｝是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小,并说明理由．答案：1．AP－Q＝loga（a3＋1)－loga（a2＋1）＝.当0＜a＜1时，0＜a3＋1＜a2＋1，则0＜＜1，∴＞0,即P－Q＞0.∴P＞Q。当a＞1时,a3＋1＞a2＋1＞0，＞1，∴＞0，即P－Q＞0.∴P＞Q.2．A3．x3＞x2－x＋1∵x3－(x2－x＋1)＝x3－x2＋x－1＝x2（x－1)＋（x－1)＝(x－1)(x2＋1）,且x＞1，∴x－1＞0.又x2＋1＞0，∴x3