数学学案：第二讲五与圆有关的比例线段

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精五与圆有关的比例线段1．掌握相交弦定理及其应用．2．掌握割线定理、切割线定理及其应用．3．掌握切线长定理及其应用．1．相交弦定理文字语言圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的__相等符号语言⊙O的两条弦AB和CD相交于P，则PA·PB＝______图形语言作用证明线段成比例由相交弦定理可得推论：垂直于弦的直径平分这条弦，且弦的一半是直径被弦分成的两条线段的比例中项．该推论又称为垂径定理．【做一做1】如图，⊙O的两条弦AB与CD相交于点E，EC＝1，DE＝4，AE＝2，则BE等于（）A．1B．2C．3D．42．割线定理文字语言从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的__相等符号语言从⊙O外一点P引圆的两条割线PAB和PCD，则PA·PB＝______图形语言作用证明线段成比例【做一做2】如图，P是⊙O外一点，PC＝4，PD＝2,则PA·PB等于()A．2B．4C．8D．不确定3．切割线定理文字语言从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的________符号语言从⊙O外一点P引圆的切线PA和割线PBC，A是切点，则PA2＝________图形语言作用证明线段成比例相交弦定理、割线定理和切割线定理（割线定理的推论)统称为圆幂定理．可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分(内分或外分)成两线段长的积相等(至于切线可看作是两条交点重合的割线)．两条线段的长的积是常数PA·PB＝|R2－d2｜，其中d为定点P到圆心O的距离．若P在圆内，d＜R，则该常数为R2－d2;若P在圆上,d＝R，则该常数为0；若P在圆外，d＞R，则该常数为d2－R2。使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点．【做一做3】如图，P是⊙O外一点,PA与⊙O相切于点A，过点P的直线l交⊙O于B，C，且PB＝4，PC＝9，则PA等于(）A．4B．6C．9D．364．切线长定理文字语言从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长____,圆心和这一点的连线____两条切线的夹角符号语言PA，PB分别与⊙O相切于点A,B，则PA＝__,∠OPA＝______图形语言作用证明角相等,线段相等【做一做4】如图，PA，PB分别为⊙O的切线，切点分别为A，B，∠P＝80°，则∠C＝__________.答案：1．积PC·PD【做一做1】B∵AE·EB＝DE·EC，∴2EB＝4×1。∴EB＝2.2．积PC·PD【做一做2】C∵PA·PB＝PC·PD,∴PA·PB＝4×2＝8.3．比例中项PB·PC【做一做3】B∵PA2＝PB·PC＝4×9＝36,∴PA＝6。4．相等平分PB∠OPB【做一做4】50°∵PA,PB分别为⊙O的切线，∴PA＝PB。又∠P＝80°，∴∠PAB＝∠PBA＝50°。∴∠ACB＝∠PAB＝50°。1．与圆有关的比例线段问题剖析：与圆有关的比例线段问题,主要是圆与相似形的综合，其解法大致可分以下几种：（1）直接由相似形得到，即先由已知条件证得两个三角形相似，从而直接得到有关对应线段成比例．这是简单型的比例线段问题．（2）利用“等线段"代换得到，在证明“等积式”形如a2＝bc时,如果其中有三条线段共线,那么一般往往把平方项线段用“等线段"进行代换．(3）利用“中间积”代换得到，在证明“等积式”形如a2＝bc时，如果其中有三条线段共线,不妨可以把平方项线段利用中间积进行代换试试．（4）利用“中间比”代换得到，在证明比例线段(不论共线与否），如果不能直接运用有关定理，不妨就寻找“中间比"进行代换试试．与圆有关的比例线段证明要诀：圆幂定理是法宝，相似三角形中找诀窍，联想射影定理分角线，辅助线来搭桥,第三比作介绍，代数方法不可少,分析综合要记牢，十有八九能见效．2．垂径定理、切线长定理、射影定理、相交弦定理、切割线定理之间的关系剖析：如图，PA，PB为⊙O的两条切线,A,B为切点，PCD为过圆心O的割线,连接AB，交PD于点E，则有下列结论：(1）PA2＝PB2＝PC·PD＝PE·PO；（2)AE2＝BE2＝DE·CE＝OE·PE；(3）若AC平分∠BAP,则C为△PAB的内心；(4）OA2＝OC2＝OE·OP＝OD2;（5）＝，＝，PD⊥AB；(6）∠AOP＝∠BOP，∠APD＝∠BPD．题型一相交弦定理的应用【例题1】如图,过⊙O内一点A作直线，交⊙O于B，C两点，且AB·AC＝64,OA＝10，则⊙O的半径r＝__________.反思:相交弦定理的结论是线段成比例,也可以看成等式，因此利用相交弦定理既可以得到成比例线段，又可以建立方程来解决问题，如本题中,利用相交弦定理列出关于r的方程．题型二割线定理的应用【例题2】如图，已知⊙O的割线PAB交⊙O于A点和B点,PA＝6cm，AB＝8cm，PO＝10.9cm，求⊙O的半径．分析：由于PO既不是⊙O的切线，也不是割线，故需将PO延长交⊙O于D,构成圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半径,于是运用割线定理解题即可．反思:如果已知条件中出现过圆外同一点的圆的割线，那么常用到割线定理．本题中，利用割线定理列出了关于半径r的方程，进而求出了r的值．题型三切割线定理的应用【例题3】如图，AB切⊙O于B，ACD为割线，E为的中点，BE交DC于F，求证：AF2＝AC·AD．分析:由切割线定理可知AC·AD＝AB2，故只需证AF＝AB即可．反思：如果已知条件中同时出现过圆外同一点的切线和割线，那么常用到切割线定理．题型四切线长定理的应用【例题4】如图,AB是⊙O的直径,C是⊙O上一点，过点C的切线与过A，B两点的切线分别交于点E，F,AF与BE交于点P.求证：∠EPC＝∠EBF.分析：eq\x(由切线长定理)→eq\x(EA＝EC,FC＝FB）→eq\x（\f（EC，FC)＝\f（EP,PB））→eq\x(CP∥FB)→eq\x（结论）反思：如果已知条件中出现过圆外同一点的切线，那么常用到切线长定理．要注意分析其中的等量关系，即①切线长相等，②圆外点与圆心的连线平分两条切线的夹角，然后结合直角三角形、相似三角形等图形的有关性质进行计算与证明．答案：【例题1】2eq\r（41）如图所示，作直线OA交⊙O于E，F两点，则AE＝r－10，AF＝r＋10。由相交弦定理，得(r－10）（r＋10)＝64，解得r1＝2eq\r(41)，r2＝－2eq\r(41)(不合题意，舍去)．故r＝2eq\r(41)。【例题2】解：如图，将PO延长交⊙O于D.根据割线定理，可得PA·PB＝PC·PD。设⊙O的半径为rcm，则6×（6+8)＝(10.9－r)（10。9+r)，解得r＝5.9，即⊙O的半径为5。9cm。【例题3】证明：如图，连接BC，BD，∵E为的中点，∴∠DBE＝∠CBE.又AB是⊙O的切线，∴∠ABC＝∠CDB.∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CDB，∴∠ABF＝∠AFB。∴AB＝AF。又AB是⊙O的切线,ACD为割线，由切割线定理，可知AC·AD＝AB2,∴AF2＝AC·AD。【例题4】证明:∵EA，EF，FB是⊙O的切线，∴EA＝EC，FC＝FB。∵EA，FB切⊙O于A,B，AB是直径，∴EA⊥AB，FB⊥AB.∴EA∥FB。∴eq\f（EA，BF）＝eq\f（EP，BP）。∴eq\f（EC，FC)＝eq\f（EP,PB），∴CP∥FB。∴∠EPC＝∠EBF.1圆内两弦相交,其中一条弦长为8cm，且被交点平分，另一条被交点分为1∶4的两部分，则这条弦长为（）A．2cmB．8cmC．10cmD．16cm2（2011·北京海淀一模）如图,A，B,C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B，D是CE与⊙O的交点．若∠BAC＝70°,则∠CBE＝__________；若BE＝2,CE＝4，则CD＝__________.3如图，AB是⊙O的直径，PB，PE分别切⊙O于点B，C,若∠ACE＝40°,则∠P＝__________.4（2011·北京西城一模)如图，从圆O外一点P引圆O的切线PA和割线PBC，已知PA＝2eq\r（2），PC＝4，圆心O到BC的距离为eq\r（3），则圆O的半径为__________．5如图，已知P为⊙O外一点,OP与⊙O交于点A,割线PBC与⊙O交于点B，C，且PB＝BC．如果OA＝7，PA＝2,求PC的长．答案：1．C设所求弦长为5kcm，则由相交弦定理得42＝k×4k，则k＝2(－2舍去),故所求弦长为5k＝5×2＝10（cm)．2．70°3由于BE是⊙O的切线，则∠CBE＝∠BAC＝70°.由切割线定理，知EB2＝ED·EC.又BE＝2，CE＝4，则ED＝eq\f(EB2,EC）＝1。所以CD＝CE－ED＝3。3．80°如图所示,连接BC，∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB＝90°。又∠ACE＝40°，∴∠PCB＝180°－∠ACB－∠ACE＝50°.又PB＝PC，∴∠PBC＝50°。在△PBC中，∠P＝180°－50°－50°＝80°。4．2如图所示，取BC的中点D，连接OD和OB，则OD⊥BC.已知OD＝eq\r(3)，则BC＝2BD＝2eq\r(OB2－OD2）＝2eq\r(OB2－3).由于PA是圆O的切线，所以PA2＝PB·PC。