数学学案：第二讲二圆内接四边形的性质与判定定理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精二圆内接四边形的性质与判定定理1．了解圆内接四边形的概念，掌握圆内接四边形的性质定理及其应用．2．理解圆内接四边形的判定定理及其推论，并能解决有关问题．3．了解反证法在证明问题中的应用．1．性质定理1文字语言圆的内接四边形的对角______符号语言若四边形ABCD内接于圆O,则有∠A＋∠C＝______,∠B＋∠D＝______图形语言作用证明两个角互补【做一做1】四边形ABCD内接于圆O，∠A＝25°，则∠C等于(）A．25°B．75°C．115°D．155°2．性质定理2文字语言圆内接四边形的外角等于它的内角的______符号语言四边形ABCD内接于⊙O，E为AB延长线上一点，则有∠CBE＝______图形语言作用证明两个角相等【做一做2】四边形ABCD内接于圆O,延长AB到E，∠ADC＝32°，则∠CBE等于（）A．32°B．58°C．64°D．148°(1）利用这两个性质定理，可以借助圆变换角的位置，得到角的相等关系或互补关系，再进行其他的计算或证明．（2）利用这两个定理可以得出一些重要结论，如内接于圆的平行四边形是矩形；内接于圆的菱形是正方形；内接于圆的梯形是等腰梯形等．3．圆内接四边形判定定理文字语言如果一个四边形的对角______,那么这个四边形的四个顶点共圆符号语言在四边形ABCD中，如果∠B＋∠D＝______(或∠A＋∠C＝180°）,那么A，B,C,D四点共圆图形语言作用证明四点共圆【做一做3】下列四边形的四个顶点共圆的是(）A．梯形B．矩形C．平行四边形D．菱形4．推论文字语言如果四边形的一个外角等于它的内角的______，那么这个四边形的四个顶点共圆符号语言在四边形ABCD中,延长AB到E，若∠CBE＝______，则A，B，C，D四点共圆图形语言作用证明四点共圆性质定理1和判定定理互为逆定理,性质定理2和判定定理的推论互为逆定理．【做一做4】如图所示，四边形ABCD的边AB的延长线上有一点E,且BC＝BE，∠D＝80°，∠E＝50°，求证:四边形ABCD内接于圆．答案：1．互补180°180°【做一做1】D∵四边形ABCD内接于圆，∴∠A＋∠C＝180°.又∠A＝25°，∴∠C＝180°－∠A＝155°。2．对角∠ADC【做一做2】A∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠ADC＝∠CBE＝32°。3．互补180°【做一做3】B仅有矩形的对角互补，则矩形的四个顶点共圆．4．对角∠ADC【做一做4】证明：∵BC＝BE,∴∠E＝∠BCE。则∠EBC＝180°－2∠E＝80°，∴∠EBC＝∠D。∴四边形ABCD内接于圆．反证法剖析：反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后从这个假设出发，经过正确的推理,导出矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题正确的一种方法．用反证法证明一个命题的步骤为：（1）反设，（2）归谬，（3）结论．反设是反证法的基础，为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表达形式是有必要的，例如是/不是；存在/不存在；平行于/不平行于;垂直于/不垂直于;等于/不等于;大(小）于/不大（小）于；都是/不都是；至少有一个/一个也没有；至少有n个/至多有（n－1)个；至多有一个/至少有两个；唯一/至少有两个等．归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式,推理必须严谨,但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水．导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾，与已知的公理、定义、定理、公式矛盾，与反设矛盾，自相矛盾等．对于一些从正面难以说明的问题，反证法往往有着出奇制胜的作用．例如,如图，已知四边形ABCD中，∠1＝∠2，下面证明A，B，C，D四点共圆．由A，B，D三点可以确定一个圆，设该圆为⊙O。假设A，B,C，D四点不共圆，则点C在⊙O外部或内部．（1）如果点C在⊙O的外部(如图①）．设BC与圆相交于点E，连接AE.∵∠1＝∠AEB，∠1＝∠2，∴∠2＝∠AEB．而∠AEB是△AEC的外角，∴∠AEB＞∠2，这与∠2＝∠AEB相矛盾，故点C不能在圆外．(2）如果点C在⊙O的内部(如图②)，延长BC与圆相交于点E,连接AE.则∠1＝∠AEB，而∠1＝∠2,∴∠2＝∠AEB．但是∠2是△AEC的外角，∴∠2＞∠AEB,这与∠2＝∠AEB矛盾，∴点C不能在圆内．综上(1)（2)所述,可知点C在圆上．∴A,B，C,D四点共圆．该结论可作为定理直接应用:与线段两个端点连线的夹角相等(或互补)的点连同该线段两个端点在内共圆．题型一证明四点共圆【例题1】如图，在△ABC中，E,D，F分别为AB，BC，AC的中点,且AP⊥BC于P，求证：E,D,P，F四点共圆．分析：连接PF，转化为证明∠FED＝∠FPC，利用中点证明∠FED＝∠C，利用AP⊥BC证明PF＝FC，得∠C＝∠FPC，即得出∠FED＝∠FPC．反思：判定四点共圆的方法：①如果四个点与一定点距离相等，那么这四个点共圆；②如果一个四边形的一组对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆；③如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆（如本题）;④与线段两个端点连线的夹角相等（或互补)的点连同该线段两个端点在内共圆．题型二圆内接四边形的性质的应用【例题2】如图所示，已知四边形ABCD内接于⊙O，延长AB和DC相交于点E，EG平分∠AED，且与BC，AD分别交于点F，G。求证:∠CFG＝∠DGF。分析：由于∠BEF＝∠DEG，转化为证明△EBF∽△EDG，又∠BFE与∠CFG是对顶角，问题获证．反思：当已知条件中出现圆内接四边形时，常用圆内接四边形的性质定理来获得角相等或互补,从而为证明三角形相似或两条直线平行等问题创造条件．答案：【例题1】证明：连接PF.∵AP⊥BC，F为AC的中点,∴PF是Rt△APC斜边上的中线．∴PF＝FC，∴∠FPC＝∠C.∵E,F，D分别为AB，AC，BC的中点，∴EF∥CD，ED∥FC。∴四边形EDCF为平行四边形．∴∠FED＝∠C，∴∠FPC＝∠FED.∴E,D，P,F四点共圆．【例题2】证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EBF＝∠ADE.又EF是∠AED的平分线,则∠BEF＝∠DEG，∴△EBF∽△EDG.∴∠EFB＝∠DGF，又∵∠EFB＝∠CFG，∴∠CFG＝∠DGF.1四边形ABCD内接于圆O，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶7，则∠D＝__________。2如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ACB＝70°，CF是△ABC的边AB上的高，FP⊥BC于点P，FQ⊥AC于点Q，则∠CQP的大小为__________．3如图,AB为⊙O的直径，C,D是⊙O上的两点，∠BAC＝20°，＝，则∠DAC＝______。4如图，已知四边形ABCD为平行四边形,过点A和B的圆与AD，BC分别交于E，F两点．求证：C，D,E,F四点共圆．5如图所示，AB，CD都是圆的弦，且AB∥CD,F为圆上一点，延长FD,AB使它们交于点E。求证:AE·AC＝AF·DE.答案：1．120°∵圆的内接四边形的对角互补，∴∠A＋∠C＝180°.又∵∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶7,∴∠A＝40°,∠B＝60°，∠C＝140°.又∠B＋∠D＝180°,∴∠D＝180°－60°＝120°。2．50°∵FP⊥BC,FQ⊥AC，∴∠FPC＋∠FQC＝90°＋90°＝180°。∴四边形FPCQ内接于圆．∴∠CQP＝∠CFP.又∠A＝60°，∠ACB＝70°，∴∠B＝50°，∴∠PFB＝90°－∠B＝40°.又CF是△ABC的边AB上的高,∴∠CFP＝90°－∠PFB＝50°。∴∠CQP＝50°.3．35°∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°。∴∠ABC＝90°－∠BAC＝90°－20°＝70°.又∵四边形ABCD内接于圆O，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－70°＝110°.则在△ADC中，∠DAC＋∠DCA＝70°.又∵＝,∴∠DAC＝∠DCA。∴∠DAC＝35°.4．分析：连接EF.由∠B＋∠AEF＝180°，∠B＋∠C＝180°，可得∠AEF＝∠C。即四边形EFCD的一个外角等于它的内角的对角,故C，D，E，F四点共圆．证明：如图所示，连接EF。∵ABCD为平行四边形,∴∠B+∠C＝18