2024-2025学年高中数学第一章立体几何初步1.6.1垂直关系的判定课时分层作业含解析北师大版必修2

PAGE1-课时分层作业(八)垂直关系的判定(建议用时：40分钟)一、选择题1．垂直于梯形两腰的直线与梯形所在平面的位置关系是()A．垂直 B．斜交C．平行 D．不能确定A[梯形的两腰所在的直线相交，依据线面垂直的判定定理知选项A正确．]2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与AD1A．平面DD1B．平面A1DCB1C．平面A1B1C1DD．平面A1DBB[连接A1D、B1C，由ABCD­A1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB3．假如直线l，m与平面α，β，γ满意：l＝β∩γ，l∥α，mα和m⊥γ，那么必有()A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γA[B错，有可能m与β相交；C错，有可能m与β相交；D错，有可能α与β相交．]4．从空间一点P向二面角α­l­β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α­l­β的平面角的大小是()A．60° B．120°C．60°或120° D．不确定C[若点P在二面角内，则二面角的平面角为120°；若点P在二面角外，则二面角的平面角为60°.]5．如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则图中相互垂直的平面有()A．1对 B．2对C．3对 D．5对D[∵DA⊥AB，DA⊥PA，∴DA⊥平面PAB.同理BC⊥平面PAB，又AB⊥平面PAD，∴DC⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面ABCD，平面PBC⊥平面PAB，平面PAB⊥平面PAD，平面PDC⊥平面PAD，共5对．]二、填空题6．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数有________．4[eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABC,BC平面ABC))⇒eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC＝A))⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC.]7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜边BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则折叠后BC＝________.1[由题意知，BD⊥AD，由于平面ABD⊥平面ACD.∴BD⊥平面ADC.又DC平面ADC，∴BD⊥DC.连接BC(图略)，则BC＝eq\r(BD2＋DC2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝1.]8．正四面体的侧面与底面所成的二面角的余弦值是________．eq\f(1,3)[如图所示，设正四面体A­BCD的棱长为1，顶点A在底面上的射影为O，连接DO，并延长交BC于点E，连接AE，则E为BC的中点，故AE⊥BC，DE⊥BC，∴∠AEO为侧面ABC与底面BCD所成的二面角的平面角．在Rt△AEO中，AE＝eq\f(\r(3),2)，EO＝eq\f(1,3)ED＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6)，∴cos∠AEO＝eq\f(EO,AE)＝eq\f(1,3).]三、解答题9．如图，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.[证明]设AC∩BD＝O，连接OE.因为O为AC中点，E为PA的中点，所以EO是△PAC的中位线，EO∥PC.因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因为EO平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.10.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°且PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD.因为AC⊥CD，PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC.而AE平面PAC，所以CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.又PD平面PCD，所以AE⊥PD.因为PA⊥平面ABCD，AB平面ABCD，所以PA⊥AB.又AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，又PD平面PAD，所以AB⊥PD.又AE∩AB＝A，所以PD⊥平面ABE.1．以下命题正确的是()①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,a⊥α))⇒a⊥β；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,a⊥b))⇒b∥α；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊥b))⇒b⊥α.A．① B．①③C．②③ D．①②A[①由线面垂直的判定定理可知结论正确；②中b，α的关系可以线面平行或直线在平面内；③中直线可以与平面平行，相交或直线在平面内．]2．如图，在四面体P­ABC中，AB＝AC，PB＝PC，D，E，F分别是棱AB，BC，CA的中点，则下列结论中不肯定成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDF⊥平面ABCD[因为D，F分别为AB，AC的中点，则DF为△ABC的中位线，则BC∥DF，依据线面平行的判定定理，可知BC∥平面PDF，A成立．又E为BC的中点，且PB＝PC，AB＝AC，则BC⊥PE，BC⊥AE，依据线面垂直的判定定理，可知BC⊥平面PAE.因为BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，B成立．又DF平面PDF，则平面PDF⊥平面PAE，C成立．要使平面PDF⊥平面ABC，已知AE⊥DF，则必需有AE⊥PD或AE⊥PF，由条件知此垂直关系不肯定成立，故选D.]3．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，把菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝eq\f(\r(3),2)，则二面角B­AC­D的余弦值为________．60°[如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．∵DO＝OB＝BD＝eq\f(\r(3),2)，∴∠BOD＝60°.]4．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的最小值为________．2[因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥QD.若BC边上存在一点Q，使得QD⊥PQ，则有QD⊥平面PAQ，从而QD⊥AQ.在矩形ABCD中，当AD＝a<2时，直线BC与以AD为直径的圆相离，故不存在点Q，使PQ⊥DQ.所以当a≥2时，才存在点Q，使得PQ⊥QD.所以a的最小值为2.]5．如图，已知三棱锥P­ABC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC.求证：(1)PA⊥平面PBC；(2)平面PAC⊥平面ABC.[证明](1)因为△PDB是正三角形，所以∠BPD＝60°，因为D是AB的中点，所以AD＝BD＝