2024-2025学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.3平面向量基本定理及坐标表示6.3.5平面向量数量积的坐标表示课时作业含解析新人教A版必修第二册

PAGEPAGE5课时作业9平面对量数量积的坐标表示时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．(多选)设向量a＝(1,0)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，则下列结论中错误的是(ABC)A．|a|＝|b| B．a·b＝eq\f(\r(2),2)C．a∥b D．a－b与b垂直解析：因为|a|＝1，|b|＝eq\f(\r(2),2)，所以|a|≠|b|，又a·b＝1×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)≠eq\f(\r(2),2)，易知a与b不共线，所以A，B，C均不正确；因为a－b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))，且(a－b)·b＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×(－eq\f(1,2))＝0，所以(a－b)⊥b.2．已知A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则△ABC的形态是(A)A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．等边三角形解析：eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－3,3)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，∴A＝eq\f(π,2).△ABC为直角三角形．3．设a＝(1,2)，b＝(1,1)，c＝a＋kb，若b⊥c，则实数k的值等于(A)A．－eq\f(3,2) B．－eq\f(5,3)C．eq\f(5,3) D．eq\f(3,2)解析：因为c＝(1＋k,2＋k)，b·c＝0，所以1＋k＋2＋k＝0，解得k＝－eq\f(3,2)，故选A．4．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(2)，则|b|等于(C)A．eq\r(5) B．eq\r(10)C．5 D．25解析：∵a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq\r(2)，∴(a＋b)2＝50＝a2＋2a·b＋b2，可得|b|＝5.5．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)，若向量c满意(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于(D)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，\f(7,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－\f(7,9)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(7,9))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)，－\f(7,3)))解析：设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)，a＋b＝(3，－1)．∵(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2y＋2＝－3x＋1，,3x－y＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(7,9)，,y＝－\f(7,3)，))即c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)，－\f(7,3))).6．已知向量a＝(2cosθ，2sinθ)，b＝(0，－2)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，则向量a、b的夹角为(A)A．eq\f(3π,2)－θ B．θ－eq\f(π,2)C．eq\f(π,2)＋θ D．θ解析：设a与b的夹角为α，则cosα＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(－4sinθ,4)＝－sinθ，因为θ∈(eq\f(π,2)，π)，α∈[0，π]，所以α＝eq\f(3,2)π－θ.二、填空题7．已知a＝(1，n)，b＝(－1，n)，且2a－b与b垂直，则|a|等于2.解析：2a－b＝(3，n)，∵(2a－b)·b＝0，∴n2－3＝0，∴n2＝3，∴|a|2＝1＋n2＝4，∴|a|＝2.8．已知平面对量a与b的夹角为eq\f(2,3)π，a＝(eq\r(3)，1)，|a－2b|＝2eq\r(3)，则|a|＝2，|b|＝1.解析：a＝(eq\r(3)，1)，所以|a|＝2；又|a－2b|＝2eq\r(3)，所以|a－2b|2＝a2－4a·b＋4b2＝12，即22－4×2×|b|×coseq\f(2,3)π＋4|b|2＝12，整理得|b|2＋|b|－2＝0，解得|b|＝1或|b|＝－2(舍去)，所以|b|＝1.9．△ABO三顶点坐标为A(1,0)、B(0,2)、O(0,0)、P(x，y)是坐标平面内一点，满意eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))≤0，eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))≥0，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的最小值为3.解析：∵eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))＝(x－1，y)·(1,0)＝x－1≤0，∴x≤1，∴－x≥－1，∵eq\o(BP,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝(x，y－2)·(0,2)＝2(y－2)≥0，∴y≥2.∴eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x，y)·(－1,2)＝2y－x≥3.三、解答题10．已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝(6,1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(4，k)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(2,1)．(1)若A、C、D三点共线，求k的值；(2)在(1)的条件下，求向量eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))的夹角的余弦值．解：(1)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝(10，k＋1)，又A、C、D三点共线，∴eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→)).∴10×1－2(k＋1)＝0，解得k＝4.(2)设向量eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))的夹角为θ，由(1)得eq\o(BC,\s\up6(→))＝(4,4)，则eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝2×4＋1×4＝12，又|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(42＋42)＝4eq\r(2)，|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，则cosθ＝eq\f(\o(BC,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(BC,\s\up6(→))|)|\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(12,4\r(2)×\r(5))＝eq\f(3\r(10),10).即向量eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))的夹角的余弦值为eq\f(3\r(10),10).11．已知a＝(1,0)，b＝(0,1)，当k为整数时，向量m＝ka＋b与n＝a＋kb的夹角能否为60°？证明你的结论．解：m、n的夹角不能为60°.证明：假设m、n的夹角能为60°，则cos60°＝eq\f(m·n,|m||n|)，∴m·n＝eq\f(1,2)|m||n|.①又∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，∴|a|＝|b|＝1，且a·b＝0.∴m·n＝ka2＋a·b＋k2a·b＋kb2＝2k，②|m||n|＝eq\r(k2a2＋2ka·b＋b2)·eq\r(a2＋2ka·b＋k2b2)＝k2＋1.③由①②③，得2k＝eq\f(1,2)(k2＋1)，∴k2－4k＋1＝0.∵该方程无整数解．∴m、n的夹角不能为60°.——实力提升类——12．已知向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2,2)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(4,1)，在x轴上有一点P，使eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))有最小值，则点P的坐标是(C)A．(－3,0) B．(2,0)C．(3,0) D．(4,0)解析：设点P的坐标为(x,0)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－2，－2)，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－4，－1)．eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.当x＝3时，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))有最小值1，此时点P的坐标为(3,0)，故选C．13．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，则k的值为－eq\f(2,3)或eq\f(11,3)或eq\f(3±\r(13),2).解析：当∠A＝90°时，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴2×1＋3×k＝0，∴k＝－eq\f(2,3).当∠B＝90°时，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)．∴2×(－1)＋3×(k－3)＝0，∴k＝eq\f(11,3).当∠C＝90°时，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴－1＋k(k－3)＝0，∴k＝eq\f(3±\r(13),2).综上所述：k＝－eq\f(2,3)或eq\f(11,3)或eq\f(3±\r(13),2).14．如图，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，且eq\o(DF,\s\up6(→))＝2eq\o(FC,\s\up6(→))，则eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))的值是eq\f(4,3).解析：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．∵AB＝eq\r(2)，BC＝2，∴A(0,0)，B(eq\r(2)，0)，C(eq\r(2)，2)，D(0,2)．∵点E为BC的中点，∴E(eq\r(2)，1)，又∵点F在边CD上，且eq\o(DF,\s\up6(→))＝2eq\o(FC,\s\up6(→))，∴Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\r(2)，2)).∴eq\o(AE,\s\up6(→))＝(eq\r(2)，1)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)\r(2)，2))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝2－eq\f(2,3)＝eq\f(4,3).15．设平面上向量a＝(cosα，sinα)(0°≤α<360°)，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))).(1)试证：非零向量a＋b与a－b垂直；(2)当两个向量eq\r(3)a＋b与a－eq\r(3)b的模相等时，求角α.解：(1)证明：(a＋b)·(a－b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα－\f(1,2)，sinα＋\f(\r(3),2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα＋\f(1,2)，sinα－\f(\r(3),2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosα＋\f(1,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinα＋\f(\r(3),2)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinα－\f(\r(3),2)))＝cos2α－eq\f(1,4)＋sin2α－eq\f(3,4)＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．(2