数学学案：本章整合第二章圆锥曲线与方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精本章整合知识网络专题探究专题一、轨迹问题【例1】已知A(0,7),B(0，－7)，C（12，2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求椭圆的另一个焦点F的轨迹方程．思路分析：先根据椭圆的定义列出关系式，再将其坐标化即可．解：∵|AC｜＝13,｜BC|＝15，｜AB｜＝14，又|AF|＋｜AC|＝|BF｜＋｜BC|，∴｜AF|－｜BF|＝|BC|－｜AC｜＝2，故点F的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的一支．又c＝7，a＝1,b2＝48，故点F的轨迹方程是y2－eq\f（x2,48）＝1(y≤－1）．【例2】已知动圆E与圆A:（x＋4）2＋y2＝2外切,与圆B:（x－4）2＋y2＝2内切，试确定动圆圆心E的轨迹．思路分析：先利用两圆内切和外切表示圆心距，再利用双曲线定义求解．解：设动圆E的半径为r，则由已知|AE｜＝r＋eq\r(2),｜BE|＝r－eq\r（2），所以｜AE｜－|BE|＝2eq\r（2）。又A（－4,0），B（4,0），所以|AB｜＝8,2eq\r(2）＜|AB|。根据双曲线的定义知,点E的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支．【互动探究】若例2条件“与圆B：（x－4）2＋y2＝2内切”改为“与圆B:(x－4）2＋y2＝4外切”则结论如何？解：设动圆E的半径为r，eq\b\lc\{\rc\（eq\a\vs4\al\co1（｜EA｜＝r＋eq\r(2)，，|EB|＝r＋2，)）∴|EB｜－｜EA|＝2－eq\r(2)＜|AB|＝8，∴点E的轨迹为双曲线的一支．【例3】过双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线x＋y＝2的垂线，垂足为N。求线段QN的中点P的轨迹方程．思路分析：先找到P点和Q点坐标之间的关系，再利用Q点坐标满足双曲线方程，间接求得P点的轨迹．解：设动点P的坐标为(x，y）,点Q的坐标为（x1,y1)，则点N的坐标为（2x－x1,2y－y1)．因为点N在直线x＋y＝2上，所以2x－x1＋2y－y1＝2.①又因为PQ垂直于直线x＋y＝2,所以eq\f(y－y1，x－x1)＝1,即x－y＋y1－x1＝0。②联立①②解得eq\b\lc\｛\rc\(eq\a\vs4\al\co1（x1＝eq\f（3,2）x＋eq\f(1,2)y－1,③,y1＝eq\f(1,2)x＋eq\f（3，2)y－1。④)）又点Q在双曲线x2－y2＝1上，所以xeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,1）＝1，⑤将③④代入⑤，得动点P的轨迹方程是2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.专题二、离心率问题【例4】椭圆eq\f（x2，a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的焦距为2c,若直线y＝2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c,则椭圆的离心率等于（）A。eq\f（2－eq\r(2)，2）B。eq\f（2eq\r（2)－1，2) C。eq\r（3）－1D。eq\r(2)－1解析:当x＝c时，由eq\f(c2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得y＝±eq\f（b2,a).又交点在y＝2x上,∴交点坐标为eq\b\lc\(\rc\)（eq\a\vs4\al\co1(c，eq\f(b2,a）））。∴2c＝eq\f（b2,a）＝eq\f（a2－c2，a）＝a－eq\f（c2，a）.∴2eq\f（c，a）＝1－eq\f（c2,a2)，即e2＋2e－1＝0，解得e＝－1±eq\r(2）。∵0＜e＜1，∴e＝eq\r(2）－1。答案：D【例5】点P是双曲线eq\f(x2,a2）－eq\f（y2,b2）＝1(a＞0，b＞0）和圆x2＋y2＝a2＋b2的一个交点，且2∠PF1F2＝∠PF2F1，其中F1和F2是双曲线的两个焦点，则双曲线的离心率为__________．解析：由圆x2＋y2＝a2＋b2，得x2＋y2＝c2，∴圆过焦点F1和F2.∴∠F1PF2＝90°.又2∠PF1F2＝∠PF2F∴∠PF1F2＝30°，∠PF2F如图所示．于是｜PF2|=c，|PF1|=c。由双曲线的定义，有c-c=2a，∴e=。答案：+1【例6】已知双曲线eq\f（x2,a2）－eq\f（y2，b2)＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，试求此双曲线离心率的取值范围．解：设双曲线的斜率为正的一条渐近线的斜率为k，则k≥eq\r（3)，即eq\f(b，a)≥eq\r（3），∴e2＝1＋eq\f(b2,a2）≥1＋(eq\r（3)）2＝4，∴e≥2，即此双曲线离心率的取值范围为[2，＋∞）．专题三、与圆锥曲线有关的最值问题与圆锥曲线有关的最值问题，大都是些综合性问题,解法灵活，技巧性强，涉及代数、三角、几何诸方面的知识，现把这类问题的求解策略与方法介绍如下：（1）平面几何法．平面几何法求最值问题，主要是运用圆锥曲线的定义和平面几何知识求解．(2)目标函数法．建立目标函数解与圆锥曲线有关的最值问题，是常规方法,其关键是选取适当的变量建立目标函数．【例7】已知F1，F2为椭圆x2＋eq\f（y2，2)＝1的两个焦点，AB是过焦点F1的一条动弦,求△ABF2面积的最大值．思路分析：△ABF2的面积是由直线AB的斜率k确定的，因此可构建以k为自变量的目标函数，用代数的方法求函数的最大值．解:由题意,知｜F1F2经分析，当直线AB的斜率不存在时,不满足题意．故设直线AB的方程为y＝kx＋1，代入椭圆的方程2x2＋y2＝2，得（k2＋2）x2＋2kx－1＝0,则xA＋xB＝－eq\f（2k，k2＋2)，xA·xB＝－eq\f(1,k2＋2），∴｜xA－xB|＝eq\f(eq\r(8(k2＋1））,k2＋2)。＝eq\f(1，2）|F1F2｜·|xA－xB｜＝eq\f（1，2）×2×2eq\r（2)×eq\f(eq\r(k2＋1）,k2＋2）＝2eq\r(2)×eq\f(1，eq\r（k2＋1）＋eq\f(1，eq\r(k2＋1）)）≤2eq\r(2）×eq\f(1，2)＝eq\r(2）。当eq\r（k2＋1)＝eq\f（1，eq\r(k2＋1）),即k＝0时，△ABF2的面积最大，为eq\r（2）.【例8】已知点A(4，－2）,F为抛物线y2＝8x的焦点,点M在抛物线上移动，当｜MA｜＋|MF｜取最小值时，点M的坐标为（）A．(0，0） B．（1，－2eq\r（2)) C．(2，－2） D。eq\b\lc\(\rc\）(eq\a\vs4\al\co1(eq\f(1，2），－2))解析：如图，过点M作抛物线的准线l的垂线，垂足为E.由抛物线的定义知｜MF|＝｜ME|。当点M在抛物线上移动时，｜ME|＋｜MA|的值在变化，显然当M移到M′时，A，M′,E′三点共线，｜M′E′|＋｜M′A｜最小，此时AM′∥Ox。把y＝－2代入y2＝8x，得x＝eq\f（1,2），所以M′的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1（eq\f(1,2)，－2）），故选D.答案：D【例9】设F1，F2是椭圆eq\f（x2，a2)＋eq\f（y2,b2)＝1(a＞b＞0）的两个焦点，P是椭圆上任一点，那么|PF1｜·｜PF2｜的最大值为__________．解析：根据基本不等式“eq\r（ab)≤eq\f(a＋b，2)（a＞0，b＞0）”的变形“ab≤eq\b\lc\(\rc\)（eq\a\vs4\al\co1（eq\f（a＋b,2))）2”，得｜PF1｜·|PF2｜≤eq\b\lc\(\rc\）(eq\a\vs4\al\co1（eq\f（｜PF1|＋｜PF2｜,2)））2＝eq\b\lc\(\rc\)(eq\a\vs4\al\co1(eq\f（2a,2））)2＝a2，当且仅当｜PF1|＝|PF2|，即P是短轴端点时，取等号．所以|PF1|·｜PF2｜的最大值为a2。答案：a2【例10】长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，则M点到y轴的最短距离为__________．解析：如图，抛物线y2＝2x的准线为l：x＝－eq\f(1,2），过A，B,M分别作AA′，BB′，MM′垂直于l，垂足分别为A′，B′,M′。由抛物线定义，知|AA′｜＝|FA|，|BB′｜＝|FB|。又M