新教材人教A版高中数学选择性必修第一册-第一章空间向量与立体几何课后练习及章末检测-含解析

第一章空间向量与立体几何课后练习及章末检测一、1.1.1空间向量及其线性运算 -1-二、1.1.2空间向量的数量积运算 -7-三、1.2空间向量基本定理 -15-四、1.3.1空间直角坐标系 -21-五、1.3.2空间运算的坐标表示 -27-六、1.4.1第1课时空间向量与平行关系 -33-七、1.4.1第2课时空间向量与垂直关系 -41-八、1.4.2用空量研究距离夹角问题 -50-第一章章末测验 -63-一、1.1.1空间向量及其线性运算一、选择题1．空间任意四个点A，B，C，D，则eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))等于()A．eq\o(DB,\s\up8(→))B．eq\o(AC,\s\up8(→))C．eq\o(AB,\s\up8(→))D．eq\o(BA,\s\up8(→))D[eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＝eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→)).]2．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且eq\o(AO,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(DO,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))，则四边形ABCD是()A．平行四边形 B．空间四边形C．等腰梯形 D．矩形A[∵eq\o(AO,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＝eq\o(DO,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(DC,\s\up8(→)).∴eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(DC,\s\up8(→))且|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝|eq\o(DC,\s\up8(→))|.∴四边形ABCD为平行四边形．]3．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A，B，C一定共面的是()A．eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))B．eq\o(OM,\s\up8(→))＝2eq\o(OA,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))C．eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))D．eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))D[由eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))，可得3eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))⇒eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OM,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝0，即eq\o(AM,\s\up8(→))＝－eq\o(BM,\s\up8(→))－eq\o(CM,\s\up8(→)).所以eq\o(AM,\s\up8(→))与eq\o(BM,\s\up8(→))，eq\o(CM,\s\up8(→))在一个平面上，即点M与点A，B，C一定共面．]4．若空间中任意四点O，A，B，P满足eq\o(OP,\s\up8(→))＝meq\o(OA,\s\up8(→))＋neq\o(OB,\s\up8(→))，其中m＋n＝1，则()A．P∈ABB．P∉ABC．点P可能在直线AB上D．以上都不对A[因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以eq\o(OP,\s\up8(→))＝(1－n)eq\o(OA,\s\up8(→))＋neq\o(OB,\s\up8(→))，即eq\o(OP,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝n(eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→)))，即eq\o(AP,\s\up8(→))＝neq\o(AB,\s\up8(→))，所以eq\o(AP,\s\up8(→))与eq\o(AB,\s\up8(→))共线．又eq\o(AP,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.]5．已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中，点E是A1C1的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝eq\f(1,2)EF，则eq\o(AF,\s\up8(→))＝()A．eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))B．eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))C．eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up8(→))D．eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up8(→))D[如图所示，eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up8(→))，eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1E,\s\up8(→))，eq\o(A1E,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up8(→))，eq\o(A1C1,\s\up8(→))＝eq\o(A1B1,\s\up8(→))＋eq\o(A1D1,\s\up8(→))，eq\o(A1B1,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(A1D1,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))，所以eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AA1,\s\up8(→))＋\f(1,2)\o(A1C1,\s\up8(→))))＝eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up8(→))，故选D.]二、填空题6．已知A，B，C三点不共线，O为平面ABC外一点，若由eq\o(OM,\s\up8(→))＝－2eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋λeq\o(OC,\s\up8(→))确定的点M与A，B，C共面，则λ＝________.2[由M、A、B、C四点共面知：－2＋1＋λ＝1，即λ＝2.]7．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若eq\o(A1B1,\s\up8(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up8(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up8(→))＝c，用a，b，c表示eq\o(D1M,\s\up8(→))，则eq\o(D1M,\s\up8(→))＝________.eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c[eq\o(D1M,\s\up8(→))＝eq\o(D1D,\s\up8(→))＋eq\o(DM,\s\up8(→))＝eq\o(A1A,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→)))＝c＋eq\f(1,2)(－eq\o(A1D1,\s\up8(→))＋eq\o(A1B1,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c.]8．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则eq\o(EF,\s\up8(→))和eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))的关系是________．(填“平行”，“相等”或“相反”)平行[设G是AC的中点，则eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(EG,\s\up8(→))＋eq\o(GF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))所以2eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))，从而eq\o(EF,\s\up8(→))∥(eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))．]三、解答题9.如图，在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简eq\o(AG,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))，并在图中标出化简结果的向量．[解]∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，∴eq\o(GE,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→)).又eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up8(→))－eq\o(DA,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up8(→))＝eq\o(DE,\s\up8(→))－eq\o(DF,\s\up8(→))＝eq\o(FE,\s\up8(→))，∴eq\o(AG,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AG,\s\up8(→))＋eq\o(GE,\s\up8(→))－eq\o(FE,\s\up8(→))＝eq\o(AF,\s\up8(→))(如图所示)．10．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：eq\o(A1N,\s\up8(→))与eq\o(A1B,\s\up8(→))，eq\o(A1M,\s\up8(→))共面．[证明]∵eq\o(A1B,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))，eq\o(A1M,\s\up8(→))＝eq\o(A1D1,\s\up8(→))＋eq\o(D1M,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up8(→))，eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))，∴eq\o(A1N,\s\up8(→))＝eq\o(AN,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))－eq\o(AA1,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→)))＋eq\f(2,3)(eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up8(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(A1B,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(A1M,\s\up8(→))，∴eq\o(A1N,\s\up8(→))与eq\o(A1B,\s\up8(→))，eq\o(A1M,\s\up8(→))共面．11．(多选题)若A，B，C，D为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是()A．eq\o(AB,\s\up8(→))＋2eq\o(BC,\s\up8(→))＋2eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→))B．2eq\o(AB,\s\up8(→))＋2eq\o(BC,\s\up8(→))＋3eq\o(CD,\s\up8(→))＋3eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))C.eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→))D.eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))BD[A中，eq\o(AB,\s\up8(→))＋2eq\o(BC,\s\up8(→))＋2eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋2eq\o(BD,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))；B中，2eq\o(AB,\s\up8(→))＋2eq\o(BC,\s\up8(→))＋3eq\o(CD,\s\up8(→))＋3eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝2eq\o(AC,\s\up8(→))＋3eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))＝0；C中，eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))＋eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(CA,\s\up8(→))；D中，eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))－eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(DA,\s\up8(→))表示A→B→C→D→A恰好形成一个回路，结果必为0.]12．(多选题)有下列命题，其中真命题的有()A．若eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(CD,\s\up8(→))，则A，B，C，D四点共线B．若eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(AC,\s\up8(→))，则A，B，C三点共线C．若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝－e1＋eq\f(1,10)e2，则a∥bD．若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0BCD[根据共线向量的定义，若eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(CD,\s\up8(→))，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故A错；因为eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(AC,\s\up8(→))且eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))有公共点A，所以B正确；由于a＝4e1－eq\f(2,5)e2＝－4－e1＋eq\f(1,10)e2＝－4b，所以a∥b，故C正确；易知D也正确．]13．(一题两空)已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，若eq\o(OA,\s\up8(→))＝2eq\o(OB,\s\up8(→))＋μeq\o(OC,\s\up8(→))，则μ＝________；存在三个不为0的实数λ，m，n，使λeq\o(OA,\s\up8(→))＋meq\o(OB,\s\up8(→))＋neq\o(OC,\s\up8(→))＝0，那么λ＋m＋n的值为________．－10[由A、B、C三点共线，∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，又由λeq\o(OA,\s\up8(→))＋meq\o(OB,\s\up8(→))＋neq\o(OC,\s\up8(→))＝0得eq\o(OA,\s\up8(→))＝－eq\f(m,λ)eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\f(n,λ)eq\o(OC,\s\up8(→))由A，B，C三点共线知－eq\f(m,λ)－eq\f(n,λ)＝1，则λ＋m＋n＝0.]14．设e1，e2是平面上不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up8(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up8(→))＝e1＋3e2，eq\o(CD,\s\up8(→))＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则实数k为________．－8[因为eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(CD,\s\up8(→))－eq\o(CB,\s\up8(→))＝e1－4e2，eq\o(AB,\s\up8(→))＝2e1＋ke2，又A，B，D三点共线，由共线向量定理得eq\f(1,2)＝eq\f(－4,k)，所以k＝－8.]15.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．(1)试用向量方法证明E，F，G，H四点共面；(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断．[证明](1)分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，连接MN，NQ，QR，RM，∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，∴M，N，Q，R是所在边的中点，且eq\o(PE,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PM,\s\up8(→))，eq\o(PF,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PN,\s\up8(→))，eq\o(PG,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up8(→))，eq\o(PH,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PR,\s\up8(→)).由题意知四边形MNQR是平行四边形，∴eq\o(MQ,\s\up8(→))＝eq\o(MN,\s\up8(→))＋eq\o(MR,\s\up8(→))＝(eq\o(PN,\s\up8(→))－eq\o(PM,\s\up8(→)))＋(eq\o(PR,\s\up8(→))－eq\o(PM,\s\up8(→)))＝eq\f(3,2)(eq\o(PF,\s\up8(→))－eq\o(PE,\s\up8(→)))＋eq\f(3,2)(eq\o(PH,\s\up8(→))－eq\o(PE,\s\up8(→)))＝eq\f(3,2)(eq\o(EF,\s\up8(→))＋eq\o(EH,\s\up8(→)))．又eq\o(MQ,\s\up8(→))＝eq\o(PQ,\s\up8(→))－eq\o(PM,\s\up8(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PG,\s\up8(→))－eq\f(3,2)eq\o(PE,\s\up8(→))＝eq\f(3,2)eq\o(EG,\s\up8(→)).∴eq\o(EG,\s\up8(→))＝eq\o(EF,\s\up8(→))＋eq\o(EH,\s\up8(→))，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．(2)平行．证明如下：由(1)得eq\o(MQ,\s\up8(→))＝eq\f(3,2)eq\o(EG,\s\up8(→))，∴eq\o(MQ,\s\up8(→))∥eq\o(EG,\s\up8(→))，∴eq\o(EG,\s\up8(→))∥平面ABCD.又eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(PN,\s\up8(→))－eq\o(PM,\s\up8(→))＝eq\f(3,2)eq\o(PF,\s\up8(→))－eq\f(3,2)eq\o(PE,\s\up8(→))＝eq\f(3,2)eq\o(EF,\s\up8(→))，∴eq\o(MN,\s\up8(→))∥eq\o(EF,\s\up8(→)).即EF∥平面ABCD.又∵EG∩EF＝E，∴平面EFGH与平面ABCD平行二、1.1.2空间向量的数量积运算一、选择题1．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且(3a＋2b)⊥(λa－b)，则λ等于()A．eq\f(3,2)B．－eq\f(3,2)C．±eq\f(3,2)D．1A[∵a⊥b，∴a·b＝0，∵3a＋2b⊥λa－b，∴(3a＋2b)·(λa－b)＝0，即3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝0，∴12λ－18＝0，解得λ＝eq\f(3,2).]2．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则eq\o(AE,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))的值为()A．a2B．eq\f(1,2)a2C．eq\f(1,4)a2D．eq\f(\r(3),4)a2C[eq\o(AE,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→)))·eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a×a×\f(1,2)＋a×a×\f(1,2)))＝eq\f(1,4)a2.]3．已知长方体ABCD­A1B1C1D1，则下列向量的数量积一定不为0的是()A．eq\o(AD1,\s\up8(→))·eq\o(B1C,\s\up8(→)) B．eq\o(BD1,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))C．eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD1,\s\up8(→)) D．eq\o(BD1,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))D[对于选项A，当四边形ADD1A1为正方形时，可得AD1⊥A1D，而A1D∥B1C，可得AD1⊥B1C，此时有eq\o(AD1,\s\up8(→))·eq\o(B1C,\s\up8(→))＝0；对于选项B，当四边形ABCD为正方形时，AC⊥BD，易得AC⊥平面BB1D1D，故有AC⊥BD1，此时有eq\o(BD1,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝0；对于选项C，由长方体的性质，可得AB⊥平面ADD1A1，可得AB⊥AD1，此时必有eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD1,\s\up8(→))＝0；对于选项D，由长方体的性质，可得BC⊥平面CDD1C1，可得BC⊥CD1，△BCD1为直角三角形，∠BCD1为直角，故BC与BD1不可能垂直，即eq\o(BD1,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))≠0.故选D.]4．在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，向量eq\o(BA1,\s\up8(→))与向量eq\o(AC,\s\up8(→))所成的角为()A．60°B．150°C．90°D．120°D[eq\o(BA1,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))，|eq\o(BA1,\s\up8(→))|＝eq\r(2)a，eq\o(AC,\s\up8(→))＝Aeq\o(B,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))，|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝eq\r(2)a.∴eq\o(BA1,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))＝－a2.∴cos〈eq\o(BA1,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝eq\f(－a2,\r(2)a·\r(2)a)＝－eq\f(1,2).∴〈eq\o(BA1,\s\up8(→))，eq\o(AC,\s\up8(→))〉＝120°.]5.如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为()A．eq\r(13) B．eq\r(23)C．eq\r(33) D．eq\r(43)B[∵eq\o(AC′,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CC′,\s\up8(→))，∴eq\o(AC′,\s\up8(→))2＝(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(CC′,\s\up8(→)))2＝eq\o(AB,\s\up8(→))2＋eq\o(BC,\s\up8(→))2＋eq\o(CC′,\s\up8(→))2＋2(eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CC′,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(CC′,\s\up8(→)))＝12＋22＋32＋2(0＋1×3cos60°＋2×3cos60°)＝14＋2×eq\f(9,2)＝23，∴|eq\o(AC′,\s\up8(→))|＝eq\r(23)，即AC′的长为eq\r(23).]二、填空题6．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝eq\r(7)，则cos〈a，b〉＝________.eq\f(1,8)[将|a－b|＝eq\r(7)两边平方，得(a－b)2＝7.因为|a|＝2，|b|＝2，所以a·b＝eq\f(1,2).又a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，故cos〈a，b〉＝eq\f(1,8).]7．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角是________．60°[eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(DB,\s\up8(→))，∴eq\o(CD,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\o(CD,\s\up8(→))·(eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→))＋eq\o(DB,\s\up8(→)))＝|eq\o(CD,\s\up8(→))|2＝1，∴cos〈eq\o(CD,\s\up8(→))，eq\o(AB,\s\up8(→))〉＝eq\f(\o(CD,\s\up8(→))·\o(AB,\s\up8(→)),|\o(CD,\s\up8(→))||\o(AB,\s\up8(→))|)＝eq\f(1,2)，∴异面直线a，b所成角是60°.]8．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．(－1－eq\r(3)，－1＋eq\r(3))[由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋λb·λa－2b<0，,cos〈a＋λb，λa－2b〉≠－1.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋λb·λa－2b<0，,a＋λb·λa－2b≠－|a＋λb||λa－2b|，))得λ2＋2λ－2<0.∴－1－eq\r(3)<λ<－1＋eq\r(3).]三、解答题9.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AP,\s\up8(→))＝c.(1)试用a，b，c表示出向量eq\o(BM,\s\up8(→))；(2)求BM的长．[解](1)∵M是PC的中点，∴eq\o(BM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up8(→))＋eq\o(BP,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)[eq\o(AD,\s\up8(→))＋(eq\o(AP,\s\up8(→))－eq\o(AB,\s\up8(→)))]＝eq\f(1,2)[b＋(c－a)]＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.(2)由于AB＝AD＝1，PA＝2，∴|a|＝|b|＝1，|c|＝2，由于AB⊥AD，∠PAB＝∠PAD＝60°，∴a·b＝0，a·c＝b·c＝2·1·cos60°＝1，由于eq\o(BM,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)，|eq\o(BM,\s\up8(→))|2＝eq\f(1,4)(－a＋b＋c)2＝eq\f(1,4)[a2＋b2＋c2＋2(－a·b－a·c＋b·c)]＝eq\f(1,4)[12＋12＋22＋2(0－1＋1)]＝eq\f(3,2).∴|eq\o(BM,\s\up8(→))|＝eq\f(\r(6),2)，∴BM的长为eq\f(\r(6),2).10.如图，已知直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．[解](1)证明：设eq\o(CA,\s\up8(→))＝a，eq\o(CB,\s\up8(→))＝b，eq\o(CC′,\s\up8(→))＝c，根据题意得|a|＝|b|＝|c|，且a·b＝b·c＝c·a＝0.∴eq\o(CE,\s\up8(→))＝b＋eq\f(1,2)c，eq\o(A′D,\s\up8(→))＝－c＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)a.∴eq\o(CE,\s\up8(→))·eq\o(A′D,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)c))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c＋\f(1,2)b－\f(1,2)a))＝－eq\f(1,2)c2＋eq\f(1,2)b2＝0，∴eq\o(CE,\s\up8(→))⊥eq\o(A′D,\s\up8(→))，即CE⊥A′D.(2)∵eq\o(AC′,\s\up8(→))＝－a＋c，∴|eq\o(AC′,\s\up8(→))|＝eq\r(2)|a|，|eq\o(CE,\s\up8(→))|＝eq\f(\r(5),2)|a|，∵eq\o(AC′,\s\up8(→))·eq\o(CE,\s\up8(→))＝(－a＋c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,2)c))＝eq\f(1,2)c2＝eq\f(1,2)|a|2，∴cos〈eq\o(AC′,\s\up8(→))，eq\o(CE,\s\up8(→))〉＝eq\f(\f(1,2)|a|2,\r(2)×\f(\r(5),2)|a|2)＝eq\f(\r(10),10).∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为eq\f(\r(10),10).11．(多选题)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列命题正确的有()A．(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→)))2＝3eq\o(AB,\s\up8(→))2B．eq\o(A1C,\s\up8(→))·(eq\o(A1B1,\s\up8(→))－eq\o(A1A,\s\up8(→)))＝0C．eq\o(AD1,\s\up8(→))与eq\o(A1B,\s\up8(→))的夹角为60°D．正方体的体积为|eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))|AB[如图，(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→)))2＝(eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(A1D1,\s\up8(→))＋eq\o(D1C1,\s\up8(→)))2＝eq\o(AC1,\s\up8(→))2＝3eq\o(AB,\s\up8(→))2；eq\o(A1C,\s\up8(→))·(eq\o(A1B1,\s\up8(→))－eq\o(A1A,\s\up8(→)))＝eq\o(A1C,\s\up8(→))·eq\o(AB1,\s\up8(→))＝0；eq\o(AD1,\s\up8(→))与eq\o(A1B,\s\up8(→))的夹角是eq\o(D1C,\s\up8(→))与eq\o(D1A,\s\up8(→))夹角的补角，而eq\o(D1C,\s\up8(→))与eq\o(D1A,\s\up8(→))的夹角为60°，故eq\o(AD1,\s\up8(→))与eq\o(A1B,\s\up8(→))的夹角为120°；正方体的体积为|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AA1,\s\up8(→))||eq\o(AD,\s\up8(→))|.故选AB.]12．已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，若E是底面正方形A1B1C1D1的中心，则eq\o(AC1,\s\up8(→))与eq\o(CE,\s\up8(→))()A．重合 B．平行但不重合C．垂直 D．无法确定C[eq\o(AC1,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))，eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\o(CC1,\s\up8(→))＋eq\o(C1E,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))－eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))，于是eq\o(AC1,\s\up8(→))·eq\o(CE,\s\up8(→))＝(eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→)))·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(AA1－\f(1,2)\o(AB,\s\up8(→))＋\o(AD,\s\up8(→))))＝eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AA1,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(AA1,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))2＋eq\o(AA1,\s\up8(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))＝0－eq\f(1,2)－0＋0－0－eq\f(1,2)＋1－0－0＝0，故eq\o(AC1,\s\up8(→))⊥eq\o(CE,\s\up8(→)).]13．(一题两空)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，P是C1D1的中点，则eq\o(B1C,\s\up8(→))·eq\o(A1P,\s\up8(→))＝________，eq\o(B1C,\s\up8(→))与eq\o(A1P,\s\up8(→))所成角的大小为________．160°[法一：连接A1D，则∠PA1D就是eq\o(B1C,\s\up8(→))与eq\o(A1P,\s\up8(→))所成角．连接PD，在△PA1D中，易得PA1＝DA1＝PD＝eq\r(2)，即△PA1D为等边三角形，从而∠PA1D＝60°，即eq\o(B1C,\s\up8(→))与eq\o(A1P,\s\up8(→))所成角的大小为60°.因此eq\o(B1C,\s\up8(→))·eq\o(A1P,\s\up8(→))＝eq\r(2)×eq\r(2)×cos60°＝1.法二：根据向量的线性运算可得eq\o(B1C,\s\up8(→))·eq\o(A1P,\s\up8(→))＝(eq\o(A1A,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up8(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up8(→))))＝eq\o(AD,\s\up8(→))2＝1.由题意可得PA1＝B1C＝eq\r(2)，则eq\r(2)×eq\r(2)×cos〈eq\o(B1C,\s\up8(→))，eq\o(A1P,\s\up8(→))〉＝1，从而〈eq\o(B1C,\s\up8(→))，eq\o(A1P,\s\up8(→))〉＝60°.]14．已知在正四面体D­ABC中，所有棱长都为1，△ABC的重心为G，则DG的长为________．eq\f(\r(6),3)[如图，连接AG并延长交BC于点M，连接DM，∵G是△ABC的重心，∴AG＝eq\f(2,3)AM，∴eq\o(AG,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up8(→))，eq\o(DG,\s\up8(→))＝eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(AG,\s\up8(→))＝eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up8(→))＝eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(DM,\s\up8(→))－eq\o(DA,\s\up8(→)))＝eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(DB,\s\up8(→))＋\o(DC,\s\up8(→))－\o(DA,\s\up8(→))))＝eq\f(1,3)(eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(DB,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→)))，而(eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(DB,\s\up8(→))＋eq\o(DC,\s\up8(→)))2＝eq\o(DA,\s\up8(→))2＋eq\o(DB,\s\up8(→))2＋eq\o(DC,\s\up8(→))2＋2eq\o(DA,\s\up8(→))·eq\o(DB,\s\up8(→))＋2eq\o(DB,\s\up8(→))·eq\o(DC,\s\up8(→))＋2eq\o(DC,\s\up8(→))·eq\o(DA,\s\up8(→))＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，∴|eq\o(DG,\s\up8(→))|＝eq\f(\r(6),3).]15.如图，正四面体V­ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.(1)求证：AO，BO，CO两两垂直；(2)求〈eq\o(DM,\s\up8(→))，eq\o(AO,\s\up8(→))〉．[解](1)证明：设eq\o(VA,\s\up8(→))＝a，eq\o(VB,\s\up8(→))＝b，eq\o(VC,\s\up8(→))＝c，正四面体的棱长为1，则eq\o(VD,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)(a＋b＋c)，eq\o(AO,\s\up8(→))＝eq\f(1,6)(b＋c－5a)，eq\o(BO,\s\up8(→))＝eq\f(1,6)(a＋c－5b)，eq\o(CO,\s\up8(→))＝eq\f(1,6)(a＋b－5c)，所以eq\o(AO,\s\up8(→))·eq\o(BO,\s\up8(→))＝eq\f(1,36)(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝eq\f(1,36)(18a·b－9|a|2)＝eq\f(1,36)(18×1×1×cos60°－9)＝0，所以eq\o(AO,\s\up8(→))⊥eq\o(BO,\s\up8(→))，即AO⊥BO.同理，AO⊥CO，BO⊥CO.所以AO，BO，CO两两垂直．(2)eq\o(DM,\s\up8(→))＝eq\o(DV,\s\up8(→))＋eq\o(VM,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)(a＋b＋c)＋eq\f(1,2)c＝eq\f(1,6)(－2a－2b＋c)，所以|eq\o(DM,\s\up8(→))|＝eq\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)－2a－2b＋c))\s\up10(2))＝eq\f(1,2).又|eq\o(AO,\s\up8(→))|＝eq\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)b＋c－5a))\s\up12(2))＝eq\f(\r(2),2)，eq\o(DM,\s\up8(→))·eq\o(AO,\s\up8(→))＝eq\f(1,6)(－2a－2b＋c)·eq\f(1,6)(b＋c－5a)＝eq\f(1,4)，所以cos〈eq\o(DM,\s\up8(→))，eq\o(AO,\s\up8(→))〉＝eq\f(\f(1,4),\f(1,2)×\f(\r(2),2))＝eq\f(\r(2),2).又〈eq\o(DM,\s\up8(→))，eq\o(AO,\s\up8(→))〉∈[0，π]，所以〈eq\o(DM,\s\up8(→))，eq\o(AO,\s\up8(→))〉＝eq\f(π,4).三、1.2空间向量基本定理一、选择题1．若向量{a，b，c}是空间的一个基底，则一定可以与向量p＝2a＋b，q＝2a－b构成空间的另一个基底的向量是()A．aB．bC．cD．a＋bC[由p＝2a＋b，q＝2a－b得a＝eq\f(1,4)p＋eq\f(1,4)q，所以a、p、q共面，故a、p、q不能构成空间的一个基底，排除A；因为b＝eq\f(1,2)p－eq\f(1,2)q，所以b、p、q共面，故b、p、q不能构成空间的一个基底，排除B；因为a＋b＝eq\f(3,4)p－eq\f(1,4)q，所以a＋b、p、q共面，故a＋b、p、q不能构成空间的一个基底，排除D.]2．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M是上底面对角线AC与BD的交点，若eq\o(A1B1,\s\up8(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up8(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up8(→))＝c，则eq\o(B1M,\s\up8(→))可表示为()A．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c B．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cC．－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c D．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋cD[由于eq\o(B1M,\s\up8(→))＝eq\o(B1B,\s\up8(→))＋eq\o(BM,\s\up8(→))＝eq\o(B1B,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→)))＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，故选D.]3．若向量eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))的起点M与终点A，B，C互不重合，且点M，A，B，C中无三点共线，满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))成为空间一个基底的关系是()A．eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))B．eq\o(MA,\s\up8(→))≠eq\o(MB,\s\up8(→))＋eq\o(MC,\s\up8(→))C．eq\o(OM,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))D．eq\o(MA,\s\up8(→))＝2eq\o(MB,\s\up8(→))－eq\o(MC,\s\up8(→))C[若eq\o(MA,\s\up8(→))，eq\o(MB,\s\up8(→))，eq\o(MC,\s\up8(→))为空间一组基向量，则M，A，B，C四点不共面．选项A中，因为eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝1，所以点M，A，B，C共面；选项B中，eq\o(MA,\s\up8(→))≠eq\o(MB,\s\up8(→))＋eq\o(MC,\s\up8(→))，但可能存在实数λ，μ使得eq\o(MA,\s\up8(→))＝λeq\o(MB,\s\up8(→))＋μeq\o(MC,\s\up8(→))，所以点M，A，B，C可能共面；选项D中，四点M，A，B，C显然共面．故选C.]4．空间四边形OABC中，eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OC,\s\up8(→))＝c，点M在OA上，且eq\o(OM,\s\up8(→))＝2eq\o(MA,\s\up8(→))，N为BC中点，则eq\o(MN,\s\up8(→))为()A．eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)c B．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC．eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)c D．eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)cB[eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(MA,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BN,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OB,\s\up8(→)))＝－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up8(→))＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.]5．平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，向量eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AA1,\s\up8(→))两两的夹角均为60°且|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝1，|eq\o(AD,\s\up8(→))|＝2，|eq\o(AA1,\s\up8(→))|＝3，则|eq\o(AC1,\s\up8(→))|等于()A．5B．6C．4D．8A[在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中有，eq\o(AC1,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(CC1,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))所以有|eq\o(AC1,\s\up8(→))|＝|eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))|，于是有|eq\o(AC1,\s\up8(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))|2＝|eq\o(AB,\s\up8(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up8(→))|2＋|eq\o(AA1,\s\up8(→))|2＋2|eq\o(AB,\s\up8(→))|·|eq\o(AD,\s\up8(→))|·cos60°＋2|eq\o(AB,\s\up8(→))|·|eq\o(AA1,\s\up8(→))|·cos60°＋2|eq\o(AD,\s\up8(→))||eq\o(AA1,\s\up8(→))|·cos60°＝25，所以|eq\o(AC1,\s\up8(→))|＝5.]二、填空题6．在四面体OABC中，eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OC,\s\up8(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则eq\o(OE,\s\up8(→))＝________.(用a，b，c表示)eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c[因为在四面体OABC中，eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OB,\s\up8(→))＝b，eq\o(OC,\s\up8(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，所以eq\o(OE,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)(b＋c)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.]7．已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，若向量m在基底{a，b，c}下表示为m＝3a＋5b＋9c，则m在基底{a＋b，a－b,3c}下可表示为________．4(a＋b)－(a－b)＋3(3c)[由题意知，m＝3a＋5b＋9c，设m＝x(a＋b)＋y(a－b)＋z(3c)则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3,x－y＝5,3z＝9，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4,y＝－1,z＝3.))则m在基底{a＋b，a－b,3c}可表示为m＝4(a＋b)－(a－b)＋3(3c)．]8．在四棱锥P­ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，eq\o(PA,\s\up8(→))＝a，eq\o(PB,\s\up8(→))＝b，eq\o(PC,\s\up8(→))＝c，试用基底{a，b，c}表示向量eq\o(PG,\s\up8(→))＝________.eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c[因为BG＝2GD，所以eq\o(BG,\s\up8(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up8(→)).又eq\o(BD,\s\up8(→))＝eq\o(BA,\s\up8(→))＋eq\o(BC,\s\up8(→))＝eq\o(PA,\s\up8(→))－eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(PC,\s\up8(→))－eq\o(PB,\s\up8(→))＝a＋c－2b，所以eq\o(PG,\s\up8(→))＝eq\o(PB,\s\up8(→))＋eq\o(BG,\s\up8(→))＝b＋eq\f(2,3)(a＋c－2b)＝eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)b＋eq\f(2,3)c.]三、解答题9.如图所示，正方体OABC­O′A′B′C′，且eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，eq\o(OC,\s\up8(→))＝b，eq\o(OO′,\s\up8(→))＝c.(1)用a，b，c表示向量eq\o(OB′,\s\up8(→))，eq\o(AC′,\s\up8(→))；(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示eq\o(GH,\s\up8(→)).[解](1)eq\o(OB′,\s\up8(→))＝eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(BB′,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\o(OO′,\s\up8(→))＝a＋b＋c.eq\o(AC′,\s\up8(→))＝eq\o(AC,\s\up8(→))＋eq\o(CC′,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AO,\s\up8(→))＋eq\o(AA′,\s\up8(→))＝eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\o(OO′,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝b＋c－a.(2)法一：连接OG，OH(图略)，则eq\o(GH,\s\up8(→))＝eq\o(GO,\s\up8(→))＋eq\o(OH,\s\up8(→))＝－eq\o(OG,\s\up8(→))＋eq\o(OH,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(OB′,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB′,\s\up8(→))＋eq\o(OO′,\s\up8(→)))＝－eq\f(1,2)(a＋b＋c＋b)＋eq\f(1,2)(a＋b＋c＋c)＝eq\f(1,2)(c－b)．法二：连接O′C(图略)，则eq\o(GH,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CO′,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OO′,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→)))＝eq\f(1,2)(c－b)．10.如图，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，eq\o(MA,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))，eq\o(ND,\s\up8(→))＝eq\f(1,3)eq\o(A1D,\s\up8(→))，设eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝c，试用a，b，c表示eq\o(MN,\s\up8(→)).[解]连接AN，则eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(MA,\s\up8(→))＋eq\o(AN,\s\up8(→)).由已知可得四边形ABCD是平行四边形，从而可得eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＝a＋b，eq\o(MA,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)(a＋b)，又eq\o(A1D,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))＝b－c，故eq\o(AN,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(DN,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(ND,\s\up8(→))＝eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\f(1,3)eq\o(A1D,\s\up8(→))＝b－eq\f(1,3)(b－c)，所以eq\o(MN,\s\up8(→))＝eq\o(MA,\s\up8(→))＋eq\o(AN,\s\up8(→))＝－eq\f(1,3)(a＋b)＋b－eq\f(1,3)(b－c)＝eq\f(1,3)(－a＋b＋c)．11．(多选题)已知a，b，c是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是()A．2a，a－b，a＋2b B．2b，b－a，b＋2aC．a,2b，b－c D．c，a＋c，a－cABD[对于A，因为2a＝eq\f(4,3)(a－b)＋eq\f(2,3)(a＋2b)，得2a、a－b、a＋2b三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于B，因为2b＝eq\f(4,3)(b－a)＋eq\f(2,3)(b＋2a)，得2b、b－a、b＋2a三个向量共面，故它们不能构成一个基底；对于C，因为找不到实数λ、μ，使a＝λ·2b＋μ(b－c)成立，故a、2b、b－c三个向量不共面，它们能构成一个基底；对于D，因为c＝eq\f(1,2)(a＋c)－eq\f(1,2)(a－c)，得c、a＋c、a－c三个向量共面，故它们不能构成一个基底，故选ABD.]12．(多选题)给出下列命题，正确命题的有()A．若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底B．已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底C．A，B，M，N是空间四点，若eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(BM,\s\up8(→))，eq\o(BN,\s\up8(→))不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面D．已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底ABCD[根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然B正确．C中由eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(BM,\s\up8(→))，eq\o(BN,\s\up8(→))不能构成空间的一个基底，知eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(BM,\s\up8(→))，eq\o(BN,\s\up8(→))共面．又eq\o(BA,\s\up8(→))，eq\o(BM,\s\up8(→))，eq\o(BN,\s\up8(→))过相同点B，知A，B，M，N四点共面．所以C正确．下面证明AD正确：A假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc.∵d≠0，∴k≠0，从而c＝eq\f(λ,k)a＋eq\f(μ,k)b，∴c与a，b共面，与条件矛盾，∴d与a，b不共面．同理可证D也是正确的．于是ABCD四个命题都正确，故选ABCD.]13．(一题两空)已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.1－1[因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－1.))]14．(一题多空)已知e1，e2是空间单位向量，e1·e2＝eq\f(1,2).若空间向量b满足b·e1＝2，b·e2＝eq\f(5,2)，且对于任意x，y∈R，|b－(xe1＋ye2)|≥|b－(x0e1＋y0e2)|＝1(x0，y0∈R)，则x0＝________，y0＝________，|b|＝________.122eq\r(2)[由题意可令b＝x0e1＋y0e2＋e3，其中|e3|＝1，e3⊥ei，i＝1,2.由b·e1＝2得x0＋eq\f(y0,2)＝2，由b·e2＝eq\f(5,2)得eq\f(x0,2)＋y0＝eq\f(5,2)，解得x0＝1，y0＝2，∴|b|＝eq\r(e1＋2e2＋e32)＝2eq\r(2).]15．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设eq\o(AB,\s\up8(→))＝a，eq\o(AD,\s\up8(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up8(→))＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．(1)用向量a，b，c表示eq\o(D1B,\s\up8(→))，eq\o(EF,\s\up8(→))；(2)若eq\o(D1F,\s\up8(→))＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．[解](1)如图，eq\o(D1B,\s\up8(→))＝eq\o(D1D,\s\up8(→))＋eq\o(DB,\s\up8(→))＝－eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(