新教材人教A版高中数学选择性必修第一册-第一章空间向量与立体几何课后练习及章末检测-含解析_第1页
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文档简介

第一章空间向量与立体几何课后练习及章末检测一、1.1.1空间向量及其线性运算 -1-二、1.1.2空间向量的数量积运算 -7-三、1.2空间向量基本定理 -15-四、1.3.1空间直角坐标系 -21-五、1.3.2空间运算的坐标表示 -27-六、1.4.1第1课时空间向量与平行关系 -33-七、1.4.1第2课时空间向量与垂直关系 -41-八、1.4.2用空量研究距离夹角问题 -50-第一章章末测验 -63-一、1.1.1空间向量及其线性运算一、选择题1.空间任意四个点A,B,C,D,则eq\o(DA,\s\up8(→))+eq\o(CD,\s\up8(→))-eq\o(CB,\s\up8(→))等于()A.eq\o(DB,\s\up8(→))B.eq\o(AC,\s\up8(→))C.eq\o(AB,\s\up8(→))D.eq\o(BA,\s\up8(→))D[eq\o(DA,\s\up8(→))+eq\o(CD,\s\up8(→))-eq\o(CB,\s\up8(→))=eq\o(DA,\s\up8(→))+eq\o(BD,\s\up8(→))=eq\o(BA,\s\up8(→)).]2.设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且eq\o(AO,\s\up8(→))+eq\o(OB,\s\up8(→))=eq\o(DO,\s\up8(→))+eq\o(OC,\s\up8(→)),则四边形ABCD是()A.平行四边形 B.空间四边形C.等腰梯形 D.矩形A[∵eq\o(AO,\s\up8(→))+eq\o(OB,\s\up8(→))=eq\o(DO,\s\up8(→))+eq\o(OC,\s\up8(→)),∴eq\o(AB,\s\up8(→))=eq\o(DC,\s\up8(→)).∴eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(DC,\s\up8(→))且|eq\o(AB,\s\up8(→))|=|eq\o(DC,\s\up8(→))|.∴四边形ABCD为平行四边形.]3.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A,B,C一定共面的是()A.eq\o(OM,\s\up8(→))=eq\o(OA,\s\up8(→))+eq\o(OB,\s\up8(→))+eq\o(OC,\s\up8(→))B.eq\o(OM,\s\up8(→))=2eq\o(OA,\s\up8(→))-eq\o(OB,\s\up8(→))-eq\o(OC,\s\up8(→))C.eq\o(OM,\s\up8(→))=eq\o(OA,\s\up8(→))+eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up8(→))+eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))D.eq\o(OM,\s\up8(→))=eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))+eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))+eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))D[由eq\o(OM,\s\up8(→))=eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))+eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))+eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→)),可得3eq\o(OM,\s\up8(→))=eq\o(OA,\s\up8(→))+eq\o(OB,\s\up8(→))+eq\o(OC,\s\up8(→))⇒eq\o(OM,\s\up8(→))-eq\o(OA,\s\up8(→))+eq\o(OM,\s\up8(→))-eq\o(OB,\s\up8(→))+eq\o(OM,\s\up8(→))-eq\o(OC,\s\up8(→))=0,即eq\o(AM,\s\up8(→))=-eq\o(BM,\s\up8(→))-eq\o(CM,\s\up8(→)).所以eq\o(AM,\s\up8(→))与eq\o(BM,\s\up8(→)),eq\o(CM,\s\up8(→))在一个平面上,即点M与点A,B,C一定共面.]4.若空间中任意四点O,A,B,P满足eq\o(OP,\s\up8(→))=meq\o(OA,\s\up8(→))+neq\o(OB,\s\up8(→)),其中m+n=1,则()A.P∈ABB.P∉ABC.点P可能在直线AB上D.以上都不对A[因为m+n=1,所以m=1-n,所以eq\o(OP,\s\up8(→))=(1-n)eq\o(OA,\s\up8(→))+neq\o(OB,\s\up8(→)),即eq\o(OP,\s\up8(→))-eq\o(OA,\s\up8(→))=n(eq\o(OB,\s\up8(→))-eq\o(OA,\s\up8(→))),即eq\o(AP,\s\up8(→))=neq\o(AB,\s\up8(→)),所以eq\o(AP,\s\up8(→))与eq\o(AB,\s\up8(→))共线.又eq\o(AP,\s\up8(→)),eq\o(AB,\s\up8(→))有公共起点A,所以P,A,B三点在同一直线上,即P∈AB.]5.已知在长方体ABCD­A1B1C1D1中,点E是A1C1的中点,点F是AE的三等分点,且AF=eq\f(1,2)EF,则eq\o(AF,\s\up8(→))=()A.eq\o(AA1,\s\up8(→))+eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))B.eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up8(→))+eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))C.eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up8(→))+eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up8(→))D.eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up8(→))+eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up8(→))D[如图所示,eq\o(AF,\s\up8(→))=eq\f(1,3)eq\o(AE,\s\up8(→)),eq\o(AE,\s\up8(→))=eq\o(AA1,\s\up8(→))+eq\o(A1E,\s\up8(→)),eq\o(A1E,\s\up8(→))=eq\f(1,2)eq\o(A1C1,\s\up8(→)),eq\o(A1C1,\s\up8(→))=eq\o(A1B1,\s\up8(→))+eq\o(A1D1,\s\up8(→)),eq\o(A1B1,\s\up8(→))=eq\o(AB,\s\up8(→)),eq\o(A1D1,\s\up8(→))=eq\o(AD,\s\up8(→)),所以eq\o(AF,\s\up8(→))=eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AA1,\s\up8(→))+\f(1,2)\o(A1C1,\s\up8(→))))=eq\f(1,3)eq\o(AA1,\s\up8(→))+eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up8(→)),故选D.]二、填空题6.已知A,B,C三点不共线,O为平面ABC外一点,若由eq\o(OM,\s\up8(→))=-2eq\o(OA,\s\up8(→))+eq\o(OB,\s\up8(→))+λeq\o(OC,\s\up8(→))确定的点M与A,B,C共面,则λ=________.2[由M、A、B、C四点共面知:-2+1+λ=1,即λ=2.]7.在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中,M为AC与BD的交点,若eq\o(A1B1,\s\up8(→))=a,eq\o(A1D1,\s\up8(→))=b,eq\o(A1A,\s\up8(→))=c,用a,b,c表示eq\o(D1M,\s\up8(→)),则eq\o(D1M,\s\up8(→))=________.eq\f(1,2)a-eq\f(1,2)b+c[eq\o(D1M,\s\up8(→))=eq\o(D1D,\s\up8(→))+eq\o(DM,\s\up8(→))=eq\o(A1A,\s\up8(→))+eq\f(1,2)(eq\o(DA,\s\up8(→))+eq\o(DC,\s\up8(→)))=c+eq\f(1,2)(-eq\o(A1D1,\s\up8(→))+eq\o(A1B1,\s\up8(→)))=eq\f(1,2)a-eq\f(1,2)b+c.]8.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,则eq\o(EF,\s\up8(→))和eq\o(AD,\s\up8(→))+eq\o(BC,\s\up8(→))的关系是________.(填“平行”,“相等”或“相反”)平行[设G是AC的中点,则eq\o(EF,\s\up8(→))=eq\o(EG,\s\up8(→))+eq\o(GF,\s\up8(→))=eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up8(→))+eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))=eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up8(→))+eq\o(BC,\s\up8(→)))所以2eq\o(EF,\s\up8(→))=eq\o(AD,\s\up8(→))+eq\o(BC,\s\up8(→)),从而eq\o(EF,\s\up8(→))∥(eq\o(AD,\s\up8(→))+eq\o(BC,\s\up8(→))).]三、解答题9.如图,在空间四边形ABCD中,G为△BCD的重心,E,F分别为边CD和AD的中点,试化简eq\o(AG,\s\up8(→))+eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→))-eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→)),并在图中标出化简结果的向量.[解]∵G是△BCD的重心,BE是CD边上的中线,∴eq\o(GE,\s\up8(→))=eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→)).又eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))=eq\f(1,2)(eq\o(DC,\s\up8(→))-eq\o(DA,\s\up8(→)))=eq\f(1,2)eq\o(DC,\s\up8(→))-eq\f(1,2)eq\o(DA,\s\up8(→))=eq\o(DE,\s\up8(→))-eq\o(DF,\s\up8(→))=eq\o(FE,\s\up8(→)),∴eq\o(AG,\s\up8(→))+eq\f(1,3)eq\o(BE,\s\up8(→))-eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up8(→))=eq\o(AG,\s\up8(→))+eq\o(GE,\s\up8(→))-eq\o(FE,\s\up8(→))=eq\o(AF,\s\up8(→))(如图所示).10.在长方体ABCD­A1B1C1D1中,M为DD1的中点,点N在AC上,且AN∶NC=2∶1,求证:eq\o(A1N,\s\up8(→))与eq\o(A1B,\s\up8(→)),eq\o(A1M,\s\up8(→))共面.[证明]∵eq\o(A1B,\s\up8(→))=eq\o(AB,\s\up8(→))-eq\o(AA1,\s\up8(→)),eq\o(A1M,\s\up8(→))=eq\o(A1D1,\s\up8(→))+eq\o(D1M,\s\up8(→))=eq\o(AD,\s\up8(→))-eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up8(→)),eq\o(AN,\s\up8(→))=eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up8(→))=eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\o(AD,\s\up8(→))),∴eq\o(A1N,\s\up8(→))=eq\o(AN,\s\up8(→))-eq\o(AA1,\s\up8(→))=eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\o(AD,\s\up8(→)))-eq\o(AA1,\s\up8(→))=eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up8(→))-eq\o(AA1,\s\up8(→)))+eq\f(2,3)(eq\o(AD,\s\up8(→))-eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up8(→)))=eq\f(2,3)eq\o(A1B,\s\up8(→))+eq\f(2,3)eq\o(A1M,\s\up8(→)),∴eq\o(A1N,\s\up8(→))与eq\o(A1B,\s\up8(→)),eq\o(A1M,\s\up8(→))共面.11.(多选题)若A,B,C,D为空间不同的四点,则下列各式为零向量的是()A.eq\o(AB,\s\up8(→))+2eq\o(BC,\s\up8(→))+2eq\o(CD,\s\up8(→))+eq\o(DC,\s\up8(→))B.2eq\o(AB,\s\up8(→))+2eq\o(BC,\s\up8(→))+3eq\o(CD,\s\up8(→))+3eq\o(DA,\s\up8(→))+eq\o(AC,\s\up8(→))C.eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\o(CA,\s\up8(→))+eq\o(BD,\s\up8(→))D.eq\o(AB,\s\up8(→))-eq\o(CB,\s\up8(→))+eq\o(CD,\s\up8(→))-eq\o(AD,\s\up8(→))BD[A中,eq\o(AB,\s\up8(→))+2eq\o(BC,\s\up8(→))+2eq\o(CD,\s\up8(→))+eq\o(DC,\s\up8(→))=eq\o(AB,\s\up8(→))+2eq\o(BD,\s\up8(→))+eq\o(DC,\s\up8(→))=eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\o(BD,\s\up8(→))+eq\o(BD,\s\up8(→))+eq\o(DC,\s\up8(→))=eq\o(AD,\s\up8(→))+eq\o(BC,\s\up8(→));B中,2eq\o(AB,\s\up8(→))+2eq\o(BC,\s\up8(→))+3eq\o(CD,\s\up8(→))+3eq\o(DA,\s\up8(→))+eq\o(AC,\s\up8(→))=2eq\o(AC,\s\up8(→))+3eq\o(CA,\s\up8(→))+eq\o(AC,\s\up8(→))=0;C中,eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\o(CA,\s\up8(→))+eq\o(BD,\s\up8(→))=eq\o(AD,\s\up8(→))+eq\o(CA,\s\up8(→));D中,eq\o(AB,\s\up8(→))-eq\o(CB,\s\up8(→))+eq\o(CD,\s\up8(→))-eq\o(AD,\s\up8(→))=eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\o(BC,\s\up8(→))+eq\o(CD,\s\up8(→))+eq\o(DA,\s\up8(→))表示A→B→C→D→A恰好形成一个回路,结果必为0.]12.(多选题)有下列命题,其中真命题的有()A.若eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(CD,\s\up8(→)),则A,B,C,D四点共线B.若eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(AC,\s\up8(→)),则A,B,C三点共线C.若e1,e2为不共线的非零向量,a=4e1-eq\f(2,5)e2,b=-e1+eq\f(1,10)e2,则a∥bD.若向量e1,e2,e3是三个不共面的向量,且满足等式k1e1+k2e2+k3e3=0,则k1=k2=k3=0BCD[根据共线向量的定义,若eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(CD,\s\up8(→)),则AB∥CD或A,B,C,D四点共线,故A错;因为eq\o(AB,\s\up8(→))∥eq\o(AC,\s\up8(→))且eq\o(AB,\s\up8(→)),eq\o(AC,\s\up8(→))有公共点A,所以B正确;由于a=4e1-eq\f(2,5)e2=-4-e1+eq\f(1,10)e2=-4b,所以a∥b,故C正确;易知D也正确.]13.(一题两空)已知A,B,C三点共线,则对空间任一点O,若eq\o(OA,\s\up8(→))=2eq\o(OB,\s\up8(→))+μeq\o(OC,\s\up8(→)),则μ=________;存在三个不为0的实数λ,m,n,使λeq\o(OA,\s\up8(→))+meq\o(OB,\s\up8(→))+neq\o(OC,\s\up8(→))=0,那么λ+m+n的值为________.-10[由A、B、C三点共线,∴2+μ=1,∴μ=-1,又由λeq\o(OA,\s\up8(→))+meq\o(OB,\s\up8(→))+neq\o(OC,\s\up8(→))=0得eq\o(OA,\s\up8(→))=-eq\f(m,λ)eq\o(OB,\s\up8(→))-eq\f(n,λ)eq\o(OC,\s\up8(→))由A,B,C三点共线知-eq\f(m,λ)-eq\f(n,λ)=1,则λ+m+n=0.]14.设e1,e2是平面上不共线的向量,已知eq\o(AB,\s\up8(→))=2e1+ke2,eq\o(CB,\s\up8(→))=e1+3e2,eq\o(CD,\s\up8(→))=2e1-e2,若A,B,D三点共线,则实数k为________.-8[因为eq\o(BD,\s\up8(→))=eq\o(CD,\s\up8(→))-eq\o(CB,\s\up8(→))=e1-4e2,eq\o(AB,\s\up8(→))=2e1+ke2,又A,B,D三点共线,由共线向量定理得eq\f(1,2)=eq\f(-4,k),所以k=-8.]15.如图所示,已知四边形ABCD是平行四边形,点P是ABCD所在平面外的一点,连接PA,PB,PC,PD.设点E,F,G,H分别为△PAB,△PBC,△PCD,△PDA的重心.(1)试用向量方法证明E,F,G,H四点共面;(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系,并用向量方法证明你的判断.[证明](1)分别连接PE,PF,PG,PH并延长,交对边于点M,N,Q,R,连接MN,NQ,QR,RM,∵E,F,G,H分别是所在三角形的重心,∴M,N,Q,R是所在边的中点,且eq\o(PE,\s\up8(→))=eq\f(2,3)eq\o(PM,\s\up8(→)),eq\o(PF,\s\up8(→))=eq\f(2,3)eq\o(PN,\s\up8(→)),eq\o(PG,\s\up8(→))=eq\f(2,3)eq\o(PQ,\s\up8(→)),eq\o(PH,\s\up8(→))=eq\f(2,3)eq\o(PR,\s\up8(→)).由题意知四边形MNQR是平行四边形,∴eq\o(MQ,\s\up8(→))=eq\o(MN,\s\up8(→))+eq\o(MR,\s\up8(→))=(eq\o(PN,\s\up8(→))-eq\o(PM,\s\up8(→)))+(eq\o(PR,\s\up8(→))-eq\o(PM,\s\up8(→)))=eq\f(3,2)(eq\o(PF,\s\up8(→))-eq\o(PE,\s\up8(→)))+eq\f(3,2)(eq\o(PH,\s\up8(→))-eq\o(PE,\s\up8(→)))=eq\f(3,2)(eq\o(EF,\s\up8(→))+eq\o(EH,\s\up8(→))).又eq\o(MQ,\s\up8(→))=eq\o(PQ,\s\up8(→))-eq\o(PM,\s\up8(→))=eq\f(3,2)eq\o(PG,\s\up8(→))-eq\f(3,2)eq\o(PE,\s\up8(→))=eq\f(3,2)eq\o(EG,\s\up8(→)).∴eq\o(EG,\s\up8(→))=eq\o(EF,\s\up8(→))+eq\o(EH,\s\up8(→)),由共面向量定理知,E,F,G,H四点共面.(2)平行.证明如下:由(1)得eq\o(MQ,\s\up8(→))=eq\f(3,2)eq\o(EG,\s\up8(→)),∴eq\o(MQ,\s\up8(→))∥eq\o(EG,\s\up8(→)),∴eq\o(EG,\s\up8(→))∥平面ABCD.又eq\o(MN,\s\up8(→))=eq\o(PN,\s\up8(→))-eq\o(PM,\s\up8(→))=eq\f(3,2)eq\o(PF,\s\up8(→))-eq\f(3,2)eq\o(PE,\s\up8(→))=eq\f(3,2)eq\o(EF,\s\up8(→)),∴eq\o(MN,\s\up8(→))∥eq\o(EF,\s\up8(→)).即EF∥平面ABCD.又∵EG∩EF=E,∴平面EFGH与平面ABCD平行二、1.1.2空间向量的数量积运算一、选择题1.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且(3a+2b)⊥(λa-b),则λ等于()A.eq\f(3,2)B.-eq\f(3,2)C.±eq\f(3,2)D.1A[∵a⊥b,∴a·b=0,∵3a+2b⊥λa-b,∴(3a+2b)·(λa-b)=0,即3λa2+(2λ-3)a·b-2b2=0,∴12λ-18=0,解得λ=eq\f(3,2).]2.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则eq\o(AE,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))的值为()A.a2B.eq\f(1,2)a2C.eq\f(1,4)a2D.eq\f(\r(3),4)a2C[eq\o(AE,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))=eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\o(AC,\s\up8(→)))·eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))=eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))+eq\o(AC,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→)))=eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a×a×\f(1,2)+a×a×\f(1,2)))=eq\f(1,4)a2.]3.已知长方体ABCD­A1B1C1D1,则下列向量的数量积一定不为0的是()A.eq\o(AD1,\s\up8(→))·eq\o(B1C,\s\up8(→)) B.eq\o(BD1,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))C.eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD1,\s\up8(→)) D.eq\o(BD1,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))D[对于选项A,当四边形ADD1A1为正方形时,可得AD1⊥A1D,而A1D∥B1C,可得AD1⊥B1C,此时有eq\o(AD1,\s\up8(→))·eq\o(B1C,\s\up8(→))=0;对于选项B,当四边形ABCD为正方形时,AC⊥BD,易得AC⊥平面BB1D1D,故有AC⊥BD1,此时有eq\o(BD1,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))=0;对于选项C,由长方体的性质,可得AB⊥平面ADD1A1,可得AB⊥AD1,此时必有eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD1,\s\up8(→))=0;对于选项D,由长方体的性质,可得BC⊥平面CDD1C1,可得BC⊥CD1,△BCD1为直角三角形,∠BCD1为直角,故BC与BD1不可能垂直,即eq\o(BD1,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))≠0.故选D.]4.在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中,向量eq\o(BA1,\s\up8(→))与向量eq\o(AC,\s\up8(→))所成的角为()A.60°B.150°C.90°D.120°D[eq\o(BA1,\s\up8(→))=eq\o(BA,\s\up8(→))+eq\o(AA1,\s\up8(→)),|eq\o(BA1,\s\up8(→))|=eq\r(2)a,eq\o(AC,\s\up8(→))=Aeq\o(B,\s\up8(→))+eq\o(AD,\s\up8(→)),|eq\o(AC,\s\up8(→))|=eq\r(2)a.∴eq\o(BA1,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))=eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\o(BA,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))+eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))=-a2.∴cos〈eq\o(BA1,\s\up8(→)),eq\o(AC,\s\up8(→))〉=eq\f(-a2,\r(2)a·\r(2)a)=-eq\f(1,2).∴〈eq\o(BA1,\s\up8(→)),eq\o(AC,\s\up8(→))〉=120°.]5.如图所示,在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中,AB=1,AD=2,AA′=3,∠BAD=90°,∠BAA′=∠DAA′=60°,则AC′的长为()A.eq\r(13) B.eq\r(23)C.eq\r(33) D.eq\r(43)B[∵eq\o(AC′,\s\up8(→))=eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\o(BC,\s\up8(→))+eq\o(CC′,\s\up8(→)),∴eq\o(AC′,\s\up8(→))2=(eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\o(BC,\s\up8(→))+eq\o(CC′,\s\up8(→)))2=eq\o(AB,\s\up8(→))2+eq\o(BC,\s\up8(→))2+eq\o(CC′,\s\up8(→))2+2(eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(BC,\s\up8(→))+eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(CC′,\s\up8(→))+eq\o(BC,\s\up8(→))·eq\o(CC′,\s\up8(→)))=12+22+32+2(0+1×3cos60°+2×3cos60°)=14+2×eq\f(9,2)=23,∴|eq\o(AC′,\s\up8(→))|=eq\r(23),即AC′的长为eq\r(23).]二、填空题6.已知a,b是空间两个向量,若|a|=2,|b|=2,|a-b|=eq\r(7),则cos〈a,b〉=________.eq\f(1,8)[将|a-b|=eq\r(7)两边平方,得(a-b)2=7.因为|a|=2,|b|=2,所以a·b=eq\f(1,2).又a·b=|a||b|cos〈a,b〉,故cos〈a,b〉=eq\f(1,8).]7.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a,b所成的角是________.60°[eq\o(AB,\s\up8(→))=eq\o(AC,\s\up8(→))+eq\o(CD,\s\up8(→))+eq\o(DB,\s\up8(→)),∴eq\o(CD,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))=eq\o(CD,\s\up8(→))·(eq\o(AC,\s\up8(→))+eq\o(CD,\s\up8(→))+eq\o(DB,\s\up8(→)))=|eq\o(CD,\s\up8(→))|2=1,∴cos〈eq\o(CD,\s\up8(→)),eq\o(AB,\s\up8(→))〉=eq\f(\o(CD,\s\up8(→))·\o(AB,\s\up8(→)),|\o(CD,\s\up8(→))||\o(AB,\s\up8(→))|)=eq\f(1,2),∴异面直线a,b所成角是60°.]8.已知|a|=2,|b|=1,〈a,b〉=60°,则使向量a+λb与λa-2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________.(-1-eq\r(3),-1+eq\r(3))[由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a+λb·λa-2b<0,,cos〈a+λb,λa-2b〉≠-1.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a+λb·λa-2b<0,,a+λb·λa-2b≠-|a+λb||λa-2b|,))得λ2+2λ-2<0.∴-1-eq\r(3)<λ<-1+eq\r(3).]三、解答题9.如图,在四棱锥P­ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2,且PA与AB、AD的夹角都等于60°,M是PC的中点,设eq\o(AB,\s\up8(→))=a,eq\o(AD,\s\up8(→))=b,eq\o(AP,\s\up8(→))=c.(1)试用a,b,c表示出向量eq\o(BM,\s\up8(→));(2)求BM的长.[解](1)∵M是PC的中点,∴eq\o(BM,\s\up8(→))=eq\f(1,2)(eq\o(BC,\s\up8(→))+eq\o(BP,\s\up8(→)))=eq\f(1,2)[eq\o(AD,\s\up8(→))+(eq\o(AP,\s\up8(→))-eq\o(AB,\s\up8(→)))]=eq\f(1,2)[b+(c-a)]=-eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b+eq\f(1,2)c.(2)由于AB=AD=1,PA=2,∴|a|=|b|=1,|c|=2,由于AB⊥AD,∠PAB=∠PAD=60°,∴a·b=0,a·c=b·c=2·1·cos60°=1,由于eq\o(BM,\s\up8(→))=eq\f(1,2)(-a+b+c),|eq\o(BM,\s\up8(→))|2=eq\f(1,4)(-a+b+c)2=eq\f(1,4)[a2+b2+c2+2(-a·b-a·c+b·c)]=eq\f(1,4)[12+12+22+2(0-1+1)]=eq\f(3,2).∴|eq\o(BM,\s\up8(→))|=eq\f(\r(6),2),∴BM的长为eq\f(\r(6),2).10.如图,已知直三棱柱ABC­A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB′的中点.(1)求证:CE⊥A′D;(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.[解](1)证明:设eq\o(CA,\s\up8(→))=a,eq\o(CB,\s\up8(→))=b,eq\o(CC′,\s\up8(→))=c,根据题意得|a|=|b|=|c|,且a·b=b·c=c·a=0.∴eq\o(CE,\s\up8(→))=b+eq\f(1,2)c,eq\o(A′D,\s\up8(→))=-c+eq\f(1,2)b-eq\f(1,2)a.∴eq\o(CE,\s\up8(→))·eq\o(A′D,\s\up8(→))=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b+\f(1,2)c))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-c+\f(1,2)b-\f(1,2)a))=-eq\f(1,2)c2+eq\f(1,2)b2=0,∴eq\o(CE,\s\up8(→))⊥eq\o(A′D,\s\up8(→)),即CE⊥A′D.(2)∵eq\o(AC′,\s\up8(→))=-a+c,∴|eq\o(AC′,\s\up8(→))|=eq\r(2)|a|,|eq\o(CE,\s\up8(→))|=eq\f(\r(5),2)|a|,∵eq\o(AC′,\s\up8(→))·eq\o(CE,\s\up8(→))=(-a+c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b+\f(1,2)c))=eq\f(1,2)c2=eq\f(1,2)|a|2,∴cos〈eq\o(AC′,\s\up8(→)),eq\o(CE,\s\up8(→))〉=eq\f(\f(1,2)|a|2,\r(2)×\f(\r(5),2)|a|2)=eq\f(\r(10),10).∴异面直线CE与AC′所成角的余弦值为eq\f(\r(10),10).11.(多选题)在正方体ABCD­A1B1C1D1中,下列命题正确的有()A.(eq\o(AA1,\s\up8(→))+eq\o(AD,\s\up8(→))+eq\o(AB,\s\up8(→)))2=3eq\o(AB,\s\up8(→))2B.eq\o(A1C,\s\up8(→))·(eq\o(A1B1,\s\up8(→))-eq\o(A1A,\s\up8(→)))=0C.eq\o(AD1,\s\up8(→))与eq\o(A1B,\s\up8(→))的夹角为60°D.正方体的体积为|eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))|AB[如图,(eq\o(AA1,\s\up8(→))+eq\o(AD,\s\up8(→))+eq\o(AB,\s\up8(→)))2=(eq\o(AA1,\s\up8(→))+eq\o(A1D1,\s\up8(→))+eq\o(D1C1,\s\up8(→)))2=eq\o(AC1,\s\up8(→))2=3eq\o(AB,\s\up8(→))2;eq\o(A1C,\s\up8(→))·(eq\o(A1B1,\s\up8(→))-eq\o(A1A,\s\up8(→)))=eq\o(A1C,\s\up8(→))·eq\o(AB1,\s\up8(→))=0;eq\o(AD1,\s\up8(→))与eq\o(A1B,\s\up8(→))的夹角是eq\o(D1C,\s\up8(→))与eq\o(D1A,\s\up8(→))夹角的补角,而eq\o(D1C,\s\up8(→))与eq\o(D1A,\s\up8(→))的夹角为60°,故eq\o(AD1,\s\up8(→))与eq\o(A1B,\s\up8(→))的夹角为120°;正方体的体积为|eq\o(AB,\s\up8(→))||eq\o(AA1,\s\up8(→))||eq\o(AD,\s\up8(→))|.故选AB.]12.已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1,若E是底面正方形A1B1C1D1的中心,则eq\o(AC1,\s\up8(→))与eq\o(CE,\s\up8(→))()A.重合 B.平行但不重合C.垂直 D.无法确定C[eq\o(AC1,\s\up8(→))=eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\o(AD,\s\up8(→))+eq\o(AA1,\s\up8(→)),eq\o(CE,\s\up8(→))=eq\o(CC1,\s\up8(→))+eq\o(C1E,\s\up8(→))=eq\o(AA1,\s\up8(→))-eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\o(AD,\s\up8(→))),于是eq\o(AC1,\s\up8(→))·eq\o(CE,\s\up8(→))=(eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\o(AD,\s\up8(→))+eq\o(AA1,\s\up8(→)))·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(AA1-\f(1,2)\o(AB,\s\up8(→))+\o(AD,\s\up8(→))))=eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AA1,\s\up8(→))-eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))2-eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))+eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(AA1,\s\up8(→))-eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))-eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))2+eq\o(AA1,\s\up8(→))2-eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o(AB,\s\up8(→))-eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up8(→))·eq\o(AD,\s\up8(→))=0-eq\f(1,2)-0+0-0-eq\f(1,2)+1-0-0=0,故eq\o(AC1,\s\up8(→))⊥eq\o(CE,\s\up8(→)).]13.(一题两空)如图,在长方体ABCD­A1B1C1D1中,设AD=AA1=1,AB=2,P是C1D1的中点,则eq\o(B1C,\s\up8(→))·eq\o(A1P,\s\up8(→))=________,eq\o(B1C,\s\up8(→))与eq\o(A1P,\s\up8(→))所成角的大小为________.160°[法一:连接A1D,则∠PA1D就是eq\o(B1C,\s\up8(→))与eq\o(A1P,\s\up8(→))所成角.连接PD,在△PA1D中,易得PA1=DA1=PD=eq\r(2),即△PA1D为等边三角形,从而∠PA1D=60°,即eq\o(B1C,\s\up8(→))与eq\o(A1P,\s\up8(→))所成角的大小为60°.因此eq\o(B1C,\s\up8(→))·eq\o(A1P,\s\up8(→))=eq\r(2)×eq\r(2)×cos60°=1.法二:根据向量的线性运算可得eq\o(B1C,\s\up8(→))·eq\o(A1P,\s\up8(→))=(eq\o(A1A,\s\up8(→))+eq\o(AD,\s\up8(→)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up8(→))+\f(1,2)\o(AB,\s\up8(→))))=eq\o(AD,\s\up8(→))2=1.由题意可得PA1=B1C=eq\r(2),则eq\r(2)×eq\r(2)×cos〈eq\o(B1C,\s\up8(→)),eq\o(A1P,\s\up8(→))〉=1,从而〈eq\o(B1C,\s\up8(→)),eq\o(A1P,\s\up8(→))〉=60°.]14.已知在正四面体D­ABC中,所有棱长都为1,△ABC的重心为G,则DG的长为________.eq\f(\r(6),3)[如图,连接AG并延长交BC于点M,连接DM,∵G是△ABC的重心,∴AG=eq\f(2,3)AM,∴eq\o(AG,\s\up8(→))=eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up8(→)),eq\o(DG,\s\up8(→))=eq\o(DA,\s\up8(→))+eq\o(AG,\s\up8(→))=eq\o(DA,\s\up8(→))+eq\f(2,3)eq\o(AM,\s\up8(→))=eq\o(DA,\s\up8(→))+eq\f(2,3)(eq\o(DM,\s\up8(→))-eq\o(DA,\s\up8(→)))=eq\o(DA,\s\up8(→))+eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(DB,\s\up8(→))+\o(DC,\s\up8(→))-\o(DA,\s\up8(→))))=eq\f(1,3)(eq\o(DA,\s\up8(→))+eq\o(DB,\s\up8(→))+eq\o(DC,\s\up8(→))),而(eq\o(DA,\s\up8(→))+eq\o(DB,\s\up8(→))+eq\o(DC,\s\up8(→)))2=eq\o(DA,\s\up8(→))2+eq\o(DB,\s\up8(→))2+eq\o(DC,\s\up8(→))2+2eq\o(DA,\s\up8(→))·eq\o(DB,\s\up8(→))+2eq\o(DB,\s\up8(→))·eq\o(DC,\s\up8(→))+2eq\o(DC,\s\up8(→))·eq\o(DA,\s\up8(→))=1+1+1+2(cos60°+cos60°+cos60°)=6,∴|eq\o(DG,\s\up8(→))|=eq\f(\r(6),3).]15.如图,正四面体V­ABC的高VD的中点为O,VC的中点为M.(1)求证:AO,BO,CO两两垂直;(2)求〈eq\o(DM,\s\up8(→)),eq\o(AO,\s\up8(→))〉.[解](1)证明:设eq\o(VA,\s\up8(→))=a,eq\o(VB,\s\up8(→))=b,eq\o(VC,\s\up8(→))=c,正四面体的棱长为1,则eq\o(VD,\s\up8(→))=eq\f(1,3)(a+b+c),eq\o(AO,\s\up8(→))=eq\f(1,6)(b+c-5a),eq\o(BO,\s\up8(→))=eq\f(1,6)(a+c-5b),eq\o(CO,\s\up8(→))=eq\f(1,6)(a+b-5c),所以eq\o(AO,\s\up8(→))·eq\o(BO,\s\up8(→))=eq\f(1,36)(b+c-5a)·(a+c-5b)=eq\f(1,36)(18a·b-9|a|2)=eq\f(1,36)(18×1×1×cos60°-9)=0,所以eq\o(AO,\s\up8(→))⊥eq\o(BO,\s\up8(→)),即AO⊥BO.同理,AO⊥CO,BO⊥CO.所以AO,BO,CO两两垂直.(2)eq\o(DM,\s\up8(→))=eq\o(DV,\s\up8(→))+eq\o(VM,\s\up8(→))=-eq\f(1,3)(a+b+c)+eq\f(1,2)c=eq\f(1,6)(-2a-2b+c),所以|eq\o(DM,\s\up8(→))|=eq\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)-2a-2b+c))\s\up10(2))=eq\f(1,2).又|eq\o(AO,\s\up8(→))|=eq\r(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,6)b+c-5a))\s\up12(2))=eq\f(\r(2),2),eq\o(DM,\s\up8(→))·eq\o(AO,\s\up8(→))=eq\f(1,6)(-2a-2b+c)·eq\f(1,6)(b+c-5a)=eq\f(1,4),所以cos〈eq\o(DM,\s\up8(→)),eq\o(AO,\s\up8(→))〉=eq\f(\f(1,4),\f(1,2)×\f(\r(2),2))=eq\f(\r(2),2).又〈eq\o(DM,\s\up8(→)),eq\o(AO,\s\up8(→))〉∈[0,π],所以〈eq\o(DM,\s\up8(→)),eq\o(AO,\s\up8(→))〉=eq\f(π,4).三、1.2空间向量基本定理一、选择题1.若向量{a,b,c}是空间的一个基底,则一定可以与向量p=2a+b,q=2a-b构成空间的另一个基底的向量是()A.aB.bC.cD.a+bC[由p=2a+b,q=2a-b得a=eq\f(1,4)p+eq\f(1,4)q,所以a、p、q共面,故a、p、q不能构成空间的一个基底,排除A;因为b=eq\f(1,2)p-eq\f(1,2)q,所以b、p、q共面,故b、p、q不能构成空间的一个基底,排除B;因为a+b=eq\f(3,4)p-eq\f(1,4)q,所以a+b、p、q共面,故a+b、p、q不能构成空间的一个基底,排除D.]2.在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中,M是上底面对角线AC与BD的交点,若eq\o(A1B1,\s\up8(→))=a,eq\o(A1D1,\s\up8(→))=b,eq\o(A1A,\s\up8(→))=c,则eq\o(B1M,\s\up8(→))可表示为()A.eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b+c B.eq\f(1,2)a-eq\f(1,2)b+cC.-eq\f(1,2)a-eq\f(1,2)b+c D.-eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b+cD[由于eq\o(B1M,\s\up8(→))=eq\o(B1B,\s\up8(→))+eq\o(BM,\s\up8(→))=eq\o(B1B,\s\up8(→))+eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up8(→))+eq\o(BC,\s\up8(→)))=-eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b+c,故选D.]3.若向量eq\o(MA,\s\up8(→)),eq\o(MB,\s\up8(→)),eq\o(MC,\s\up8(→))的起点M与终点A,B,C互不重合,且点M,A,B,C中无三点共线,满足下列关系(O是空间任一点),则能使向量eq\o(MA,\s\up8(→)),eq\o(MB,\s\up8(→)),eq\o(MC,\s\up8(→))成为空间一个基底的关系是()A.eq\o(OM,\s\up8(→))=eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))+eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up8(→))+eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up8(→))B.eq\o(MA,\s\up8(→))≠eq\o(MB,\s\up8(→))+eq\o(MC,\s\up8(→))C.eq\o(OM,\s\up8(→))=eq\o(OA,\s\up8(→))+eq\o(OB,\s\up8(→))+eq\o(OC,\s\up8(→))D.eq\o(MA,\s\up8(→))=2eq\o(MB,\s\up8(→))-eq\o(MC,\s\up8(→))C[若eq\o(MA,\s\up8(→)),eq\o(MB,\s\up8(→)),eq\o(MC,\s\up8(→))为空间一组基向量,则M,A,B,C四点不共面.选项A中,因为eq\f(1,3)+eq\f(1,3)+eq\f(1,3)=1,所以点M,A,B,C共面;选项B中,eq\o(MA,\s\up8(→))≠eq\o(MB,\s\up8(→))+eq\o(MC,\s\up8(→)),但可能存在实数λ,μ使得eq\o(MA,\s\up8(→))=λeq\o(MB,\s\up8(→))+μeq\o(MC,\s\up8(→)),所以点M,A,B,C可能共面;选项D中,四点M,A,B,C显然共面.故选C.]4.空间四边形OABC中,eq\o(OA,\s\up8(→))=a,eq\o(OB,\s\up8(→))=b,eq\o(OC,\s\up8(→))=c,点M在OA上,且eq\o(OM,\s\up8(→))=2eq\o(MA,\s\up8(→)),N为BC中点,则eq\o(MN,\s\up8(→))为()A.eq\f(1,2)a-eq\f(2,3)b+eq\f(1,2)c B.-eq\f(2,3)a+eq\f(1,2)b+eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)b-eq\f(2,3)c D.eq\f(2,3)a+eq\f(2,3)b-eq\f(1,2)cB[eq\o(MN,\s\up8(→))=eq\o(MA,\s\up8(→))+eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\o(BN,\s\up8(→))=eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up8(→))+eq\o(OB,\s\up8(→))-eq\o(OA,\s\up8(→))+eq\f(1,2)(eq\o(OC,\s\up8(→))-eq\o(OB,\s\up8(→)))=-eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up8(→))+eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up8(→))+eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up8(→))=-eq\f(2,3)a+eq\f(1,2)b+eq\f(1,2)c.]5.平行六面体ABCD­A1B1C1D1中,向量eq\o(AB,\s\up8(→)),eq\o(AD,\s\up8(→)),eq\o(AA1,\s\up8(→))两两的夹角均为60°且|eq\o(AB,\s\up8(→))|=1,|eq\o(AD,\s\up8(→))|=2,|eq\o(AA1,\s\up8(→))|=3,则|eq\o(AC1,\s\up8(→))|等于()A.5B.6C.4D.8A[在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中有,eq\o(AC1,\s\up8(→))=eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\o(AD,\s\up8(→))+eq\o(CC1,\s\up8(→))=eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\o(AD,\s\up8(→))+eq\o(AA1,\s\up8(→))所以有|eq\o(AC1,\s\up8(→))|=|eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\o(AD,\s\up8(→))+eq\o(AA1,\s\up8(→))|,于是有|eq\o(AC1,\s\up8(→))|2=|eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\o(AD,\s\up8(→))+eq\o(AA1,\s\up8(→))|2=|eq\o(AB,\s\up8(→))|2+|eq\o(AD,\s\up8(→))|2+|eq\o(AA1,\s\up8(→))|2+2|eq\o(AB,\s\up8(→))|·|eq\o(AD,\s\up8(→))|·cos60°+2|eq\o(AB,\s\up8(→))|·|eq\o(AA1,\s\up8(→))|·cos60°+2|eq\o(AD,\s\up8(→))||eq\o(AA1,\s\up8(→))|·cos60°=25,所以|eq\o(AC1,\s\up8(→))|=5.]二、填空题6.在四面体OABC中,eq\o(OA,\s\up8(→))=a,eq\o(OB,\s\up8(→))=b,eq\o(OC,\s\up8(→))=c,D为BC的中点,E为AD的中点,则eq\o(OE,\s\up8(→))=________.(用a,b,c表示)eq\f(1,2)a+eq\f(1,4)b+eq\f(1,4)c[因为在四面体OABC中,eq\o(OA,\s\up8(→))=a,eq\o(OB,\s\up8(→))=b,eq\o(OC,\s\up8(→))=c,D为BC的中点,E为AD的中点,所以eq\o(OE,\s\up8(→))=eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up8(→))+eq\o(OD,\s\up8(→)))=eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up8(→))+eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up8(→))=eq\f(1,2)a+eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up8(→))+eq\o(OC,\s\up8(→)))=eq\f(1,2)a+eq\f(1,4)(b+c)=eq\f(1,2)a+eq\f(1,4)b+eq\f(1,4)c.]7.已知{a,b,c}是空间的一个单位正交基底,{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底,若向量m在基底{a,b,c}下表示为m=3a+5b+9c,则m在基底{a+b,a-b,3c}下可表示为________.4(a+b)-(a-b)+3(3c)[由题意知,m=3a+5b+9c,设m=x(a+b)+y(a-b)+z(3c)则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x+y=3,x-y=5,3z=9,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=4,y=-1,z=3.))则m在基底{a+b,a-b,3c}可表示为m=4(a+b)-(a-b)+3(3c).]8.在四棱锥P­ABCD中,ABCD为平行四边形,AC与BD交于O,G为BD上一点,BG=2GD,eq\o(PA,\s\up8(→))=a,eq\o(PB,\s\up8(→))=b,eq\o(PC,\s\up8(→))=c,试用基底{a,b,c}表示向量eq\o(PG,\s\up8(→))=________.eq\f(2,3)a-eq\f(1,3)b+eq\f(2,3)c[因为BG=2GD,所以eq\o(BG,\s\up8(→))=eq\f(2,3)eq\o(BD,\s\up8(→)).又eq\o(BD,\s\up8(→))=eq\o(BA,\s\up8(→))+eq\o(BC,\s\up8(→))=eq\o(PA,\s\up8(→))-eq\o(PB,\s\up8(→))+eq\o(PC,\s\up8(→))-eq\o(PB,\s\up8(→))=a+c-2b,所以eq\o(PG,\s\up8(→))=eq\o(PB,\s\up8(→))+eq\o(BG,\s\up8(→))=b+eq\f(2,3)(a+c-2b)=eq\f(2,3)a-eq\f(1,3)b+eq\f(2,3)c.]三、解答题9.如图所示,正方体OABC­O′A′B′C′,且eq\o(OA,\s\up8(→))=a,eq\o(OC,\s\up8(→))=b,eq\o(OO′,\s\up8(→))=c.(1)用a,b,c表示向量eq\o(OB′,\s\up8(→)),eq\o(AC′,\s\up8(→));(2)设G,H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心,用a,b,c表示eq\o(GH,\s\up8(→)).[解](1)eq\o(OB′,\s\up8(→))=eq\o(OB,\s\up8(→))+eq\o(BB′,\s\up8(→))=eq\o(OA,\s\up8(→))+eq\o(OC,\s\up8(→))+eq\o(OO′,\s\up8(→))=a+b+c.eq\o(AC′,\s\up8(→))=eq\o(AC,\s\up8(→))+eq\o(CC′,\s\up8(→))=eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\o(AO,\s\up8(→))+eq\o(AA′,\s\up8(→))=eq\o(OC,\s\up8(→))+eq\o(OO′,\s\up8(→))-eq\o(OA,\s\up8(→))=b+c-a.(2)法一:连接OG,OH(图略),则eq\o(GH,\s\up8(→))=eq\o(GO,\s\up8(→))+eq\o(OH,\s\up8(→))=-eq\o(OG,\s\up8(→))+eq\o(OH,\s\up8(→))=-eq\f(1,2)(eq\o(OB′,\s\up8(→))+eq\o(OC,\s\up8(→)))+eq\f(1,2)(eq\o(OB′,\s\up8(→))+eq\o(OO′,\s\up8(→)))=-eq\f(1,2)(a+b+c+b)+eq\f(1,2)(a+b+c+c)=eq\f(1,2)(c-b).法二:连接O′C(图略),则eq\o(GH,\s\up8(→))=eq\f(1,2)eq\o(CO′,\s\up8(→))=eq\f(1,2)(eq\o(OO′,\s\up8(→))-eq\o(OC,\s\up8(→)))=eq\f(1,2)(c-b).10.如图,在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中,eq\o(MA,\s\up8(→))=-eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→)),eq\o(ND,\s\up8(→))=eq\f(1,3)eq\o(A1D,\s\up8(→)),设eq\o(AB,\s\up8(→))=a,eq\o(AD,\s\up8(→))=b,eq\o(AA1,\s\up8(→))=c,试用a,b,c表示eq\o(MN,\s\up8(→)).[解]连接AN,则eq\o(MN,\s\up8(→))=eq\o(MA,\s\up8(→))+eq\o(AN,\s\up8(→)).由已知可得四边形ABCD是平行四边形,从而可得eq\o(AC,\s\up8(→))=eq\o(AB,\s\up8(→))+eq\o(AD,\s\up8(→))=a+b,eq\o(MA,\s\up8(→))=-eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up8(→))=-eq\f(1,3)(a+b),又eq\o(A1D,\s\up8(→))=eq\o(AD,\s\up8(→))-eq\o(AA1,\s\up8(→))=b-c,故eq\o(AN,\s\up8(→))=eq\o(AD,\s\up8(→))+eq\o(DN,\s\up8(→))=eq\o(AD,\s\up8(→))-eq\o(ND,\s\up8(→))=eq\o(AD,\s\up8(→))-eq\f(1,3)eq\o(A1D,\s\up8(→))=b-eq\f(1,3)(b-c),所以eq\o(MN,\s\up8(→))=eq\o(MA,\s\up8(→))+eq\o(AN,\s\up8(→))=-eq\f(1,3)(a+b)+b-eq\f(1,3)(b-c)=eq\f(1,3)(-a+b+c).11.(多选题)已知a,b,c是不共面的三个向量,则下列向量组中,不能构成一个基底的一组向量是()A.2a,a-b,a+2b B.2b,b-a,b+2aC.a,2b,b-c D.c,a+c,a-cABD[对于A,因为2a=eq\f(4,3)(a-b)+eq\f(2,3)(a+2b),得2a、a-b、a+2b三个向量共面,故它们不能构成一个基底;对于B,因为2b=eq\f(4,3)(b-a)+eq\f(2,3)(b+2a),得2b、b-a、b+2a三个向量共面,故它们不能构成一个基底;对于C,因为找不到实数λ、μ,使a=λ·2b+μ(b-c)成立,故a、2b、b-c三个向量不共面,它们能构成一个基底;对于D,因为c=eq\f(1,2)(a+c)-eq\f(1,2)(a-c),得c、a+c、a-c三个向量共面,故它们不能构成一个基底,故选ABD.]12.(多选题)给出下列命题,正确命题的有()A.若{a,b,c}可以作为空间的一个基底,d与c共线,d≠0,则{a,b,d}也可以作为空间的一个基底B.已知向量a∥b,则a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底C.A,B,M,N是空间四点,若eq\o(BA,\s\up8(→)),eq\o(BM,\s\up8(→)),eq\o(BN,\s\up8(→))不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N四点共面D.已知{a,b,c}是空间的一个基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底ABCD[根据基底的概念,知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底.显然B正确.C中由eq\o(BA,\s\up8(→)),eq\o(BM,\s\up8(→)),eq\o(BN,\s\up8(→))不能构成空间的一个基底,知eq\o(BA,\s\up8(→)),eq\o(BM,\s\up8(→)),eq\o(BN,\s\up8(→))共面.又eq\o(BA,\s\up8(→)),eq\o(BM,\s\up8(→)),eq\o(BN,\s\up8(→))过相同点B,知A,B,M,N四点共面.所以C正确.下面证明AD正确:A假设d与a,b共面,则存在实数λ,μ,使得d=λa+μb,∵d与c共线,c≠0,∴存在实数k,使得d=kc.∵d≠0,∴k≠0,从而c=eq\f(λ,k)a+eq\f(μ,k)b,∴c与a,b共面,与条件矛盾,∴d与a,b不共面.同理可证D也是正确的.于是ABCD四个命题都正确,故选ABCD.]13.(一题两空)已知空间的一个基底{a,b,c},m=a-b+c,n=xa+yb+c,若m与n共线,则x=________,y=________.1-1[因为m与n共线,所以存在实数λ,使m=λn,即a-b+c=λxa+λyb+λc,于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1=λx,,-1=λy,,1=λ,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=1,,y=-1.))]14.(一题多空)已知e1,e2是空间单位向量,e1·e2=eq\f(1,2).若空间向量b满足b·e1=2,b·e2=eq\f(5,2),且对于任意x,y∈R,|b-(xe1+ye2)|≥|b-(x0e1+y0e2)|=1(x0,y0∈R),则x0=________,y0=________,|b|=________.122eq\r(2)[由题意可令b=x0e1+y0e2+e3,其中|e3|=1,e3⊥ei,i=1,2.由b·e1=2得x0+eq\f(y0,2)=2,由b·e2=eq\f(5,2)得eq\f(x0,2)+y0=eq\f(5,2),解得x0=1,y0=2,∴|b|=eq\r(e1+2e2+e32)=2eq\r(2).]15.在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中,设eq\o(AB,\s\up8(→))=a,eq\o(AD,\s\up8(→))=b,eq\o(AA1,\s\up8(→))=c,E,F分别是AD1,BD的中点.(1)用向量a,b,c表示eq\o(D1B,\s\up8(→)),eq\o(EF,\s\up8(→));(2)若eq\o(D1F,\s\up8(→))=xa+yb+zc,求实数x,y,z的值.[解](1)如图,eq\o(D1B,\s\up8(→))=eq\o(D1D,\s\up8(→))+eq\o(DB,\s\up8(→))=-eq\o(AA1,\s\up8(→))+eq\o(AB,\s\up8(

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