2024-2025学年新教材高中数学第三章空间向量与立体几何3.3.1空间向量基本定理课后素养落实含解析北师大版选择性必修第一册

PAGE课后素养落实(二十三)空间向量基本定理(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知O、A、B、C为空间四点，且向量eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))不能构成空间的一组基，则()A．eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))共线 B．eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))共线C．eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))共线 D．O、A、B、C四点共面D[由eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))不能构成一组基知，eq\o(OA,\s\up7(→))、eq\o(OB,\s\up7(→))、eq\o(OC,\s\up7(→))三向量共面，所以肯定有O、A、B、C四点共面．]2．已知{a，b，c}是空间向量的一组基，p＝a＋b，q＝a－b，肯定可以与向量p，q构成空间向量的另一组基的是()A．aB．bC．cD．eq\f(1,3)p－2qC[因为a，b，c不共面，所以p，q，c不共面．若存在x，y∈R，使c＝xp＋yq＝(x＋y)a＋(x－y)b成立，则a，b，c共面，这与已知{a，b，c}是空间一组基冲突，故p，q，c不共面．]3．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内随意一点，设eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，eq\o(OC,\s\up7(→))＝c，则向量eq\o(OD,\s\up7(→))可用a，b，c表示为()A．a－b＋2c B．a－b－2cC．－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c D．eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋cD[eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c．选D．]4．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，下列条件中能确定点M与点A，B，C肯定共面的是()A．eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC,\s\up7(→))B．eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋2eq\o(OB,\s\up7(→))＋3eq\o(OC,\s\up7(→))C．eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))D．eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up7(→))D[由eq\o(OM,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OC,\s\up7(→))，得eq\o(OM,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(OB,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))＋eq\f(1,3)(eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→)))，即eq\o(AM,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up7(→))，所以A，B，C，M四点共面．]5．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则下列结论正确的是()A．eq\o(EG,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))B．eq\o(EF,\s\up7(→))·eq\o(BA,\s\up7(→))＝－eq\f(1,4)C．eq\o(EG,\s\up7(→))⊥eq\o(AB,\s\up7(→))D．cos〈eq\o(AG,\s\up7(→))，eq\o(CE,\s\up7(→))〉＝eq\f(2,3)C[eq\o(EG,\s\up7(→))＝eq\o(EA,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(DG,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AG,\s\up7(→))－eq\o(AD,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))．故A错；设eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AC,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝c．则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，则a·b＝a·c＝b·c＝eq\f(1,2)．因为eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)c－eq\f(1,2)a，eq\o(BA,\s\up7(→))＝－a，所以eq\o(EF,\s\up7(→))·eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－\f(1,2)a))·(－a)＝eq\f(1,2)a2－eq\f(1,2)a·c＝eq\f(1,4)，故B错；因为eq\o(EG,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝eq\f(1,2)(b＋c－a)，所以eq\o(EG,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)(a·b＋a·c－a2)＝0．故eq\o(EG,\s\up7(→))⊥eq\o(AB,\s\up7(→))．因为eq\o(AG,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c，eq\o(CE,\s\up7(→))＝eq\o(CA,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→))＝－b＋eq\f(1,2)a，所以cos〈eq\o(AG,\s\up7(→))，eq\o(CE,\s\up7(→))〉＝eq\f(\o(AG,\s\up7(→))·\o(CE,\s\up7(→)),|\o(AG,\s\up7(→))||\o(CE,\s\up7(→))|)＝－eq\f(2,3)，故D错．]二、填空题6．已知点M在平面ABC内，并且对空间任一点O，eq\o(OM,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))，则x＝________．eq\f(1,6)[由于M∈平面ABC，所以x＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,2)＝1，解得x＝eq\f(1,6)．]7．正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E、F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若eq\o(EF,\s\up7(→))＋λeq\o(A1D,\s\up7(→))＝0(λ∈R)，则λ＝________．－eq\f(1,2)[如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF＝eq\f(1,2)A1D，所以eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1D,\s\up7(→))，即eq\o(EF,\s\up7(→))－eq\f(1,2)eq\o(A1D,\s\up7(→))＝0，所以λ＝－eq\f(1,2)．]8．在四面体ABCD中，点O是△ABC的重心，eq\o(DO,\s\up7(→))可以用eq\o(DA,\s\up7(→))，eq\o(DB,\s\up7(→))，eq\o(DC,\s\up7(→))表示为________．[答案]eq\o(DO,\s\up7(→))＝eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(DA,\s\up7(→))＋\o(DB,\s\up7(→))＋\o(DC,\s\up7(→))))三、解答题9．如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设eq\o(AA1,\s\up7(→))＝a，eq\o(AB,\s\up7(→))＝b，eq\o(AD,\s\up7(→))＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)eq\o(AP,\s\up7(→))；(2)eq\o(A1N,\s\up7(→))；(3)eq\o(MP,\s\up7(→))＋eq\o(NC1,\s\up7(→))．[解](1)∵P是C1D1的中点，∴eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\o(AA1,\s\up7(→))＋eq\o(A1D1,\s\up7(→))＋eq\o(D1P,\s\up7(→))＝a＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\f(1,2)eq\o(D1C1,\s\up7(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up7(→))＝a＋c＋eq\f(1,2)b．(2)∵N是BC的中点，∴eq\o(A1N,\s\up7(→))＝eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(BN,\s\up7(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＝－a＋b＋eq\f(1,2)c．(3)∵M是AA1的中点，∴eq\o(MP,\s\up7(→))＝eq\o(MA,\s\up7(→))＋eq\o(AP,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up7(→))＋eq\o(AP,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)a＋(a＋c＋eq\f(1,2)b)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，又eq\o(NC1,\s\up7(→))＝eq\o(NC,\s\up7(→))＋eq\o(CC1,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(A1A,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)c＋a，∴eq\o(MP,\s\up7(→))＋eq\o(NC1,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(1,2)b＋c))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)c))＝eq\f(3,2)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(3,2)c．10．已知平行六面体OABC­O′A′B′C′，且eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OC,\s\up7(→))＝b，eq\o(OO′,\s\up7(→))＝c．(1)用a，b，c表示向量eq\o(AC′,\s\up7(→))；(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示eq\o(GH,\s\up7(→))．[解](1)eq\o(AC′,\s\up7(→))＝eq\o(AC,\s\up7(→))＋eq\o(CC′,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(OO′,\s\up7(→))＝b＋c－a．(2)eq\o(GH,\s\up7(→))＝eq\o(GO,\s\up7(→))＋eq\o(OH,\s\up7(→))＝－eq\o(OG,\s\up7(→))＋eq\o(OH,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up7(→))＋eq\o(OC′,\s\up7(→)))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB′,\s\up7(→))＋eq\o(OO′,\s\up7(→)))＝－eq\f(1,2)(a＋b＋c＋b)＋eq\f(1,2)(a＋b＋c＋c)＝eq\f(1,2)(c－b)．11．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，若eq\o(AC1,\s\up7(→))＝xeq\o(AB1,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))＋zeq\o(AD1,\s\up7(→))，则x＋y＋z＝()A．3B．2C．eq\f(3,2)D．1C[eq\o(AC1,\s\up7(→))＝xeq\o(AB1,\s\up7(→))＋yeq\o(AC,\s\up7(→))＋zeq\o(AD1,\s\up7(→))＝xeq(\o(AB,\s\up7(→))＋\o(AA1,\s\up7(→)))＋y(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→)))＋zeq(\o(AD,\s\up7(→))＋\o(AA1,\s\up7(→)))＝(x＋y)eq\o(AB,\s\up7(→))＋(y＋z)eq\o(AD,\s\up7(→))＋(z＋x)eq\o(AA1,\s\up7(→))，又eq\o(AC1,\s\up7(→))＝eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＋eq\o(AA1,\s\up7(→))，所以x＋y＝1，y＋z＝1，z＋x＝1，所以x＋y＋z＝eq\f(3,2)．]12．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基，则不能作为空间一组基的向量组是()A．{x，y，z} B．{x，y，a}C．{b，c，z} D．{a，b，x}D[如图作平行六面体ABCD­A1B1C1D1，使eq\o(AB,\s\up7(→))＝a，eq\o(AD,\s\up7(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up7(→))＝c，则eq\o(AC,\s\up7(→))＝x，eq\o(AD1,\s\up7(→))＝y，eq\o(AB1,\s\up7(→))＝z，由平行六面体的性质知：向量x，y，z不共面；向量x，y，a不共面；向量b，c，z不共面．又由x＝a＋b可知，向量a，b，x共面．故选D．]13．(多选题)下列命题正确的是()A．若p＝xa＋yb，则p与a，b共面B．若p与a，b共面，则p＝xa＋ybC．若eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))，则M，P，A，B共面D．若M，P，A，B共面，则eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))AC[A正确；B中若a，b共线，p与a不共线，则p＝xa＋yb就不成立；C正确；D中若M，A，B共线，点P不在此直线上，则eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))不正确．]14．(一题两空)在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为正方体内一动点(包括表面)，若eq\o(AP,\s\up7(→))＝xeq\o(AB,\s\up7(→))＋yeq\o(AD,\s\up7(→))＋zeq\o(AA1,\s\up7(→))，且0≤x≤y≤z≤1．则点P全部可能的位置所构成的几何体的体积是________；表面积是________．eq\f(1,6)1＋eq\r(2)[依据向量加法的几何意义和空间向量基本定理，满意0≤x≤y≤1的点P在三棱柱ACD－A1C1D1内，满意0≤y≤z≤1的点P在三棱柱AA1D1­BB1C1内，故同时满意0≤x≤y≤1和0≤y≤z≤1的点P在这两个三棱柱的公共部分(如图)，即三棱锥A­A1C1D1内，其体积是eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,6)，其表面积是2×eq\f(1,2)×1×1＋2×eq\f(1,2)×1×eq\r(2)＝1＋eq\r(2)．]15．已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，且eq\o(OP,\s\up7(→))＝2e1－e2＋3e3，eq\o(OA,\s\up7(→))＝e1＋2e2－e3，eq\o(OB,\s\up7(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq\o(OC,\s\up7(→))＝e1＋e2－e3．(1)推断P，A，B，C四点是否共面；(2)能否以{eq\o(OA,\s\up7(→))，eq\o(OB,\s\up7(→))，eq\o(OC,\s\up7(→))}作为空间的一个基底？若能，试以这一组基表示eq\o(OP,\s\up7(→))；若不能，请说明理由．[解](1)假设P，A，B，C四点共面，则存在实数x，y，z，使eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA