2024-2025学年高中数学第四章函数应用4.1.1利用函数性质判断方程解的存在学案含解析北师大版必修1

PAGE§1函数与方程1.1利用函数性质推断方程解的存在内容标准学科素养1.了解函数的零点与方程的根的关系．2.会推断函数零点的存在性．3.初步理解函数与方程思想.精确数学概念加强数形结合恰当等价转化授课提示：对应学生用书第66页[基础相识]学问点一函数的零点eq\a\vs4\al(预习教材P115－116，思索并完成以下问题)结合所学的基本初等函数(如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数)，思索是否全部的函数都有零点？并说明理由．提示：不肯定．因为函数的零点就是方程的根，但不是全部的方程都有根，所以说不是全部的函数都有零点．如：指数函数，其图像都在x轴的上方，与x轴没有交点，故指数函数没有零点；对数函数有唯一一个零点．学问梳理函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)几何意义：函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标就是函数y＝f(x)的零点．(3)结论：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．学问点二函数零点存在性的推断eq\a\vs4\al(思索并完成以下问题)结合教材P116例3，你认为求函数零点个数的常用方法有哪些？提示：法一：利用方程的根，转化为解方程，方程有几个根相对应的函数就有几个零点．法二：利用函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的个数，从而判定零点的个数．法三：结合函数的单调性，若函数在区间[a，b]上的图像是一条连绵不断的曲线，利用f(a)·f(b)＜0，结合单调性可判定y＝f(x)在(a，b)上零点的个数．法四：转化成两个函数图像的交点问题．学问梳理函数零点的判定假如函数y＝f(x)在[a，b]上的图像是连绵不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．思索：1.函数的零点是“点”吗？提示：函数y＝f(x)的零点是使f(x)＝0的实数x，它不是点，而是个实数．从图像上分析，零点是相应函数与x轴交点的横坐标．2．f(x)＝eq\f(1,x)，f(1)＝1＞0，f(－1)＝－1＜0，所以f(x)在(－1,1)上存在零点对吗？为什么？提示：不对．因为f(x)的图像在(－1,1)上不连续，是间断的，不符合零点存在的条件．3．若f(x)在[a，b]上是连绵不断的函数，且f(a)·f(b)＞0，则该函数在[a，b]上肯定不存在零点吗？提示：不肯定．如f(x)＝x2，x∈[－1,1]，明显f(－1)·f(1)＝1＞0，但该函数在[－1,1]上存在零点0.[自我检测]1．已知函数y＝f(x)有零点，下列说法不正确的是()A．f(0)＝0B．方程f(x)＝0有实根C．函数f(x)的图像与x轴有交点D．函数f(x)的零点是方程f(x)＝0的根解析：函数y＝f(x)有零点⇔方程f(x)＝0有实根⇔函数f(x)的图像与x轴有交点，且函数f(x)的零点即是方程f(x)＝0的根．故B、C、D都正确；A不正确，因为f(0)不肯定为0.答案：A2．下列图像表示的函数中没有零点的是()解析：B、C、D的图像均与x轴有交点，故函数均有零点，A的图像与x轴没有交点，故函数没有零点．答案：A3．函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则a的取值范围是________．解析：由题意Δ＝4－4a＜0，∴a＞1.答案：(1，＋∞)授课提示：对应学生用书第67页探究一求函数的零点[例1]推断下列函数是否存在零点，假如存在，恳求出零点：(1)f(x)＝－8x2＋7x＋1；(2)f(x)＝1＋log3x；(3)f(x)＝4x－16；(4)f(x)＝eq\f(x2＋4x－12,x－2).[思路点拨]可通过解方程f(x)＝0求得函数的零点．[解析](1)令－8x2＋7x＋1＝0，解得x＝－eq\f(1,8)或x＝1.所以函数的零点为x＝－eq\f(1,8)和x＝1.(2)令1＋log3x＝0，则log3x＝－1，解得x＝eq\f(1,3).所以函数的零点为x＝eq\f(1,3).(3)令4x－16＝0，则4x＝42，解得x＝2.所以函数的零点为x＝2.(4)因为f(x)＝eq\f(x2＋4x－12,x－2)＝eq\f(x＋6x－2,x－2)，令eq\f(x＋6x－2,x－2)＝0，解得x＝－6.所以函数的零点为x＝－6.方法技巧因为函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标，所以，求函数的零点通常有两种方法：一是代数法：令f(x)＝0，通过解方程f(x)＝0的根求得函数的零点；二是几何法：画出函数y＝f(x)的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．跟踪探究1.已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，求函数y＝logn(mx＋1)的零点．解析：由题意知f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的两个零点为1和2，则1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两个实根．所以有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2＝－3m＋1，,1×2＝n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝2.))所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1)．令log2(－2x＋1)＝0，得x＝0.所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0.探究二推断函数零点的个数[例2]求函数f(x)＝ln(x－1)＋0.01x的零点的个数．[思路点拨]解答本题可利用函数零点的存在性定理或采纳数形结合的方法．[解析]法一：因为f(3)＝ln2＋0.03＞0，f(1.5)＝－ln2＋0.015＜0，所以f(3)·f(1.5)＜0，说明函数f(x)＝ln(x－1)＋0.01x在区间(1.5,3)内有零点．又因为y＝ln(x－1)与y＝0.01x在(1，＋∞)上都是增函数，所以该函数只有一个零点．法二：令ln(x－1)＋0.01x＝0，则ln(x－1)＝－0.01x.在同一坐标系下，作出y1＝ln(x－1)和y2＝－0.01x的图像，如图，易看出它们有一个交点，所以f(x)有一个零点．延长探究在本例中若把解析式改为“f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2”，试推断该函数零点的个数．解析：法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(2)＝4＋lg3－2＞0，∴f(x)在(0,2)上必定存在零点．又明显f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点．法二：令2x＋lg(x＋1)－2＝0，则lg(x＋1)＝2－2x，在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的草图．由图像知g(x)＝lg(x＋1)的图像和h(x)＝2－2x的图像有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2有且只有一个零点．方法技巧推断函数y＝f(x)零点的个数的方法主要有：(1)解方程f(x)＝0，方程实根的个数就是函数零点个数；(2)当方程f(x)＝0不能解时，可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性推断零点的个数；(3)由f(x)＝g(x)－h(x)＝0，得g(x)＝h(x)，在同一坐标系下作出y1＝g(x)和y2＝h(x)的图像，则两图像交点的个数就是函数y＝f(x)零点的个数．跟踪探究2.推断函数f(x)＝x－3＋lnx的零点个数．解析：法一：令f(x)＝x－3＋lnx＝0，则lnx＝3－x.在同一平面直角坐标系内分别画出函数y＝lnx与y＝－x＋3的图像，如图所示．由图可知函数y＝lnx与y＝－x＋3的图像只有一个交点，即函数f(x)＝x－3＋lnx只有一个零点．法二：因为f(3)＝ln3＞0，f(2)＝－1＋ln2＝lneq\f(2,e)＜0，所以f(3)·f(2)＜0，说明函数f(x)＝x－3＋lnx在区间(2,3)内有零点．又f(x)＝x－3＋lnx在(0，＋∞)上是增函数，所以原函数只有一个零点．探究三推断函数零点所在区间[例3]方程2x＝eq\f(1,x)的解所在的区间为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))[解析]令f(x)＝2x－eq\f(1,x).∵f(x)＝2x－eq\f(1,x)，且f(1)＝2－1＝1＞0，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\r(2)－2＜0，∴f(1)·feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＜0.∴f(x)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))内存在零点．[答案]B方法技巧1.关于函数零点所在区间(1)推断零点所在区间有两种方法：一是利用零点存在定理，二是利用函数图像．(2)要正确理解和运用函数零点的性质在函数零点所在区间的推断中的应用，若f(x)图像在[a，b]上连续，且f(a)·f(b)＜0，则f(x)在(a，b)上必有零点，若f(a)·f(b)＞0，则f(x)在(a，b)上不肯定没有零点．2．关于二次函数的零点分布(1)在解决二次函数的零点分布问题时要结合草图考虑以下四个方面：①Δ与0的关系；②对称轴与所给端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向．(2)设x1，x2是实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两个实数根，则x1，x2的分布范围与一元二次方程系数之间的关系如下表所示.根的分布图像等价条件x1＜x2＜keq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0,fk＞0,－\f(b,2a)＜k))k＜x1＜x2eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＞0,fk＞0,－\f(b,2a)＞k))x1＜k＜x2f(k)＜0x1，x2∈(k1，k2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0,fk1＞0,fk2＞0,k1＜－\f(b,2a)＜k2))x1，x2(x1≠x2)中有且仅有一个在(k1，k2)内f(k1)·f(k2)＜0或f(k1)＝0，k1＜－eq\f(b,2a)＜eq\f(k1＋k2,2)或f(k2)＝0，eq\f(k1＋k2,2)＜－eq\f(b,2a)＜k2跟踪探究3.关于x的方程x2－2ax＋4＝0的两根均大于1，求实数a的取值范围．解析：法一：(应用求根公式)方程x2－2ax＋4＝0的两根为x＝eq\f(2a±\r(4a2－16),2)＝a±eq\r(a2－4)，要使两根均大于1，只需较小根a－eq\r(a2－4)＞1即可．解得2≤a＜eq\f(5,2).即实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))).法二：(应用根与系数的关系)设x1，x2为方程x2－2ax＋4＝0的两根，则有x1＋x2＝2a，x1x2＝4.①要使原方程x2－2ax＋4＝0的两根x1，x2均大于1，则需满意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1－1＋x2－1＞0，,x1－1x2－1＞0，,Δ≥0.))将①代入上述不等式组，解得2≤a＜eq\f(5,2).即实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))).法三：(应用二次函数的图像)设f(x)＝x2－2ax＋4，图像如图所示．由图可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,f1＞0，,－\f(－2a,2)＞1，))解得2≤a＜eq\f(5,2).即实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))).4．关于x的方程ax2－2(a＋1)x＋a－1＝0，求a为何值时：(1)函数f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1有且仅有一个零点；(2)方程的一根大于1，一根小于1.解析：(1)当a＝0时，方程变为－2x－1＝0，即x＝－eq\f(1,2)，符合题意；当a≠0时，方程为一元二次方程，由题意知方程有两个相等的实数根，所以Δ＝12a＋4＝0.解得a＝－eq\f(1,3).综上可知，当a＝0或a＝－eq\f(1,3)时，函数f(x)＝ax2－2(a＋1)x＋a－1有且仅有一个零点．(2)因为方程有一根大于1，一根小于1，所以图像大致如图所示．令f(x)＝ax2－2(a