全国统考版2025届高考数学二轮复习专题五数列梳理纠错预测学案理含解析

2024年高考“2024年高考“最终三十天”专题透析好教化云平台--教化因你我而变好教化云平台--教化因你我而变数列专题专题5××数列命题趋势命题趋势数列的考查主要为等差等比数列通项、性质、前n项和的考查以及数列综合运用的考查．等差数列、等比数列对通项的考查除了基本运算、基本概念，还注意对函数与方程、等价转化、分类探讨思想的考查；数列性质的考查主要为等差中项、等比中项、通项公式及前n项和的最大、最小值的问题，难度中等偏易；数列综合运用的考查常以解答题的形式出现，结合数列的递推关系式，等差数列、等比数列的定义绽开，求解数列的前n项和或数列不等式的证明，难度中等．考点清单考点清单等差数列的通项公式：a等差中项：2an=a等差数列的求和公式：，等比数列的通项公式：a等比中项：an2=a等比数列的求和公式：前n项和Sn与第n项an的关系关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质：（1）若项数为2n，则，；（2）若项数为2n-1，则，，，；（3）两个等差数列an、bn的前n项和Sn、T

精题集训精题集训（70分钟）经典训练题经典训练题一、选择题．1．已知Sn是等差数列an的前n项和，且a2A．1 B．2 C．6 D．18【答案】B【解析】依据等差数列的性质，可得a2，则，故选B．【点评】本题主要考了等差中项，属于基础题．2．“垛积术”是我国古代数学的重要成就之一，宋元时期数学家朱世杰在《四元玉鉴》中记载了“三角形垛”，其中的“落一形”堆垛就是每层为“三角形数”的三角锥的堆垛（俯视如图所示，顶上一层1个球，下一层3个球，再下一层6个球，…）．若一“落一形”三角锥垛有6层，则该堆垛第6层的小球个数为（）A．45 B．36 C．28 D．21【答案】D【解析】由题意分析可得a1则“三角形数”的通项公式，，故选D．【点评】本题以数学文化为背景，考查数列学问及运算实力，难度中等偏易．3．已知等差数列an前10项的和是310，前20项的和是1220，则数列aA．an=6n+2 B．an=6n-2 C．【答案】B【解析】设公差为d，依题意得，解得a1=4所以an=a1【点评】本题考了等差数列通项公式的求法，属于基础题．4．数列an是等差数列，Sn为其前n项和，且a1<0，a2020+aA．2020 B．2021 C．4040 D．4041【答案】C【解析】设数列an的公差为d，由a1<0，a可知a2020<0，a2021>0，所以，S4040=2020a1+a4040=2020【点评】本题求满意Sn<0的最大正整数n的值，关键就是求出Sn<0，5．设Sn是数列an的前n项和，若，，则S2021A． B． C． D．【答案】B【解析】在数列an中，，，则，，，以此类推可知，对随意的n∈N*，an+3=a∵2021=3×673+2，因此，，故选B．【点评】依据递推公式证明数列an（1）先依据已知条件写出数列an的前几项，直至出现数列中的循环项，推断循环的项包含的项数k（2）证明an+k=ank∈6．若等差数列an满意a1+a3A．2 B．1 C．0 D．【答案】D【解析】a5+a【点评】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换．7．2015年07月31日17时57分，国际奥委会第128次全会在吉隆坡实行，投票选出2022年冬奥会举办城市为北京．某人为了观看2022年北京冬季奥运会，从2016年起，每年的1月1日到银行存入a元的定期储蓄，若年利率为且保持不变，并约定每年到期，存款的本息均自动转为新的一年的定期，到2022年的1月1日将全部存款及利息全部取出，则可取出钱(元)的总数为（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意，2024年1月1日，存入的a元，一年后存款及利息为，二年后存款及利息为a(1+p)2，由此可得，从2024年1月1日到2024年1月1日全部的存款及利息为：，故选D．【点评】本题考了数列的实际运用，属于基础题．8．等比数列an中，a1+a2=6，A．90 B．302+1 C．452【答案】A【解析】∵an是等比数列，a1+a2=6，∴前8项和为a1+a2【点评】本题考了等比数列通项公式的运用，以及前n项和的求法．9．设等比数列an的前n项和为Sn，若，则（）A． B． C． D．【答案】D【解析】an是等比数列，∴S，设S5=2k则S10-S5=-k，故选D．【点评】本题考了等比数列前n项和的基本性质，属于基础题．10．已知等比数列an的公比为q，首项为a，前n项和为SA．若a>0，则anSn>0 BC．若a<0，则anSn<0 D【答案】B【解析】因为an为等比数列，故a≠0若q=1，则an=a，Sn=na，故anS若q≠1，则，，故，若q>1，则qn-1>0，若，则qn-1>0，1-若q<0，则，其中q1-q<0取，则当n为偶数，则a2qn当n为奇数，则a2qn1-故A、D错误，故选B．【点评】本题主要考了等比数列前n项和公式以及通项公式，属于中档题．11．（多选）已知数列an的前n项和是SA．若，则an是等差数列B．若Sn=2aC．若an是等差数列，则Sn，D．若an是等比数列，则Sn，【答案】ABC【解析】若，当n=1时，a1=n≥2时，anan=2n(n∈)，∴an若Sn=2an-1，当n=1时，n≥2时，an=Sn-Sn-1=设等差数列an的公差为d，首项是，，S2n同理，S3n因此2S2n-Sn=S若等比数列an的公比，，则，，不行能成等比数列，D错误，故选ABC．【点评】本题考了等比数列前n项和的性质，以及前n项和与通项的关系．12．（多选）设等比数列an的公比为q，其前q项和为Sn，前n项积为Tn，且满意，a2020A． B．C．T2020是数列Tn中的最大项 D【答案】ACD【解析】由a2020-1⋅a2021-1或，又，且a2020⋅a2021>1，可得a2020且一个大于1，一个小于1，若q>1，则an若，则，an=a满意0<a2021<1<对于B选项，由于，数列an为正项递减数列，0<a2021<1<a2020对于C选项，由上可知，正项数列an前2020项都大于1而从第2021项起都小于1，所以，T2020是数列Tn中的最大值，故对于D选项，T2021D选项正确，故选ACD．【点评】在等比数列an的公比q的取值不确定时，首先分析q的符号，进一步确定q的取值范围，解本题的关键就是结合已知条件分析出，并结合等比数列an二、填空题．13．数列an满意a1=1，an+1【答案】93【解析】∵an+1+，，，把这些相加的：把这些相减的：2a1+①+②，所以Sn+1=3n+3，所以S故答案为93．【点评】数列求和的常用：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．三、解答题．14．设数列an是等差数列，已知a（1）求数列an（2）设，求b1+【答案】（1）an=3n；（2）【解析】（1）设等差数列an的公差为d则由题意有a3=a∴a（2），．【点评】本题考查了等差数列的通项公式的求法，以及裂项相消求前n项和的方法．15．已知数列an的首项，若向量a=an+1，2，b（1）求数列an的通项公式a（2）已知数列bn，若，求数列的前n项和Sn．【答案】（1）an=2n，【解析】（1）由a⊥b，则a⋅所以an+1=2a数列an是以2为首项，2则an=2×2（2）由，则anbn=n×由Sn由①×2，可得2S由①－②，可得-，则Sn=n-1所以数列的前n项和Sn=【点评】数列求和的方法：（1）倒序相加法：假如一个数列{an}的前n（2）错位相减法：假如一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如an=-116．已知数列an满意：，．（1）求a2n（2）若，求数列an的最小项．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设数列的前n项和为Sn，即，∴．则，故，当n=1，a2=1∴．（2）．考虑奇数项，∵，∴，又，∵，得，而2q-2>0，∴当n≤2时，a2n+1<a2n-1；当n≥3时，a而，所以数列an的最小项为．【点评】数列的最大项最小项，一般依据数列的单调性来处理，假如数列是分段数列，则可以分别探讨各段上的最大项最小项，比较后可得原数列的最大项最小项．17．在各项均为正数的等比数列an中，a2=4，a4=16；数列b（1）求数列an的首项a1和公比（2）写出数列an的通项公式，并求数列b（3）求数列an+bn的前【答案】（1）；（2）an=2n，bn=2n-1【解析】（1）因为an是各项均为正数的等比数列，则，解得．（2）由（1）知，an在数列bn中，S当n=1时，b1当n≥2时，bn=S综上所述：bn（3）．【点评】本题考查了等比数列，等差数列的通项公式，以及数列前n项和与通项的关系．高频易错题高频易错题一、解答题．1．已知数列an满意：．（1）求数列an（2）设，数列bn的前n项和为Sn，试比较Sn与【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为数列an满意：，所以，当n=1时，，当n≥2时，，相减可得，所以，综上可得，．（2）因为，所以，n≥2时，．所以，综上，对n∈N*都有，【点评】本题其次问解题的关键在于当n≥2时，，进而依据列项求和法求解即可，考查运算求解实力，是中档题．精准精准预料题1．已知Sn是等差数列an的前n项和，若a2=7，，则A．24 B．26 C．28 D．30【答案】B【解析】设等差数列an的公差为d，由a2=7，S解得，所以，故选B．【点评】本题主要考查等差数列的通项公式以及前n项和公式的应用，属于简单题．2．已知数列an的前n项和为Sn，前n项积为Tn，若，，则（）A．2100 B．682 C．782 D．1024【答案】C【解析】因为Sn+1=4a又Sn+1-S因为，所以数列an是以2为首项，4为公比的等比数列，所以an所以，，所以，所以，故选C．【点评】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和敏捷运用性质．3．已知数列an的前n项和为Sn，且an>0，n∈NA．an+Sn是等差数列C．an2是等比数列 D．【答案】D【解析】因为数列an和Sn都是等差数列，，所以可推断a所以数列an是公差为0的等差数列，即a对A，an+Sn-an-1+对B，an⋅Sn-an-1⋅对C，，所以数列an2是等比数列，故C对对D，设an=a，则Sn=na，S故选D．【点评】解答本题的关键在于推断出数列an是公差为0的等差数列，然后结合等差数列的定义，等比数列的定义列式推断4．设Sn是等差数列an的前n项和，若，则（）A． B． C． D．【答案】A【解析】若数列an为等差数列，则S因为，所以，则数列S4，S8-则，，，所以，，所以，故选A．【点评】本题考了等差数列前n项和的性质．二、填空题．5．若等比数列{an}的各项均为正数且a4【答案】10【解析】∵等比数列{an}∴，故答案为10．【点评】本题主要考了等比数列的性质，以及对数的运算法则，考查运算求解实力，属于基础题．三、解答题．6．数列an的前n项之和为Sn，a1=1，an+1（1）当p=1时，求数列的前n项之和；（2）当p=2时，求证：数列an+1是等比数列，并求【答案】（1）；（2）证明见解析，Sn=【解析】（1）当p=1，an+1∴数列an为等差数列，公差d=1又a1=1，an，，∴数列的前n项之和．（2）当p=2时，an+1=2a又a1=1，a1∴数列an+1是首项为2，公比为2的等比数列，an+1=2∴．【点评】本题考查等差数列的判定与求和，等比数列的判定与求和，裂项求和法和分组求和法，难度不大．关键是驾驭裂项相消求和方法和利用定义证明等比数列．7．已知正项等