材料力学：梁弯曲时的位移

梁弯曲时的位移梁的挠曲线近似微分方程及其积分按叠加原理计算梁的挠度和转角梁的刚度校核

提高梁刚度的措施梁的位移——

挠度及转角梁内的弯曲应变能2一、基本概念1.取梁的左端点为坐标原点，梁变形前的轴线为x

轴，横截面的铅垂对称轴为y

轴，xy

平面为纵向对称平面BxyA§5-1

梁的位移——

挠度及转角3yABxC（1）挠度（

w）:横截面形心C

(即轴线上的点)在垂直于x轴方向的线位移，称为该截面的挠度。2.度量梁变形后横截面位移的两个基本量C'w挠度4（2）转角（

）：横截面对其原来位置的角位移,称为该

截面的转角。转角

yABxCw挠度C'5二、挠曲线：梁变形后的轴线称为挠曲线。挠曲线方程为式中，x

为梁变形前轴线上任一点的横坐标，w

为该点的挠度。挠曲线转角

yABxCw挠度C'6三、挠度与转角的关系：挠曲线转角

yABxCw挠度C'7四、挠度和转角符号的规定挠度：向下为正，向上为负。转角：自x

转至切线方向，顺时针转为正，逆时针转为负。挠曲线转角

yABxCw挠度C'8横截面形心铅垂方向的位移－挠度

w横截面相对于初始位置转过的角度转角

梁的横截面产生两种主要位移：简支梁弯曲时的总体变形微段变形累加的结果9

五、梁的位移分析的工程意义1.齿轮传动

轮齿不均匀磨损，噪声增大，产生振动；

加速轴承磨损，降低使用寿命；若变形过大，使传动失效。变形带来的弊端：121210

五、梁的位移分析的工程意义当变形足够大时，可以有效接通电路；当变形不够大时，不能有效接通电路；2.继电器中的簧片触点簧片工程中，一方面要限制变形，另一方面要利用变形。电磁力11横力弯曲时,M

和

都是x

的函数。略去剪力对梁的位移的影响,则一、梁的挠曲线近似微分方程纯弯曲时曲率与弯矩的关系为§5-2

梁的挠曲线近似微分方程及其积分12由几何关系知,平面曲线的曲率可写作13oxoxyyMMMMM>0M<0在规定的坐标系中，x

轴水平向右为正，y

轴竖直向下为正。w’’>0,M<0w’’<0,M>0因此,

M与w’’

的正负号相反曲线向下凸时：曲线向上凸时:14此式称为

梁的挠曲线近似微分方程近似原因:(1)略去了剪力的影响;(2)略去了

w’2

项。与1相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为15再积分一次,得挠度方程上式积分一次得转角方程若为等截面直梁,其抗弯刚度EI

为一常量上式可改写成16二、用积分法求弯曲变形挠度方程：转角方程：式中：积分常数C1

、C2

可通过梁挠曲线的边界条件和变形连续性条件来确定。17ABAB在简支梁中，左右两铰支座处的挠度wA

和wB都应等于零。在悬臂梁中，固定端处的挠度wＡ和转角

A都应等于零。边界条件wA=0wB=0wA=0

A=018连续性条件ABAB

在挠曲线的任一点上，有唯一的挠度和转角。19例题1：确定梁的连续条件ABCDFG但是20

例题2：图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在自由端受一集中力F作用。试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度wmax

和最大转角

max.yABxF21弯矩方程为解：挠曲线的近似微分方程为xyABxF22对挠曲线近似微分方程进行积分23边界条件为:C1=0C2=0将边界条件代入(3)(4)两式中,可得24梁的转角方程和挠曲线方程分别为C1=0C2=025

max及wmax都发生在自由端截面处（）（）yABxF26例题3：图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度wmax和最大转角

max.ABq27解:由对称性可知，梁的两个支座力为ABq28此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为xABq29

30

边界条件为:xABq31

将边界条件代入(c),(d)两式得

梁的转角方程和挠度方程分别为32

在

x=0和x=l

处转角的绝对值相等且都是最大值，

AABq33ABq在梁跨中点l/2

处有最大挠度值

A34例题4

：图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在D点处受一集中力F的作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程，并求其最大挠度和最大转角。ABFDab35解:梁的两个支反力为ABFDab36两段梁的弯矩方程分别为12xABFDabx37两段梁的挠曲线方程分别为12挠曲线方程转角方程挠度方程(0

x

a)(a

x

)38D点的连续条件：在x=a

处边界条件在处，在x=0处，12ABFDab代入方程可解得:39将x=0

和x=l

分别代入转角方程左右两支座处截面的转角当a>b

时,右支座处截面的转角绝对值为最大40简支梁的最大挠度应在处先研究第一段梁，令得41当a>b时，x1<a

最大挠度确实在第一段梁中42梁中点C

处的挠度为结论:在简支梁中,不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,其精确度是能满足工程要求的.43对各段梁，都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的。所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程。只增加了（x-a）的项。对（x-a）的项作积分时，应该将（x-a）项作为积分变量。从而简化了确定积分常数的工作。积分法的原则44例题5：计算等强度梁的最大挠度lFxb(x)hbmaxb145解：I

为固定端截面的惯性矩lFxb(x)hbmaxb146lFxb(x)hbmaxb147lFxb(x)hbmaxb148lFxb(x)hbmaxb1边界条件：49lFxb(x)hbmaxb1转角方程：挠度方程：50lFxb(x)hbmaxb1将x=0

代入上式得自由端的转角，挠度51§5-3

按叠加法求计算梁的挠度和转角叠加原理：梁的变形微小，且梁在线弹性范围内工作时，梁在几项荷载（可以是集中力,集中力偶或分布力）

同时作用下的挠度和转角，就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。当每一项荷载所引起的挠度为同一方向（如均沿y

轴方向),其转角是在同一平面内(如均在xy

平面内)时,

则叠加就是代数和,这就是叠加原理。52例题6：一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图

所示。试按叠加原理求梁跨中点的挠度wC和支座处横截面的转角

A,B

。ABMCq53解：将梁上荷载分为两项简单的荷载，如图。b,c所示(b)BACqBAMC(C)ABMCq=+54()()(b)BACqBAMC(C)ABMCq=+55例题:试利用叠加法，求图所示抗弯刚度为EI的简支梁跨中点的挠度wC

和两端截面的转角

A,B

。ABCq56解：可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加。ABCqABCq/2CAB57（1）正对称荷载作用下ABCq/258（2）反对称荷载作用下可将AC段和BC段分别视为受均布线荷载作用且长度为l

/2的简支梁在跨中C截面处，挠度fc等于零，但转角不等于零且该截面的弯矩也等于零CAB59CABCAB60将相应的位移进行叠加,即得（）（）61CBA62例题：一抗弯刚度为EI的外伸梁受荷载如图所示,

试按叠加原理并利用附表,求截面B的转角

B

以及A端和BC中点D的挠度w

A

和wD

。

ABCDaa2a2qq63解：将外伸梁沿B

截面截成两段，将AB段看成B端固定的悬臂梁，BC段看成简支梁。ABCDaa2a2qq642qABB

截面两侧的相互作用力为：2qa2qa2qaBCDqABCDaa2a2qq65就是外伸梁AC

的

B，fD2qaBCDq简支梁BC

的受力情况与外伸梁AC的BC

段的受力情况相同由简支梁BC

求得的

B，wDABCDaa2a2qq662qaBCDq简支梁BC

的变形就是MB和均布荷载q

分别引起变形的叠加。qBCDBCD67(1)求

B，wDqBCDBCD68由叠加原理得2qaBCDqBCDqBCD692qAB(2)求wA由于简支梁上B

截面的转动，代动AB

段一起作刚体运动，使A

端产生挠度w1

悬臂梁AB本身的弯曲变形，使A端产生挠度w22qa2qaABCDqABCDq70因此，A端的总挠度应为由附录1V查得2qAB2qa2qaABCDqABCDq71§5-5

梁的刚度校核

提高梁的刚度的措施一、梁的刚度校核式中：wmax为梁上最大的挠度；l为梁的跨长；[w/l]为梁的许可挠度与的跨长比值。72梁的位移（挠度和转角）除了与梁的支承和荷载情况有关外，还取决于以下三个因素：材料——梁的位移与材料的弹性模量E

成反比；截面——梁的位移与截面的惯性矩I

成反比；跨长——梁的位移与跨长l

的n

次幂成正比。二、提高梁的刚度的措施731.增大梁的抗弯刚度EI工程中常采用工字形,箱形截面为了减小梁的位移，可采取下列措施2.调整跨长和改变结构设法缩短梁的跨长，将能显著地减小其挠度和转角。这是提高梁的刚度的一个很又效的措施。74桥式起重机的钢梁通常采用两端外伸的结构就是为了缩短跨长而减小梁的最大挠度值。ABq75ABqABq1q1同时，由于梁的外伸部分的自重作用，将使梁的AB跨产生向上的挠度，从而使AB跨向下的挠度能够被抵消一部分，而有所减小。增加梁的支座也可以减小梁的挠度。76§5-6梁内的弯曲应变能一、梁在纯弯曲时的应变能lmm

梁在纯弯曲时，各横截面的弯矩M

都