2023-2024年河南专升本高数真题及答案

2023年河南省一般高等学校

选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试

《高等数学》试卷

题号一二三四五六总分核分人

分数

一.单项选择题(每题2分，共计50分)

在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在题干后

面的括号内.不选、错选或多选者，该题无分.

1.集合{3,4,5}的全部子集共有

()

A.5B.6C.7D.8

解：子集个数2"=23=8=0。

2.函数/(x)=arcsin(x-1)+73-x的定义域为

()

A.[0,3]B.[0,2]C.[2,3]D.[1,3]

解:nOW2nB

3-x>0

3.当x.0时，与x不等价的无穷小量是

)

A.2xB.sinxC.v-1D.ln(l+x)

解：依据常用等价关系知,只有2x与x比较不是等价的。应选A。

4.当x=0是函数/*)=arctan」的)

x

A.连续点B.可去间断点C.跳动间断点D.其次类间断点

解：limarctan—=—；limarctan—=——=>C。

10+X2XT。-X2

5.设/(x)在x=l处可导，且尸⑴=1,则丽/(1二2〃)二/(1+仍的值为

A->0h

()

A._1B.一2C.-3D.-4

解：lim八1-2〃)-“I+⑶=/(1-2防一/(1+1=-3/⑴=-3nC。

万—0h0

6.若函数/(x)在区间(。,与内有尸(x)>0J"(x)<0,则在区间(a,b)内,/(x)图

形

()

A.单调递减且为凸的B.单调递增且为凸的

C.单调递减且为凹的D.单调递增且为凹的

解：尸(幻＞0=＞单调增加；/"(x)＜On凸的。应选B。

7.曲线y=l+d的拐点是()

A.(0,1)B.(1,0)C.(0,0)D.(1,1)

解：y"=6x=0nx=0n(0,1),应选A。

8.曲线,"x)==^的水平渐近线是

)

3%

2211

A.y--B.y-——C.y-—D.y-——

3333

X2-21

解:lim=-=>

AT±P03x23

ftantdt

9.Hm包~~--)

X4

]_

A.0B.C.2D.1

2

Itanxdx「2xtanA-2

解：吧lim------：-Bo

4x2

10.若函数/(x)是g(x)的原函数,则下列等式正确的是)

A.Jf(x)dx=g(x)+CB.g(x)dx=f(x)+C

C.^g'{x}dx=fix}+CD.J/'(x)公=g(x)+C

解：依据不定积分与原函数的关系知，jg(x)dx=/(%)+Co应选B。

11.JcosQ-3x)i/x=)

B.gsin(l-3x)+C

A.-jsin(l-3x)+C

C.—sin(l—3%)+CD.3sin(l-3x)+C

12.设>=「(-1)Q—3)力，则y'(0)=

JO

A.-3B.-1C.1D.3

解：V=(x-l)(x-3)ny'(O)=3=>£>。

13.下列广义积分收敛的是

.dxn产dx

7五KI7

r'dx

D.

0xy[x

解：由p积分和q积分的收敛性知，「与收敛，应选C。

14.对不定积分f，公，下列计算结果错误是

Jsinxcosx

)

A.tanx-cotx+CB.tanx------+C

tanx

C.cotx-tanx+CD.-cot2x+C

解：分析结果，就能知道选择c。

15.函数y=/在区间［1,3］的平均值为()

D.4

解:为勒龙岫

16.过Oz轴及点(3,-2,4)的平面方程为)

A.3x+2y=0B.2y+z=0

C.2%+3y=0D.2x+z=0

解:经过Oz轴的平面可设为Ax+5y=0,把点(3,-2,4)代入得2x+3)=0应选Co

也可以把点(3,-2,4)代入所给的方程验证，且不含z。

2：____—1

17.双曲线34一绕z轴旋转所成的曲面方程为)

y=0

x2+y2z2x2y2+z2

A.B.

44~

()，+Z)2

D.=1

34

22229

解：把三-二=1中尤2换成V+y2得01一三=1应选A。

3434

„3-,孙+9

1O8r.lim---------=()

y->oJ

D.极限不存在

解：lim-~'*+9.=11m....-.=-lim-----J:=--=>B。

孙，孙(3+J孙+9)；比3+/盯+96

19.若z=x>'，则匕=()

②“°

A.-B.1C.eD.0

e

解：££=xyinx|=elne=e=>C。

km

d7v(e,l)

20.方程22丁-"3=1所确定的隐函数为2=〃尤,历，则上=()

OX

A.--—B.--—C.---D.--—

2y-3xz3xz-2y2y-3xz3xz-2y

分7F'72

角星：F=z2y—xz^—1=>F'——Z3\F[=2zy—3xz2=>—=y=----,应

xdxF；2y-3xz

选Ao

21.设。为抛物线y=/上从(o,o)到(1,1)的一段弧，则12盯心+，力=

()

A.-1B.0C.1D.2

X-x

解：C：(2，x从0变到1，£Ixydx+X2dy=£4/dx=1nC。

y-x

22.下列正项级数收敛的是()

001001

A.ZB.£」-

«=23〃+1念Winn

0c

c.y--1-D.K

仁〃(In〃)2

解:对级数£」一、y—二须要利用积分判别法，超出大纲范围。级数

M〃ln〃匿〃(In〃厂

818181

V------7有结论：当P>1时收敛，当时发散。级数£」-、二丽与级

占"(In〃)'念3〃+1

数之工利用比较判别法的极限形式来确定--发散的，应选C。

”=2〃

81

23.幕级数的收敛区间为()

«=o3

A.(-1,1)B.(-3,3)C.(-2,4)D.(-4,2)

解：令x+l=r,级数化为61T尸收敛区间为(-3,3),即

”=033rt=()\3y

x+1e(—3,3)=>%G(T,2)nD。

24.微分y〃+3y'+2y=e-，cosx特解形式应设为y*=()

x

A.Ce'cosxB.e~(C]cosx+C2sinx)

x2JC

C.xe~(Ctcosx+C2sinx)D.xe~(Clcosx+C2sin^)

解：-1+i不是特征方程的特征根，特解应设为e-'Ccosx+CzSinx)。应选B。

25.设函数y=/(x)是微分方程y"+V=e2,的解，且八4)=0,则/\x)在/处

(

)

A.取微小值B.取极大值C.不取极值D.取最大值

2x2x

解:有f"(x0)+f'(x0)=e°=>f"(x0)=e°>0A。

得评卷人

分二、填空题(每题2分，共30分)

26.设/(x)=2x+5,则/"(x)—1]=.

解：/[/U)-H=2(/(x)-l)+5=2/(x)+3=2(2x+5)+3=4x+13。

2"

27.lim—=___________.

"->8几！

解：构造级数£二，利用比值判别法知它是收敛的，依据收敛级数的必要条

n=0几

2〃

件limJ=0。

“Teo"！

3e4x,x<0

28.若函数/(x)=/&在x=0处连续，则。=.

2又d--9X0

2

解：limf(x)=—;lim/(x)=3=a=6。

£一(r2x5)+

29.已知曲线^=/+%-2上点/处的切线平行于直线〉=5》-1,则点M的

坐标为_______

解：V=2x+l=5nx=2ny=4nA/(2,4)。

30.设/(x)=e2i,则-2007)(0)=

解："/)=2721=-2007)(0)=22°°7"'

rx=31+1小？

31.设2,则？=—

y^2t-t+lax,=1

解：包=上1=空=1。

dx3dxt=x

32.若函数/(x)=a/+〃%在l=1处取得极值2,则。=____,b=

解•/'(X)=2ax+b=。=>2。+人=0；。+〃=2=>。=—2;Z?=4。

33.\l^dx=

JfM

解：J务公=[*=ln"(x)|+。。

Jf(x)J/(x)

34.£-Jl-x2dx=

解：£-\ll-x2dx=；S圆=；。

35.向量。=3:+4]-旧的模|初=

解：|37+47-|=79+16+1=V26o

36.已知平面〜：x+2y-5z+7=0与平面兀2：4x+3y+znz+13=0垂直，则

m-_____

解：H1-{1,2,-5};«2={4,3,m}=>4+6-5m-0=>m-2»

37.设/(x+y,孙)=/+y,则/®y)=

2222

解：f(x+y,xy)=x+y=(x+y)-2xyf(x,y)=x-2yo

38.已知/=『dy，'f(x,y)dx,交换积分次序后，则/=

fV2

解：D=<(x,y)\0<y<—,y<x<

行]fV2

=<(x,y)|0<x<,0<y<x>+<(x,y)I<x<1,0<y<，所

2

V5%j

以次序交换后为『dx^/(x,y)dy+dx^/(x,y)dy。

~2

8100(11\

39.若级数收敛，则级数£,一一二的和为_____

«=lU„，T【〃“%+"

解：s„=|-——1+———]+­••+-....-1=------,rfnlim-^—=o,

u

忆)[%3)1%«„+i)%%+iZ8〃"+]

所以S=limS“=-L

〃-*8U]

40.微分方程y"-2y'+y=0的通解为一

解：有二重特征根1,故通解为y=。传*+。2叱（GC为随意常数）。

得评卷人

分

三、推断题(每小题2分，共10分)

你认为正确的在题后括号内划“J”，反之划“X”.

41.若数列卜“｝单调，则｛居｝必收敛

)

解：如数列｛〃｝单调，但发散，应为X。

42.若函数/(x)在区间口,同上连续，在(。力)内可导，且则肯定

不存在自€(“,/?)，使/化）=0.

()

解：如y=/在[―1,可满意上述条件，但存在&=Oe[-l,3],使得/'《）=0,应

为X。

x-sinx由洛比达法则1-COSX「sinx.

43.lim-------======lim=lim-----=-1.（）

18元+sinxis1+COSXx——sinx

Isinx

其次步不满意Q或方，是错误的，事实上lim兰华=1加—二=1。

解:

0oox->8x+sinx*廿j+sinx

x

应为X。

2-2x

44.0<f'"71-eJx<—ln2

Jo2

）

解：HO<7T^<1，由定积分保序性知：邛M2,

应为J。

45.函数f(x,y)在点P(x,y)处可微是f(x,y)在P(x,y)处连续的充分条

件.()

解：/(x,y)在点尸(x,y)处可微可得/(x,y)在点P(x,y)处连续，反之不成立,

应为应为VO

得评卷人

分四、计算题(每小题5分，共40分)

46.求lim炉叫

x—0+

limsinAInxs'n”~xlimxInx

解:limxsinx=lim^sinx,n

x5）+X->0+

解：两边取自然对数得In||=21n|x|+1[ln|l-x|-In|l+x|],----（1分）

两边对x求导得：=-+———"I,--------（3分）

yx3\_i-x1+x

21

即"y一+（4分）

X3(x-l)3(x+l)

故先R1-x211

------+----(5分)

1+xx3(x-l)3(x+l)

48.求不定积分“小+1n(i+切心.

解：J[/x+ln(l+x)]dx=~\a"(2x)+jln(l+x)dx---（1分）

1

=­e上公（3分）

2l+x

1

=­e1—dx一（4分）

2l+x

-'+xln(l+x)—x+ln(l+x)+C。（5分）

2

49.计算定积分/j2+2cos2xdx.

解：因2+2cos2x=2(1+cos2x)=4cos?x,所以

£j2+2cos2xdx=「A/4COS2xdx=£21cosx\dx-----(2分)

71

=2|2cosxdx_21兀cosxdx（4分）

i（）

2

n

2sin由-2sinx|Z=2+2=4o（5分）

2

50.设2=/（"飞皿乂3工，），且/（〃/）为可微函数，求dz.

解:令e*siny="，3/y=v,有z=/(“#),利用微分的不变性得

dz=/；(«,v)du+f'(u,v)dv=f',d{exsinj)+f'd(3x2y)----(3分)

=sinydx+excosydy)+f',(fixydx+3x2dy)------(4分)

v2

=(e'sinyf't+6xyf')dx+(ecosyft'+3xf}')dy-一(5分)

51.计算”/公办，其中。为圆环区域：I«x2+y2w4.

D

解:积分区域。如图07T所示：。的边界/+y2=]、/+卜2=4用极坐标

表示分别为r=1,r=2；故积分区域。在极坐标系系下为

{（r,0）|0<0<2TI,1<r<2},-----（2分）

故JJx2dxd），=『呵:

r2cos2Q-rdr----（3分）

D

2

=「cos?QdQfr3dr=f^―cos2QdQ

JoJlJoA

1S-2兀15f2n0，八、

=w1,cosM0=W」,2cosone-一(4分)

图07-1

151512"15K

(l+cos2e)je=—(e+-sin20)o=T（5分）

0y

52.将—当绽开为x的鼎级数，并写出收敛区间.

4-x2

解：因-----L=----------------------；—-(2分)

4—x2-x2+x2(1--)2(1+-)

22

—^―=yxnxe(-l,l)o

1-x〃=0

所以'=£⑶xe(-2,2)；-1-=寸-；]xe(-2,2)。一(3分)

1」士⑶]+土外2；

22

xe(-2,2)--(4分)

故事点图卷1步W争斗

81

=2许/出xe（—2,2）。一（5分）

,?=0乙

53.求微分方程/dy+（y一2个-工2Mx=0的通解.

解：方程可化为y'+空y=l,这是一阶线性非齐次微分方程，-一（1分）

X

它对应的齐次方程y'+^—gy=0的通解为旷=Cxb*,（2分）

设原方程有通解y=C（x）x2^,代入方程得C'（x）/H=1,

I-1

即C'（x）=—*,—（3分）

x

所以C（无）='dr=e最+C,（4分）

故所求方程的通解为y=C/e*+/。--（5分）

得评卷人

分五、应用题（每题7分，共计14分）

54.某工厂欲建立一个无盖的长方题污水处理池，设计该池容

积为V立方米，底面造价每平方米。元，侧面造价每平方米8元,

问长、宽、高各为多少米时，才能使污水处理池的造价最低？

V

解：设长方体的长、宽分别为,则高为匚，又设造价为z,-—（1分）

孙

由题意可得

z=axy+2b(x+y)-=axy+^+^-(x>0,y>0)；-一(3分)

犯yx

HSz2bVdz2bV

而一=ay—=cix......-；在定义域内都有意义.

2

afxx

al-z2bV

二@—r0

令avxX2bV

得唯一驻点x=>={（5分）

la-z2bVci

=ax-----—0'

lay

、

由题可知造价肯定在内部存在最小值，故x=y=，呼就是使造价最小的取

aV2

值，此时高为彳

~2b

2bV2bV3若时，工

所以，排污无盖的长方体的长、宽、高分别为？不、V吃

程造价最低。一-（7分）

55.设平面图形D由曲线>="，直线y=e及y轴所围成.求：

（1）平面图形D的面积；>="

（2）平面图形D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体始,

解：平面图形D如图07-2所示：--（1分）e_/

取x为积分变量，且-yr

（1）平面图形D的面积为

S=［{e-ex）dx---（3分）______________!_____

J。oj

={ex-ex）1=1o---（4分）

lo图07-2

（2）平面图形D绕y轴旋转一周所生成

旋转体的体积为

xx

VY=2K£x\e-e=2兀或xdx-2it{xedx

Jo

2i]

x

=2Tle--2K[xdex=ne-2兀xe]：+2兀1)edx

7Jo

o

=兀6—2兀《+2兀"］：=兀（6—2）。----（7分）

2

或Vy=TCJ(Iny)之力=兀(Iny)y1—兀j21nydy

=ne-2兀jInydy-ne-2nyIn+27cldy

=Tie—2ne+2兀(e—1)=7t(e-2)。

得评卷人

分六、证明题（6分）

56.若/（x）在团,切上连续，则存在两个常数m与M,对于

满意Q<为工〃的随意两点为，冗2，证明恒有

m（x2-x1）<f（x2）-/（%））<M（x2-x1）.

证明：因尸。）在值,々］有意义，从而“X）在出,々］上连续且可导，即/（幻在

山,々］上满意拉格朗日中值定理的条件，——（2分）

故存在会即%）,使得/。2）-/区）=/化）,——（3分）

x2-阳

又因尸（外在切上连续，依据连续函数在闭区间上最值定理知，/（X）在［a,。］

上既有最大值又有最小值，不妨设九M分别是最小值和最大值，从而xe（a,。）时,

有m<f\x）<Mo-----（5分）

即m</⑴-/①）<M,

x2-X）

故m（x2-%,）<f（x2）-/（%,）<M（X2-xjo--（6分）

2023年河南省一般高等学校

选拔优秀专科生进入本科阶段学习考试

高等数学试卷

题号一二三四五总分核分人

分数

一.单项选择题（每题2分，共计60分）

得分评卷人

在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写

在题干后面的括号内.不选、错选或多选者，该题不得分.

1.函数/(x)=ln(l—x)+J++2的定义域为)

A.[-2,-1]B.[-2,1]C.[-2,1)D.(-2,1)

1-x>0

解：,=>-2<x<l=>C.

x+2>0

l-2cosx

2.lim()

x->-sin[x-y

3

A.1B.0C.41D.V3

V3

09

1—2cosxo2sinx

解：lim/：==lim=M=D.

TC

Tsinx兀A->-

3

3*-1

3.点x=0是函数y=-j-的)

3*+l

A.连续点B.跳动间断点C.可去间断点D.其次类间断点

i0I

3V-1-13"-1。3'In3

解：lim一—=-1,lim=lim,1=B.

1Xx-T>0。+*1

3'+13、+13vln3

4.下列极限存在的为)

sin2xx2+2

A.lime'B.limC.limcos—D.lim

.v->0xLxx—3

解:明显只有lim四sin三2Y=2,其他三个都不存在,应选B.

XTOX

5.当x-0时，ln（l+，）是比1-cosx的（)

A.低阶无穷小B.高阶无穷小C.等阶无穷小D.同阶但不等价无穷小

解：ln(l+x2)-x2,l-cosx=2sin2

22

l+(x+l)sin―—,X<—1

x+l

6.设函数/(x)=<1,-l<x<0,则/(幻)

arctanx,x>0

A.在尤=—1处连续，在x=()处不连续B.在x=0处连续，在x=1l处不连续

C.在x=—l,0,处均连续D.在x=-l,0,处均不连续

解：lim/(x)=1,lim/(%)=1,/(-1)=1^/(x)在x=-l处连续；

limf(x)=1,lim/(x)=0,/(O)=1=>/(x)在x=0处不连续;应选A.

x->0-1A-^0+

7.过曲线y=arctanx+/上的点（0,1）处的法线方程为()

A.2%—y+1=0B.x-2y+2=0

C.2x—y—1=01).x+2y—2=0

1

解:t+exn/(。)=2nA法=——nD.

y=1+x2

8.设函数/(x)在x=0处可导，/(x)=/(0)—3x+a(x)且lim以2=0,则/'(0)

x-0X

()

A.-1B.1c.-3D.3

/W-/(0)-3x+a(x)-a(x)、-4_

解：yf(0)=lim=lim........-=-3+hm—=-3,应选C.

ATOXTO

A->0x-0xX

9.若函数/(%)=(lnx)"(x>l),则r(x)=)

A.(Inx)iB.(Inx)i+(Inx)xIn(Inx)

C.(Inx)xln(lnx)D.x(lnx)x

解：f(x)=(Inx)x=ex]n(]nx)=>y'=(Inx)'[xln(lnx)]r=(Inx)x"[+(Inx)xIn(Inx),应选

B.

x=costdv

10.设函数y=y(x)由参数方程([确定，则—二(

，y=sinrdx~X一—九—

4

D

A.-2B.-l-卡

3

dy_sinf=d2y11d2y=±J5,应选D.

解:

-----2~X---------2-------------二

dxcostdx2cost3costsintdx2n3

IL下列函数中，在区间［T,l］上满意罗尔中值定理条件的是()

x21

A.y-eB.y=\n\x\C.y=1-xD.y=—

x

解：验证罗尔中值定理的条件，只有y=l-/满意，应选c.

12.曲线y=d+5%一2的拐点是()

A.x=0B.(0,-2)C.无拐点D.x=0,y=—2

解：丁"=6]=0=>光=0=>(0,-2),应选B.

13.曲线y=---------)

|x-l|

A.只有水平渐进线B.既有水平渐进线又有垂直渐进线

C.只有垂直渐进线D.既无水平渐进线又无垂直渐进线

解：lim——J——=0,lim——?一=8=B.

1叫尢一1|1x-11

14.假如f(x)的一个原函数是xlnx,那么^x2f\x)dx=(

A.Inx+CB.x2+C

C.x3Inx+CD.C—x

解：/(x)=(xlnx)'=1+lnxn/"(工)=--n公=一，公=一％+。，应选

D.

rdx

'X2-4x+3)

x—\

B.—In+C

2x-3

C.ln(x—3)—ln(x—1)+CD.ln(x—1)—ln(x—3)+C

dx_rdxx—3

解:tZr=-ln+C,应选A.

-4x+3~J(x-3)(x-l)2

16.设/=/*二，则/的取值范围为

)

J。1+/

D.1</<1

A.0<Z<lB.-</<1C.0Q；

22

解：此题有问题，定积分是一个常数，有一依据定积分的估值性质，有

21+x4

-</<1,但这个常数也在其它三个区间,都应当正确，但真题中答案是B.

2

17.下列广义积分收敛的是)

，产3,门产Inx,x

A.JxdxB.J----dxC.Jy/xdxD.e~dx

解：明显应选D.

f3

18.JJi—x\dx=()

A.x\dxB.J(x—V)dx+£(1—x)cbc

C.J^y—x)dx—^{x—X)dxD.J(1—x)dx+J(x—V)dx

解：jJl-x|=jJl-x|+jjl-x|x)dx+^{x-V)dxf应选D.

19.若/(x)可导函数，/(%)>0,且满意/2(x)=in22—2「/")sin'出,则/(x)=

J。1+cosZ

()

A.ln(l+cosx)B.—ln(14-cosx)4-C

C.-ln(l+cosx)D.ln(l+cosx)+C

解：对尸⑴=日2—两边求导有:2/(x)尸(x)=-2”即工,