江西省宜春市丰城中学2024-2025学年九上开学开学考试数学试题（含解析）

第第页参考答案：题号123456答案BCADBC1．B【详解】试题分析：：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选B．考点：中心对称图形．2．C【分析】根据不共线的三点确定一个圆、垂径定理的推论和圆的有关性质分别判断．【详解】解：不共线的三点确定一个圆，所以A选项不正确；平分（非直径）弦的直径垂直于弦，所以B选项不正确；圆既是轴对称图形又是中心对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴，圆心是它的对称中心，所以C选项正确；弦的垂直平分线必过圆心，所以D选项不正确；故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理的推论：平分（非直径）弦的直径垂直于弦；弦的垂直平分线必过圆心．也考查了不共线的三点确定一个圆以及有关圆的性质．3．A【分析】本题可先由二次函数y=ax2+bx+c图象得到字母系数的正负，再与一次函数y=ax+b的图象相比较看是否一致．【详解】A、由抛物线可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误．故选A．4．D【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：不透明的袋子中装有20个小球，其中12个红球、8个绿球，袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率为．故选：D．【点睛】本题考查了概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率，掌握概率的求解方法是解题的关键．5．B【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆心角、弧、弦的关系和折叠的性质．先利用折叠的性质得到和所在圆为等圆，再利用圆周角定理得到，所以的度数为，然后计算得到的度数．【详解】解：∵纸片沿AB折叠，使与交于点D，∴和所在圆为等圆，∵和所对的圆周角都是，∴，∵的度数为，∴的度数为，∴的度数为．故选：B．6．C【分析】其顶点P在线段上移动，点A，B的坐标分别为，，分别求出对称轴过点A和B时的情况，即可判断出M点横坐标的最小值．【详解】解：根据题意知，点N的横坐标的最大值为4，此时点P和点B重合，即抛物线的对称轴为：，N点坐标为，则M点坐标为，点P和点A重合，点M的横坐标最小，此时抛物线的对称轴为：，N点坐标为，则M点的坐标为，点M的横坐标的最小值为，故选：C．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的图象与性质，解答本题的关键是理解二次函数在平行于x轴的直线上移动时，两交点之间的距离不变．7．60【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键．【详解】∵，，，∴，，，∴，∴，∴，故答案为：60.8．45【分析】连接OC，OD，根据同底等高可知S△ACD=S△OCD，把阴影部分的面积转化为扇形OCD的面积，利用扇形的面积公式S=来求解．【详解】解：连接OC，OD，∵直径AB=30，∴OC=OD=，∴CD∥AB，∴S△ACD=S△OCD，∵长为6π，∴阴影部分的面积为S阴影=S扇形OCD=，故答案为：45π．【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式，正确理解阴影部分的面积=扇形COD的面积是解题的关键．9．+4．【分析】由点A在反比例函数的图象上，设出点A的坐标，结合勾股定理可以表现出，再根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出AB•OB的值，根据配方法求出(AB+OB)²，由此即可得出AB+OB的值，结合三角形的周长公式即可得出结论．【详解】解：∵点A在函数y=(x>0)的图象上，∴设点A的坐标为(n,)(n>0)在Rt△ABO中,∠ABO=90°，OA=4，∴，又∵AB⋅OB=⋅n=4，∴(AB+OB)²=AB²+OB²+2AB⋅OB=4²+2×4=24，∴AB+OB=2,或AB+OB=−2(舍去)∴=AB+OB+OA=2+4故答案为2+4．10．cm【分析】根据内心域外心的位置，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，∴AB＝10cm，∴AM为外接圆半径．设Rt△ABC的内切圆的半径为r，则OD＝OE＝r，∠C＝90°，∵OD⊥CD，OE⊥CE，∴四边形OECD是正方形，∴CE＝CD＝r，AE＝AN＝6﹣r，BD＝BN＝8﹣r，即8﹣r+6﹣r＝10，解得r＝2cm，∴AN＝4cm；在Rt△OMN中，MN＝AM﹣AN＝1cm，ON=2cmOM＝（cm）．故答案为：cm．【点睛】本题考查了直角三角形的外心与内心概念及内切圆的性质，正方形判定与性质，勾股定理切线长性质，正确得出外心与内心的位置是解题关键．11．②③④【分析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象及性质，能够从函数图象获取信息，结合函数解析式进行求解是关键．由抛物线的开口方向以及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图可知，∵对称轴为直线，∴，∴；①，错误；②∵y=ax2+bx+c的图象经过点，对称轴为直线∴图象过点，∴，正确；③由图象可知，抛物线y=ax2+bx+c∴关于x的方程有两个相异的实数根，正确；④∵函数的最大值为，∴，即，正确．故答案为：②③④．12．-2或-1或0或1【分析】由题意函数与坐标轴有两个交点，要分两种情况：①函数为一次函数时；②函数为二次函数，分两种情况进行讨论，即当抛物线经过原点时，此时抛物线与x轴还有一个除原点以外的交点；若抛物线不经过原点，则抛物线必与x轴有一个交点，此时Δ=0，求出m的值即可．【详解】解：∵函数的图象与坐标轴有两个不同的交点，①当函数为一次函数时，则m+1=0即m=-1，此时y=-2x-，与坐标轴有两个交点；②当函数为二次函数时m+1≠0，即m≠-1，分两种情况：当抛物线经过原点时，y==0，即m=0，此时y=x2−2x=x则一个交点在原点，与x轴的另一个交点为(2，0)；当抛物线不经过原点时，△=（-2）2-4×(m+1)×m=0，解得：m=-2或1．综上，m=-1或0或-2或1时，函数与坐标轴有两个交点，故答案为：-2或-1或0或1．【点睛】此题主要考查一元二次方程与函数的关系，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，若方程无根说明函数与x轴无交点，其图象在x轴上方或下方，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．13．（1）如图；（2）线段BC旋转过程中所扫过得面积.【分析】(1)关于y轴对称的两点横坐标互为相反数，纵坐标不变，根据对称法则得出各点的对应点，然后得出三角形；(2)根据旋转图形的性质得出各点的对应点，然后顺次连接，得到三角形.首先得出半径和旋转的角度，然后根据扇形的面积计算法则得出答案.【详解】(1)如图所示，画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；(2)如图所示，画出△ABC绕着点B顺时针旋转90°后得到△A2BC2，线段BC旋转过程中所扫过得面积S=．考点：(1)旋转图形的性质；(2)轴对称图形的性质；(3)扇形的面积计算.14．(1)(2)【分析】（1）直接根据概率公式计算即可；（2）根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的情况，再找到抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的情况，最后利用概率公式计算即可．【详解】（1）解：∵3张卡片中名称为A的只有1张，∴随机抽取一张，抽到A卡片的概率是；（2）由题意可列表格如下：第一次

第二次ABCAA，AA，BA，CBB，AB，BB，CCC，AC，BC，C由表格可知共有9种等可能的情况，其中抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的情况有5种，∴抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的概率为．【点睛】本题考查简单的概率计算，列表或画树状图法求概率．正确的列出表格或画出树状图表示出所有等可能的情况是解题关键．15．(1)两次下降的百分率为10%(2)每件商品应降价2.5元【分析】（1）设每次降价的百分率为x，为两次降价的百分率，40降至32.4就是方程的平衡条件，列出方程求解即可．（2）设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，有销售问题的数量关系建立方程求出其解即可．【详解】（1）解：设每次降价的百分率为x．，即：，x＝10%或190%（190%不符合题意，舍去），答：两次下降的百分率为10%；（2）解：设每天要想获得510元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价y元，由题意，得（40－30－y）（4×2y+48）＝510，化简得：，解得：，，∵有利于减少库存，∴y＝2.5．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价2.5元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．16．（1）60°；（2）+3．【分析】（1）连接OD．证明△AOD是等边三角形即可解决问题．（2）连接OC，CF，EC．证明△CFD是等腰直角三角形即可解决问题．【详解】（1）连接OD．∵DC⊥OA，AM＝MO，∴DA＝DO，∵OA＝OD，∴OA＝OD＝AD，∴△AOD是等边三角形，∴∠OAD＝60°．（2）连接OC，CF，EC．∵OA⊥CD，∴弧AC＝弧AD，CM＝DM，∴∠AOC＝∠AOD＝60°，FC＝FD，∵∠CDE＝45°，∴CF＝DF，FM＝CM＝DM＝3，DF＝FC＝3，∵∠CED＝∠COD＝60°，∠CFE＝90°，∴EF＝CF＝，∴DE＝EF+DF＝+3．【点睛】本题考查等边三角形和等腰三角形．掌握等边三角形和等腰三角形的证明方法是解题的关键．17．（1），；（2）12．【分析】（1）把点A的坐标代入m的值，得出A的坐标代入，求出一次函数的解析式，进而求得点B的坐标，利用B点的坐标求得的解析式；（2）根据一次函数解析式求得点C的坐标，再将y轴作为分割线，求得△AOB的面积；【详解】解：（1）∵，在函数的图象上，∴m=5，∴A(-2，5)，把A(-2，5)代入得：，∴b=4，∴一次函数的表达式为：，∵在函数的图象上，∴n=2，∴，把代入得：2=，∴k=8，∴反比例函数的解析式为：；（2）∵C是直线AB与y轴的交点，直线AB：，∴当x=0时，y=4，∴点C（0，4），即OC=4，∵A(-2，5)，，∴=×4×2+×4×4=12；【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式，根据题意求出C点坐标是解题的关键．18．(1)(2)当长方形的两边长分别为时，围成的长方形面积最大，最大为【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用：（1）根据长方形周长公式表示出另一边长，再根据长方形面积公式求出对应的关系式即可；（2）根据（1）所求利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：由题意得，长方形的另一边长为，∴；（2）解：，∵，∴当时，y最大，最大值为25，∴此时，∴当长方形的两边长分别为时，围成的长方形面积最大，最大为．19．(1)见解析(2)(3)七(4)人【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、利用样本估计总体：（1）先计算出七年级B、D等级人数，再补全条形统计图；（2）根据中位数定义，将八年级学生成绩按从低到高顺序排列，第20位和第21位的平均数即为中位数；（3）比较两个年级的中位数，即可求解；（4）利用样本估计总体思想求解．【详解】（1）解：七年级B等级人数为：，七年级D等级人数为：，补充完整后的条形统计图如下所示：（2）解：将八年级学生成绩按从低到高顺序排列，结合条形统计图和八年级C等级分数情况可知，第20位和第21位分别为75，76，因此八年级这40名学生成绩的中位数是，故答案为：；（3）解：七年级的中位数为74，八年级的中位数为，因此同样是75分的情况下，在七年级的排名更靠前，可知小明是七年级的学生，故答案为：七；（4）解：（人）答：估计七、八年级获得“法治先锋”称号的学生共有384人．20．(1)，(2)乙种玩具的总利润是元(3)34【分析】（1）①设乙种玩具每天的销量与每件售价z的关系式是，将图表中数据代入计算，即可解答；②根据利润=售价-进价得乙种玩具的利润为，根据甲种玩具利润是乙种玩具利润的2倍得甲种玩具的利润为，再根据售价=利润+进价，即可解答；（2）根据题意可方程，解得x，再将x代入，即可解答；（3）由题意得，甲玩具的总利润：乙玩具的总利润：，总利润为，根据题意得到w关于x的关系式，由函数为开口向下的二次函数，可知最大值为对称轴顶点，即可解答．【详解】（1）解：①设乙种玩具每天的销量与每件售价z的关系式是，将图表中数据代入计算，，解得：，乙种玩具每天的销量与每件售价z的关系式是：②利润售价进价得，乙种玩具的利润为，∵甲种玩具利润是乙种玩具利润的2倍∴甲种玩具的利润为，∴甲种玩具每件售价x与乙种玩具每件售价z的关系式是．（2）解：依题意得：，解得：，将代入，可得，因此，乙种玩具的总利润是（元）．（3）解：甲玩具的总利润：，乙玩具的总利润：，∵，∴，设这两种玩具每天销售的总利润为元，则，∵x，z均为非负整数，又∵，∴x必须取非负偶数，∵，∴当时，总利润之和w最大，此时甲种玩具每件的销售单价为34元．【点睛】本题主要考查了二次函数应用，求出一次函数解析式，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，根据等量关系列出方程或函数关系式，准确计算．21．(1)见解析(2)【分析】（1）连接AD，先由圆周角定理得∠ADB＝90°，则AD⊥BC，再由线段垂直平分线的性质得AB＝AC，则∠B＝∠C＝45°，求得∠BAC＝90°，即可得出结论；（2）作EH⊥OF交AF于H，则EH是⊙O的切线，先由垂径定理得OE⊥AD，AG＝DG，再证出△EFH是等腰直角三角形，得EH＝EF＝，则FH＝EF＝2，然后由切线长定理得AH＝EH＝，则AF＝AH＋FH＝＋2，最后由等腰直角三角形的性质得OA＝AF＝＋2即可．【详解】（1）证明：连接AD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，OA是⊙O的半径，∴AD⊥BC，∵D是BC的中点，∴AB＝AC，∴∠B＝∠C＝45°，∴∠BAC＝180°−45°−45°＝90°，∴AC⊥OA，∴AC是⊙O的切线；（2）解：作EH⊥OF交AF于H，如图所示：则EH是⊙O的切线，∵E是的中点，∴OE⊥AD，AG＝DG，∵AD⊥BC，∴OF∥BC，∴∠EFH＝∠C＝45°，∵EH⊥OF，∴△EFH是等腰直角三角形，∴EH＝EF＝，FH＝EF＝2，∵AC是⊙O的切线，∴AH＝EH＝，∴AF＝AH＋FH＝＋2，由（1）得：∠BAC＝90°，∴△AOF是等腰直角三角形，∴OA＝AF＝＋2，即⊙O的半径为＋2．【点睛】本题考查了切线的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与性质、垂径定理和圆周角定理是解题的关键．22．（1）①；②相等；（2）；（3），．【分析】（1）①过点作轴于，由题意可知为等腰直角三角形，设出点的坐标为，根据二次函数得出的值，然后得出的值；②因为抛物线与的形状相同，所以抛物线与的“完美三角形”的斜边长的数量关系是相等；（2）根据抛物线的性质相同得出抛物线的完美三角形全等，从而得出点的坐标，得出的值；根据最大值得出，根据抛物线的完美三角形的斜边长为得出点的坐标，然后代入抛物线求出和的值．（3）根据的最大值为－1，得到化简得，抛物线的“完美三角形”斜边长为，所以抛物线的“完美三角形”斜边长为，得出点坐标，代入可得关系式，即可求出、的值．【详解】（1）①过点作轴于，∵△AMB为等腰直角三角形，∴∠ABM=45°，∵AB∥x轴，∴∠BMN=∠ABM=45°，∴∠MBN=90°-45°=45°，∴∠BMN=∠MBN，∴MN=BN，设点坐标为，代入抛物线，得，∴，（舍去），∴MN=BN=1，∴∴在Rt△AMB中，∴抛物线的“完美三角形的斜边②∵抛物线y=