河南省信阳市2024~2025学年高三上学期第一次教学质量检测数学试题

2024-2025学年普通高中高三第一次教学质量检测数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置。2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，若，则等于（）A． B． C． D．2．记等差数列的前n项和为，若，，则等于（）A．60 B．80 C．140 D．1603．已知，，，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．4．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们可以把看作是经过365天的“进步值”，看作是经过365天的“退步值”，则大约经过（）天时，“进步值”大约是“退步值”的100倍（参考数据：，）A．100 B．230 C．130 D．3655．若实数a使得“，”为真命题，实数a使得“，”为真命题，则p是q的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知函数的定义域为R，且为奇函数，为偶函数，当时，，则等于（）A．0 B．1 C．2 D．20257．已知函数在区间上有最小值，则实数a的取值范围是（）A． B．C． D．8．已知函数，，若方程有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（）A． B．28 C． D．14二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，则（）A．为奇函数 B．在区间内单调递增C．在区间内单调递减 D．有极大值10．已知，，，则（）A． B．C． D．11．设函数，则（）A．当时，有三个零点 B．当时，无极值点C．，使在R上是减函数 D．，图象对称中心的横坐标不变第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知不等式的解集为，则函数的定义域为____________．13．曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数____________．14．函数满足：任意，．且．则的最小值是____________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知是各项均为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，且，，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）定义：在数列中，使为整数的叫做“调和数”，求在区间内所有“调和数”之和．16．（本小题满分15分）某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成．经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点C到、的距离都是50米．现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中D点在曲线段上，点E、F分别在线段、上，且该游乐场最短边长不低于30米．设米，游乐场的面积为S平方米．（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；（2）求面积S关于x的函数解析式；（3）试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大．（结果精确到0.1米）（参考数据：，）17．（本小题满分15分）已知函数，．（1）求函数的最大值；（2）设不等式的解集为A，若对任意，存在，使得，求实数a的值．18．（本小题满分17分）已知，其中．（1）若函数在处的切线与x轴平行，求a的值；（2）求的极值点；（3）若在上的最大值是0，求a的取值范围．19．（本小题满分17分）若数列中且对任意的，恒成立，则称数列A为“数列”．（1）若数列1，x，y，7为“数列”，写出所有可能的x、y；（2）若“数列”中，，，，求n的最大值；（3）设为给定的偶数，对所有可能的“数列”，记，其中表示这s个数中最大的数，求M的最小值．2024-2025学年普通高中高三第一次教学质量检测数学参考答案一、选择题1．C 2．C 3．B 4．B 5．A 6．C 7．D 8．A二、选择题9．BCD 10．ABD 11．BD三、填空题12． 13．2 14．1925四、解答题15．（1）因为，，成等比数列，所以， 2分因为是各项均为正数，公差不为0的等差数列，设其公差为d，所以， 4分所以，所以． 6分（2）设，所以． 7分令，且b为整数，又由，，所以b可以取1，2，3，4，5，6，此时分别为，，，，，， 9分所以在区间内所有“调和数”之和． 13分16．（1）以O为坐标原点，、所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，设曲线所在的抛物线方程为，，点B，C在抛物线上，则，解得，， 5分所以曲线段所在的抛物线方程为． 6分（2）因为点D在曲线段上，，，所以，∴，． 8分（3）∵，，令，解得， 10分当时，，当时，，所以时，函数单调递增，时，函数单调递减，因此，当时，是的极大值也是最大值， 14分由，∴米，即当点D在曲线段上且到的距离为40.8米时，游乐场的面积最大． 15分17．（1），∵，∴， 2分∴当，即时，，当，即时，，∴当时，的最大值为2． 5分（2）由，得，即，∴， 6分设，则当，，，，设，由题意，是当时，函数的值域的子集． 9分①当，即时，函数在上单调递增，则，解得． 11分②当，即时，函数在上单调递减，则，不等式组无解． 13分③当，即时，函数在上单调递减，上单调递增，则函数的最大值是与的较大者．令，得，令，得，均不合题意．综上所述，实数a的值为． 15分18．（1）函数的定义域为，，因为函数在处的切线与x轴平行，所以，解得． 3分（2）函数的定义域为，．令得或， 6分所以当，即时，的解集为，的解集为，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增，是函数的极大值点，是函数的极小值点； 8分当，即时，在区间上恒成立，此时函数在区间上严格递减，无极值点； 9分当，即时，的解集为，的解集为，所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增，是函数的极小值点，是函数的极大值点； 11分综上，当时，是函数的极大值点，是函数的极小值点；当时，函数在区间上单调递减，无极值点；当时，是函数的极小值点，是函数的极大值点． 12分（3）由（2）知，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数在上的最大值是，与已知矛盾； 14分当时，函数在区间上单调递减，最大值，满足条件； 15分当时，函数在区间上单调递减，最大值是，满足条件；综上，a的取值范围是． 17分19．解：（1）∵数列中且对任意的，恒成立，则称数列A为“数列”．数列1，x，y，7为“数列”，∴所有可能的x，y为1，2或1，3或2，4． 4分（2）n的最大值为65，理由如下一方面，注意到对任意的令，则且，故对任意的恒成立．（*）当，时，注意到得即 6分此时 （