三角函数综合训练6

试卷第1页，共SECTIONPAGES1页三角函数综合训练6姓名：___________班级：___________考号：___________题1．（2020·高一课时练习）求下列函数的最大值和最小值,并求出取得最大值和最小值时x的值.(1);

(2);

(3).【题型】解答题【难度】0.94【标签】求含sinx(型)函数的值域和最值；求含sinx(型)的二次式的最值；【来源】略【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【解析】【解析】(1)直接根据的最值求解即可；(2)令，转化为二次函数的最值求解即可；(3)令，转化为二次函数的最值求解即可.【详解】解:(1)函数与同时取得最大值和最小值，所以,当时,取得最大值；当时,取得最小值；(2)令,则,，于是就转化为求闭区间上二次函数的最大值和最小值问题了，因为时,,所以,因此，从而,此时,,即,，,此时,；(3)令,则,，因为时,,所以,因此，从而,此时,；,此时,,此时,或.【点睛】本题考查型的一次函数，二次函数的最值问题，换元法的使用是关键，是基础题.题2．（2019·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习）在极坐标系中，曲线方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴的平面直角坐标系中，曲线（为参数）（1）将化为直角坐标系中普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若极坐标系中上的点对应的极角为，为上的动点，求中点到直线（为参数）距离的最小值.【题型】解答题【难度】0.94【标签】由正弦(型)函数的值域(最值)求参数；求点到直线的距离；极坐标与直角坐标的互化；参数方程化为普通方程；【来源】略【答案】（1），.为圆心是，半径是4的圆；为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是1的椭圆.（2）最小值.【解析】【分析】（1）由，将极坐标方程化为普通方程，利用消参法，消参数可得的普通方程，得解.（2）由点到直线的距离及三角函数的有界性求解即可.【详解】解：（1）由曲线方程为，则，又，则的普通方程为，由曲线（为参数），由，消参数可得的普通方程为.则为圆心是，半径是4的圆；为中心是坐标原点，焦点在轴上，长半轴长是，短半轴长是1的椭圆.（2）当时，则，故，曲线的普通方程为直线，则点到直线的距离，从而当时，取得最小值.【点睛】本题考查了曲线参数方程、极坐标方程与普通方程的互化，重点考查了点到直线的距离公式，属基础题.题3．（2021下·高一课时练习）已知函数求的最大值及取得最大值时x的值.【题型】解答题【难度】0.94【标签】求含sinx(型)函数的值域和最值；辅助角公式；【来源】略【答案】时，最大值为1【解析】【分析】利用正弦函数的图像与性质求函数的最大值以及取得最大值时x的值.【详解】当即时，函数取最大值，且最大值为1.题4．（2018·北京西城·高三统考期末）已知函数．(I)求的最小正周期；(Ⅱ)求在区间上的最大值．【题型】解答题【难度】0.94【标签】求含sinx(型)函数的值域和最值；求正弦(型)函数的最小正周期；【来源】略【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)最大值为.【解析】【分析】（Ⅰ）利用降幂公式和两角和的余弦公式把化成，再用辅助角公式把后者化为，从而可求的最小正周期等．（Ⅱ）直接计算出，利用正弦函数的性质得到的最大值．【详解】（Ⅰ）因为，所以的最小正周期．（Ⅱ）因为，所以．当，即时，取得最大值为．【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期和最大值，前者利用公式计算，后者先求整体的范围，再利用正弦函数的性质来求，本题属于基础题.题5．（2016·上海闵行·统考二模）如图，在直角梯形中，，，，点是的中点，现沿将平面折起，设．（1）当为直角时，求异面直线与所成角的大小；（2）当为多少时，三棱锥的体积为．【题型】解答题【难度】0.94【标签】三角函数的化简求值诱导公式；求sinx型三角函数的单调性；【来源】略【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）取的中点，连结，，则为，所成的角，由，可得平面，利用勾股定理求出的三边长，使用余弦定理求出；（2）到平面的距离为，代入棱锥的体积公式求出得出的值．【详解】解：（1），，，四边形是矩形，连结交与，则是，的中点，取的中点，连结，，则是的中位线，，．是异面直线，所成的角，，，平面，平面，平面，，．．．．即异面直线与所成的角为．（2）到平面的距离．，．．或．【点睛】本题考查了异面直线所成角的计算，棱锥的体积计算，作出空间角是解题关键，也可使用向量法求出，属于中档题．题6．（2020·高一课时练习）求下列函数的最小正周期(1);(2).【题型】解答题【难度】0.94【标签】求余弦(型)函数的最小正周期；cos2x的降幂公式及应用；【来源】略【答案】(1)2π.(2)π.【解析】【解析】（1）利用降次公式化简函数解析式，由此求得三角函数的最小正周期.（2）利用降次公式化简函数解析式，由此求得三角函数的最小正周期.【详解】(1),∴最小正周期为2π.(2),∴最小正周期为π.【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式、三角函数最小正周期，属于基础题.题7．（2021·高二课时练习）求下列函数的单调区间．（1）；（2）．【题型】解答题【难度】0.94【标签】利用导数求函数的单调区间(不含参)；解正弦不等式；解余弦不等式；解不含参数的一元二次不等式；【来源】略【答案】（1）函数的单调递减区间为，，单调递增区间为；（2）单调递增区间为（），单调递减区间（）.【解析】【分析】（1）求出，解不等式和即得解；（2），解不等式和即得解.【详解】（1）由题得函数的定义域为.，令，即，解得；令，即，解得或，故所求函数的单调递减区间为，，单调递增区间为．（2）由题得函数的定义域为.令，得，即（），令，得，即（），故的单调递增区间为（），单调递减区间（）．题8．（2020·高一课时练习）用“五点法”画出函数y＝＋sinx，x∈[0，2π]的简图．【题型】解答题【难度】0.94【标签】五点法画正弦函数的图象；y=Asinx+B的图象；【来源】略【答案】作图见解析【解析】【分析】由于正弦函数的周期是，取一个周期内的五个关键点，即令，分别将五个点的横坐标代入中，求出对应的纵坐标的值，列出表格，然后描点连线即可画出函数简图.【详解】（1）取值列表如下：x0π010－10（2）描点、连线，如图所示．【点睛】本题考查了用五点法画三角函数简图问题，考查了数学运算能力和画图能力，属于一般题目.题9．（2020上·江西赣州·高一统考期末）已知是第四象限角，.（1）若，求的值；（2）令，当时，求函数的值域.【题型】解答题【难度】0.94【标签】已知正(余)弦求余(正)弦；三角函数的化简求值诱导公式；求含sinx(型)函数的值域和最值；辅助角公式；【来源】略【答案】（1）；（2）．【解析】【解析】（1）利用诱导公式、同角三角函数基本关系式即可得出；（2）利用和差公式、三角函数的单调性即可得出．【详解】解：（1），，，是第四象限角，，；（2），当时，，，函数．【点睛】本题主要考查诱导公式、同角的三角函数关系、三角函数的单调性，考查推理能力与计算能力，属于基础题．题10．（2022·高一课时练习）利用函数，与，的图象，在内求且时的取值范围．【题型】解答题【难度】0.94【标签】正弦函数图象的应用；余弦函数图象的应用；【来源】略【答案】【解析】【分析】画出正弦函数与余弦函数在的图象，数形结合求出答案.【详解】在同一坐标系下作出，与，的图象，如下所示：故且时的取值范围是.题11．（2020·高一课时练习）求下列函数的周期.（1）；（2）；（3）；（4）.【题型】解答题【难度】0.94【标签】求正弦(型)函数的最小正周期；【来源】略【答案】（1）

（2）

（3）

（4）【解析】【解析】利用进行求解即可【详解】（1）,则；（2）,则；（3）,则；（4）,则【点睛】本题考查求正弦型函数的周期,属于基础题题12．（2020上·江西赣州·高一统考期末）已知函数（1）求函数的单调增区间和对称中心坐标；（2）若关于方程在上有两个不同的解，求实数的取值范围.【题型】解答题【难度】0.94【标签】正弦函数图象的应用；求正弦(型)函数的对称轴及对称中心；求sinx型三角函数的单调性；【来源】略【答案】（1）单调增区间为，对称中心坐标为；（2）．【解析】【解析】（1）利用倍角公式、和差公式化简函数得，由可得其单调区间，由可得对称中心坐标；（2）由可得，画出图象，根据关于方程在上有两个不同的解，结合图象可得实数的取值范围．【详解】解：（1）∵，由可得，由得，解得，∴函数的单调增区间为，对称中心坐标为；（2）由可得，，画出函数的图象，∵，若关于方程在上有两个不同的解，则，∴，实数的取值范围是．【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．题13．（2021下·湖南·高三校联考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）在中，角，，的对边分别为，，，若，求的取值范围.【题型】解答题【难度】0.94【标签】求含sinx(型)函数的值域和最值；由图象确定正(余)弦型函数解析式；余弦定理解三角形；【来源】略【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由图得出最大值和周期，由此求出，代入最高点坐标求出，由此求出解析式（2）由基本不等式求出的取值范围，从而求出角取值范围，再结合三角函数性质求解范围即可.【详解】（1）由图知，，∴，.，又，∴，

∴.

（2）∵，当且仅当取“”，∵，∴，∴，∴.【点睛】求三角函数的解析式时，由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标，则令或)，即可求出，否则需要代入点的坐标，利用一些已知点的坐标代入解析式，再结合函数的性质解出和，若对的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.题14．（2020·高一课时练习）作出函数,的简图,并求使成立的x的取值范围.【题型】解答题【难度】0.94【标签】y=Asinx+B的图象；正弦函数图象的应用；【来源】略【答案】图见解析,【解析】【分析】取分别为，求出对应的，然后描点,用平滑的曲线连接即可画出图像；令，求出，观察图像可得使的x的取值范围【详解】解:列表如下:x0001001311描点,并将它们用光滑的曲线连接起来(如图).令,即,则.,,或,或.由图可知,使成立的x的取值范围是.【点睛】本题考查五点法作图，以及函数图像的应用，是基础题.题15．（2012上·山东德州·高三统考期末）已知函数＞0，＞0，＜的图象与轴的交点为（0，1），它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和（1）写出的解析式及的值；（2）若锐角满足，求的值.【题型】解答题【难度】0.94【标签】三角函数的图象与性质；函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换；【来源】略【答案】解：（Ⅰ）由题意可得：，得，所以所以，又是最小的正数，；（Ⅱ），【解析】(1)根据最高点及最低点的坐标可求出周期，及A=2，从而求出,然后再根据图像过(0,1)点结合的取值范围，可确定的值.解析式确定，再令y=2得到x0的值.(2)再利用公式求出的值，代入可求出的值.（1）由题意可得即，…2分由＜,……………………4分所以又是最小的正数，……………6分（2）………………9分…12分题16．（2019·高一课时练习）求函数的周期、单调区间及最大值、最小值.【题型】解答题【难度】0.94【标签】诱导公式五六；求含sinx(型)函数的值域和最值；求正弦(型)函数的最小正周期；求sinx型三角函数的单调性；【来源】略【答案】最小正周期为，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；【解析】【分析】利用诱导公式可把函数化简为，由正弦函数的性质可求给定函数的单调区间、最值，利用公式可求其周期.【详解】∵，∴.∴原函数即，这个函数的最小正周期.当时，函数单调递增，所以函数的单调递增区间为.当时，函数单调递减，所以函数的单调递减区间为.当时，；当时，.【点睛】对于函数，我们可利用正弦函数的性质并根据复合函数的讨论方法求该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．题17．（2019·浙江·高三专题练习）已知函数，求函数的单调递增区间.【题型】解答题【难度】0.94【标签】辅助角公式；三角恒等变换的实际应用；求sinx型三角函数的单调性；【来源】略【答案】单调递增区间为，.【解析】【分析】利用二倍角公式和辅助角公式可得，由整体代换即可求得结果.【详解】.所以，解得，.所以函数的单调递增区间为，.【点睛】本题考查三角函数的性质，考查三角恒等变换，求单调区间时，要由的范围求出x的范围，属基础题.题18．（2020下·浙江杭州·高一校考阶段练习）已知（1）求的对称中心（2）求解不等式【题型】解答题【难度】0.94【标签】解正弦不等式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；【来源】略【答案】（1）（2）【解析】【解析】（1）由二倍角的正弦与余弦公式可得的解析式，再结合三角函数的性质求解即可；（2）由等价于，再求解即可.【详解】解：（1）由，由，解得：，即的对称中心为；（2）由，则，即，即，解得，即解不等式的解集为.【点睛】本题考查了三角恒等变换，重点考查了三角函数的性质及解三角不等式，属基础题.题19．（2011上·广东·高二统考期中）已知向量与，其中(Ⅰ)若，求和的值；(Ⅱ)若，求的值域.【题型】解答题【难度】0.94【标签】求含sinx(型)函数的值域和最值；数量积的坐标表示；【来源】略【答案】（1），.（2）．【解析】试题分析：(Ⅰ)由已知条件，得，由此可求得的值，由于为特殊值，从而可求得的值，进而求得和的值（也可利用平方关系求得和的值）；(Ⅱ)首先列出函数的表达式，利用三角函数的平方关系及三角函数辅助角公式，将其化为一个复合角的三角函数式：，最后利用整体思想来求函数的值域．试题解析：(Ⅰ)，，求得.又，，，.(Ⅱ)又，，，，即函数的值域为.考点：1．向量共线的充要条件；2．三角函数求值；3．三角函数的值域．题20．（2012上·广东广州·高三阶段练习）已知平面直角坐标系中，，，，．（Ⅰ）求的最小正周期和对称中心；（Ⅱ）求在区间上的单调递增区间．【题型】解答题【难度】0.94【标签】三角函数的图象与性质；【来源】略【答案】（Ⅰ）最小正周期为，对称中心是；（Ⅱ）的递增区间为和．【解析】【分析】(I)先根据向量的坐标的加法运算法则求出向量的坐标，从而求出从而可得其周期为,再利用正弦函数的对称中心,可求出f(x)的对称中心.(II)由正弦函数的单调增区间可知当时单增,解此不等式可求出f(x)的单调增区间,然后给k赋值，可得f(x)在上的增区间.【详解】（Ⅰ）由题设知，，，则故最小正周期为对称中心横坐标满足，即对称中心是（Ⅱ）当时单增，即又，故的递增区间为和题21．（2020·高一课时练习）写出函数的值域和单调区间.【题型】解答题【难度】0.94【标签】求sinx的函数的单调性；求含sinx(型)函数的值域和最值；【来源】略【答案】值域为,单调递增区间为,单调递减区间为.【解析】【解析】由于的单调性与的单调性相反，通过的单调区间求解即可；另外根据可求值域【详解】解：因为的单调性与的单调性相反,又的单调递减区间为，单调增区间为,所以的单调递增区间为，单调减区间为；又,所以，故函数的值域为.【点睛】本题考查含的函数的单调性和值域，是基础题.题22．（2022·高一课时练习）在匀强磁场中，匀速转动的线圈所产生的电流是时间的正弦函数，关系式为，试求它的初始（）电流、最大电流和最小正周期．【题型】解答题【难度】0.94【标签】特殊角的三角函数值；求含sinx(型)函数的值域和最值；求正弦(型)函数的最小正周期；【来源】略【答案】初始电流，最大电流，最小正周期【解析】【分析】根据求得初始电流、最大电流、最小正周期.【详解】当时，，最大电流为，最小正周期.题23．（2011下·浙江舟山·高二阶段练习）已知向量（1）当向量与向量共线时，求的值；（2）求函数图像的一个对称中心的坐标【题型】解答题【难度】0.94【标签】求正弦(型)函数的对称轴及对称中心；三角恒等变换的化简问题；由向量共线(平行)求参数；数量积的坐标表示；【来源】略【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用共线向量的坐标运算列出关系式,利用同角三角函数间的基本关系即可求出的值;（2）利用平面向量的数量积的坐标运算求出解析式,利用正弦和余弦的二倍角公式化简，最后利用三角函数的性质求出对称中心即可.【详解】（1）∵向量与向量共线,∴,则;（2），令,解得:,则函数图象的对称中心的坐标是.题24．（2022下·湖南长沙·高二长郡中学校考阶段练习）已知函数.(1)求函数的最小正周期和值域；(2)若，求函数的单调递增区间.【题型】解答题【难度】0.85【标签】求含sinx(型)函数的值域和最值；求正弦(型)函数的最小正周期；三角恒等变换的化简问题；求sinx型三角函数的单调性；【来源】略【答案】(1)最小正周期为，值域为(2)，【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）根据正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）因为，故的最小正周期为，值域为.（2）令，解得.又，则的单调递增区间为，.题25．（2022下·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考阶段练习）已知函数，（其中，）的最小正周期为10．(1)求的值；(2)设，，，求的值．【题型】解答题【难度】0.85【标签】由余弦(型)函数的周期性求值；用和差角的余弦公式化简求值；【来源】略【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由求值；（2）由，整理得，结合平方关系及余弦和公式求值即可.【详解】（1）由得；（2）由整理得，∵，∴，∴.题26．（2021下·河南信阳·高一统考期末）已知函数．（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）若，求的最大值与最小值，并求取最大值与最小值时的的值．【题型】解答题【难度】0.85【标签】求含sinx(型)函数的值域和最值；三角恒等变换的化简问题；求sinx型三角函数的单调性；【来源】略【答案】（1）最小正周期是；单调递增区间是，；（2）的最大值为1，此时，；的最小值为-2，此时，．【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合三角函数的恒等变换，将化简为，再结合三角函数的周期公式和单调性，即可求解．（2）根据的取值范围求出的取值范围，再结合正弦函数的图像，即可求解．【详解】解：（1）因为所以．的最小正周期．由正弦函数的性质得，，解得，，的单调递增区间是，．（2）若，则，，．即的最大值为1，此时，；的最小值为-2，此时，题27．（2022下·江苏淮安·高一校联考期中）已知扇形（如图所示），圆心角，半径=4，在弧上取一点P，作扇形的内接矩形，记x，矩形的面积为S.(1)写出S与x的函数关系式，并化简；(2)求矩形面积的最大值，并求此时x的取值.【题型】解答题【难度】0.65【标签】求含sinx(型)函数的值域和最值；三角函数在生活中的应用；逆用和差角的正弦公式化简求值；二倍角的余弦公式；【来源】略【答案】(1)(2)，【解析】【分析】（1）在直角三角形中用表示出，从而得出，由矩形面积公式得面积，并利用二倍角公式、两角和的正弦公式化简函数式；（2）利用正弦函数的性质得最大值．【详解】（1）在直角中，，在直角中，又，所以所以即（2）因为所以所以当，即时，题28．（2020上·辽宁大连·高三辽师大附中校考开学考试）已知函数.（1）求函数的单调递减区间；（2）设图象与图象关于直线对称，求时，的值域.【题型】解答题【难度】0.65【标签】求sinx的函数的单调性；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；利用正弦型函数的单调性求函数值或值域；【来源】略【答案】（1）；（2）【解析】【解析】（1）先将函数，转化为，再令求解.（2）根据图象与图象关于直线对称，则区间与关于直线对称，将求时，的值域，转化为求时，的值域.【详解】（1）因为，所以，解得，所以函数的单调递减区间是.（2）因为图象与图象关于直线对称，要求时，的值域.只需求时，的值域.所以，所以，所以时，的值域是.【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质以及对称问题，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.题29．（2022下·湖北十堰·高一校联考阶段练习）如图，在中，内角的对边分别为，若，(1)求角大小；(2)若，证明：四点共圆；(3)求四边形面积最大值.【题型】解答题【难度】0.65【标签】求含sinx(型)函数的值域和最值；正弦定理边角互化的应用；三角形面积公式及其应用；余弦定理解三角形；【来源】略【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)【解析】【分析】(1)利用正弦定理化边为角，结合两角和差的正弦公式化简可求角大小；(2)利用余弦定理求角，根据对角互补证明四点共圆；(3)由条件结合三角形面积公式求四边形面积解析式，再由正弦函数性质求其最值.【详解】（1）因为，所以，即有又，所以，即因为，所以即，由，可得又在中只能都为锐角，所以（2）因为中，,由所以，所以四边形对角互补，所以四点共圆.（3）由（1）可知三角形为等边三角形，可设在中，由余弦定理得由于，可得所以因为，所以，当且仅当时等号成立，所以四边形面积的最大值为.题30．（2020上·江苏南通·高一统考期末）如图，半径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中，设．（1）将十字形的面积S表示为的函数；（2）求十字形的面积S的最大值．【题型】解答题【难度】0.4【标签】由正弦(型)函数的值域(最值)求参数；几何中的三角函数模型；【来源】略【答案】（1）（2）．【解析】【解析】（1）由题意，根据三角函数和圆的半径表达，，再计算十字形的面积；（2）由（1）中十字形的面积，根据三角恒等变换，化简函数解析式，即可求解最大值.【详解】解：（1）由题意，，，因为，所以．所以．即，．（2）由（1）得：所以．答：（1）；（2）．【点睛】本题考查（1）三角函数在几何图形中的应用