广西柳州市名校2025届数学高二上期末考试试题含解析

广西柳州市名校2025届数学高二上期末考试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知直线的倾斜角为，在轴上的截距为，则此直线的方程为（）A. B.C. D.2．如图所示的程序框图，阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A.14 B.20C.30 D.553．试在抛物线上求一点，使其到焦点的距离与到的距离之和最小，则该点坐标为A. B.C. D.4．鲁班锁运用了中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春秋时代各国工匠鲁班所作，是由六根内部有槽的长方形木条，按横竖立三方向各两根凹凸相对咬合一起，形成的一个内部卯榫的结构体.鲁班锁的种类各式各样，千奇百怪.其中以最常见的六根和九根的鲁班锁最为著名.下图1是经典的六根鲁班锁及六个构件的图片，下图2是其中的一个构件的三视图（图中单位：mm），则此构件的表面积为（）A. B.C. D.5．某学校的校车在早上6：30，6：45，7：00到达某站点，小明在早上6：40至7：10之间到达站点，且到达的时刻是随机的，则他等车时间不超过5分钟的概率是（）A. B.C. D.6．记不超过x的最大整数为，如，.已知数列的通项公式，则使的正整数n的最大值为（）A.5 B.6C.15 D.167．“”是“方程为双曲线方程”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8．已知椭圆：，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点，若的最大值为5，则的值是A.1 B.C. D.9．在下列四条抛物线中，焦点到准线的距离为1的是（）A. B.C. D.10．若向量，，，则（）A. B.C. D.11．算盘是中国传统计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才．”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为3部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的．下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位…，上面一粒珠（简称上珠）代表5，下面一粒珠（简称下珠）是1，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨一粒上珠，往上拨3粒下珠，得到的数为质数（除了1和本身没有其它的约数）的概率是（）A. B.C. D.12．等比数列的各项均为正数，且，则=（）A.8 B.16C.32 D.64二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．随机抽取某社区名居民，调查他们某一天吃早餐所花的费用（单位：元），所获数据的茎叶图如图所示，则这个数据的众数是_________14．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难人微”.事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：与相关的代数问题可以转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点，可得方程的解是__________.15．设，则曲线在点处的切线的倾斜角是_______16．数列满足前项和，则数列的通项公式为_____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）某市共有居民60万人，为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，……分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图（1）求直方图中的a值，并估计该市居民月均用水量不少于3吨的人数（单位：人）；（2）估计该市居民月均用水量的众数和中位数18．（12分）已知为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆的上顶点，以为圆心且过的圆与直线相切.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线交椭圆于两点.（ⅰ）若直线的斜率等于，求面积的最大值；（ⅱ）若，点在上，.证明：存在定点，使得为定值.19．（12分）已知直线过坐标原点，圆的方程为（1）当直线的斜率为时，求与圆相交所得的弦长；（2）设直线与圆交于两点，，且为的中点，求直线的方程20．（12分）已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0交点，且与直线x+y﹣2＝0垂直（1）求直线l的方程；（2）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程21．（12分）近年来，由于耕地面积的紧张，化肥的施用量呈增加趋势，一方面，化肥的施用对粮食增产增收起到了关键作用，另一方面，也成为环境污染，空气污染，土壤污染的重要来源之一.如何合理地施用化肥，使其最大程度地促进粮食增产，减少对周围环境的污染成为需要解决的重要问题.研究粮食产量与化肥施用量的关系，成为解决上述问题的前提.某研究团队收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据并对这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，化肥施用量为x（单位：公斤），粮食亩产量为y（单位：百公斤）.参考数据：65091.552.51478.630.5151546.5表中.（1）根据散点图判断与，哪一个适宜作为粮食亩产量y关于化肥施用量x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；并预测化肥施用量为27公斤时，粮食亩产量y的值；（3）经生产技术提高后，该化肥的有效率Z大幅提高，经试验统计得Z大致服从正态分布N），那这种化肥的有效率超过58%的概率约为多少？附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为；②若随机变量，则有，；③取.22．（10分）已知函数（1）求关于x的不等式的解集；（2）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】求出直线的斜率，利用斜截式可得出直线的方程.【详解】直线的斜率为，由题意可知，所求直线的方程为.故选：D.2、C【解析】经分析为直到型循环结构，按照循环结构进行执行，当满足跳出的条件时即可输出值【详解】解：第一次循环S=1，i=2；第二次循环S=1+22=5，i=3；第三次循环S=5+32=14，i=4；第四次循环S=14+42=30，i=5；此时5>4，跳出循环，故输出的值为30故选：C.3、A【解析】由题意得抛物线的焦点为，准线方程为过点P作于点，由定义可得,所以，由图形可得，当三点共线时，最小，此时故点的纵坐标为1，所以横坐标．即点P的坐标为．选A点睛：与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般解法是利用抛物线的定义，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中的垂线段最短”解决4、B【解析】由三视图可知，该构件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长方体的一个几何体，进而求出表面积即可.【详解】由三视图可知，该构件是长为100，宽为20，高为20的长方体的上面的中间部分去掉一个长为40，宽为20，高为10的小长方体的一个几何体，如下图所示，其表面积为：.故选：B.【点睛】本题考查几何体的表面积的求法，考查三视图，考查学生的空间想象能力与计算求解能力，属于中档题.5、B【解析】求出小明等车时间不超过5分钟能乘上车的时长，即可计算出概率.【详解】6:40至7：10共30分钟，小明同学等车时间不超过5分钟能乘上车只能是6：40至6:45和6:55至7:00到站，共10分钟，所以所求概率为.故选：B6、C【解析】根据取整函数的定义，可求出的值，即可得到答案；【详解】，，，，，，当时，，使的正整数n的最大值为，故选：C7、C【解析】先求出方程表示双曲线时满足的条件，然后根据“小推大”的原则进行判断即可.【详解】因方程为双曲线方程，所以，所以“”是“方程为双曲线方程”的充要条件.故选：C.8、D【解析】由题意可知椭圆是焦点在x轴上的椭圆，利用椭圆定义得到|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，再由过椭圆焦点的弦中通径的长最短，可知当AB垂直于x轴时|AB|最小，把|AB|的最小值b2代入|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|，由|BF2|+|AF2|的最大值等于5列式求b的值即可【详解】由0＜b＜2可知，焦点在x轴上，∵过F1的直线l交椭圆于A，B两点，则|BF2|+|AF2|+|BF1|+|AF1|＝2a+2a＝4a＝8∴|BF2|+|AF2|＝8﹣|AB|当AB垂直x轴时|AB|最小，|BF2|+|AF2|值最大，此时|AB|＝b2，则5＝8﹣b2，解得b，故选D【点睛】本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了椭圆的定义，考查椭圆的通径公式，考查计算能力，属于中档题9、D【解析】由题意可知，然后分析判断即可【详解】由题意知，即可满足题意，故A，B，C错误，D正确.故选：D10、A【解析】根据向量垂直得到方程，求出的值.【详解】由题意得：，解得：.故选：A11、B【解析】根据古典概型概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】依题有，算盘所表示的数可能有：17，26，8，35，62，71，80，53，其中是质数的有：17，71，53，故所求事件的概率为故选：B12、B【解析】由等比数列的下标和性质即可求得答案.【详解】由题意，，所以.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】将个数据写出来，可得出这组数据的众数.【详解】这个数据分别为、、、、、、、、、、、、、、，该组数据的众数为.故答案为：.14、【解析】根据题意，列方程计算即可【详解】因为，所以，可转化为点到点和点的距离之和为，所以点在椭圆上，则，解得.故答案为：15、【解析】利用导数的定义，化简整理，可得，根据导数的几何意义，即可求得答案.【详解】因为=，所以，则曲线在点处的切线斜率为，即，又所以所求切线的倾斜角为故答案为：16、【解析】由已知中前项和，结合，分别讨论时与时的通项公式，并由时，的值不满足时的通项公式，故要将数列的通项公式写成分段函数的形式【详解】∵数列前项和，∴当时，，又∵当时，，故，故答案为.【点睛】本题考查的知识点是等差数列的通项公式，其中正确理解由数列的前n项和Sn，求通项公式的方法和步骤是解答本题的关键三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）a0.3，72000人；（2）众数2.25；中位数2.04.【解析】（1）根据所有小长方形面积和为1即可求得参数，结合题意求得用水量不少于3吨对应的频率，再求频数即可；（2）根据频率分布直方图直接写出众数，根据中位数的求法，结合频率的计算，即可容易求得结果.【小问1详解】由频率分布直方图，可知：，解得；月均用水量不少于3吨的人数为：（人）【小问2详解】由图可估计众数为2.25；设中位数为x吨，因为前5组的频率之和0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4组频率之和0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2≤x<2.5，由，可得，故居民月均用水量的中位数为2.04吨.18、（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）.【解析】（1）求出后可得椭圆的标准方程.（2）（ⅰ）设直线的方程为：，，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理、弦长公式可求面积表达式，利用基本不等式可求面积的最大值.（ⅱ）利用韦达定理化简可得，从而可得的轨迹为圆，故可证存在定点，使得为定值.【详解】（1）由题意知：，，又，则以为圆心且过的圆的半径为，故，所以椭圆的标准方程为：.（2）（ⅰ）设直线的方程为：，将代入得：，所以且，故.又，点到直线的距离，所以，等号当仅当时取，即当时，的面积取最大值为.（ⅱ）显然直线的斜率一定存在，设直线的方程为：，，由（ⅰ）知：所以，所以，解得，，直线过定点或，所以D在以OZ为直径的圆上，该圆的圆心为或，半径等于，所以存在定点或，使得为定值.【点睛】方法点睛：求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等.直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.19、（1）（2）或【解析】（1）、由题意可知直线的方程为，圆的圆心为，半径为，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理即可求出与圆相交所得的弦长；（2）、设，因为为的中点，所以，又因为，均在圆上，将，坐标代入圆方程，即可求出点坐标，即可求出直线的方程【小问1详解】由题意：直线过坐标原点，且直线的斜率为直线的方程为，圆的方程为圆的方程可化为：圆的圆心为，半径为圆的圆心到直线：的距离为，与圆相交所得的弦长为【小问2详解】设，为的中点，又，均在圆上，或直线方程或20、（1）（2